最优化课程设计--共轭梯度法算法分析与实现
数值最优化(共轭梯度)ppt课件
极小点.
最终x(n)= u1 p1+u2 p2+···+un pn =x* 即迭代过程同样在n步之后找到最优点.
因此,对二次函数
f ( x) 1 xTGx bT x c 2
我们可以找到n个方向(向量),对其依次进行一维搜索,最
8
共轭方向法的思路
|| (s1 1 u1) p1 (s2 u2 ) p2 L (sn un ) pn ||G2
(s1 1 u1) p1 (s2 u2 ) p2 L (sn un ) pn ,
( s1
1
u1 )
p1
( s2
n
u2
)
p2
L
(sn un ) pn
(s1 1 u1)2 || p1 ||G2 (si ui )2 || pi ||G2
即p1,p2,···,pn线性无关,且 pi , pj 0(i j)
设问题的最优解x*= -G-1b在这组基底下的表示为x*= u1 p1+u2 p2+···+un pn
任取初始点x(0) =s1 p1+s2 p2+···+sn pn, 在方向p1上进行 一维搜索,即求解问题
min || (s1 1 u1) p1 (s2 u2 ) p2 L (sn un ) pn ||G2
z
x(1) O
x(3) =x* x(2) y
x(0)
x
5
共轭方向法的思路
上面的方法对一般的二次函数是否适用呢?
考虑问题
其中
G
1 2
最优化方法-共轭方向和共轭梯度法
由3式可以看出
2020/3/6
16
2.共轭方向-共轭方向法
• 基本定义
利用共轭方向作为搜索方向的无约束极小化算法
• 通用步骤:
(1)任取X 0 ,以及在X 0的下降方向P0 , k 0; (1)求解一维搜索问题
min f ( X k Pk ),为最优步长,是个数值．
(3) X k1 X k k Pk ;
X
T QX
bT
X
c, Q正定,
X 0是初始点,
P0
f
(X0)
X k1 X k k Pk , k 0,1...m 1, k是最优步长,且
Pk1 f ( X k1) ak Pk (这是构造的结果)
其中ak
f
( X k1)T QPk PkT QPk
,
P0
(
X
)T
k 1
Pk
)T
PkT f ( X k1)
f ( X k1) QX k1 b Q( X k k Pk ) b, ( X k 1 X k k Pk )
f ( X k1) (QX k b) kQPk f ( X k ) kQPk
当m 2时 所以，P0，P1， Pm1是线性无关的。
P0T QP1
P0T Q f ( X 1 )
f ( X 1 )T QP0 P0T QP0
P0
P0T Qf ( X 1 ) f ( X 1 )T QP0 0
表明，P0与P1共轭。
2020/3/6
2020/3/6
4
1.共轭方向法的基本原理
• 已知 X1 点是在 X 0 点在直线 l0 上沿 P0 搜索方向的一个极小 点。（l0 与 P0 是平行的）
共轭梯度算法的设计与实现毕业设计
共轭梯度算法的设计与实现毕业设计
首先，共轭梯度算法的设计需要明确以下几个步骤：初始化、迭代计算、收敛判断。
在初始化阶段，需要设置初始解向量和初始残差向量，并
计算初始共轭方向向量。
在迭代计算阶段，根据共轭方向向量和残差向量，通过求解步长和更新解向量来不断逼近准确解。
在收敛判断阶段，通过计
算残差的范数或迭代次数等指标来判断算法是否结束。
其次，共轭梯度算法的实现需要考虑以下几个方面：矩阵和向量的存储、步长的求解、解向量的更新、收敛判断的条件。
在存储方面，矩阵和
向量可以使用数组来表示，并利用索引进行读写操作。
在步长的求解方面，可以采用线或二次等方法来求解最优步长，以提高算法的收敛速度。
在解
向量的更新方面，可以使用矩阵向量乘法和向量加法等运算来更新解向量。
在收敛判断方面，可以设置收敛阈值或最大迭代次数等条件来判断算法是
否结束。
最后，为了进一步提高共轭梯度算法的性能，可以考虑以下几个改进
方法：预处理、并行计算、加速技术。
预处理可以通过矩阵分解等方法来
提前对矩阵进行优化，从而加快求解速度。
并行计算可以利用多核或集群
计算资源，将大规模计算任务分解为多个并行的小任务进行计算，以提高
计算效率。
加速技术可以利用加速硬件如GPU或FPGA等进行计算，以加
快算法的执行速度。
综上所述，共轭梯度算法的设计与实现是一个涉及多个方面的综合性
任务，需要考虑问题的数学模型、算法的理论基础以及计算机实现的技术
细节。
通过合理的设计和实现，可以提高共轭梯度算法的计算效率和性能，从而更好地应用于实际问题的求解中。
共轭梯度法
共轭梯度法1.算法思想：共轭梯度法是利用目标函数梯度逐步产生共轭方向作为线搜索方向的方法，每次搜索方向都是在目标函数梯度的共轭方向，搜索步长通过一维极值算法确定。
2.算法步骤：用共轭梯度法求无约束多维极值问题min (),n f x x R ∈的算法步骤如下：（1） 给定初始点(0)x ，及精度0ε>； （2） 若(0)()f x ε∇≤，停止，极小值点为(0)x ，否则转步骤（3）；（3） 取(0)(0)()p f x =-∇，且置0k =；（4） 用一维搜索法求k t ，使得()()()()()0()mink k k k k t f x t p f x tp ≥+=+，令，(1)()()k k k k x x t p +=+，转步骤5； （5） 若(1)()k f x ε+∇≤，停止，极小值点为(1)k x +，否则转步骤（6）；（6） 若1k n +=，令(0)()n x x =，转步骤（3），否则转步骤（7）； （7） 令(1)(1)()()k k k k p f x p λ++=-∇+，2(1)2()()()k kk f xf x λ+∇=∇，置1k k =+，转步骤（4）。
