张宇数学基础班笔记
(最新)张宇高数18讲数学二知识点总结笔记
张宇高数18讲数学二知识点总结笔记●1.函数极限与连续1)函数极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、局部有界性、局部保号性●等式脱帽法2)函数极限的计算●化简先行●等价无穷小替换●恒等变形●及时提出极限存在且不为0的因式●洛必达法则●泰勒公式●熟记常用公式●展开原则●无穷小比阶●函数极限的存在性●具体性●若洛必达失效，用夹逼准则●抽象性●单调有界准则●连续与间断●研究位置●无定义点、分段函数的分段点●连续●内点处、端点处●间断●2.数列极限1)数列极限的定义及使用●定义●使用●是常数、唯一性、有界性、保号性●收敛的充要条件2)数列极限的存在性与计算●海涅定理的使用●直接计算法●定义法（先斩后奏法）●单调有界准则●用已知不等式●题设给出条件来推证●夹逼准则●用基本放缩法●题设给出条件来推证●综合题总结●用导数、积分、中值定理综合●用方程列、区间列综合●用极限综合●3.一元微分的概念1)导数定义（导数在一点的问题）●分段函数（或含绝对值函数）在分段点●抽象函数在一点●特指点x_0●泛指点x●四则运算中的特殊点●太复杂的函数●f=f_1+f_2●f=f_1* f_2* f_3* ...*●求导公式无定义的点2)微分定义●4.一元微分的计算1)复合函数求导2)隐函数求导3)反函数求导4)分段函数求导（含绝对值）●在分段点用导数定义●在非分段点用导数公式●对数求导法●幂指函数求导法●参数方程确定的函数求导●高阶导数●归纳法（记公式）●莱布尼茨公式●展开式（记公式）5)难点●计算量大●含参数的讨论●高阶导数●5.一元微分的几何应用1)研究对象●“祖孙三代”●f(x)●具体●抽象●f_n(x) 函数族●f_1·f_2·...·f_n● f'(x) ； \frac{\mathrm{d}[f(x)]}{\mathrm{d}{(x^2)}} ; {f}^{(n)}(x)●\int_{a}^{x}f(x)dx●分段函数（含绝对值）●参数方程●x=x(t), y=y(t)●x=r(\theta)cos\theta,y=r(\theta)sin\theta●隐函数F(x,y)=02)研究内容●切线、法线、截距●极值、单调性●单调性的判别●一阶可导点是极值点的必要条件●判别极值的第1,2,3充分条件●拐点、凹凸性●凹凸性的定义●拐点定义●凹凸性与拐点的判别●判别凹凸性的充分必要条件●二阶可导点是拐点的必要条件●判别拐点的第1,2,3充分条件●6.中值定理、微分等式与微分不等式1)中值定理●确定区间●确定辅助函数●确定使用的定理●零点定理●介值定理●费马定理●罗尔定理●拉格朗日中值定理●泰勒公式●柯西中值定理2)微分等式问题●理论依据●考法3)微分不等式问题●用单调性●用最值●用凹凸性●用拉格朗日中值定理●用柯西中值定理●用带有拉格朗日余项的泰勒公式●7.一元微分物理应用1)物理应用●以“A对B的变化率”为核心写\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}B}●8.一元积分的概念与性质1)祖孙三代●\int_{a}^{x}f(x)dx ，f(x)，{ f^{'}(x) } 的奇偶性，周期性2)积分比大小●用几何意义●看面积大小●用保号性●做差●看正负3)定积分定义●基本形（能凑成\frac{i}{n}）●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=0}^{n-1} f(0+\frac{1-0}{n}i)\frac{1-0}{n} =\int_{0}^{1}f(x)dx●放缩形（凑不成\frac{i}{n}）●夹逼准则●放缩后再凑\frac{i}{n}●变量形●\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(0+\frac{x-0}{n}i)\frac{x-0}{n} =\int_{0}^{x}f(x)dx4)反常积分的判敛●概念●判别●9.一元积分的计算1)基本积分公式2)不定积分的计算●凑微分法●思想●方法●常用的凑微分公式●程序●换元法●思想●方法●三角函数代换●恒等变形后作三角代换●跟式代换●倒代换●复杂函数的直接带换●思想●方法●u,v的选取原则●推广公式（表格法）●有理函数的积分●定义●思想●方法3)定积分的计算●区间再现公式●华里士公式●其他常用含三角函数的积分等式●区间简化公式●对称性下的积分问题●定积分分部积分法中的“升阶”降阶“”公式●分段函数的定积分●10.一元积分几何应用1)研究对象●f(x)●f_n(x)●参数方程●x=x(t)●y=y(t)●\frac{\partial f}{\partial x}●\int_{a}^{x}f(x)dx●微分方程的解函数f(x)2)研究内容●面积、旋转体体积、平均值●平面曲线的弧长、旋转曲面的面积（侧面积）●“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式●平行截面面积为已知的立体体积●11.积分等式与积分不等式1)积分等式●通过证明某特殊积分等式求某特殊积分●积分形式的中值定理2)积分不等式●用函数的单调性●处理被积函数●已知f(x) \leq g(x)，用积分保号性证得\int_{a}^{b}f(x)dx \leq\int_{a}^{b}g(x)dx，a<b●用拉格朗日中值定理●用泰勒公式●用放缩法●用分部积分法●用换元法●用夹逼准则求解一类积分的极限问题●曲边梯形面积的连续化与离散化问题●12.