多星问题----教师版
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 第一章 常用逻辑用语综合检测 北师大版选修1-1
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第一章 常用逻辑用语综合检测 北师大版选修1-1(时间120分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知命题p ：所有的有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( )A ．(綈p )或qB ．p 且qC ．(綈p )且(綈q )D ．(綈p )或(綈q )【解析】 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而只有(綈p )或(綈q )为真命题．故选D.【答案】 D2. (2012·杭州高二检测)下列说法错误的是( )A ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋2x 0－3<0，则綈p ：对任意的x ∈R ，x 2＋2x －3≥0D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件 【解析】 对于D 选项，由sin θ＝12，得θ＝30°＋k ·360°或θ＝150°＋k ·360°(k ∈Z )；若θ＝30°，则sin θ＝12.所以“sin θ＝12”是“θ＝30°”的必要不充分条件． 【答案】 D3. (2013·福建高考)设点P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0, 即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0，1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分而不必要条件．【答案】 A4. 命题“若函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2<0”的逆否命题是( )A ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数B ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数C ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数D ．若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数【解析】 根据逆否命题与原命题的关系即可选出A 项正确．【答案】 A5. 以下四个命题中，是假命题的为( )A ．“直线a ，b 是异面直线”的必要不充分条件是“直线a ，b 不相交”B ．“直线a ∥直线b ”的充要条件是“直线a ，b 与同一平面α所成的角相等”C ．“直线a ⊥直线b ”的充分不必要条件是“a 垂直于b 所在的平面”D ．“直线a ∥平面α”的必要不充分条件是“直线a 平行于平面α内的一条直线”【解析】 如正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等，但任意两条侧棱都不平行．【答案】 B6. 使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( )A ．x <0B ．x ≥0C ．x ∈{－1，3，5}D ．x ≤－12或x ≥3 【解析】 ∵2x 2－5x －3≥0，∴(x －3)(2x ＋1)≥0.∴x ≤－12或x ≥3. 而{－1，3，5}{x |x ≤－12，或x ≥3}． 【答案】 C7. 若命题“若p ，则q ”为真，则( )A ．qp B ．綈p q C ．綈q p D ．綈q p【解析】 由原命题和它的逆否命题为等价命题知选C.【答案】 C8. 由下列各组命题构成“p 或q ”“p 且q ”“綈p ”形式的命题中，“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“綈p ”为真的是( )A ．p ：3是偶数；q ：4是奇数B ．p ：3＋2＝6；q ：5>3C ．p ：a ∈{a ，b }；q ：{a }{a ，b }D ．p ：Q R ；q ：N ＝Z【解析】 由题意可知p 为假q 为真，故只有选项B 满足题意．【答案】 B9. 给出下列命题，其中真命题为( )A ．对任意x ∈R ，x 是无理数B ．对任意x ，y ∈R ，若xy ≠0，则x ，y 至少有一个不为0C ．存在实数既能被3整除又能被19整除D ．x >1是1x<1的充要条件 【解析】 选项A 为假命题，例如4是有理数；选项B 是假命题，若xy ≠0，则x ，y全都不为0；选项C 是真命题；选项D 中，x >1是1x<1的充分不必要条件． 【答案】 C10. 对任意x ∈R ，kx 2－kx －1<0是真命题，则k 的取值范围是( )A ．－4≤k ≤0B ．－4≤k ＜0C ．－4<k ≤0D ．－4<k <0 【解析】 k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2＋4k <0，解得－4＜k ≤0. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11. 命题p ：内接于圆的四边形对角互补，则p 的否命题是________，非p 是________．【解析】 否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论．【答案】 若四边形不内接于圆，则其对角不互补 内接于圆的四边形对角不互补12. 已知p ：x 2－x ≥6，q ：|x －2|≤3，且“p 且q ”与“綈q ”同时为假命题，则实数x 的取值范围为________．【解析】 若p 真，则x ≥3或x ≤－2；若q 真，则－1≤x ≤5.∵“p 且q ”与“綈q ”同为假命题，∴q 为真命题，p 为假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，－1≤x ≤5，即－1≤x <3. 【答案】 [－1，3)13. 已知命题：“存在x ∈[1，2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是________．【解析】 由x 2＋2x ＋a ≥0得a ≥－x 2－2x ，由题意知a ≥(－x 2－2x )min ，又－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1，x ∈[1，2]，∴(－x2－2x)min＝－8.∴a≥－8.【答案】[－8，＋∞)14. 如果p：a＋b≠5，q：a≠2或b≠3，则p是q的______条件．【解析】命题“如果a＋b≠5，那么a≠2或b≠3”的逆否命题为“如果a＝2且b＝3，那么a＋b＝5”，显然是真命题，∴p q，即有：p是q的充分条件．同理：p不是q的必要条件，∴p是q的充分条件，但不是必要条件．【答案】充分不必要三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15. (12分)写出下列命题的否定形式“綈p”，并判断它们的真假．(1)p：对任意的x，x2＋4x＋4≥0；(2)p：存在x，x2－4＝0.【解】(1)綈p：存在x，x2＋4x＋4<0.因为x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0恒成立，所以“綈p”为假命题．(2)綈p：对任意的x，x2－4≠0，因当x＝2时，22－4＝0，所以“綈p”为假命题．16. (12分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的命题，并判断它们的真假．(1)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分．(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．【解】(1)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分；p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分；綈p：平行四边形的对角线不相等．由于p假q真，所以p或q真，p且q假，綈p真．(2)p或q：方程x2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等；p且q：方程x2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等；綈p：方程x2－16＝0的两根符号相同．由于p 真q 真，所以p 或q 为真，p 且q 为真，綈p 为假．17. (12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝aq n＋b (a ，b ，q 都是常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1)．求证：数列{a n }是等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.【证明】 (1)充分性：由已知，得S n ＝aq n ＋b .∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，∴S n ＝aq n －a . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝aq 1－a ＝a (q －1)．当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝aq n －a －(aqn －1－a )＝aq n －aq n －1＝a (q －1)q n －1. 显然a 1＝a (q －1)满足上式，故n ∈N *时，a n ＝a (q －1)q n －1. 所以{a n }是以a 1＝a (q －1)为首项，以q 为公比的等比数列．(2)必要性：因为数列{a n }是等比数列，设首项为a 1，公比为q (q ≠1)．所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－qq n ，对比式子S n ＝aq n ＋b 可知， a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q ，∴a ＋b ＝0. 综合(1)(2)知，{a n }是等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.18. (14分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若条件p 是条件q 的充分条件，求实数a 的取值范围．【解】 A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}．①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当3a ＋1<2，即a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． ∵p 是q 的充分条件，∴AB ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2， 或⎩⎪⎨⎪⎧a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1， 解得1≤a ≤3，或a ＝－1.故a 的取值范围为{a |1≤a ≤3，或a ＝－1}．。
用重复命令画多角星和空心多角形教案..