3.算法源程序：#include<stdio.h> #include<math.h>#define N 10#define eps pow(10,-6)double f(double x[],double p[],double t){double s;s=pow(x[0]+t*p[0],2)+25*pow(x[1]+t*p[1],2); return s;}/*以下是进退法搜索区间源程序*/void sb(double *a,double *b,double x[],double p[]) {double t0,t1,t,h,alpha,f0,f1;int k=0;t0=2.5; /*初始值*/h=1; /*初始步长*/alpha=2; /*加步系数*/f0=f(x,p,t0);t1=t0+h;f1=f(x,p,t1);while(1){if(f1<f0){h=alpha*h; t=t0;t0=t1; f0=f1;k++;}else{if(k==0){h=-h;t=t1;}else{*a=t<t1?t:t1;*b=t>t1?t:t1;break;}}t1=t0+h;f1=f(x,p,t1);}}/*以下是黄金分割法程序源代码*/double hjfg(double x[],double p[]){double beta,t1,t2,t;double f1,f2;double a=0,b=0;double *c,*d;c=&a,d=&b;sb(c,d,x,p);/*调用进退法搜索区间*/printf("\nx1=%lf,x2=%lf,p1=%lf,p2=%lf",x[0],x[1],p[0],p[1]); printf("\n[a,b]=[%lf,%lf]",a,b);beta=(sqrt(5)-1.0)/2;t2=a+beta*(b-a); f2=f(x,p,t2);t1=a+b-t2; f1=f(x,p,t1);while(1){if(fabs(t1-t2)<eps)break;else{if(f1<f2){t=(t1+t2)/2;b=t2; t2=t1;f2=f1; t1=a+b-t2;f1=f(x,p,t1);}else{a=t1; t1=t2;f1=f2;t2=a+beta*(b-a);f2=f(x,p,t2);}}}t=(t1+t2)/2;return t;}/*以下是共轭梯度法程序源代码*/void gtd(){double x[N],g[N],p[N],t=0,f0,mod1=0,mod2=0,nanda=0; int i,k,n;printf("请输入函数的元数值n=");scanf("%d",&n);printf("\n请输入初始值:\n");for(i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&x[i]);f0=f(x,g,t);g[0]=2*x[0]; g[1]=50*x[1];mod1=sqrt(pow(g[0],2)+pow(g[1],2));/*求梯度的长度*/if(mod1>eps){p[0]=-g[0]; p[1]=-g[1]; k=0;while(1){t=hjfg(x,p);/*调用黄金分割法求t的值*/printf("\np1=%lf,p2=%lf,t=%lf",p[0],p[1],t);x[0]=x[0]+t*p[0]; x[1]=x[1]+t*p[1];g[0]=2*x[0]; g[1]=50*x[1];/*printf("\nx1=%lf,x2=%lf,g1=%lf,g2=%lf",x[0],x[1],g [0],g[1]);*/mod2=sqrt(pow(g[0],2)+pow(g[1],2)); /*求梯度的长度*/if(mod2<=eps) break;else{if(k+1==n){g[0]=2*x[0]; g[1]=50*x[1];p[0]=-g[0]; p[1]=-g[1]; k=0;}else{nanda=pow(mod2,2)/pow(mod1,2);printf("\nnanda=%lf,mod=%lf",nanda,mod2);p[0]=-g[0]+nanda*p[0];p[1]=-g[1]+nanda*p[1];mod1=mod2;k++;}}printf("\n--------------------------");}}printf("\n最优解为x1=%lf,x2=%lf",x[0],x[1]);printf("\n最终的函数值为%lf",f(x,g,t));}main(){gtd();}4.运行结果:5.结论与总结：通过这次运筹学的课程设计，，从中让我学到了很多知识，对共轭梯度法的设计与实现有了进一步的认识，搜索方向都是在目标函数梯度的共轭方向，搜索步长通过一维极值算法确定，本次课程设计通过上网查找和在图书馆查找相关资料但从中还有很多不足之处，在日后的学习中不断完善。
共轭方向与共轭梯度法-最优化方法
f (X1)T P0 0 ，所以 f (X1)T P0 1P1TQ P0 0
P1TQ P0 0
（1）
以上就是搜索方向P1所必须满足的（必要） 条件。这也是使X2是极小点的充分条件。 P1，P2称为关于Q的共轭方向。
讨论表明 对于二维的具有正定矩阵Q的 二次函数f(X),从任一初始点出发，依次沿关 于Q共轭的两个方向进行一维搜索，必可达到 f(X)的无约束精确极小点。
Pk 1
0
且对j 0,1 , k 2, 有
PjT QPk PjT Q f ( X k ) k1Pk1
PjT Qf
(X
k
)
k
PT
1 j
QPk
1
f ( X k )T QPj
f ( X k )T f ( X j1) f ( X j ) j
f ( X k1 ) QX k1 b Q( X k k Pk ) b (2)
f ( X k1 ) f ( X k ) k QPk
所以
f ( X m ) f ( X m1) m1QPm1
f ( X m2 ) m2QPm2 m1QPm1
其中1 是最优步长，1>0 .因为 X * 是无约束极小点。
故 f ( X * ) 0 即 QX * b 0
f (X1) QX1 b
Q( X * 1P1) b (QX * b) 1QP1 1QP1
又因为 X1是f(X)沿P0方向的直线l0上的极小点，故
设 X En ,
,Q为对称正定矩阵，P0，
P1，···，Pm-1是关于Q共轭的m个共轭方向，
最优化共轭梯度法
x1 x2
,
A
4 0
0 2
.
f ( x) ( 4x1 , 2x2 )T .