一元积分的物理应用1)位移大小与总路程●位移大小●\int_{t_1}^{t_2}v(t)dt●总路程●\int_{t_1}^{t_2}|v(t)|dt2)变力沿直线做功●W=\int_{a}^{b}F(x)dx3)提取物体做功●W=\rho g\int_{a}^{b}xA(x)dx4)静水压力●P=\rho g\int_{a}^{b}x[f(x)-h(x)]dx5)细杆质心●\bar x=\frac{\int_{a}^{b}x\rho (x)dx}{\int_{a}^{b}\rho (x)dx}6)其他重要应用（微元法总结）●13.多元函数微分学1)概念●极限、连续、偏导数、可微2)复合函数求导法●链式求导规则●全导数●全微分形式不变3)隐函数求导●隐函数存在定理●一个方程的情形●方程组的情形4)多元函数的极值、最值●无条件极值●取极值的必要条件●取极值的充分条件●条件极值与拉氏乘数法5)偏微分方程●已知偏导数（或偏增量）的表达式，求z=f(x,y)●给出变换，化已知偏微分方程为常微分方程，求f(u)●给出变换，化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题●14.二重积分1)概念●和式极限●普通对称性●轮换对称性●二重积分比大小●用对称性●用保号性●二重积分中值定理●周期性2)计算●直角坐标系与换序●极坐标系与换序●直极互化3)应用●面积●\iint_{D}dxdy●15.微分方程1)一阶微分方程的求解●能写成 y'=f(x)·g(x)●能写成 y'=f(ax+by+c)●能写成 y'=f(\frac{y}{x})●能写成 \frac{1}{y'}=f(\frac{x}{y})●能写成 y'+p(x)y=q(x)2)二阶可降阶微分方程的求解●能写成 y''=f(x,y')●能写成 y''=f(y,y')3)高阶常系数线性微分方程的求解●能写成 y''+py'+qy=f(x)●能写成 y''+py'+qy=f_1(x)+f_2(x)4)用换元法求解微分方程●用求导公式逆用来换元●用自变量来换元●用因变量来换元●用x,y地位互换来换元5)应用题●用极限、导数定义或积分等式建方程●用几何应用建方程●用曲线切线斜率●用两曲线f(x)与g(x)的公切线斜率●用截距●用面积●用体积●用平均值●用弧长●用侧面积●用曲率●用形心。
2016张宇高数笔记-第一版-带封面-第一次修订
( → ) ( )
( , , ), ( , , ), ( , , )
= , = + +
=
= ，其中 、 为常数，
| | > ，证明 ′( )存在，且 ′( ) = 。 ( ) = ，则 ( ) = + ( )，其中 若
→• (
3、圆与椭圆
→•
( )=
( − ) +( − ) = = + = + 圆心( , ), 面积 =
[例] = ∭ , 由 = ②球面坐标系
平面切 锥面切 ⇒ 球面切
+
; = ; = 围成
( , , )
(
( ) ( , )
, ( ,
, ,
) )
( + )< ； )⋯( +
→
=
( ) ( , )
1、由拉格朗日中值定理得 ( ) − ( ) = ′( )( − ) 令 ( ) = ( + ), 在[ , ]上用拉格朗日中值定理 ( + )− + 2、 = + + < ( + )= < + ( − )
（1）精确定义
( , , ) =
→
2、极限化积分
( + − , + − , + − ) − ∙ − ∙ −
→
=
→
( )=
( )
2、计算
（1）基础题 ①直角坐标系，柱面坐标系 1°先一后二法——投影穿线法
( )
第二讲 一元函数微积分学
综述：①定义；②计算；③应用(几何,物理)；④逻辑证明(中值,不等式,零点)
三、数列极限的计算 1、通项已知且易于连续化，用归结原则（海涅定理） 。
复旦大学信科院957考研——398分高分上岸超详细经验分享(建议必看)
复旦大学信科院957考研——398分高分上岸超详细经验分享（建议必看）基本情况：政治64英语84数学127专业课123复试已通过政治：从八月开始复习，每天晚上政治一小时，以2倍速或者3倍速看徐涛的网课，只能有大致记忆。
九月开始每天晚上花一小时写1000题，写完以后用苍盾小程序继续刷题。
买了腿姐背诵手册，十一月开始看腿姐强化课和冲刺班，感觉那段时间提升速度飞快。
最后写肖8(只做选择题)肖4(只做了前两套)，并且吃饭时候用苍盾继续刷题，刷到都背答案了。
今年政治选择题很怪，不容易做，大题只需要用腿姐的方法，材料总结+分析即可。
我觉得市面上徐涛、腿姐和其他老师讲的都挺不错的，但重点是自己能记牢知识点以及会用方法去分析即可。
英语：我英语基础还算不错，所以前期三月到六月阶段只有每天背单词和学习唐迟阅读技巧，其他都没干。
我觉得最重要的就是单词，必须每天坚持背诵，我不喜欢纸质单词书，就用了墨墨背单词app，每天300个滚动复习。
如果觉得适合实体书就买红宝书，我感觉两者差异不大，主要看背诵对自己有没有效果。
在六月时候感觉想刷刷阅读，就拿英语一的08和09两份练练手，等进入暑假就直接开始刷英二的(10-19)，每天就做一篇阅读，做完以后用黄皮书进行口头翻译，标出不认识的单词，然后第二天早上会花半小时把这篇文章朗读三遍，我觉得对我来说英语最重要的是语感，在第一次做阅读的时候往往觉得看不懂句子，但是读完三遍以后就会豁然开朗，长难句也不是问题。