教学基本信息
教学题目
用重复命令画多角星和空心多角形
教者姓名
单位
所选教材
使用年级
六年级
一、学习目标与任务
教学目标描述
本课是用重复命令画正多边形后的一节新课，内容是用重复命令画奇数正多角星和多角形，旨在让学生理解用重复命令画奇数正多角星和空心多角形的方法，通过学习，让学生在观察思考寻找规律的过程中，促进学生的思维发展。因为本课内容涉及两种绘图公式，并且需要引导学生通过观察找到基本动作，所以让学生主动发现规律，继而掌握绘图公式是教学重点。
（2）重点提示：如果转动角度中转动角度不能整除，那么可以让小海龟替我们计算（180/角数）。
（3）布置画奇数多角星（分组ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）
共同总结用重复命令画奇数正多角星的公式
思考并回答
练习画图
通过观察、归纳总结出绘图公式。
通过循序渐进的练习内容，使学生能熟练用重复命令画正奇数多角星。
二、画空心多角形
1、观察思考：现在我们再来看看其它四个图形怎样画？这种图形，我们称为空心多角形。谁能说说用重复命令画出这个图形的基本动作是什么？重复次数是多少？
布置学习任务，明确学习内容。
一、画奇数正多角星
1、投影出示奇数正多角星
师：这种图形我们称为正奇数多角星，常见的正奇数多角星有五角星、七角星……
2、思考：
观察正五角星，请你说说用重复命令画出这个图形的基本动作是什么？重复次数是多少？
观察
理解什么是正奇数多角星
观察小海龟绘图过程，寻找绘图规律
明确什么样的图形是正奇数多角星
2、 导入：
（1）演示PPT课件（国旗图片）
（2）师：同学们请看投影，这是一面国旗，你观察一下，这面国旗由哪些图形组成的？以前，我们可以用画图软件能画出国旗来，今天我们要来学习指挥小海龟为我们画出一面国旗来。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.2.1 条件概率与独立事件课时训练 北
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 条件概率与独立事件课时训练 北师大版选修1-2一、选择题1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示第一次摸得白球，如果第二次摸得白球记为B ，否则记为C ，那么事件A 与B ，A 与C 间的关系是( )A ．A 与B ，A 与C 均相互独立 B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥 C ．A 与B ，A 与C 均互斥D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立【解析】 由于摸球过程是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A 与B ，A 与C 均相互独立，且A 与B ，A 与C 均有可能同时发生，说明A 与B ，A 与C 均不互斥，故选A.【答案】 A2．设A 与B 是相互独立事件，则下列命题中正确的是( ) A.A 与B 是对立事件 B.A 与B 是互斥事件 C.A 与B 不相互独立 D ．A 与B 是相互独立事件【解析】 由P (A )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A B )得P (A B )＝P (A )－P (A )P (B )＝P (A )[1－P (B )]＝P (A )P (B )，所以A 与B 是相互独立事件．【答案】 D3．(2013·某某高二检测)袋中有3个红球，4个黄球，2个白球(球除颜色外其余均相同)，从中进行不放回地摸球，用A 表示第一次摸到的是白球，用B 表示第二次摸到的是黄球，则在事件A 发生的前提下事件B 发生的概率为( )A.49B.12C.45D.27 【解析】 法一 P (A )＝29，P (AB )＝2×49×8＝19，∴P (B |A )＝P ABP A ＝1929＝12.法二 第一次摸出一个白球，袋中还剩8个球．其中黄球4个，摸到每个球的机会均等，所以在事件A 发生的前提下事件B 发生的概率为48＝12.【答案】 B4．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )等于( )A.29B.118C.13D.23 【解析】 由题意得⎩⎨⎧[1－P A ][1－P B ]＝19，P A [1－P B ]＝P B [1－P A ]，解得P (A )＝23.【答案】 D5．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是( )A.380B.920C.925D.19400【解析】P ＝14×15×34＋14×15×14×45＝19400.【答案】 D 二、填空题6．某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则该种使用寿命超过1年的元件还能继续使用1年的概率为________．【解析】 设事件A 为“该元件的使用寿命超过1年”，B 为“该元件的使用寿命超过2年”，则P (A )＝0.6，P (B )＝0.3，因为B ⊆A ，所以P (AB )＝0.3，于是P (B |A )＝P ABP A＝0.30.6＝0.5. 【答案】 0.57．(2013·永泰高二检测)某同学参加学校举办的智力比赛，比赛规定：分三关进行淘汰赛，通过前一关者才能参加下一关的比赛，闯过三关为获胜者，假设这位同学过第一、二、三关的概率分别为0.8、0.7、0.6，则这位同学获胜的概率为________．【解析】 记这位同学通过第i 关为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6，且过各关之间互不影响，所以所求概率为P ＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.7×0.6＝0.336.故这位同学获胜的概率是0.336. 【答案】 0.3368．在感冒流行的季节设甲、乙患感冒的概率分别为0.6和0.5，则他们中有人患感冒的概率是________．【解析】 设甲、乙患感冒为事件A 、B ，则P ＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝0.8.【答案】 0.8 三、解答题9．有红色、蓝色两颗骰子，设事件A 为“抛红骰子所得点数为偶数”，设事件B 为“抛蓝骰子所得点数大于4”，求在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．【解】 画示意图如图所示，横轴表示抛红骰子所得点数，纵轴表示抛蓝骰子所得点数．∴P (A )＝1836＝12，P (A ∩B )＝636＝16，∴P (B |A )＝P A ∩BP A ＝1612＝13.则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为13.10．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； (2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 【解】 (1)设敌机被第k 门高炮击中的事件为A k (k ＝1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1·A 2·A 3·A 4·A 5. ∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立， ∴敌机未被击中的概率为P (A 1·A 2·A 3·A 4·A 5)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)·P (A 4)·P (A 5)＝(1－0.2)5＝(45)5.∴敌机未被击中的概率为(45)5. (2)设至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得：敌机被击中的概率为1－(45)n ，∴令1－(45)n ≥0.9，∴(45)n ≤110，两边取常用对数，得n ≥11－3lg 2≈10.3，∵n ∈N ＋，∴n ＝11.∴至少需要11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．11．设事件A 与B 相互独立，两个事件中只有A 发生的概率和只有B 发生的概率都是14，求事件A 和事件B 同时发生的概率．【解】 在相互独立事件A 和B 中，只有A 发生，即事件A B 发生，只有B 发生即事件A B 发生．∵A 和B 相互独立，∴A 与B ，A 和B 也相互独立． ∴P (A B )＝P (A )P (B ) ＝P (A )[1－P (B )]＝14，①P (A B )＝P (A )P (B )＝[1－P (A )]P (B )＝14，②①－②，得P (A )＝P (B )，③ ①③联立可解得P (A )＝P (B )＝12.∴P (AB )＝P (A )P (B ) ＝12×12＝14.。