第 1 次迭代：
令 d (1) g1 ( 8, 4 )T ,
而
1
g1T d (1) d (1)T Ad (1)
(
8
,
4
)
8 4
(
8
,
4
)
2. 共轭梯度法
Fletcher R eeves 共轭梯度法 :
min f ( x) 1 xT Ax bT x c 2
其中 x Rn , A是对称正定矩阵，b Rn，c 是常数。
基本思想：将共轭性和最速下降方向相结合，利用已知迭 代点 处的梯度方向构造一组共轭方向，并沿此方向进行搜索，求出 函数的极小点。
取最速下降方向作为第一个搜索方向，开始下一轮搜索。
注 在共轭梯度法中，也可采用其它形式的公式计算i ，如
i
giT1( gi1 giT gi
gi )
( PRP共轭梯度法）。
i
|| gi1 || d (i)T gi
(Dixon共轭梯度法）。
i
gi
T 1
(
gi1
gi
)
d (i)T ( gi1 gi )
||
gi1 ||2 d (i)T gi
|| gi1 ||2 || gi ||2
(4)
FR算法步骤：
1. 任取初始点x(1) ，精度要求 ，令k 1。 2. 令g1 f ( x(1) ),若 || g1 || ,停止，x(1)为所求极小点；
最优化课程设计共轭梯度法算法分析与实现样本
最优化课程设计--共轭梯度法算法分析与实现(设计程序)题目共轭梯度法算法分析与实现班级 / 学号 14140101/ 学生姓名黄中武指导教师王吉波王微微课程设计任务书课程名称最优化方法课程设计院(系) 理学院专业信息与计算科学课程设计题目共轭梯度法算法分析与实现课程设计时间: 年6月 16日至年 6月 27日课程设计的要求及内容:[要求]1. 学习态度要认真, 要积极参与课程设计, 锻炼独立思考能力;2. 严格遵守上机时间安排;3. 按照MATLAB编程训练的任务要求来编写程序;4. 根据任务书来完成课程设计论文;5. 报告书写格式要求按照沈阳航空航天大学”课程设计报告撰写规范”;6. 报告上交时间:课程设计结束时上交报告;7. 严禁抄袭行为, 一旦发现, 课程设计成绩为不及格。
一、运用共轭梯度法求解无约束最优化问题要求:1)了解求解无约束最优化问题的共轭梯度法;2)绘出程序流程图;3)编写求解无约束最优化问题的共轭梯度法MATLAB程序;4)利用编写文件求解某无约束最优化问题;5)给出程序注释。
指导教师年月日负责教师年月日学生签字年月日沈阳航空航天大学课程设计成绩评定单课程名称最优化理论与算法课程设计院(系) 理学院专业信息与计算科学课程设计题目共轭梯度法算法分析与实现学号姓名黄中武指导教师评语:课程设计成绩指导教师签字年月日最优化方法课程设计沈阳航空航天大学课程设计用纸目录目录一、正文 ........................................................ ....... 1 二、总结 ........................................................ ....... 8 参考文献 ........................................................ ....... 9 附录 ........................................................ (10)第 I 页最优化方法课程设计沈阳航空航天大学课程设计用纸正文一、正文一无约束最优化问题的共轭梯度法共轭梯度法最初是由Hesteness和Stiefel于1952年为求解线形方程组而提出的。
共轭梯度法
题目：共轭梯度法及其数值实现院系：数理科学与工程学院应用数学系专业：数学与应用数学姓名学号：************************************************指导教师：张世涛日期：2015 年7 月 5 日最优化是一门应用性很强的学科，近年来，随着计算机的发展以及实际问题的需要，大规模优化问题越来越受到重视。
共轭梯度法是最优化中最常见的方法之一，他具有算法简单、存储需求少、有较快的收敛速度和二次终止性且易于实现等优点，十分适合于大规模优化问题。
非线性共轭梯度法已有五十多年的历史，最早由计算数学家Hestenes和几何学家Stiefel为求解线性方程组Ax=b，n Rx∈而独立提出的。
较著名的有FR方法、PRP方法、HS方法和LS方法等。
非线性最优化的共轭梯度算法的收敛性分析，也就是讨论各种共轭梯度算法在不同搜索下的收敛性质。
本文主要研究求解无约束优化问题的非线性共轭梯度法，并用Matlab软件对其数值实现。
关键词：无约束规划；非线性共轭梯度法；迭代；最优解；数值实现AbstractOptimization is strong discipline applied. In recent years, with the development of computer and practical issues,large-scale optimization problems are given more and more attention.Conjugate gradient method is one of the most commonly used methods in optimization. It is simply, storage needs less, easy to practice with faster convergence speed and quadratic termination. It is suitable for large-scale optimization problem.The conjugate gradient method have been more than 50 years of history. The pioneers were mathematician Hestenes and geometrician Stiefel. They independently proposed this method for solving system of linear equations Ax=b，n Rx∈. Well-known conjugate gradient method is FR method, PRP method, HS method, LS method and so on. The convergence analysis of the conjugate gradient algorithm for nonlinear optimization is also the convergence of various conjugate gradient algorithms under different search conditions. Global convergence and numerical result of nonlinear conjugate gradient method of unconstrained optimization is investigated in this paper. Besides, we use Matlab to get its numerical solution.Keywords:Unconstrained programming; Nonlinear conjugate gradient method;Iteration; Optimal solution; Numerical implementation第一章引言 (2)1.1无约束优化问题概述 (2)1.2 共轭方向 (2)1.3 共轭方向法 (3)第二章共轭梯度法 (4)2.1 基本原理 (4)2.2 算法步骤 (4)2.3 程序流程图 (5)第三章算例 (6)总结 (9)参考文献 (11)附录 (12)第一章引言1.1 无约束优化问题概述无约束最优化问题，即为在不对所求问题定义域或值域做任何限制情况下，对目标函数求最小值的一类问题。
共轭梯度法
证明：采用数学归纳法, 不过, 还是省略它
(5.8)意味着 d iT Qd j 0, j i, i 1, 2, , n - 1 即Broyden 族在用精确搜索求解凸二次函数极小化问题 时, 所产生的方向关于矩阵Q相互共轭.属于共轭方向法.
