18年高考真题——理科数学(江苏卷)

2018年普通高等学校招生全国统一考试

数 学I 卷（理）（江苏卷）

一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上）

1．已知集合{}0,1,2,8A =，{}1,1,6,8B =-，那么A

B =________。

2．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________。

3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________。

4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________。 5．函数()2log 1f x x =-的定义域为____________。

6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________。

7．已知函数()sin 22

2y x π

πϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，则ϕ

的值是 。

8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的右焦点(),0F c 到一条渐近线的

距离为

3

2

c ，则其离心率的值是________。 9．函数()f x 满足()()()4f x f x x R +=∈，且在区间(]2,2-上，

()()()cos 0221||202

x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩，则()()15f f 的值为________。 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_________。 11．若函数()()3

2

21f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大

值与最小值的和为________。

12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：2y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D 。若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 。

13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，0120ABC ∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点

D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 。

14．已知集合{}|21,A x x n n N +==-∈，{}

|2,n B x x n N +==∈。将A

B 的所有元素从小到大

依次排列构成一个数列{}n a 。记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 。

二．解答题（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤。）

15．（本小题14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，

1AA AB =，111AB B C ⊥。求证：⑴//AB 平面11A B C ；⑵平面11ABB A ⊥

平面1A BC 。

16．（本小题14分）已知,αβ为锐角，4

tan 3

α=

，()5cos 5αβ+=-。⑴求cos2α；⑵求

()tan αβ-。

17．（本小题14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧

的中点）和线段MN 构成。已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米。现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形

ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP ∆，要求,A B 均在线段MN 上，

,C D 均在圆弧上。设OC 与MN 所成的角为θ。⑴用θ分别表示矩形

ABCD 和CDP ∆的面积，并确定sin θ的取值范围；⑵若大棚Ⅰ内种植甲种

蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为

4:3。求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大。

18．（本小题16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 点

13,2⎛

⎫ ⎪⎝⎭

，焦点()(

)

12

3,0,3,0F F -，圆O 的直径为12F F 。⑴求椭圆C 及

圆O 的方程；⑵设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P 。①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若OAB ∆的面积为267，求直线l 的方程。

19．（本小题16分）记()(),f x g x ''分别为函数()(),f x g x 的导函数。若存在0x R ∈，满足

()()00f x g x =且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“s 点”。 ⑴证明：函数

()f x x =与()222g x x x =+-不存在“s 点”；⑵若函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“s 点”，

求实数a 的值；⑶已知函数()2

f x x a =-+，()x

be g x x

=。对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数

()f x 与()g x 在区间()0,+∞内存在“s 点”，并说明理由。

20．（本小题16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列。⑴设10a =，11b =，2q =，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；⑵若

110a b =>，m N +∈，(

1,2m q ⎤∈⎦

，证明：存在d R ∈，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，

并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）。

数 学II 卷

【选做题】本题包括四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。若多做，则按作答的前两小题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

21—A ．[选修4—1：几何证明选讲]如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C 。若

23PC =，求BC 的长。

21—B ．[选修4—2：矩阵与变换]已知矩阵2312A ⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

。⑴求A 的逆矩阵1

A -；⑵若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点()3,1P '，求点P 的坐标。

21—C ．[选修4—4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，直线l 的方程为sin 26πρθ⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长。

21—D ．[选修4—5：不等式选讲] 若,,x y z 为实数，且226x y z ++=，求2

2

2

x y z ++的最小值。 【必做题】两题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，点,P Q 分别为

11,A B BC 的中点。⑴求异面直线BP 与1AC 所成角的余弦值；⑵求直线1CC 与平

面1AQC 所成角的正弦值。

23．设n N +

∈，对1,2,

,n 的一个排列12,,

,n i i i ，如果当s t <时，有s t i i >，则称(),s t i i 是排列