秘籍06 天体运动中的五类热点问题和三大概念理解应用(教师版)-备战2024年高考物理抢分秘籍
秘籍06天体运动中的五类热点问题和三大概念理解一、开普勒行星运动定律k ,k 是一个与行星无关的常量注意：（1）行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．（2）由开普勒第二定律可得12Δl 1r 1＝12Δl 2r 2，12v 1·Δt ·r 1＝12v 2·Δt ·r 2，解得v 1v 2＝r2r 1，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．（3）开普勒第三定律a 3T2＝k 中，k 值只与中心天体质量有关二、万有引力定律的理解1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向．(1)在赤道上：G MmR 2＝mg 1＋mω2R .(2)在两极上：G MmR2＝mg 0.(3)在一般位置：万有引力GMmR2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．越靠近南、北两极，g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR 2＝mg .2．星球上空的重力加速度g ′星球上空距离星体中心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，mg ′＝GmM （R ＋h ）2，得g ′＝GM（R ＋h ）2.所以g g ′＝（R ＋h ）2R2.3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”(1)两点理解①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．(2)两个推论：①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0.②推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力，即F ＝GM ′mr 2.三、宇宙速度的理解与计算1．第一宇宙速度的推导方法一：由G Mm R 2＝m v 21R ，得v 1＝GM R＝ 6.67×10－11×5.98×10246.4×106m/s ＝7.9×103m/s.方法二：由mg ＝m v 21R得v 1＝gR ＝9.8×6.4×106m/s ＝7.9×103m/s.第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2πRg＝5078s≈85min.2．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9km/s 时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．(2)7.9km/s<v 发<11.2km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．(3)11.2km/s≤v 发<16.7km/s ，卫星绕太阳做椭圆运动．(4)v 发≥16.7km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．3.对第一宇宙速度的理解1.第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是卫星贴近地面运行的速度，即人造地球卫星的最大运行速度．2.当卫星的发射速度v 满足7.9km/s<v <11.2km/s 时，卫星绕地球运行的轨道是椭圆，地球位于椭圆的一个焦点上．四、赤道上的物体与近地卫星、同步卫星的比较1．分析人造卫星运动的两条思路(1)万有引力提供向心力即G Mmr2＝ma 。
介绍用REPEAT来画角数为奇数的正多角星教案
第6课画星星教材分析：本课内容主要介绍用REPEAT来画角数为奇数的正多角星，依然是REPEAT命令的应用学习。
角数为奇数的正多角星的内角和为180度，是推导公式中旋转外角的依据，但这一概念受学生数学知识的限制，只能以已知条件的形式对待，公式也是以不完全归纳法的形式来推测总结，在掌握公式的基础上结合所学其他命令拓展一些组合图形。
学情分析：在学生已经会使用REPEAT命令的基础上学习本课，通过纸画五角星的动作联系到小海龟的动作，分析是否符合命令运用的规律，体会并认识是人的思维决定程序的思维。
同时运用动画辅助、课本自学等方式帮助学生运用数学的方法来计算旋转外角的度数，并通过大胆的猜测与实践操作，来验证画角数为奇数的正多角星公式，开拓了学生思维，认识了公式的局限性，美丽的图形还需要丰富的数学知识。
通过拓展，也进一步向学生渗透计算机程序控制的思想。
教学目标：1.能使用重复命令画角数为奇数的正多角星2.在学习归纳公式的过程中，培养学生观察、分析问题的思维能力。
3.渗透计算机程序控制的思想。
教学重点：掌握画角数为奇数的正多角星的基本公式教学难点：正确认识与理解公式教学准备：PPT，学习单，辅助小程序，过程教学过程：一、课前活动学生完成学习单第一个项目“画一画”（用五根长度相等的线段可以拼出什么图形？），比比谁的想法多？（自评：按画出图形的个数打星）将图形在黑板上摆一摆进行图形分享。
（视情况是否打开LOGO语言画一画）二、新课教学1.导入新课师：集体的智慧是强大的，5根单调的线条居然能画出这么多有趣的图形，你觉得小海龟都能画出来吗？（五角星会遇到困难）（贴五角星）学习第6课画星星（出示课题）2.画正五角星（1）正五角星特点与画法分析师：从数学的眼光来看五角星的边和角有什么特点？（五条边相等，每个内角也相等，我们把它叫做正五角星。
）那么，如果像这样的七条边相等，七个角也相等的多角星就叫正七角星，以此类推。
（PPT）师：你们在纸上是怎么来画这个正五角星的？（随机学生演示）注意观察他们画的方法跟你画的有什么异同？不同点：起点不同，有可能方向也不同；共同点：用一笔画来完成的。
人教版八年级数学上册专题课件5.等腰三角形中易漏解或多解的问题
D E B 图1 C
E D B
A C
图2
若△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为 50°，求底角∠B的大小.
A
解：由于△ABC的形状不确定，故需分类讨论. ① 若△ABC为锐角三角形，则AB的垂直平分线 与AC的交点在射线AC上，如图1，∠AED＝ 50°，则∠A＝90°－50°＝40°，底角∠B ＝(180°－40°)÷2＝70°；
B E D A C
图2
在处理与三角形高线或某边垂直平分线相关的问题时，要注意高线或者垂 足的位置，通常需要分类讨论，画出所有满足条件的图形后分别处理.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法总结
对于没有明确顶角和底角而求三角形内角的等腰三角形问题，通常需
要分类讨论，同时要注意等腰三角形的底角小于90°，以避免出现多解或
漏解现象.
在等腰三角形的问题中，经常会遇到与高相关的问题，由于高可能在三角 形内部也可能在三角形外部，因而常需要分类讨论解决.
类型三：三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论 已知等腰△ABC腰AB上的高CE与另一腰AC的夹角为30°，则其顶角的度数 为___________
等腰三角形中易漏解或多解的问题
在等腰三角形的问题中，如果条件中没有明确底和腰,这类问题通常需要 分类讨论，否则易出现多解或漏解现象.
类型一：求长度时忽略三边关系
17 例：已知等腰三角形的两边长为3和7，则其周长为______.
方法总结
对于没有明确底和腰的等腰三角形问题通常需要分类讨论，同时需要
B D E 图1 C
若△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为 50°，求底角∠B的大小. 解：②若△ABC为钝角三角形，则AB 的垂直平分线与AC的交点在CA的延长 线上，如图2，∠AED＝50°，则 ∠BAC＝∠AED＋∠ADE＝90°＋ 50°＝140°，底角∠B＝(180°－ 综上所述，∠ 140° )÷2＝20° B为70°或20°.