差不多十月开始，我跟着石雷鹏老师学习英语小作文的写作，每天学习两篇题型，然后背诵，大作文跟的潘赟。
最后十二月开始做英语套卷(19-22)，每天一套，我的做题习惯是:阅读-新题型-翻译-作文-完形。
在考场上这么做完全来得及，我还剩下半个多小时检查答案。
数学：基础阶段，高数和线代我跟的张宇，我觉得数学最重要的是搭框架，知道每章的的知识点并且能有效串联起来，一开始和张宇学的时候感觉还是有点吃力的，基础阶段的题目有一定难度，有时候我会开始背答案。
3、张宇考研数学概率论与数理统计讲义强化班(无水印文字版)-41页
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
【注】
犉（狓）＝△ 犘｛犡 ≤狓｝＝ 犘｛－ ∞ ≤ 犡 ≤狓｝
狓
∫ ＝ 犳（狋）ｄ狋（连） －∞
４犡～犉（狓）＜狆犳犻（狓→）分→布概律率密度
＝ ∑狆犻．（离） 狓犻≤狓
烄① 单调不减；
（１）犉（狓）是某个狓 的分布函数 烅②犉（－ ∞）＝０，犉（＋ ∞）＝１；
③
烆犘（犃１犃２犃３）＝ 犘（犃１）犘（犃２）犘（犃３）．④
【注】若只满足 ①②③，称犃１，犃２，犃３ 两两独立．
【例】［取自《张宇概率论与数理统计９讲》Ｐ２３，例１．３３］
将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：犃１ ＝ ｛掷第一次出现正面｝，犃２ ＝ ｛掷第二次出
现正面｝，犃３ ＝ ｛正反面各出现一次｝，犃４ ＝ ｛正面出现两次｝，则事件（ ）．
【例２】［取自《张宇考研数学闭关修炼一百题·习题分册》Ｐ４２，８１］ 要验收一批乐器，共１００件，从中随机地取３件来测试（设３件乐器的测试是相互独立 的），如果３件中任意一件经测试被认为音色不纯，这批乐器就被拒绝接收．设一件音色不 纯的乐器经测试被查出的概率为０．９５，而 一 件 音 色 纯 的 乐 器 经 测 试 被 误 认 为 不 纯 的 概 率 为０．０１．如 果 已 知 这１００件 乐 器 中 有４件 是 音 色 不 纯 的 ，问 这 批 乐 器 被 接 收 的 概 率 是 多少？ 【分析】
④（犡，犢）的犉（狓，狔），犳（狓，狔）； ⑤犣 ＝犵（犡，犢）的犉犣（狕），犳犣（狕）；
⑥犘｛（犡，犢）∈犇｝＝ 犳（狓，狔）ｄσ． 犇
（３）求数字特征． （４）狀→ ∞ 时的若干重要概率规律． （５）估计与评价．
—１—
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
2014年考研数学高等数学(张宇)笔记
目录第一讲极限一极限定义 (3)二极限性质 (4)三函数极限基本计算 (8)四综合计算 (11)五数列极限计算 (14)六函数连续与间断 (16)第二讲一元函数微积分一概念 (17)1. 导数 (18)2. 微分 (20)3. 不定积分 (21)4. 定积分 (23)5. 变限积分 (28)6. 反常积分 (29)二计算 (29)1. 求导 (29)2. 求积 (33)三应用 (40)1. 微分应用 (40)2. 积分应用 (43)四逻辑推理 (43)1. 中值定理 (49)2. 等式证明 (50)3. 不等式证明 (51)第三讲多元函数的微分学（公共部分）一概念 (51)1. 极限的存在性 (51)2. 极限的连续性 (52)3. 偏导数的存在性 (52)4. 可微性 (53)5. 偏导数的连续性 (54)二计算 (54)三应用 (56)第四讲二重积分（公共部分）一概念与性质 (59)二计算 (60)1. 基础题 (60)2. 技术题 (61)三综合计算 (62)第五讲微分方程一概念及其应用 (63)二一阶方程的求解 (64)三高阶方程的求解 (66)第六讲无穷级数一数项级数的判敛 (67)二幂级数求收敛域 (69)三展开与求和 (69)四傅里叶级数 (71)第七讲多元函数微分学一基础知识 (73)二应用 (75)第八讲多元函数积分学一三重积分 (76)二第一型曲线、曲面积分 (78)1. 一线 (78)2. 一面 (79)三第二型曲线、曲面积分 (80)1. 二线 (81)2. 二面 (83)考研数学狂人笔记QQ 807784058，本资料为收集的考研中数学成绩达到146分的牛人所做的总结笔记。
笔记中的知识点、考点、重难点总结条理清晰，成功之鉴，便于对考点的把握，少走弯路，本资料为笔记的手写复印版，原滋原味，包含高数、线代、概率一套，资料为备考数学一所做，但是同样适用于数学二、三（只需要对照各自考纲，删除部分考点即可）。
张宇高数讲义
(
x)
=
⎧⎪ x 2 ⎨
cos
1 x2
,
⎪⎩0,
x≠0。 x=0
则在 (−∞, + ∞) 内下列正确的是：
( A) f ( x)不连续且不可微，F ( x)可微，且为f ( x)的原函数 ( B) f ( x)不连续，不存在原函数 ，因而F ( x)不是f ( x)的原函数 (C ) f ( x)和 F ( x)均为可微函数，且 F ( x)为f ( x)的一个原函数 ( D) f ( x)连续，且F′( x) = f ( x)
故
原式
=
lim
x→0
tan
x− x3
sin
x
=
lim
x→0
tan x
x
⋅
1
−
cos x2
x
=
1
.