前面讨论的共轭方向法 需要在算法之初 产生 n个共轭方向，因而需要很大的存贮量，而且 不能用来求解非二次问题.
j 0 k
dT j Qp k 1 d Qp j
T j
d j,
(5.5)
步2 若k n - 2, 则停止, 否则, 令k : k 1, 转步1.
容易验证, 由算法5.1产生的向量组 d 0 , d1 , , d n-1 R n 关于矩阵Q相互共轭
下面的定理解释了第四章介绍的Broyden 族具有二次终 止性的根本原因 :
其中 k 是待定参数, 适当选取 k , 使得 d kT Qd k -1 0.
一般地, 搜搜方向的计算公式为： - f ( x0 ), dk - f ( xk ) k d k -1 , k 0 k 1 (5.10)
在下面我们来推导 (5.10) 参数 k 的计算公式 :
d k -f ( xk ) k d k -1
其中 k 是由精确搜索得到的步长. 即满足
于是求得
d kT-1Qf ( xk ) k T dk -1Qd k -1
在该计算式中含矩阵Q, 为减少计算量及使共轭梯度能 用于求解非二次函数的优化问题, 在计算式中消除 Q.
由上面的条件得到
T T T p0 Qp1 - p0 Qf ( x1 ) p0 Qp 0 0
等值线
f ( x1 )
由此解得 所以 p Qf ( x1 ) T p0 Qp 0
共轭梯度算法分析与实现
共轭梯度算法分析与实现
梯度下降是一种常用的优化算法，用于求解优化问题。
它通过迭代的
方式不断沿着梯度的反方向更新参数，以最小化损失函数。
然而，梯度下
降算法在处理大规模数据时会变得非常慢，因为它需要计算全部训练样本
的梯度。
为了解决这个问题，共轭梯度算法被提出。
共轭梯度算法是一种适用于解决对称正定矩阵形式下的线性方程组的
优化算法。
它在每一步更新参数时，会按照预先选择好的方向进行更新。
这些方向通常是互相共轭的，这意味着每一个方向都是相对于其他方向来
说是正交的。
共轭梯度算法的原理是，通过每次迭代选择共轭方向来加速
梯度下降算法的收敛速度。
具体而言，共轭梯度算法中的每一步迭代可以分为四个部分：初始化、步长、更新参数和计算残差。
首先，在初始化阶段设定初始参数和初始残差，并选择一个适当的共轭方向。
然后，在步长阶段，通过线方法选择一
个合适的步长。
接下来，在更新参数阶段，根据步长和共轭方向更新参数。
最后，在计算残差阶段，计算新的残差，并检查是否达到停止条件。
如果
没有达到停止条件，那么就继续迭代进行和更新。
共轭梯度算法相对于梯度下降算法有几个优点。
首先，它不需要计算
全部训练样本的梯度，这样可以加速算法的收敛速度。
其次，它可以解决
对称正定矩阵形式下的线性方程组，这在很多实际问题中非常常见。
最后，共轭梯度算法在存储以及计算量上都比较少，所以可以处理大规模数据。
最优化课程设计--共轭梯度法算法分析与实现
最优化课程设计--共轭梯度法算法分析与实现(设计程序)题目共轭梯度法算法分析与实现班级 / 学号 14140101/2011041401011 学生姓名黄中武指导教师王吉波王微微课程设计任务书课程名称最优化方法课程设计院(系) 理学院专业信息与计算科学课程设计题目共轭梯度法算法分析与实现课程设计时间: 2014 年 6月 16日至 2014 年 6月 27日课程设计的要求及内容:[要求]1. 学习态度要认真，要积极参与课程设计，锻炼独立思考能力;2. 严格遵守上机时间安排;3. 按照MATLAB编程训练的任务要求来编写程序;4. 根据任务书来完成课程设计论文;5. 报告书写格式要求按照沈阳航空航天大学“课程设计报告撰写规范”;6. 报告上交时间:课程设计结束时上交报告;7. 严禁抄袭行为，一旦发现，课程设计成绩为不及格。
一、运用共轭梯度法求解无约束最优化问题要求:1)了解求解无约束最优化问题的共轭梯度法;2)绘出程序流程图;3)编写求解无约束最优化问题的共轭梯度法MATLAB程序;4)利用编写文件求解某无约束最优化问题;5)给出程序注释。
指导教师年月日负责教师年月日学生签字年月日沈阳航空航天大学课程设计成绩评定单课程名称最优化理论与算法课程设计院(系) 理学院专业信息与计算科学课程设计题目共轭梯度法算法分析与实现学号 2011041401011 姓名黄中武指导教师评语:课程设计成绩指导教师签字年月日最优化方法课程设计沈阳航空航天大学课程设计用纸目录目录一、正文 (1)二、总结 ...............................................................8 参考文献 ............................................................... 9 附录 .. (10)第 I 页最优化方法课程设计沈阳航空航天大学课程设计用纸正文一、正文一无约束最优化问题的共轭梯度法共轭梯度法最初是由Hesteness和Stiefel于1952年为求解线形方程组而提出的。
最优化方法3-5共轭梯度法和共轭方向法
算法 3.5.1
设目标函数为 f (x) 1 xTGx bT x c，其中G 正定。 2
给定控制误差 。
Step1. 给定初始点 x0及初始下降方向 p0，令k 0。
Step2. 作精确一维搜索，求步长k
f
( xk
k
pk )
min
0
f
( xk
pk
)
Step3. 令 xk1 xk k pk 。
称 Fletcher-Reeves 公式，简称 FR 公式。
k 1
gkT Gpk1 pkT1Gpk 1
Gpk 1
1
k 1
(gk
g
k 1 ) ，
gkT Gpk1
1
k 1
gkT
(gk
g
k 1)
，
pkT1Gpk 1
1
k 1
(g
k1 k2
pk2 )T
(gk
g
k 1)
1
k 1
g
g T
k 1 k
1
（2）Polak-Ribiere-Polyak 公式
故
k 1
g
T k
(
gk
g
k 1)
gkT1gk 1
此式是 Polak 和 Ribiere 以及 Polyak 分别于 1969
年提出的，故称 Polak-Ribiere-Polyak 公式，简称 PRP
0，i
1,2,L
,k
(ii) xk1是二次函数在k 维超平面Hk 上的极小点。
证明 由引理 3.5.2，只需证明(i)，
求解无约束最优化问题的共轭梯度法
x5= 1.000000 -2.000000 3.000000 -2.000000 1.000000
Algorithm finds a solution!Iterative number:
5
Solution:
要求：针对给定的实验题目，根据共轭梯度法的算法，能够熟练地使用某种语言上机编程，给出实验结果，注意上机编程的正确性。
二、实验原理
共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的特点。共轭梯度法具有二次终止性，即对于正定二次函数，在精确线搜索的条件下，方法有限步终止。关于正定二次函数和非二次函数的共轭梯度法详见教材中的算法4.3.4和算法4.3.8。需要写算法