《双星问题》导学案 练习
22双星问题学习目标：1.了解万有引力定律在天文学上的应用2.掌握双星问题的处理方法3.培养学生归纳总结建立模型的能力学习重点：双星问题的处理方法学习难点：学生建模能力的培养学习过程：新知探究一、 “双星”问题：两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。
双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。
1.要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源双星中两颗子星相互绕着旋转可看作 运动，其向心力由 提 供。
由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，由万有引力定律可以求得其大小。
2.要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是 的， 也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。
3.要明确两子星圆周运动的动力学关系。
设双星的两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：对M 1： 对M 2：在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。
小结：“双星”系统的特点若双星质量m 1、m 2；球心间距离L ；轨道半径 r 1、r 2；周期T 1、T 2；角速度ω1、ω2 线速度V 1、V 2；则1.周期相同： T 1=T 2 （参考同轴转动问题）2.角速度相同：ω1 =ω2 （参考同轴转动问题）3.向心力相同：Fn 1=Fn 2 （牛顿第三定律）4.轨道半径之比与双星质量之比相反：r 1：r 2=m 2：m 1 （由向心力相同推导）5.线速度之比与质量比相反：V 1:V 2=m 2:m 1（由半径之比推导）二、“三星”问题：有两种情况：第一种三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同；第二种三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的外接圆轨道运行，三星运行周期相同。
高中物理专题复习---双星与多星问题
微专题25 双星与多星问题【核心要点提示】(1)核心问题是“谁”提供向心力的问题．(2)“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；(3)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2r ，以此列向心力方程进行求解．【微专题训练】“双星体系”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星球之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图1所示，相距为L 的A 、B 两恒星绕共同的圆心O 做圆周运动，A 、B 的质量分别为m 1、m 2，周期均为T .若有间距也为L 的双星C 、D ，C 、D 的质量分别为A 、B 的两倍，则( )A ．A 、B 运动的轨道半径之比为m 1m 2B ．A 、B 运动的速率之比为m 1m 2C ．C 运动的速率为A 的2倍D ．C 、D 运动的周期均为22T 【解析】对于双星A 、B ，有G m 1m 2L 2＝m 1(2πT )2r 1＝m 2(2πT )2r 2，r 1＋r 2＝L ，得r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，T ＝2πL L G m 1＋m 2，A 、B 运动的轨道半径之比为r 1r 2＝m 2m 1，A 错误；由v＝2πr T 得，A 、B 运动的速率之比为v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1，B 错误；C 、D 运动的周期T ′＝2πL L G 2m 1＋2m 2＝22T ，D 正确；C 的轨道半径r 1′＝2m 22m 1＋2m 2L ＝r 1，C 运动的速率为v 1′＝2πr 1′T ′＝2v 1，C 错误．【答案】D(2013·山东理综)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A.n 3k 2T B.n 3kT C.n 2kT D.n kT 【解析】双星靠彼此的引力提供向心力，则有 G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2 G m 1m 2L 2＝m 2r 24π2T 2 并且r 1＋r 2＝L 解得T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)当两星总质量变为原来的k 倍，两星之间距离变为原来的n 倍时 T ′＝2πn 3L 3Gk (m 1＋m 2)＝n 3k·T 故选项B 正确． 【答案】B(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G .关于四星系统，下列说法正确的是( )A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ．四颗星的轨道半径均为a2C ．四颗星表面的重力加速度均为GmR 2D ．四颗星的周期均为2πa2a(4＋2)Gm【解析】其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为22a ，故A 正确，B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G mm ′R 2＝m ′g ，解得g ＝GmR2，故C 正确；由万有引力定律和向心力公式得Gm 2(2a )2＋2Gm 2a 2＝m 4π2T 2·2a2，T ＝2πa2a(4＋2)Gm，故D正确． 【答案】ACD(2016·河南省郑州市高三月考)宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m 的小星体和一个质量为M 的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r 。
《金版新学案》数学新课标人教A版必修11.1.3.1并集、交集训练(教师版)Word版含答案
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，则集合A ∩B ＝( )A ．{x |－1＜x ＜1}B ．{x |－2＜x ＜1}C ．{x |－2＜x ＜2}D ．{x |0＜x ＜1}解析： 如图，∴A ∩B ＝{x |0＜x ＜1}，故选D.答案： D2．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则( )A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ∩N ＝{2,3}D ．M ∪N ＝{1,4}解析： M ∩N ＝{1,2,3}∩{2,3,4}＝{2,3}．故选C.答案： C3．设A ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，B ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0}，若A ∩B ＝{12}，则A ∪B 等于( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，－4 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－4 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 解析： ∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12， ∴12∈A ，12∈B . 将12分别代入方程2x 2－px ＋q ＝0及6x 2＋(p ＋2)x ＋5＋q ＝0联立， 得⎩⎨⎧ 12－12p ＋q ＝0，32＋12(p ＋2)＋5＋q ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－7，q ＝－4. ∴A ＝{x |2x 2＋7x －4＝0}＝{－4，12}， B ＝{x |6x 2－5x ＋1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13. ∴A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，－4，故选A. 答案： A4．设集合A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1，x ∈R}，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a }a ≤2或a ≥4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}解析： A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1}若A ∩B ＝∅则a ＋1≤1或a －1≥5∴a ≤0或a ≥6.故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m,4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________.解析： 由集合元素的性质知m ＝3.答案： m ＝36．集合M ＝{x |－2≤x ＜1}，N ＝{x |x ≤a }，若∅M ∩N ，则实数a 的取值范围为________．解析： ∵∅M ∩N ，∴M ∩N ≠∅如图：∴a ≥－2答案： a ≥－2三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}．(1)求A ∩B ，A ∪B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足A ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．解析： (1)∵B ＝{x |x ≥2}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}，A ∪B ＝{x |x ≥－1}，(2)∵C ＝{x |x ＞－a 2}，A ∪C ＝C ⇔A ⊆C ， ∴－a 2＜－1，即a ＞2. 8．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值：(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .解析： (1)∵9∈(A ∩B )∴9∈A ，且9∈B .∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝±3.