2
【例
5】求
⎡
lim
x→∞
⎢⎣
x
−
x2
ln⎜⎛1 ⎝
+
1 x
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
解
令
x
=
1 t
解：可以验证 x = 0 为 f ( x) 的第二类间断点，因为：
lim
x→0
f
(x)
=
0+
lim
x→0
2 x
sin
1 x2
，故
x
=
0
为
f
( x) 的第二类振荡间断点，可能存在原函数。
又：
F′(0)
=
lim
x2
cos
1 x2
−0
=
0,
故F ( x)可微。即：
x→0 x − 0
根据张宇高数视频总结的考研数学知识点
2 ln(1 sin ) sin d (sin )
2 0 1 2
令t sin
= 2 ln(1 t )tdt
2 0
1
0 0
令x1t 2 ln(1 t )d (1 t )
2 2 0 1 1 0
ln xdx x ln x| xd (ln x)
1
0
r dr. 1 r
2
于是分别只需计算
2 0
ln(1 tan ) sin 2 d 和
2
1
0
r dr即可. 1 r
2
2 0
ln(1 tan ) sin 2 d
2
2
2 0
1 ln sin cos d 2 cos
2 0 2
2 ln cos sin cos d
r ln(1 tan ) 2 原式= J (r , )drd 0 0 1 r
1 2
r ln(1 tan ) 2 r sin 2 drd 0 0 1 r
1 2
ln(1 tan ) sin 2 d
2 0 2
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6
1 对于不定积分 2 dx作一次变换， 2 ( x 1) x 1 2t 2 2 令t , 则x 1 , x 1 , dx dt 2 x 1 1 t 1 t (1 t ) 1 1 dx dx 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1) ( x 1) 1 t 2 1 t 2 2 ( ) ( ) dt 2 2t 2 (1 t ) 1 1 t 2 ( ) dt 8 t
张宇老师带你学高数上册导学 全
存在准则 两个重要极限（注意
两个重要极 极限成立的条件，熟 限 悉等价表达式）
掌握（两个重要极限 要会证明）【重点
】，“柯西极限存在 准则”考研不要求.
例1-4 4
利用函数极限求数列
极限
无穷小阶的概念（同
例1-5，例1
阶无穷小、等价无穷 小、高阶无穷小、低 §1.7无穷 阶无穷小、k阶无穷
掌握【重点】
掌握 掌握【重点】 掌握【重点】
§ 4.4 有 理 有理函数积分法，可 函数积分 化为有理函数的积分
§ 4.5 积 分 考研不作要求
表的使用
会求
总习题四
总结归纳本章的基本 概念、基本定理、基 本公式、基本方法
必做例题 精做练习
P192习4-1: 例1-3，5- 1(1),2(5)(8)(
15 13)(17)(19)( 21) (25),5,7
掌握
掌握 掌握 掌握
必做例题 精做练习 ——
例1-5 例6-10 例11-13
P286习6-2: 1(1)(4),2(1), 4,5(1),7,9,1 1,12,15(1)(3 ) ,16,19,21,22 (数二，数 三不用 做),28(数 二，数三不 用做)
例1-5
P293习6-3: 5,11（数三 全不用做）
方程
不要求）
例1-2
P314习7-3: 1(1)(5),2(2)
一阶线性微分方程的形式和解 掌握（熟记公式）
法 §7.4一阶
线性微分方
程
伯努利方程的形式和解法（记
1(5)(10)(12) 例1-10
(15)(16),2,3,
4
§3.3泰勒 泰勒中值定理 公式 麦克劳林展开式
(张宇)线性代数冲刺讲义(张宇)
式;(2) a11 0 .计算行列式 A . 解 由 aij Aij A A AA AA A E A A A 0 或 A 1 .又
T * T *
2 2 2 A a11 A11 a12 A12 a13 A13 a11 a12 a13 0 A 1.
