基于非线性模型高精度参数估计的新解算_宁亚飞

（δａ１，δａ２，δａ３，δａ４）＝ （６／５２０，－４／５２０，
－９／１１７０，６／１１７０）
（δｂ１，δｂ２，δｂ３，δｂ４）＝ （４／５２０，－６／５２０， －６／１１７０，９／１１７０）
３）计 算 每 次 观 测 时 ，参 数 估 值 的 加 权 平 均
＾ａ ＝ａ０＋（１×δａ１＋１×δａ２＋１×δａ３
常规算法 新算法
注 ：都 取 ５ 位 有 效 数 字
＾ａ
１．００７７ １．００１２
＾ｂ
０．９９２８ ０．９９９８
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
从表２可以 看 出，新 算 法 比 原 间 接 平 差 法 在 精度上有很大提高。接下来的非线性模型的参数 估计将继续借用此算法。
３ 迭代法求解非线性模型参数
３．１ 新 算 法 的 提 出 该算法借用条件平差和间接平差反复迭代未
表 １ 已 知 数 据 和 观 测 数 据
Ｔａｂｌｅ １ Ｋｎｏｗｎ ｄａｔａ ａｎｄ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｄａｔａ
Ｘ（已知） ６０
４０
９０
６０
Ｙ（已 知 ）
４０
６０
６０
９０
Ｚ（观 测 ）
７９
８１
３１
２９
若将前两次视 为 一 个 观 测 组，后 两 次 为 一 个
观测组，通过对 Ｘ，Ｙ 进 行 观 察，我 们 会 发 现 Ｘ，Ｙ
２ 条件平差求解参数思想的 提出
２．１ 改 进 传 统 间 接 平 差 使 用 方 法 首先来看一个例子： 假设需要 对 线 性 模 型 Ｚ＝１８０－ａＸ －ｂＹ 中
的未知参数ａ，ｂ进行最优估计，在 Ｘ，Ｙ 每次都已 知的 情 况 下，可 以 对 变 量 Ｚ 进 行 等 精 度 独 立 观 测 ，总 共 进 行 了 ４ 次 ，实 验 数 据 如 下 （如 表 １）：
观测时参数的最佳估值；
３）要 求 的 参 数 估 值 即 为 每 次 观 测 时 参 数 估 值
的加权平均值。
依 据 这 样 的 思 想 ，本 题 的 解 算 过 程 如 下 ：
１）首先 假 定 每 次 观 测 时，参 数 近 似 值 ａ０，ｂ０
的 值 都 为 １，于 是
６０δａ１ ＋４０δｂ１ －１＝０；
基于非线性模型高精度参数估计的新解算
宁亚飞，潘中华，陈性义，任恩民
（中国地质大学 信息工程学院，湖北 武汉 ４３００７４）
摘 要：在以往诸多对非线性模型参数进行估计的解算中，普遍存在着对起算数据精度要求较高、解算精 度
较差、收敛速度缓慢等缺陷。本文在对传统求解非线性 模 型 参 数 的 思 想 进 行 了 分 析 和 研 究 的 基 础 上 ，提 出 了
＾ ＾ ６）比较ｘ（１） 和ｘ（２） ：对 于 事 先 给 定 的 很 小 正 ＾ ＾ ＾ ＾ 数ε，若 ‖ ｘ（２）－ｘ（１）‖ ＜ε，则 取 ｘ ＝ ｘ（２） ，否 ＾ 则，令ｘ０ ＝ｘ（２） ，返回１），反 复 继 续 迭 代，直 到 前
后两次平差后的数值差别很小为止。
算法说明：本算法 中 ２）、３）和 ５）分 别 运 用 了 最 小 二 乘 原 理 ，即 １ 次 迭 代 ，利 用 了 ３ 次 最 小 二 乘 原理 。 ［５］ 和以往 算 法 相 比 较，收 敛 速 度 和 精 度 自 然 会 得 到 明 显 提 高 。 当 然 ，这 只 是 理 论 上 结 果 ，其 实 际 效 果 如 何 ，从 下 面 的 算 例 可 以 得 到 诠 释 。 ３．２ 算 例 解 析
式中 Ｘｉ，Ｙｉ 分 别 表 示 第ｉ 次 Ｘ ，Ｙ 方 向 上 的
＾ 观测值，δＺｉ 表示第ｉ 次Ｚ 的改正数，Ｘ 表示 Ｘ 的
改 正 数 ，下 面 公 式 相 同 ，将 不 再 一 一 说 明 。
２．１．２ 新 解 法
此解法的 基 本 思 想：在 观 测 模 型 已 知 的 情 况
下，可依据每次观测量的值分别假定出此时的最佳
阶数为待求参数的个数与观测次数的乘积； ２）求 解 每 次 观 测 时 的 参 数 改 正 数，经 过 条 件
平差后得到每一次的最佳参数估值；
＾ ＾ ３）求解此时的参 数 平 差 值 ｘ（１） ，此 时 ｘ（１） 所
有最佳参数估值的加权平均值；
＾ ４）将３）得到的ｘ（１） 作 为 参 数 的 近 似 值，按 照
第８卷 第５期 ２０１１年１０月
ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＧＥＯＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖｏｌ．８，Ｎｏ．５ Ｏｃｔ．，２０１１