当a ＝3时，B ＝{－2，－2,9}，违反了元素互异性，故舍去；当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，满足9∈(A ∩B )；当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，满足9∈(A ∩B )．综上所述，a ＝－3或a ＝5时，有9∈(A ∩B )．(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈(A ∩B )，且9是A 与B 的唯一公共元素．由(1)知a ＝－3时，A ∩B ＝{9}；a ＝5时，A ∩B ＝{－4,9}．∴a ＝－3时，有{9}＝A ∩B . 尖子生题库☆☆☆9．(10分)若集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，求a 的值使得∅A ∩B )与A ∩C ＝∅同时成立．解析： B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4,2}，∵∅A ∩B )，A ∩C ＝∅，∴A 与B 有公共元素而与C 没有公共元素．∴3∈A 将x ＝3代入方程x 2－ax ＋a 2－19＝0，得a 2－3a －10＝0，解得a ＝5或a ＝－2.若a ＝5，则A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，此时A ∩C ＝{2}≠∅，舍去；若a ＝－2，则A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{－5,3}，此时A ∩C ＝∅，满足要求．综上可知，a ＝－2.。
小学六年信息技术正五角星跟多角星--教本
优质课教学设计龙教版小学信息技术第七册第五课《用重复命令画多角星》所在单位: 鹤岗大陆五校作者: 徐剑LOGO语言教学设计第五课《用重复命令画多角星》鹤岗市大陆五校徐剑教材分析本课所用教材为黑龙江教育学院出版的小信息技术教材，本课是第七册，供小学六年级使用。
我教授的这节和书上安排的课节知识有所差别，我是把第五课的第一部分（画正奇多角星）与第六课的第一部分（选择不同颜色画笔）知识融合去教的。
之所以这样设计，我觉得可以降低课堂难度，同时突出课的重点，并会增强学生上机的兴趣感。
从探索画一个黑色五星，到会画红色及各色五星，再到画多角星乃至类似于太阳的图形。
学生在学习过程中，会被有趣、关联的学习内容、学习设置的环节所吸引；会被自身产生求知欲和明确的学习目标驱使愉快地完成学习任务。
学情分析本课所教授的对象是小学六年级学生，他们在数学课上已经初步接触角，对角有一些自己的认识，他们的特点是爱玩，爱动，容易被有趣事物吸引，为此我课前准备很多个五角星，为了让他们有动手，动脑的机会，从而发展他们自身的能力。
教法过程概述教学基本过程是：复习—研究五角星内角—让学生找到并启发其思考画法—学生尝试—进行小结—简化过程—出示练习题—学生练习教师巡指—布置思考作业。
教学法本课主要采取以下方法：激趣法，动手实践法，研究性学习法，任务驱动法，小组合作法，演示法，练习法，难度拆分实施法……能力目标1．培养学生爱思考，会合作的能力，逐渐形成提问，分析问题，思考解决问题的能力2．增强动手实践能力3．加强口头表达能力4．初步形成研究性学习的意识及其初步能力知识目标1．掌握用重复命令画正奇多角星的画法2．认识平角相关知识及相关的已知一角求另一角德育目标通过画五星培养学生的爱国情所用课时1课时本课重点1．对五角星的角的求得有明确认识2．掌握五角及正奇数多角星的画法本课难点对转角180-180/5的正确理解，会用重复命令简化操作教具准备大小五角星（纸）、课件（海龟前进转弯）、小黑板、线、量角尺、字卡、模型图卡教学过程：一、复习旧知我说你答，考考你：师说（前进、后退、右转、左转），生解释成命令字（FD BK RT LT ）二、设置情境引入新知互动导入：师：同学们，你们看老师手中拿的是什么呀！生：五角星师：更准确地说应该是正五角星（板）为什么要加个“正”字呢？请同学们认真观察一下。
军事理论基础知识问答
军事理论基础知识问答军事理论课是普通高校大学生的必修课，军事教师通过课堂讲授的形式，向学生传授国际政治与军事理论知识，那么你对军事理论知识了解多少呢?以下是由店铺整理关于军事理论基础知识的内容，希望大家喜欢!军事理论基础知识1、国防的类型有哪些?我国国防属于什么类型的国防?答：主要有四种：扩张型;自卫型;联盟型;中立型。
我国国防属于自卫型国防。
2、海湾战争、阿富汗战争、科索沃战争、伊拉克战争分别爆发于哪一年?答：海湾战争1991年;阿富汗战争2001年;科索沃战争1999年;伊拉克战争2003年。
3、解放战争时期，决定中国命运的三次战略决战(著名的三大战役)是哪三次战役?答：辽沈战役、淮海战役和平津战役。
4、美国、俄罗斯现行军事战略的名称?答：美国现行“先发制人”的军事战略;俄罗斯现行“现实遏制”军事战略。
5、中、俄之间现在是什么关系?答：战略合作伙伴关系。
6、俄罗斯陆军编有几大军区?海军有几大舰队?答：俄罗斯陆军编有莫斯科军区、伏尔加河沿岸―乌拉尔军区、列宁格勒军区、远东军区、西伯利亚军区和高加索军区。
海军编有北方舰队、波罗的海舰队、太平洋舰队和黑海舰队。
7、俄罗斯将未来的战场，划分为哪几个战争区?答：欧洲、中亚和东亚三个战争区。
8、被誉为“中国导弹之父”的是谁?答：钱学森。
9、冷战时期，美国军事战略的重点是哪里?答：欧洲。
10、哪一年中国国民党政府宣布废止《马关条约》，收复台湾、澎湖?答：1941年。
11、全国人大通过《反分裂国家法》是哪年哪月?答：2005年3月。
12、台湾省包括台湾岛及澎湖列岛，加上周围120余个小岛，总面积约多少万平方公里?答：约3.6万平方公里。
13、美国武装力量的部署在全球划分为几个战区?答：太平洋战区、欧洲战区、中央战区、南方战区、北方战区五个战区。
14、美军冷战后曾执行过的军事战略的名称?答：1989-1992“地区防务战略”;1993-1996“灵活与选择参与战略”;1997-2001“营造、反应、准备战略”;2002- “先发制人战略”。
2020届高考物理总复习第五单元万有引力定律第1讲万有引力定律及其应用教师用书含解析
万有引力定律及其应用万有引力定律与航空是每年高考的必考内容之一,一般以选择题的形式出现,命题素材突出物理与现代科技,特别是在当前星际探索成为世界新的科技竞争焦点的形势下,试题与现代航天技术的联系会更加密切。
该部分内容常与牛顿运动定律、机械能守恒、动能定理等力学规律来综合考查。
具体特点有:(1)考查万有引力定律的应用,结合牛顿第二定律,估算重力加速度、天体质量、密度等问题。
(2)以卫星或探测器的匀速圆周运动为背景,考查速度、角速度、周期和向心加速度与轨道半径的关系。
(3)考查卫星的发射与变轨时各物理量的比较。
(4)考查万有引力定律在双星或多星中的应用。
(5)结合卫星或探测器的运动考查动能定理与机械能守恒等知识在天体运动中的具体应用。
预测2020年高考对万有引力定律与航空的考查主要有两点:一是该定律与牛顿第二定律结合估算重力加速度、天体质量、密度;二是以卫星、飞船等航天器为素材分析其运行规律。
值得注意的是,由于近年来我国在航天方面的迅猛发展,高考常常结合我国的航天实际成就来命题,特别是我国的载人航天已取得了成功,我国载人空间站工程启动实施,我国自主研发的“北斗卫星导航系统”的运用,探月计划也进入实质性进程之中,等等,高考结合这些素材命题的可能性较大,因此我们应高度重视这些知识点的应用。
第1讲万有引力定律及其应用1 开普勒行星运动定律(1)开普勒第一定律:所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。
说明:每个椭圆有两个焦点,所有行星的椭圆轨道有一个焦点是相互重合的,太阳就处在这个重合的焦点上;不同行星绕太阳运行时的椭圆轨道是不同的。
(2)开普勒第二定律:对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
说明:行星运动的线速度大小在轨道上各点是不同的;行星在近日点的速率大于在远日点的速率。
(3)开普勒第三定律:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等,表达式为=k。
多星订单式教研问题需求单
附1：《“订单式”教研问题需求单》
单位：高青县黑里寨镇多星希望小学。
学科：小学语文数学
学校特色课堂教学活动化
学校亟待解决的问题或需提供的帮助1、部分教师教学观念陈旧，存在“穿新
鞋，走老路”，目前难以落实新课
改理念，课堂缺乏活力，严重抑制
学生主动的创造性发挥。
2、小学低年级课堂活动的有效性问题；
3、课堂活动方式、方法指导。
问题表现4、课堂教学活动形式化、无效活动、为
活动而活动表现明显。
5、教师参与课堂教学改革积极性不高。
需求的教研团队或教研员1、专题讲座培训；
2、课堂示范；
3、长效、定期结对帮扶
“订单式”教研
拟开展时间
2015年6月备注。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 第三章 推理与证明综合检测 北师大版选修1-2
第三章 推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，推出三角形的内角和是180°；③a ≥b ，b ≥c ，则a ≥c ；④三角形内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得凸n 边形的内角和是(n －2)×180°A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④【解析】 ①是类比推理，②与④是归纳推理，③是演绎推理． 【答案】 C2．有一段演绎推理是这样的：有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数．结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【解析】 “整数”不是这里的“自然有理数”，故推理形式错误． 【答案】 C3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n n －2C ．a n ＝n n ＋2D ．n 2＋1【解析】 由1＝1×22，3＝2×32，6＝3×42，10＝4×52，可归纳出a n ＝n n ＋2.【答案】 C4．下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C．②④⑤D．①③⑤【解析】根据归纳推理、类比推理、演绎推理的特征判断．【答案】 D5．在十进制中2 004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在五进制中数码 2 004折合成十进制为( )A．29 B．254C．602 D．2 004【解析】 2 004(5)＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254.【答案】 B6．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：A．6E B．72C．5F D．