)
你会继续证明下去吗？
【例 1】设 A 是 m n 矩阵, B 是 n m 矩阵,则线性方程组 ( AB) x 0 ( (A)当 n m 时仅有零解. (C)当 m n 时仅有零解. 解 (B)当 n m 时必有非零解. (D)当 m n 时必有非零解.
r ( AB) min{r ( A), r ( B)} n ,又 AB 为 m 阶方阵.选(D).
因此有
*
AG | A || B | En * * ,所以应有 G | B | A , H | A | B BH | A || B | E n | B | A* 0 ，选择（D）. | A | B* 0 A1 C 1 O
* 1
于是 C
（A）
| A | A*
0
G 0 A 0 * | C | , G 、 H 是 n 阶方阵 | A || B | ，设 C 0 H 0 B 0 A 0 G 0 AG CC * 0 B 0 H 0 BH 0 | A || B | En | A || B | E2 n 0 | A | B | En
ab b a a 2 b 2 ab b 2 a2 a ， c2 c1 a b ba 2 2 a b
n n
ab a 2 b 2 ab b a b ba 2 2 a b
张宇考研数学基础30讲线性代数分册
内容摘要
本书介绍了二次型的定义、性质和标准型，以及二次型的配方法和正定性。同时，还讲解了二次 型与对称矩阵的关系，以及如何利用二次型解决实际问题。 内容全面：本书涵盖了考研数学线性代数所需的所有知识点，从基本概念到解题技巧都有详细的 讲解。 实用性强：本书不仅注重知识点的讲解，还提供了大量的例题和练习题，便于学生理解和掌握。 难度适中：本书的难度适中，既不过于简单也不过于复杂，适合大多数学生的需求。 语言简洁易懂：本书的语言简洁易懂，易于理解和学习。
阅读感受
《张宇考研数学基础30讲线性代数分册》读后感
作为一名数学爱好者，我一直对张宇老师的数学课程抱有极高的兴趣。最近， 我阅读了张宇老师的《张宇考研数学基础30讲线性代数分册》，这本书给我留下 了深刻的印象，让我对线性代数有了更深入的理解。
这本书的内容非常丰富，涵盖了线性代数的各个方面，包括矩阵、向量、行 列式、特征值、空间等。每个主题都从基础概念讲起，逐步引入复杂的理论和应 用。同时，书中还配有很多实例和练习题，这些题目非常有代表性，有助于读者 加深对知识的理解和应用。
张宇考研数学基础30讲线性 代数分册
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
本书关键字分析思维导图
讲解
向量
分册
数学
介绍
线性
包括
数学
基础
矩阵 方程组
定义
张宇
利用
二次型
考研
对角
性质
知识
内容摘要
内容摘要
《张宇考研数学基础30讲线性代数分册》是一本专门针对考研数学线性代数部分的辅导教材。本 书涵盖了考研数学线性代数所需的所有知识点，包括行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值 与特征向量、矩阵的对角化、二次型等。 本书首先介绍了行列式的定义、性质和计算方法，包括展开式和递推式等。同时，还讲解了克拉 默法则，以及如何利用行列式解线性方程组。 矩阵是线性代数的核心概念之一。本书详细介绍了矩阵的定义、性质和操作，包括矩阵的加法、 减法、乘法、转置等。还讲解了逆矩阵的概念和计算方法，以及如何利用矩阵解线性方程组。 向量是线性代数的基本对象之一。本书介绍了向量的定义、性质和操作，包括向量的加法、数乘、 内积和外积等。同时，还讲解了向量组的线性相关性和向量组的秩，以及如何利用向量解线性方 程组。
张宇高数30讲笔记
张宇高数30讲笔记
张宇高数30讲是一套备受学生欢迎的高等数学教学视频，这里我将为你提供一些关于张宇高数30讲的笔记。
1. 张宇高数30讲的内容涵盖了高等数学的基础知识和重要概念，包括函数、极限、导数、微分、积分等。
这些知识是高等数学学习的基础，对于理解和掌握高等数学的其他分支如微积分、线性代数等都非常重要。
2. 在函数部分，张宇讲解了函数的定义、性质、图像和常见函数的特点。
他通过举例和图示的方式生动地解释了函数的概念，帮助学生建立起对函数的直观理解。
3. 极限是高等数学中的重要概念，张宇在讲解极限时注重深入浅出，通过一些典型的极限例题，帮助学生理解极限的概念和计算方法。
4. 在导数和微分部分，张宇详细介绍了导数的定义和性质，以及一些常见函数的导数计算方法。
他还讲解了微分的概念和应用，如泰勒展开等。
5. 积分是高等数学中的另一个重要概念，张宇在讲解积分时着
重讲解了定积分和不定积分的概念、性质和计算方法。
他通过一些
实例和练习题，帮助学生掌握积分的基本技巧。
6. 在整个教学过程中，张宇注重培养学生的解题思维和方法，
他强调理论与实践的结合，通过一些典型例题和考点分析，帮助学
生掌握解题的技巧和方法。
7. 张宇高数30讲的教学风格幽默风趣，讲解深入浅出，容易
理解。
他善于用生动的语言和具体的例子解释抽象的数学概念，帮
助学生建立起对数学的兴趣和信心。
总结起来，张宇高数30讲是一套内容丰富、讲解详细、教学风
格幽默的高等数学教学视频。
通过学习这套视频，学生可以全面掌
握高等数学的基础知识和解题技巧，为后续的学习打下坚实的基础。
张宇高数笔记
：第一章节 极限与连续数列收敛（有极限），则：①任何子列都收敛，反之就不是收敛数列。