% function
% x0: starting point
% max_iter: maximum number of iterations
% tol: tolerance of the gradient
x=x0;
fprintf('\n x0= ');
fprintf(' %10.6f',x0);
r=G*x-b;
fprintf('============= \n');
[x,iter]=cgopt(G,b,x0,max_iter,tol);
fprintf('Iterative number:\n %d\n',iter);
fprintf('Solution: \n');
数值最优化(共轭梯度)ppt课件
所以
29
PRP算法 FR算法中: (2)Polak-Ribiere-Polyak公式
由于gkTgk-1=0,所以有 对于二次函数,这两个函数是等价的,但对于一般的函数,根 据这两个公式的出的算法的计算效果有差异.
注:对于这两个算法,可以证明pkTgk= -gkTgk<0,因而都是下 降算法.
min f (x0+ p0)=1600 4+42-4+1的极小点, 得0 =0.080632,(精确一维搜索方法求得,e =10-5,) 于是x1=x0+ 0 p0=(0.161264,0)T,
第五章 无约束问题 算法（III）
——共轭梯度法
1
共轭方向法的思路
对于简单的二次函数
1 xT x bT x c 1 ( x b)T ( x b) c bTb
2
2
任给一个初始向量x(0),沿着方向e1=(1,0,···,0)T进行搜索,即 求解下面问题
由于
min 1
f1 (1 )
( x(0)
z
x(1) O
x(3) =x* x(2) y
x(0)
x
5
共轭方向法的思路
上面的方法对一般的二次函数是否适用呢?
考虑问题
其中
G
1 2
2 5
易见G是正定的,f(x)的极小点为(0,0)T.
以x(0)=(-1,-1)T为初始点,在方向e1=(1,0)T上进行一维搜索. 即求解问题
易求得1*=3,x(1)=x(0)+1*e1=(2,-1)T.
是f(x)在x1与p1,p2,···,pk所生成的k维超平面Hk上唯一极小点的充 分必要条件是
共轭梯度法matlab最优化问题
共轭梯度法是一种在求解最优化问题时常用的算法。
下面是一个在MATLAB 中实现共轭梯度法的简单示例。
请注意，这个示例是为了教学目的而编写的，可能不适用于所有最优化问题。
首先，假设我们有一个目标函数f(x)，我们需要找到使得f(x) 最小化的x。
假设f(x) 是一个二次函数，形式为f(x) = x^T Ax + b^T x + c，其中A 是对称正定矩阵，b 和c 是常数向量和标量。
以下是一个使用MATLAB 实现共轭梯度法的示例代码：```matlabfunction [x, iter] = conjugate_gradient(A, b, x0, tol, max_iter)% A -目标函数的系数矩阵% b -目标函数的常数向量% x0 -初始解% tol -容忍的误差% max_iter -最大迭代次数x = x0;r = b - A*x;p = r;iter = 0;while (norm(r) > tol) && (iter < max_iter)Ap = A*p;alpha = (p'*r) / (p'*Ap);x = x + alpha*p;r = r - alpha*Ap;beta = (r'*r) / (p'*r);p = r + beta*p;iter = iter + 1;endend```这个函数接受一个对称正定矩阵A，一个常数向量b，一个初始解x0，一个容忍的误差tol，和一个最大迭代次数max_iter 作为输入，并返回最优解x 和迭代次数iter。
注意，这个函数没有包括一些可能的特殊情况处理，例如如果A 是奇异的或者接近奇异的，那么这个函数可能无法正确地收敛。
在使用这个函数之前，你可能需要根据你的具体问题对其进行一些修改和增强。
共轭梯度算法分析与实现
编号:_ 09《最优化方法》课程设计题目：共轭梯度算法分析与实现院系：数学与计算科学学院专业：数学与应用数学姓名学号：指导教师：日期：2013 年12 月23 日摘要在最优化计算中，共轭梯度法是非常重要的一种方法。
共轭梯度法是一种改进的最速下降法，介于最速下降法与牛顿法之间的一种无约束优化算法,是为求解目标函数为二次函数的问题而设计的一类算法。
它利用目标函数的梯度逐步产生共轭方向并将其作为搜索方向的方法，收敛速度快。
共轭梯度法仅需利用一阶导数信息，避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，具有二次终止性。
关键词：共轭梯度法；牛顿法；二次函数；无约束优化AbstractIn the calculation of optimization method, conjugate gradient method is a very important one. The conjugate gradient method is a unconstrained optimization method between the steepest descent method and Newton method, and sove the objective function for the original quadratic function problems and design for a class of algorithm. Conjugate gradient method using only first derivative information, to avoid the Newton method requires storage and computing the inverse Hesse matrix and shortcomings, this method has the quadratic termination.Keywords: Conjugate gradient method; Newton method;Unconstrained optimization目录1、引言 (1)2、共轭梯度算法的描述 (1)2.1 无约束优化问题概述 (1)2.2 共轭方向 (1)2.3 共轭梯度法 (1)2.4 共轭梯度算法的步骤 (2)3、数值实验 (2)3.1 代码实现 (2)3.2 算法测试 (3)3.3 结果分析 (5)4、算法比较 (5)4.1 最速下降法描述 (6)4.1.1最速下降方向 (6)4.1.2 最速下降法 (6)4.2 最速下降法实现 (6)4.3 最速下降法测试 (7)4.4共轭梯度法与最速下降法比较 (8)5、总结 (8)5.1 总结概括 (8)5.2 个人感言 (9)6、参考文献： (9)1、引言共轭梯度法最早是由Hesternes 和Stiefle(1952)提出来的，用于解正定系数矩阵的线性方程组，在这个基础上，Fletcher 和Reeves(1964)首先提出了解非线性最优化问题的共轭梯度法。