B0【解析】A×B＝10×11＝110＝6×16＋14＝6E.【答案】 A7．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 013(x)＝( )A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x【解析】f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…又2 013＝503×4＋1，则f2 013(x)＝cos x.【答案】 C8．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个偶数时”下列条件假设中正确的是( )A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C ．假设a ，b ，c 中至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 中至多有两个偶数【解析】 “至少有一个”的否定是“一个也没有”． 【答案】 B9．平面上有n 条直线，其中任意的两条不平行，任意三条不共点．f (k )表示n ＝k 时平面被分成的区域数，则f (k ＋1)－f (k －1)＝( )A ．2kB ．2k ＋1C ．k ＋1D ．k ＋2【解析】 由f (k ＋1)＝f (k －1)＋k ＋(k ＋1)，得f (k ＋1)－f (k －1)＝2k ＋1. 【答案】 B10．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【解析】【答案】 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形．图1【解析】 第6个图中小正方形个数为3＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 【答案】 2812．若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1外，则过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则直线P 1P 2(称为切点弦P 1P 2)的方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)外，则过P 0作双曲线的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是________．【解析】 由类比可得，直线P 1P 2的方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1. 【答案】x 0x a 2－y 0y b 2＝1 13．如a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是________．【解析】 a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔a (a －b )＋b (b －a )＞0⇔(a －b )2(a ＋b )＞0⇔(a －b )2＞0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b .【答案】 a ≥0，b ≥0且a ≠b14．已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14，cos π7cos 2π7cos 3π7＝18，…，根据以上等式，可猜想出的一般结论是________．【解析】 由归纳推理得，cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·cos 3π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n .【答案】 cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1cos 3π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n15．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①.①式可用语言叙述为：圆的周长函数是圆的面积函数的导函数，对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________②；②式可用语言叙述为________．【解析】 将圆类比球可得：(43πr 3)′＝4πr 2，可用语言叙述为球的表面积函数是球的体积函数的导函数．【答案】 (43πr 3)′＝4πr 2球的表面积函数是球的体积函数的导函数三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .【证明】 由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0. 从而所要证明的不等式成立．17．(本小题满分12分)已知a＞0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.【证明】要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋ 2.因为a＞0，只需证( a2＋1a2＋2)2≥(a＋1a＋2)2，即a2＋1a＋4a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a＋22(a＋1a)＋2，从而只需证2a2＋1a2≥2(a＋1a)，只需证4(a2＋1a )≥2(a2＋2＋1a)，即a2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．18．(本小题满分12分)证明：2，3，5不能为同一等差数列的三项．【证明】假设2，3，5为同一等差数列的三项，则存在整数m，n满足3＝2＋md，①5＝2＋nd.②①×n－②×m得：3n－5m＝2(n－m)，两边平方得：3n2＋5m2－215mn＝2(n－m)2.左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数，所以，假设不正确．即2，3，5不能为同一等差数列的三项．19．(本小题满分13分)自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用x n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N＋，且x1＞0.不考虑其他因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n成正比，死亡量与x2n成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.(1)求x n＋1与x n的关系式；(2)猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明)【解】 (1)从第n 年年初到第n ＋1年年初，鱼群的繁殖量为ax n ，被捕捞量为bx n ，死亡量为cx 2n ，因此x n ＋1－x n ＝ax n －bx n －cx 2n ，n ∈N *，(*)即x n ＋1＝x n (a －b ＋1－cx n )，n ∈N *.(**)(2)若每年年初鱼群总量保持不变，则x n 恒等于x 1，n ∈N *，从而由(*)式得x n (a －b －cx n )恒等于0，n ∈N *，所以a －b －cx 1＝0.即x 1＝a －bc. 因为x 1＞0，所以a ＞b .猜测：当且仅当a ＞b ，且x 1＝a －bc时，每年年初鱼群的总量保持不变．20．(本小题满分13分)已知α，β为锐角，且cos αsin β＋cos βsin α＝2.求证：α＋β＝π2.【证明】 设f (x )＝cos x sin β＋cos βsin x ，x ∈(0，π2)，显然f (x )为单调减函数．∵α，β为锐角，∴0＜α＜π2，0＜π2－β＜π2.∵f (α)＝2，f (π2－β)＝π2－βsin β＋cos βπ2－β＝2，即f (α)＝f (π2－β)，又f (x )在x ∈(0，π2)上单调递减，∴α＝π2－β，∴α＋β＝π2.21．(本小题满分13分)(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 【解】 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－ sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－ sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.。
全国通用2019高考物理一轮复习精炼：第四章曲线运动万有引力与航天微专题36双星与多星问题含答案
36 双星与多星问题[方法点拨] (1)核心问题是“谁”提供向心力的问题．(2)“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；(3)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2r，以此列向心力方程进行求解．1．(2018·四川泸州一检)“双星体系”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星球之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图1所示，相距为L 的A 、B 两恒星绕共同的圆心O 做圆周运动，A 、B 的质量分别为m 1、m 2，周期均为T .若有间距也为L 的双星C 、D ，C 、D 的质量分别为A 、B 的两倍，则( )图1A ．A 、B 运动的轨道半径之比为m 1m 2B ．A 、B 运动的速率之比为m 1m 2C ．C 运动的速率为A 的2倍D ．C 、D 运动的周期均为22T 2．(多选)太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上．已知某直线三星系统A 每颗星体的质量均为m ，相邻两颗星中心间的距离都为R ；某三角形三星系统B 的每颗星体的质量恰好也均为m ，且三星系统A 外侧的两颗星体做匀速圆周运动的周期和三星系统B 每颗星体做匀速圆周运动的周期相等．引力常量为G ，则( ) A ．三星系统A 外侧两颗星体运动的线速度大小为v ＝Gm RB ．三星系统A 外侧两颗星体运动的角速度大小为ω＝12R5GmRC ．三星系统B 的运动周期为T ＝4πRR 5GmD ．三星系统B 任意两颗星体中心间的距离为L ＝3125R3．(多选)(2017·福建龙岩3月质检)冥王星和其附近的星体卡戎的质量分别为M 、m (m <M )，两星相距L ，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线的某点O 做匀速圆周运动．冥王星与星体卡戎到O 点的距离分别为R 和r .则下列说法正确的是( )A ．可由G Mm R2＝MR ω2计算冥王星做圆周运动的角速度B ．