文 章 编 号 ：１６７２—７９４０（２０１１）０５—０６３５—０４
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２－７９４０．２０１１．０５．０２３
ｎｙｆ０６０１＠１２６．ｃｏｍ
６３ ６ 工 程 地 球 物 理 学 报 （Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃｓ） 第８卷
方 法 ，比 如 牛 顿 法 、信 赖 域 法 等 。 本 文 通 过 积 极 地 分析、探 索 和 研 究，提 出 了 一 种 全 新 的 算 法，并 且 通过实例和上述 两 类 方 法 进 行 比 较，说 明 本 算 法 具 有 对 起 算 数 据 精 度 要 求 较 低 、解 算 精 度 高 、收 敛 快等优点。
参数估值 ，显 然 ，不 同 情 况 下 参 数 的 估 值 肯 定 存 在
差异，再按照某种最优法则（即最小二乘法）找到一
个统一的参数估值作为待估参数的最优解。
具体步骤可归纳为：
１）设 每 次 观 测 时 的 参 数 改 正 数 为 未 知 数，列
条件方程：
ＡＶ ＋ｗ ＝０ｎ，１（ｎ为观测次数，ｍ 为改正数个
收 稿 日 期 ：２０１１－０６－２４
Ａ Ｎｅｗ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｈｉｇｈ Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ Ｐａｒａｍｅｔｅｒ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｍｏｄｅｌ
Ｎｉｎｇ Ｙａｆｅｉ，Ｐａｎ Ｚｈｏｎｇｈｕａ，Ｃｈｅｎ Ｘｉｎｇｙｉ，Ｒｅｎ Ｅｎｍｉｎ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｇｅｏｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｗｕｈａｎ，Ｈｕｂｅｉ ４３００７４，Ｃｈｉｎａ）
基金项目：国家８６３项目基于 ＬＩＤＡＲ 的滩涂海岸地形精确快速测量技术和应用（编号：ＫＺ０９Ｋ５０１）资助。 作者简介：宁亚飞（１９８７－），男，山东 泰 安 人，硕 士 研 究 生，主 要 从 事 现 代 测 量 数 据 处 理 理 论 及 应 用 方 面 的 学 习 与 研 究 。Ｅ－ｍａｉｌ：
一种利用多平差方法对待估参数进行相互迭代，以求得参 数 估 值 的 新 算 法，文 中 通 过 实 例 分 析 证 明 该 算 法 在
解算精度和收敛速度方面较传统算法有明显优势。
关 键 词 ：最 小 二 乘 法 ；非 线 性 模 型 ；迭 代 法 ；精 度
中 图 分 类 号 ：Ｐ２５８
文 献 标 识 码 ：Ａ
都具有对称 性，可 以 提 前 得 出 结 论：ａ＝ｂ＝１，显
然 ，解 算 结 果 越 接 近 这 个 值 ，准 确 度 越 高 ，对 此 ，给
出下面两种解法。
２．１．１ 常 规 解 法 １）按 间 接 平 差 列 误 差 方 程 ［４，５］
δＺ１ ＝１０１－６０ Ｘ１ －４０Ｙ１；
δＺ２ ＝９９－４０ Ｘ２ －６０Ｙ２；
４０δａ２ ＋６０δｂ２ ＋１＝０；
９０δａ３ ＋６０δｂ３ ＋１＝０；
６０δａ４ ＋９０δｂ４ －１＝０；
熿６０，０，０，０，４０，０，０，０燄 熿－１燄
０，４０，０，０，０，６０，０，０
１
Ａ＝ ０，０，９０，０，０，０，６０，０ ，Ｗ＝
１
，Ｐ＝Ｉ８，８ ８，８
燀０，０，０，６０，０，０，０，９０燅 燀－１燅 ２）求 解 每 次 观 测 时 ，参 数 近 似 值 的 改 正 数
ｍｅｎｔｓ ａｒｅ ａｄｏｐｔｅｄ ｔｏ ｍａｋｅ ｍｕｔｕａｌ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｉｎ ｄｅａｌｉｎｇ ｗｉｔｈ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｓｏ ａｓ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｎｅｗ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｖａｌｕｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ ｍｅｔｈｏｄ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ；ｉｔｅｒａｔｉｏｎ；ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ
ｎｍ ｍ，１ ｎ，１
数）
式中 Ａ 表 示 改 正 系 数，Ｖ 表 示 观 测 值 改 正
数，ｗ 表示余数。
这里假定各参数间 相 互 独 立，因 此 Ｑ 为 单 位
矩阵，Ｑ 的阶数 为 待 求 参 数 的 个 数 与 观 测 次 数 的
乘积；
２）借 用 条 件 平 差 原 理 求 解 改 正 数，得 每 一 次
δＺ３ ＝１４９－９０ Ｘ３ －６０Ｙ３；
δＺ４ ＝１５１－６０ Ｘ４ －９０Ｙ４；
熿－６０，－４０燄
熿－１０１燄
Ｂ＝
－４０，－６０ －９０，－６０
，Ｌ ＝
－９９ －１４９
Ｐ＝Ｉ；
燀－６０，－９０燅 ２）容 易 解 得
燀－１５１燅
＾ 根据 Ｘ ＝ （ＢＴＰＢ）－１ ＢＴＰＬ
所以 ＾ａ ＝１．００７７ ＾ｂ＝０．９９２８
知 参 数 ，以 此 来 达 到 参 数 的 最 优 估 计 。 具体步骤如下： １）设 每 次 观 测 时 的 参 数 改 正 数 为 未 知 数，列
条件方程 Ａ Ｖ ＋ｗ ＝０ｎ，１（ｎ 为观测次数，ｍ 为改正数
ｎ，ｍ ｍ，１ ｎ，１
个数） 假定各参 数 间 相 互 独 立，Ｑ 为 单 位 矩 阵，其
的模型误差逐渐 与 测 量 误 差 相 当，甚 至 有 时 大 于 观 测 误 差 ，这 时 再 利 用 线 性 近 似 方 法 ，显 然 是 不 合 理的，也难以得到 满 足 当 今 科 学 技 术 要 求 的 数 据 精度。对此，国内 外 许 多 专 家 和 学 者 进 行 了 大 量 而深入的 研 究，并 取 得 了 一 些 有 益 成 果 。 ［１～３］ 综 观 这 些 成 果 ，大 体 可 分 为 两 类 ：当 模 型 的 非 线 性 化 程 度 较 弱 时 ，可 考 虑 采 用 较 为 熟 悉 的 线 性 近 似 法 ； 当模型的线性化 程 度 较 高 时，则 考 虑 需 采 用 迭 代
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｅ ｐａｓｔ，ｗｈｅｎ ｍａｋｉｎｇ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｔｈｅｒｅ ｅｘｉｓｔｅｄ ｓｕｃｈ ｄｉｓａｄｖａｎｔａｇｅｓ ａｓ ｄｅｍａｎｄｉｎｇ ｈｉｇｈ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｏｆ ｉｎｉｔｉａｌ ｄａｔａ，ｐｏｏｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｐｒｅ－ ｃｉｓｉｏｎ ａｎｄ ｌｏｗ ｃｏｎｖｅｒｇｉｎｇ ｓｐｅｅｄ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｍｅｔｈｏｄ，ｉｔ ｐｒｏｐｏｓｅｓ ａ ｍｅｔｈｏｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉ－ａｄｊｕｓｔ－
１ 引 言
对于测量平差 中 大 量 的 非 线 性 模 型，经 典 平 差总是进行直接 线 性 近 似，这 对 于 测 量 精 度 要 求 不高，线性近似所 引 起 的 模 型 误 差 小 于 观 测 误 差 的情况是可 行 的。 随 着 科 学 技 术 的 不 断 发 展，特 别是测绘仪器精 密 度 的 不 断 提 高，线 性 近 似 导 致
＋１×δａ４）／（１＋１＋１＋１） ＝１．００１２８２
＾ｂ ＝ｂ０＋（１×δｂ１＋１×δｂ２＋１×δｂ３
＋１×δｂ４）／（１＋１＋１＋１） ＝０．９９９８７１８
第５期 宁亚飞 等：基于非线性模型高精度参数估计的新解算
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２．２ 算 法 精 度 比 较 （见 表 ２）
表 ２ 算 法 精 度 比 较 Ｔａｂｌｅ ２ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ
间接平差模型列误差方程
Ｖ ＝ Ｂ＾ ｘ －ｌ；
＾ ５）利用间接平 差 原 理 求 解 此 时 的 ｘ（２） （这 里
要注意，此时 的 权 阵 不 同 于 １）中 的 权 阵，此 时 的 协因数阵是观测 值 之 间 的 协 因 数 阵，具 体 的 协 因 数确定方法和一般的间接平差协因数确定的方法 相 同 ）；