②它的极限存在且唯一。
③它是有界的。
（收敛一定有界，但有界不一定收敛，可能振荡） ④它有保号性。
数列极限存在的解题手段： ，①夹逼法。
②定积分定义法。
③对于给定递推式的数列求极限：（1）用单调有界证明极限存在，然后让等式两边极限相等解出A 。
（2）先斩后奏解出A ，然后用压缩映象原理列出|x x −x |<k |x x −1−x |，其中0<k <1 ④对于未给出递推式的数列求极限：根据题设条件得出x x +1和x x 的递推关系，然后用③的方法。
⑤充分运用题目中给出的函数关系式： .（1）x x +1=x (x x )，x (ξ)=x ；则x x +1−x x =x (x x )−x (x x −1)，|x x +1−x |=|x (x x )−x (x )|（2）任何|x ′(x )|≤k 的函数，都可由拉氏定理得|x (x 1)−x (x 2)|≤x |x 1−x 2|（3）若知x (x )的单调性，可把x x +1和x x 的大小判断转化为对x (x x +1)和x (x x )的判断。
（4）若给出x x +1=x (x x )，x ′(x )和x 0的初值，则用拉氏定理:|x x +1−x 0|=|x (x x )−x (x 0)|=|x′(x )(x x −x 0)|≤A |(x x −x 0)|压缩映象 ⑥对于累加型数列x x =∑x (x ,x )x x =1求极限，常用无穷项相加放缩的方式夹逼出来。
函数极限存在（设为A ），则： ①左右极限都为A 。
（证明题证极限存在的思路） |②唯一性、有界性、保号性。
③∀ε>0,∃δ>0,当0<|x −x 0|<δ时，有|f (x )−A |<ε 此定义在广义上，ε可以为任何形式，但必须满足“可以任意小”。
极限知识点总结张宇
极限知识点总结张宇一、极限的基本概念1.1 极限的定义在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的值趋于某一确定的值。
具体来说，对于函数f(x)，当x趋于某一特定的值a时，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得只要0<|x-a|<δ，就有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
其中，L为极限值，a为极限点，ε和δ分别为函数值和自变量的取值范围。
1.2 极限存在与否的判断在判断极限是否存在时，可以通过函数的图像、导数、极限的性质等方法进行判断。
通常来说，当x趋于某一点时，如果函数在该点附近存在有限的数值L，且L可以通过无穷点（正无穷或负无穷）逼近得到，那么极限存在。
如果极限不存在，则意味着函数在该点附近没有确定的值或者值的变化不受限。
1.3 极限的性质极限具有一系列的性质，包括唯一性、局部性、有界性、函数运算的极限等。
在学习极限时，需要熟练掌握这些性质，并能够灵活运用。
其中，函数运算的极限包括加法、减法、乘法、除法、复合函数等不同情况下的极限运算法则，对于极限的计算和推导至关重要。
1.4 极限的一个重要应用在数学分析中，极限是许多重要概念和定理的基础，例如泰勒级数、微积分的导数和积分等。
同时，在现代科学和工程领域中，极限也有着广泛的应用，例如在工程测量、信号处理、物理学等领域中都有着重要的地位。
对于学生来说，熟练掌握极限的相关知识是十分重要的，能够为今后的学习和工作打下坚实的基础。
二、极限的计算方法2.1 两个基本极限在学习极限时，有两个基本的极限需要着重掌握，即正无穷大的极限和零的极限。
正无穷大的极限表示当自变量趋于无穷大时，函数的极限趋于无穷大；而零的极限表示当自变量趋于零时，函数的极限趋于零。
这两个基本的极限在极限计算中经常会遇到，需要学生能够熟练掌握。
2.2 极限计算的方法极限计算的方法包括利用基本极限、极限的性质和极限的定义等。
高等数学基础班讲义(张宇)
f
(x) x
dx, 其中f
(x)
=
x
∫1
ln(1 + t
t)
dt
【考点分析】本题核心考察了求解积分的四种基本方法：
凑积分：
把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。
换元积分法： 利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。
分部积分法： ∫ udv = uv − ∫ vdu
有理函数的积分： Pn (t) n < m
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( ) 【例】求 lim sin x + 2014 − sin x x→+∞
【答案简析】
对f (t) = sin t在[ x, x + 2014]上用拉格朗日中值定理
⇒ sin x + 2014 − sin x = 1 cos ξ ⋅ 2014 ξ ∈( x, x + 2014)
cos x cos 2x (1− 3 cos 3x )
= lim x→0
x2
+ lim x→0
x2
+ lim x→0
x2
= 1 +1+ 3 = 3 22
【练习】求 lim1− cos x cos 2x cos 3x 求a,b
x→0
axb
2、加强计算 指标：①准 ②快
1.用思想 2.用知识 3.熟能生巧