可由G Mm L 2＝M v 2L 计算冥王星做圆周运动的线速度C ．可由G Mm L2＝mr (2πT)2计算星体卡戎做圆周运动的周期D ．冥王星与星体卡戎绕O 点做圆周运动的动量大小相等4．(2017·山东枣庄一模)2015年12月17日我国发射了“悟空”探测卫星，这期间的观测使人类对暗物质的研究又进了一步．宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且T 理论T 观测＝k (k >1)；因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质．假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，两星球的质量均为m ，那么，暗物质的质量为( )A.k 2－14mB.k 2－28mC ．(k 2－1)mD ．(2k 2－1)m5．(2017·广西南宁一模)2016年2月11日，科学家宣布“激光干涉引力波天文台(LIGO)”探测到由两个黑洞合并产生的引力波信号，这是在爱因斯坦提出引力波概念100周年后，引力波被首次直接观测到．在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统．如图2所示，黑洞A 、B 可视为质点，它们围绕连线上O 点做匀速圆周运动，且AO 大于BO ，不考虑其他天体的影响．下列说法正确的是( )图2A ．黑洞A 的向心力大于B 的向心力 B ．黑洞A 的线速度大于B 的线速度C ．黑洞A 的质量大于B 的质量D ．两黑洞之间的距离越大，A 的周期越小6．(多选)(2018·陕西商洛模拟)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T ，两星到某一共同圆心的距离分别为R 1和R 2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是( ) A ．这两颗恒星的质量必定相等B ．这两颗恒星的质量之和为4π2(R 1＋R 2)3GT2C ．这两颗恒星的质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1D ．其中必有一颗恒星的质量为4π2(R 1＋R 2)3GT2答案精析1．D [对于双星A 、B ，有G m 1m 2L 2＝m 1(2πT )2r 1＝m 2(2πT )2r 2，r 1＋r 2＝L ，得r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，T ＝2πLLG (m 1＋m 2)，A 、B 运动的轨道半径之比为r 1r 2＝m 2m 1，A 错误；由v ＝2πr T 得，A 、B 运动的速率之比为v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1，B 错误；C 、D 运动的周期T ′＝2πLLG (2m 1＋2m 2)＝22T ，D 正确；C 的轨道半径r 1′＝2m 22m 1＋2m 2L ＝r 1，C 运动的速率为v 1′＝2πr 1′T ′＝2v 1，C 错误．]2．BCD [三星系统A 中，三颗星体位于同一直线上，两颗星体围绕中央星体在同一半径为R 的圆轨道上运行．其中外侧的一颗星体由中央星体和另一颗外侧星体的合万有引力提供向心力，有：G m 2R 2＋G m 2(2R )2＝m v 2R，解得v ＝ 5Gm 4R ，A 错误；三星系统A 中，周期T ＝2πRv＝4πR R 5Gm ，则其角速度为ω＝2πT ＝12R5GmR，B 正确；由于两种系统周期相等，则三星系统B 的运行周期为T ＝4πRR5Gm，C 正确；三星系统B 中，三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图所示，对某颗星体，由万有引力定律和牛顿第二定律得：2Gm 2L 2cos 30°＝m L 2cos 30°·4π2T 2，解得L ＝3125R ，D 正确．]3．CD [冥王星与星体卡戎之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力：可由G Mm(R ＋r )2＝MR ω2计算冥王星做圆周运动的角速度，故A 错误；同理，可由G Mm L 2＝M v 2R 计算冥王星做圆周运动的线速度，故B 错误；冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统．所以冥王星和星体卡戎做圆周运动的周期是相等的，可由G Mm L2＝mr (2πT)2计算星体卡戎做圆周运动的周期，故C 正确；因G Mm(R ＋r )2＝MR ω2＝mr ω2，由于它们的角速度的大小是相等的，所以：MR ω＝mr ω，又：v m ＝ωr ，v M ＝ωR ，p m ＝mv m ，p M ＝Mv M ，所以冥王星与星体卡戎绕O 点做圆周运动的动量大小相等，故D 正确．]4．A [两星球均绕它们的连线的中点做圆周运动，设它们之间的距离为L ，由万有引力提供向心力得：G m 2L 2＝m4π2T 理论2·L2，解得：T 理论＝πL2LGm.根据观测结果，星体的运动周期T 理论T 观测＝k ，这种差异是由两星球之间均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在两星球之间的暗物质对双星系统的作用与一质量等于暗物质的总质量m ′、位于中点O 处的质点的作用相同．则有：G m 2L 2＋Gmm ′(L 2)2＝m 4π2T 观测2·L2，解得：T 观测＝πL2L G (m ＋4m ′)，又T 理论T 观测＝k ，所以：m ′＝k 2－14m ，故A 正确，B 、C 、D 错误．]5．B [两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，A 对B 的作用力与B 对A 的作用力大小相等、方向相反，则黑洞A 的向心力等于B 的向心力，故A 错误；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，由题图可知A 的轨道半径比较大，根据v ＝ωr 可知，黑洞A 的线速度大于B 的线速度，故B 正确；由于m A ω2r A ＝m B ω2r B ，由于A 的轨道半径比较大，所以A 的质量小，故C 错误；两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力，所以G m A m B L 2＝m A 4π2T 2r A ＝m B 4π2T 2r B ，又：r A ＋r B ＝L ，得r A ＝m B Lm A ＋m B ，L 为二者之间的距离，所以得：G m A m B L 2＝m A 4π2T 2·m B L m A ＋m B ，即：T 2＝4π2L 3G (m A ＋m B )，则两黑洞之间的距离越小，A 的周期越小，故D 错误．] 6．BC [设两星质量分别为m 1、m 2.对m 1有：G m 1m 2(R 1＋R 2)2＝m 1R 14π2 T 2，解得m 2＝4π2R 1(R 1＋R 2)2GT 2，同理可得m 1＝4π2R 2(R 1＋R 2)2GT 2，故两者质量不相等，故选项A 错误；将两者质量相加得m 1＋m 2＝4π2(R 1＋R 2)3GT2，则不可能其中一个的质量为4π2(R 1＋R 2)3GT2，故选项D 错误，选项B 正确；m 1∶m 2＝R 2∶R 1，故选项C 正确．]。
星体问题答案高中数学教案
星体问题答案高中数学教案一、选择题1. 根据题意，星体问题中星星的个数应该是等差数列。
所以选择【A】等差数列。
2. 根据题意，星星的位置排列应该满足等差数列的性质。
所以选择【D】等差数列。
3. 根据等差数列的性质，a1 + (n-1)d = 18，解得d=2，所以选择【B】2。
4. 根据题意，星星位置的排列应该是一个以d为公差的等差数列。
所以选择【C】d。
5. 根据等差数列的性质，Sn = n(a1+an)/2，代入题中所给信息，解得n=10。
所以选择【B】10。
二、填空题1. 根据等差数列的公式an = a1 + (n-1)d，代入n=19，d=2，解得a19= 36。
所以答案为36。
2. 根据题意，第30个星星的位置应该为a30 = a1 + (30-1)d，代入已知信息解得a30 = 58。
所以答案为58。
3. 根据星体问题的规律，第38个星星的位置应该为a38 = a1 + (38-1)d，代入已知信息解得a38 = 74。
所以答案为74。
4. 根据等差数列的求和公式Sn = n(a1+an)/2，代入所给信息，解得S5=40。
所以答案为40。
三、解答题1. 由题意可知，等差数列是一个递增数列。
设数列的公差为d，首项为a1，则该数列的前10项分别为a1，a1+d，a1+2d，…，a1+9d。
根据题意可知该数列的前10项和为72，即a1 + a2 + ... + a10 = 72。
代入等差数列的求和公式得：10a1 + 45d = 72。
另外，根据题意，该数列的第13项为30，即a1 + 12d = 30。
解这个方程组得a1= 6，d= 2。
所以答案为a10 = a1+9d = 6+9*2 = 24。
2. 根据星体题目的性质，星星的位置数列应该是一个等差数列。
设该等差数列的首项为a，公差为d，则星星的位置分别为a， a+d， a+2d， a+3d， a+4d。
根据题意得知，星星位置的前5项和为40，即a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + (a+4d) = 40。
数学【常规秋季班】第3册 PC 第06讲 重叠问题 (下) 教师版
PC 第06讲重叠问题（下）教学目标：1、掌握解决几何图形重叠问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性；2、鼓励学员尽可能多的在纸上画一画，写一写重叠问题的相关问题，提升计算准度和速度；3、进一步丰富对直观的认识，发展形象思维，养成善于观察、善于思考的良好学习品质。
教学重点：掌握几何图形重叠问题的解题思路和方法，体验解决问题策略的多样性。
教学难点：掌握解决重叠问题的一些基本策略。
教学过程：【环节一：预习讨论，案例分析】【知识回顾——温故知新】----参考时间-2分钟解答重叠问题常用方法：解答重叠问题，必须从条件入手，要认真地进行分析，有时还要画出图示，借助图进行思考，找到哪些是重复的，重复了几次，明确求出的是哪一部分，从而找到解答方法。
【知识回顾——上期巩固】----参考时间-3分钟有四块各长80厘米的木板，钉成一块木板(如图)，中间钉在一起重叠的部分是10厘米，钉成的木板长多少厘米?解析部分：引导学生思考,画图分析四根木板的长度是80×4=320（厘米）。
钉在一起后，共有3个10厘米的重叠，要从总长度中把这多算的30厘米减掉，才是现在木板的长度．给予新学员的建议：教师可以引导学员画图分析题意哈佛案例教学法：鼓励学生独立完成，课堂上分享解题方法。
参考答案：80×4-10×3=290（厘米）答：钉成的木板长290厘米。