共轭梯度法课程设计
最优化方法课程设计报告题目：共轭梯度软件设计院（系）：专业：学生姓名：指导教师：题目类型：实验研究工程设计软件开发2010 年1月15 日摘要共轭梯度法最早是由Hestenes 和Stiefle （1952）提出来的，用于解正定系数矩阵的线性方程组，在这个基础上，Fletcher 和Reeves （1964）首先提出了解非线性最优化问题的共轭梯度法。
共轭梯度法是解决无约束非线性最优化问题的重要的方法之一（Conjugate gradient method to solve unconstrained nonlinear optimization problem, one of the important ways.），因为共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse 矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法一。
共轭梯度对于无约束优化问题Mlnf(x)，x ∈R n 给出一初始值x1，算法选代产生x2，x3,x4,x 5，…．希望某一k X是目标函数解或点收敛于解，在我们这次的运筹学课程设计当中我们正是用这种方法要求解最小问题的最优解的。
关键字：共轭梯度法；无约束优化AbstractConjugate gradient method was first used by Hestenes and Stiefle (1952) put forward for the solution of positive definite coefficient matrix of linear equations, on this basis, Fletcher and Reeves (1964) first put forward about the problem of nonlinear optimization conjugate gradient method.The conjugate gradient method to solve unconstrained nonlinear optimization problems, one of the important ways, as the conjugate gradient method is between steepest descent method and Newton's method between a method, it requires the use of a first-order derivative information, But the steepest descent method to overcome the shortcomings of slow convergence, but also avoid the need to store and calculate Newton's method and the inverse Hesse matrix of the shortcomings of the conjugate gradient method is not only a large-scale linear equations to solve one of the ways the most useful, but also large-scale solution nonlinear optimization algorithm is the most effective one.Conjugate gradient for the unconstrained optimization problem Mlnf (x), x ∈ given an initial value of x1, the election algorithm is generated on behalf of the x2, x3, x4, x 5, .... Hope that is the objective function of a solution or point of convergence in the solution, in our curriculum design, operations research this is exactly what we were using this method requires the smallest solution of the problem the optimal solution.Keywords: conjugate gradient method；unconstrained nonlinear optimization目录一、共轭梯度法的概念....................................................... 错误！未定义书签。
最优化算法【共轭梯度法】
最优化算法【共轭梯度法】特点：具有超线性收敛速度，只需要计算梯度，避免计算⼆阶导数算法步骤step0:给定初始值x_0,容许误差\epsilonstep1:计算梯度g_k=\nabla f(x_k),if norm(g_k)<=\epsilon，break;输出当前值x_kelse to step2step2:\begin{cases} d_k=-g_k, & \text {$k$=0} \\ d_k=-g_k+\beta_{k-1}d_{k-1}, & \text {$k$>=1} \end{cases} \beta_{k-1}=\frac{g_k^Tg_k}{g_{k-1}^Tg_{k-1}}step3:利⽤线搜索技术确定\alpha_kx_{k+1}=x_k+\alpha_kd_kk=k+1,to step 1;matlab codefunction [x,val,fun_t] = conjugate_gradient(fun,gfun,x0,max_ite)%myFun - Description%% Syntax: [x,val,fun_t] = myFun(fun,gfun,x0)%% conjugate gradient algorithmmaxk=max_ite;rho=0.6;Sigma=0.4;k=0;epsilon=1e-4;n=length(x0);fun_t=zeros(1,max_ite);while