a,
b]
∫ 上的一个原函数，则 b a
f
(x)dx
=
F (b)
−
F (a)
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张宇高等数学手写高清笔记
目录第一讲极限一极限定义 (3)二极限性质 (4)三函数极限基本计算 (8)四综合计算 (11)五数列极限计算 (14)六函数连续与间断 (16)第二讲一元函数微积分一概念 (17)1. 导数 (18)2. 微分 (20)3. 不定积分 (21)4. 定积分 (23)5. 变限积分 (28)6. 反常积分 (29)二计算 (29)1. 求导 (29)2. 求积 (33)三应用 (40)1. 微分应用 (40)2. 积分应用 (43)四逻辑推理 (43)1. 中值定理 (49)2. 等式证明 (50)3. 不等式证明 (51)第三讲多元函数的微分学（公共部分）一概念 (51)1. 极限的存在性 (51)2. 极限的连续性 (52)3. 偏导数的存在性 (52)4. 可微性 (53)5. 偏导数的连续性 (54)二计算 (54)三应用 (56)第四讲二重积分（公共部分）一概念与性质 (59)二计算 (60)1. 基础题 (60)2. 技术题 (61)三综合计算 (62)第五讲微分方程一概念及其应用 (63)二一阶方程的求解 (64)三高阶方程的求解 (66)第六讲无穷级数一数项级数的判敛 (67)二幂级数求收敛域 (69)三展开与求和 (69)四傅里叶级数 (71)第七讲多元函数微分学一基础知识 (73)二应用 (75)第八讲多元函数积分学一三重积分 (76)二第一型曲线、曲面积分 (78)1. 一线 (78)2. 一面 (79)三第二型曲线、曲面积分 (80)1. 二线 (81)2. 二面 (83)。
张宇高数30讲笔记
张宇高数30讲笔记摘要：一、引言1.笔记来源及重要性2.适用对象二、张宇高数30讲内容概述1.高等数学基本概念与方法2.微积分及其应用3.线性代数与概率论初步4.数学分析与数学建模三、张宇高数30讲亮点1.实例丰富，贴近实际2.逻辑清晰，易于理解3.难点解析，深入浅出4.同步练习，巩固提高四、如何高效学习张宇高数30讲1.课前预习，明确重点2.课后复习，巩固知识3.动手练习，提高解题能力4.交流讨论，拓展思维五、学习建议与资源推荐1.学习计划与目标设定2.辅助教材与网络资源3.学习小组与导师指导六、结语1.张宇高数30讲的价值2.学习高等数学的必要性3.鼓励与期望正文：一、引言众所周知，张宇高数30讲是一套非常受欢迎的高等数学课程教材。
它以丰富的实例、清晰的逻辑和深入浅出的解析，为广大学子提供了便捷的学习途径。
本文将从以下几个方面对张宇高数30讲进行简要介绍，以期帮助大家更好地学习和掌握高等数学知识。
二、张宇高数30讲内容概述张宇高数30讲涵盖了高等数学的基本概念、方法，以及微积分、线性代数、概率论等领域的初步知识。
通过学习这套课程，学生可以全面了解高等数学的体系，为后续的深入学习打下坚实基础。
三、张宇高数30讲亮点1.实例丰富，贴近实际：张宇高数30讲运用了大量生动的实例，使抽象的数学知识变得具体形象，更容易被学生理解和接受。
2.逻辑清晰，易于理解：教材在编排上注重逻辑性，由浅入深地展开各个知识点，便于学生跟进学习进度。
3.难点解析，深入浅出：对于较难理解的知识点，张宇高数30讲提供了详细的解析，帮助学生攻克学习难题。
4.同步练习，巩固提高：教材附有同步练习题，有利于学生巩固所学知识，并提高解题能力。
四、如何高效学习张宇高数30讲1.课前预习，明确重点：在学习每一讲之前，先进行预习，了解本讲的主要内容，以便上课时能更好地关注重点。
2.课后复习，巩固知识：每讲课后，认真复习所学内容，加深对知识点的理解，并整理笔记。
张宇2013考研数学辅导讲义高等数学第1,2章习题详解(理工类)
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大学数学教授笔记摘抄(3篇)
第1篇第一部分：高等数学基础第一章：极限与连续1. 极限的定义与性质- 极限的定义：当自变量x趋近于某一值a时，函数f(x)的值趋近于某一确定的值L，称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限，记作：\[\lim_{x \to a} f(x) = L\]- 极限的性质：- 存在性：如果函数在某一点有极限，则该点处的极限值是唯一的。
- 传递性：如果\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)且\(\lim_{x \to L} g(x) = M\)，则\(\lim_{x \to a} g(f(x)) = M\)。
- 线性性质：\(\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)\)，\(\lim_{x \to a} [f(x)g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)\)。
2. 无穷小与无穷大- 无穷小：如果当x趋近于a时，函数f(x)的绝对值小于任意给定的正数ε，则称f(x)为无穷小。
- 无穷大：如果当x趋近于a时，函数f(x)的绝对值大于任意给定的正数ε，则称f(x)为无穷大。