【预习题分析——本期预习】----参考时间-7分钟如图所示，桌上有两个部分重叠的正方形，大正方形的边长为3厘米，小正方形的边长为2厘米，重叠部分是一个边长为1厘米的正方形，两个正方形盖住多大面积？解析部分：让学生思考，两个正方形出现了重叠部分，盖住的面积能不能直接把两个正方形的面积相加；如果大正方形的面积加上小正方形的面积的话，中间的阴影部分被多计算了1次；因为有部分面积重叠了，应该从两个正方形面积和减去重叠部分的面积；被两个正方形盖住的面积是3×3+2×2-1×1=12（平方厘米）。
模型12双星多星模型(教师版含解析)
12双星多星模型1．(2020·河南高三月考)2020年发现的TOI —1338b 是一颗围绕TOI —1338双星系统转动的行星。
TOI —1338双星系统由质量约为1.2M 的TOI —1338A 和0.3M 的TOI —1338B 组成(M 为太阳质量)，双星的运动周期约为地球公转周期的125。
则TOI —1338A 的线速度与TOI —1338B 线速度的比值以及双星间的距离分别是(AU 为天文单位，AU=日地平均距离)( )A ．14AU B ．14C ．4D ．4【答案】B 【详解】双星系统转动的角速度相等，根据v r ω=可得1122v r v r = 设双星间的距离为L ，根据万有引力提供向心力公式得2212122121.20.3m m v v G M M L r r ==联立解得120.31=1.24r M r M = 又地球公转有222()Mm GmR R Tπ= 解得地球公转周期2324R T GMπ=双星的运动周期约为地球公转周期的125，则有 22121122222()()2525m m G m r m r T T Lππ== 解得双星间的距离为=AU 5050L R =故选B 。
2．(2020·渝中·重庆巴蜀中学高三月考)若宇宙中某双星由质量相等的星体A 1和A 2构成，它们离其他天体很远，两星体在相互之间的万有引力作用下绕二者连线上某一点O 做匀速圆周运动。
由天文观察测到其运动的周期为T ，两星体之间的距离为r ，已知万有引力常量为G 。
由此可求出A 1和A 2的质量之和为( )A ．2324r GTπ B ．2322r GT π C ．232r GTπ D ．无法计算【答案】A 【详解】万有引力充当向心力21211224m m G m r r Tπ=21222224m m G m r r Tπ=12r r r =+解得231224r m m GTπ+= A 正确，BCD 错误。
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双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。
【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G ）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。
根据题意有21ωω=①r r r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有G1211221r w m rm m = ③G1221221r w m r m m =④联立以上各式解得2121m m rm r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221== ⑥联立③⑤⑥式解得322214r GT m m π=+【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m′(用m 1、m 2表示).(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A 的速率v=2.7×105 m/s ，运行周期T=4.7π×104 s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？ （G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2，m s =2.0×1030 kg ）解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。
由牛顿运动定律，有121r m F A ω=，222r m F B ω=，B A F F =设A 、B 间距离为，则21r r r += 由以上各式解得1221r m m m r +=由万有引力定律，有221r mm G F A =，代入得21221321)(r m m m m G F A += 令211r m m GF A '=，通过比较得22132)(m m m m +='（2）由牛顿第二定律，有121221r v m rm m G = 而可见星A 的轨道半径π21vTr = 将代入上式解得GTv m m m π2)(322132=+ （3）将s m m 61=代入上式得G Tv m m m s π2)6(32232=+ 代入数据得s s m m m m 5.3)26(232=+设)0(2>=n nm m s ，将其代入上式得s s s m m nnm m m 5.3)16(}6(2232=+=+s s s m m nnm m m 5.3)16(}6(2232=+=+可见，2232)6(m m m s +的值随的增大而增大，试令2=n ，得s s s m m m nn 4.3125.0)16(2<=+可见，若使以上等式成立，则必大于2，即暗星B 的质量s m 必大于s m 2，由此可得出结论：暗星B 有可能是黑洞。
【例题3】天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双星间距为L ，质量分别为M 1、M 2，试计算（1）双星的轨道半径（2）双星运动的周期。
15.解析：双星绕两者连线上某点做匀速圆周运动，即：222121221L M L M LM M Gωω==---------① ..L L L =+21-------② 由以上两式可得：L M M M L 2121+=，L M M M L 2122+=又由12212214L T M L M M G π=.----------③ 得：)(221M M G LL T +=【例题4】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为T ,S 1到C 点的距离为r 1,S 1和S 2的距离为r ,已知引力常量为G .由此可求出S 2的质量为 （ D ）A .212)(4GTr r r -2πB .2312π4GTrC .232π4GTrD . 2122π4GTr r 答案 ：D解析 双星的运动周期是一样的,选S 1为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定221121π4Tr m =r m Gm 2,则m 2=2122π4GT r r .故正确选项D 正确. 【例题5】如右图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。
已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。
引力常数为G 。
⑴ 求两星球做圆周运动的周期。
⑵ 在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T 1。
但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T 2。
已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。
求T 2与T 1两者平方之比。
（结果保留3位小数）【答案】⑴)(23m M G L T +=π ⑵1.01【解析】 ⑴A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。
且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。
因此有R M r m 22ωω=，L R r =+，连立解得L M m m R +=，L M m Mr +=对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L m M MT m L GMm +=22)2(π化简得 )(23m M G L T +=π⑵将地月看成双星，由⑴得)(231m M G L T +=π将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得L T m LGMm 22)2(π= 化简得 GML T 322π=所以两种周期的平方比值为01.11098.51035.71098.5)(242224212=⨯⨯+⨯=+=M M m T T【例题6】【2012•江西联考】如右图，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M （M>> m 1，M>> m 2）。
在c 的万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T a ∶T b =1∶k ；从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则 （ ）A ．a 、b 距离最近的次数为k 次B ．a 、b 距离最近的次数为k+1次C ．a 、b 、c 共线的次数为2kD ．a 、b 、c 共线的次数为2k-2 【答案】D【解析】在b 转动一周过程中，a 、b 距离最远的次数为k-1次，a 、b 距离最近的次数为k-1次，故a 、b 、c 共线的次数为2k-2，选项D 正确。
【例题7】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m .(1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少?答案 (1)R GmR 25 GmR 5π43(2)R 31)512(解析 (1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律有:F 1=22222)2(R Gm F RGm = F 1+F 2=mv 2/R运动星体的线速度:v =RGmR25 周期为T ,则有T =vRπ2 T =4πGmR 53(2)设第二种形式星体之间的距离为r ,R ′=︒30cos 2/r由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供,由力的合成和牛顿运动定律有：F 合=222r Gm cos30°F 合=m 22π4T R ′所以r =31)512(R【例题8】（2012•湖北百校联考）宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为；另一种形式是有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动.试求两种形式下，星体运动的周期之比12T T .【答案】12T T 【解析】对三绕一模式，三颗绕行星轨道半径均为a ，所受合力等于向心力，因此有22222142m +G =m a a T π⋅︒ ①解得21T ②对正方形模式，四星的轨道半径均为2a ，同理有22222242cos 452m G a a T π⋅︒ ③ 图4 解得23224(47a T =Gmπ ④故12T T。