k<maxkg=gfun(x0);itern=k-(n+1)*floor(k/(n+1));itern=itern+1;if(itern==1)d=-g;elseBeta=(g'*g)/(g0'*g0);d=-g+Beta*d0;gd=g'*d;if gd>=0.0d=-g;endendif norm(g)<epsilonbreak;endm=0;mk=0;while m<20if fun(x0+rho^m*d)<fun(x0)+Sigma*rho^m*g'*dmk=m;break;endm=m+1;endx0=x0+rho^mk*d;g0=g;d0=d;k=k+1;fun_t(1,k)=fun(x0);endx=x0;val=fun(x0);endmain code%%%%%%%%conjugate gradient algorithmclc;close all;fun=@(x) 100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2;gfun=@(x) [400*(x(1)^2-x(2))*x(1)+2*(x(1)-1);-200*(x(1)^2-x(2))];x0=[0;0];max_ite=200; %%number of iterations[x,val,fun_t] = conjugate_gradient(fun,gfun,x0,max_ite);disp(x);disp(val);figure(1);plot(1:max_ite,fun_t);set(get(gca, 'XLabel'), 'String', 'number of iterations');set(get(gca, 'YLabel'), 'String', 'function value');resultconclusion共轭梯度算法介于梯度下降和⽜顿法之间，快于线性收敛，只需要梯度，不⽤计算⼆阶导数；reference《最优化⽅法及其matlab程序设计》Processing math: 0%。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最优化课程设计--共轭梯度法算法分析与实现(设计程序)题目共轭梯度法算法分析与实现班级 / 学号 14140101/11 学生姓名黄中武指导教师王吉波王微微课程设计任务书课程名称最优化方法课程设计院(系) 理学院专业信息与计算科学课程设计题目共轭梯度法算法分析与实现课程设计时间: 2014 年 6月 16日至2014 年 6月 27日课程设计的要求及容:[要求]1. 学习态度要认真，要积极参与课程设计，锻炼独立思考能力;2. 严格遵守上机时间安排;3. 按照MATLAB编程训练的任务要求来编写程序;4. 根据任务书来完成课程设计论文;5. 报告书写格式要求按照航空航天大学“课程设计报告撰写规”;6. 报告上交时间:课程设计结束时上交报告;7. 严禁抄袭行为，一旦发现，课程设计成绩为不及格。
一、运用共轭梯度法求解无约束最优化问题要求:1)了解求解无约束最优化问题的共轭梯度法;2)绘出程序流程图;3)编写求解无约束最优化问题的共轭梯度法MATLAB程序;4)利用编写文件求解某无约束最优化问题;5)给出程序注释。
指导教师年月日负责教师年月日学生签字年月日航空航天大学课程设计成绩评定单课程名称最优化理论与算法课程设计院(系) 理学院专业信息与计算科学课程设计题目共轭梯度法算法分析与实现学号 11 黄中武指导教师评语: 课程设计成绩指导教师签字年月日最优化方法课程设计航空航天大学课程设计用纸目录目录一、正文 ............................................................... 1 二、总结 ............................................................... 8 参考文献 ............................................................... 9 附录 (10)第 I 页最优化方法课程设计航空航天大学课程设计用纸正文一、正文一无约束最优化问题的共轭梯度法共轭梯度法最初是由Hesteness和Stiefel于1952年为求解线形方程组而提出的。
后来，人们把这种方法用于求解无约束最优化问题，使之成为一种重要的最优化方法。
下面，重点介绍Fletcher-Reeves共轭梯度法，简称FR法。
共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜索，求出目标函数的极小点。
根据共轭梯度方向的基本性质，这种方法具有二次终止性。
首先讨论对于二次函数的共轭梯度法，然后再把这种方法推广到极小化一般函数的情形。
考虑问题TTmi fx(),，，0.5xAxbxcn其中A是对称正定矩阵，c是常数。
具体求解方法如下:(1)首先，任意给定一个初始点，计算出目变函数在这点的梯度，fx()xg若=0，则停止计算，否则，令 1(1)(1)dfxg,,,,,() 1(1)(2)(2),0沿方向搜索，得到点，计算在处的梯度，若g，则利用dxx2(1)(2)(2)和构造第二个搜索方向，再沿搜索。
,gddd2()k()k()k()k一般地，若已知点和搜索方向，则从出发，沿进行xdxd搜索，得到(1)()()kkk，xxd,，, k其中步长满足 ,k()()kk()()kkfxd()，,,fxd()，,min k此时可求出的显式表达。
令 ,k()()kk,,,()(),，fxd,,()求得极小点，令'(1)()kTk，,,()()0,,,fxd第 1 页最优化方法课程设计航空航天大学课程设计用纸正文根据二次函数的梯度表达式，即(1)()kTk， ()0Axbd，,T()()kkk Axdbd(+)0,，,,,kT()()kk (10.3.16) gAdd，,,0,,()kk由(10.3.16)式得到Tk()gd()()kTkk (10.3.17) ,,,dAdk(1)k，计算在处的梯度，若，则停止计算;否则，用fx()g,0x,gk，1k，1()k(1)k，(1)k，()k和构造下一个搜索方向，并使和关于A共轭。
按此设dddd想，令(1)()kk，dgd,,，, (10.3.18) kk，1()kT上式两端左乘，并令 dA()(1)()()()kTkkTkTk，dAddAgdAd,,，,,0 kk，1由此得到()kT()()kTk,,dAg (10.3.19) dAd，kk1(1)k，(1)k，再从出发，沿方向搜索 xd综上分析，在第一个搜索方向取负梯度的前提下，重复使用公式(10.3.14)，(10.3.17)，(10.3.18)和(10.3.19)，就能伴随计算点的增加，构造出一组搜索方向。