3. 极限的运算法则- 代入法：如果f(x)在x=a处有定义，则\(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)。
- 四则运算法则：如果\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)和\(\lim_{x \to a} g(x) = M\)，则\(\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M\)，\(\lim_{x \to a}[f(x)g(x)] = L \cdot M\)。
- 连乘法则：如果\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)，\(\lim_{x \to a} g(x) = M\)，且\(\lim_{x \to a} h(x) = N\)，则\(\lim_{x \to a} [f(x)g(x)h(x)] = L\cdot M \cdot N\)。
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张宇数学基础班笔记
一、 三种层次
层次一：感知——形式上 层次二：再现——本质上
注1：2013年人数众多、题目特别难
注2：洛必达法则在两种情况下要慎用：（狠下功夫） （1） f(x)/g(x)时，f 、g 为抽象函数 （2） f(x)/g(x)时，f 、g 含参数（半抽象）
注3：洛必达法则的证明及其使用前提、拉格朗日中值定理的证明之类的题要注意
注4：有限个无穷小的和是无穷小；有限个无穷小的积是无穷小。
无限个无穷小的 和不一定是无穷小；无限个无穷小的积也不一定是无穷小。
（到此为止）
层次三：融通——解题能力（听课听得懂、看书看得懂，都不算解题能力，应该是在无任何提示的情况下独立做对题目）
1. 泰勒公式：碰上此类难背的工具——具体学、不抽象
学、不单纯背书。
用泰勒公式解决A+/-B 型函数的极限计算
——泰勒公式是等价替换的精确化；等价替换是近似代换，泰勒公式是精确代换。
——泰勒公式：事不过三，只记两项。
SinX=X-1/6（(X)的三次方）
o(X 的m 次方)——代表任何一个X 的m 次方的高阶无穷小
arcsinX-arctanX=1/2(X3)
sinX-tanX=-1/2(X3) 注意：lim （A+B ）=limA+limB ——后验逻辑（极限计算：能不能拆？拆了再说。
）
注意：通法——目标：干掉f （x ）去掉抽象函数，分母相同时直接（2）式－（1）式 练习：SinX+X~2X
二、
三、 真题——好又多（1987-2001-2012：一、二、三、四）
四、
大
纲——不能拘泥大纲
五、
特点（高数）
1．注意：答题纸跟草稿纸非常像，一定小心。
不要塞进草稿纸
2．高等数学难度加大，远远高于线代、概率。
重点在高数。
3．重心前移：在二重积分及其以前。
4．数学二的真题最有价值——最好的习题：数学二、四。
5．必备资料：
（1）教材：高等数学：同济大学第六版
（2）辅导书：（很好）概率：陈希孺院士、高数18讲（3）真题：2013考研数学历年真题分析与演练
第二讲高等数学考试内容分析
1.关于函数：
(1)复合——分段函数的复合
(2)（必考）考察函数的微分或者积分形式下的四个性质：
奇偶性、单调性、周期性、有界性。
06:54
2.函数的极限计算
（1）基础题——其中未定式：
【例】
————D.不存在
注1：极限若存在，必唯一
注2:正三角——变——倒三角
【解】
（2）技术题：如：用泰勒公式求极限（A+-B型）3.数列的极限计算：
（1） 夹逼定理 （2） 定积分定义 （3） 级数求和 4. 导数的计算： （1） 复合求导
（2） 参数方程求导 （3） 隐函数求导 （4） 对数求导法 （5） 高阶导数
5. 导数的几何应用及物理应用
（1） 三点：极值点、最值点和拐点——区分 （2） 两性：单调性、凹凸性 （3） 一线：渐近线 数三：导数的物理意义不考 6. 中值定理：13个定理 （1） 涉及到函数f （x ）的： 有界性、 最值性、 介值、 零点
（2） 涉及到倒数f ’（x ）的： 费马定理、 罗尔定理、
拉格朗日中值定理（2008）、 柯西中值定理（好久未考了）、 泰勒公式（不证）、 导数介值定理、 导数零点定理 （3） 涉及积分的： 积分中值定理——闭区间、 加强版的积分中值定理——开区间 7. 不定积分的基本计算法： （1） 凑微分法 【例题】
【解】
（2） 换元法 【例题】
（3） 分部积分法
【例题】
（4）有理函数的积分
8.定积分
（1）计算：
A．同不定积分——1/3
B．特色计算——分段函数、取整函数等——2/3 （2）应用：几何应用——数三可能出大题
（3）推广——反常积分：
A．计算：
B．判别敛散性：
9.微积分不等式：（第8节）
第三讲例题分析夯实基础学会复习
【例题1】
【解】（1）用夹逼准则求数列极限是考研重要考的：夹：相当于对Xn做适当的放缩。
1Umax<=(有限项)
（无穷项）
【解】【例题3】【解】
【例题4】
【例题5】
【解】
1.用定积分定义求数列极限是考研的又一重要考点：
【步骤】【例题5】【例题6】
【解】
【例题7】
【理解二重积分原理】
【步骤】【解】【例题8】【解】【自练题】。