第 2 页最优化方法课程设计航空航天大学课程设计用纸正文二程序流程图开始输入初始点x0精度e继续迭代满足精度要 N求Y输出迭代结果结束图一共轭梯度法程序流程图三共轭梯度法的MATLAB程序function [x,val,k]=frcg(fun,gfun,x0)maxk=5000;rho=0.6;sigma=0.4;k=0;epsilon=1e-7;n=length(x0);while (k<maxk)g=feval(gfun,x0);第 3 页最优化方法课程设计航空航天大学课程设计用纸正文itern=k-(n+1)*floor(k/(n+1));itern=itern+1;if(itern==1)d=-g;elsebeta=(g'*g)/(g0'*g0);d=-g+beta*d0;gd=g'*d;if(gd>=0)d=-g;endendif (norm(g)<epsilon)break;endm=0;mk=0;while (m<20)if(feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d) mk=m;break;endm=m+1;endx0=x0+rho^mk*d;val=feval(fun,x0);g0=g;d0=d;k=k+1;end第 4 页最优化方法课程设计航空航天大学课程设计用纸正文 x=x0;val=feval(fun,x);function f=fun(x)f=100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2;function g=gfun(x)g=[400*x(1)*(x(1)^2-x(2))+2*(x(1)-1),-200*(x(1)^2-x(2))]'四利用所编程序求解实际问题222mifxxxx()100*()(1),,，,例 n121**Txfx,,(1,1),()0该问题有精确解利用所编程序求解此问题，在命令窗口输入:运行结果为:第 5 页最优化方法课程设计航空航天大学课程设计用纸正文五程序注释function [x,val,k]=frcg(fun,gfun,x0)%用FR共轭梯度法求解无约束问题:min f(x) %输入:x0时初始点，fun，gfun 分别是目标函数和梯度 %输出:x，val分别是近似最优点和最优值，k是迭代次数。
maxk=5000;%最大迭代次数rho=0.6;sigma=0.4;k=0;epsilon=1e-7;n=length(x0);while (k<maxk)g=feval(gfun,x0);%计算梯度itern=k-(n+1)*floor(k/(n+1));itern=itern+1;%计算搜索方向if(itern==1)d=-g;elsebeta=(g'*g)/(g0'*g0);d=-g+beta*d0;gd=g'*d;if(gd>=0)d=-g;endendif (norm(g)<epsilon)%检验终止条件break;endm=0;mk=0;while (m<20)第 6 页最优化方法课程设计航空航天大学课程设计用纸正文if(feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d) mk=m;break;endm=m+1;endx0=x0+rho^mk*d;val=feval(fun,x0);g0=g;d0=d;k=k+1;endx=x0;val=feval(fun,x);function f=fun(x)f=100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2;%需要求解的函数function g=gfun(x)g=[400*x(1)*(x(1)^2-x(2))+2*(x(1)-1),-200*(x(1)^2-x(2))]'%梯度第 7 页最优化方法课程设计航空航天大学课程设计用纸正文二、总结不知不觉，一个学期就这样过去了，随着期末尾声的到来，《最优化》这门课也已经结课了，接着而来的是为期两个星期的课程设计。
作为信息与计算科学系的一员，我们在课堂上接触最多的就是理论部分，刚好课程设计可以给我们验证理论，联系实际的机会，所以，这次课程设计，我一直都在认真完成。
在拿到自己的课程设计题目的时候，我对它进行了一定时间的审题，题目中要求我用共轭梯度法求解无约束优化问题，所以我拿到课本，仔细地看了共轭梯度法的原理与例题求解，以便帮助我更好的理解共轭梯度法的应用。
我记得，再一次研究生面试中，有的老师问过考生:你在你的大学生涯中学到了什么,如果让我回答，我会说:我学到了一种发现问题与解决问题的方法，这种方法是在我的学习中慢慢形成的一种潜移默化的思想，关于学到的容，我们不会一直保留太清晰的记忆，也不会在以后的生活中用到太多，就像买菜不会用到微积分，不会求导，但是，数学方法和思想给我们思考问题所带来的方法论却是大有裨益。
这次课程设计，我发现我的很多不足，比如在MATLAB上的应用上，我还不熟练，这与我在平时的练习中没有加以重视有关，而且在《最优化》的很多知识点上，自己还没有很好地掌握。
最后，我要感我们的任课教师王吉波老师，感他在给我们上课中的带来的幽默感和知识的传授。
在此，祝愿老师身体健康，工作顺利。
完稿日期: 2014 年 6月 21日第 8 页最优化方法课程设计航空航天大学课程设计用纸参考文献参考文献[1] 宝林.《最优化理论与算法》[M].,清华大学,2013. [2] 卫国.《MATLAB程序设计教程》[M].,中国水利水电,2010. [3] 马昌凤.《最优化方法及其MATLAB程序设计》[M].,科学,2010.第 9 页最优化方法课程设计航空航天大学课程设计用纸附录附录源程序:function [x,val,k]=frcg(fun,gfun,x0)maxk=5000;rho=0.6;sigma=0.4;k=0;epsilon=1e-7;n=length(x0);while (k<maxk)g=feval(gfun,x0);itern=k-(n+1)*floor(k/(n+1));itern=itern+1;if(itern==1)d=-g;elsebeta=(g'*g)/(g0'*g0);d=-g+beta*d0;gd=g'*d;if(gd>=0)d=-g;endendif (norm(g)<epsilon)break;endm=0;mk=0;while (m<20)if(feval(fun,x0+rho^m*d)<feval(fun,x0)+sigma*rho^m*g'*d) 第 10 页最优化方法课程设计航空航天大学课程设计用纸附录mk=m;break;endm=m+1;endx0=x0+rho^mk*d;val=feval(fun,x0);g0=g;d0=d;k=k+1;endx=x0;val=feval(fun,x);function f=fun(x)f=100*(x(1)^2-x(2))^2+(x(1)-1)^2;function g=gfun(x)g=[400*x(1)*(x(1)^2-x(2))+2*(x(1)-1),-200*(x(1)^2-x(2))]' 第 11 页。