角平分线性质定理以及逆定理

角平分线性质定理以及逆定理教案

姓名性别男年级初二总课时：课时第次课

教学

内容

角平分线定理以及逆定理

重点难点角平分线定理

角平分线的逆定理

教学

目标

掌握角平分线定理以及逆定理

教学过程课前检

查与交

流

作业完成情况：

交流与沟通：

针

对

性

授

课

角平分线定理以及逆定理

角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等

用数学符号可表示：

∵点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB）

∴

角平分线的判定定理：

角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

用数学符号可表示：

∵

∴点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB）

探究一应用角平分线性质证明线段相等--------------------性质

如图2，在△ABC中，∠C＝90，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．求证：CF＝EB．

1．要证CF＝EB，可以证明哪两个三角形全等？

___________________________________________________．

2．这两个三角形是什么三角形？已知什么？还需要证明什

么？

___________________________________________________．

3．还需证明的结论成立吗？为什么？

___________________________________________________．

4．讨论总结：根据以上的分析，本题的证明过程应该怎么书写呢？

O

D

P

E B

A

图2

变式1．已知，如图BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于D ，求证：PM ＝PN 。

C

N

P

M

D

B

A

变式2.如图,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,且DB=DC,求证:BE=CF.

D

F C

B A

E

变式3. 如图所示，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，垂足为E ，DF AC ⊥，垂足为

F ，且BD CD =．

求证：BE CF =．

探究二 应用角平分线性质证明两角互补

如图3，AC 平分∠BAD ，CD ＝CB ，AB ＞AD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ．

求证：∠CBA ＋∠ADC ＝180︒．

1．由于∠CDF ＋∠ADC ＝180︒，要证∠CBA ＋∠ADC ＝180︒，只需证明哪两个角相等？为此要证哪两个三角形全等？

___________________________________________________． 2．怎样证明1中的两个三角形全等？

________________________________________________________________________． 3．讨论总结：在利用角平分线性质解题时，应注意步骤的完整性，不要漏掉什么？ ________________________________________________________________________． 图3

Ｄ

Ｅ Ｂ Ａ

Ｆ

Ｃ

练习：如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。

探究三 证明角的平分线-------------------------判定 如图4，△ABC 的外角∠MAC 与∠NCA 的平分线相交于点P ，PD ⊥BM 于点D ，PE ⊥BN 于点E ．求证：BP 为∠ABC 的平分线．

1．过P 点作PF ⊥AC ，交AC 于点F ．由PA 是∠MAC 的平分线可以得到什么？PC 是∠NCA 的平分线又可以得到什么？

_______________________________________________________________________________________________________．

2．通过等量代换，可以得到哪两条垂线段相等？

_________________________________________________________________________． 3．讨论总结：写出本题的证明过程．

变式1：已知：如图，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD 交BE 于E ．•求证：AE 平分∠FAC ．

图4

N

P

E

D

C

B

A

变式2：已知：如图，BE=CF，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF和CE•交于点D，求证：AD平分∠BAC．

变式3：如图，在∠AOB的两边O A，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．求证：点C在∠AOB的平分线上．

探究四与角平分线相关的作图

如图5 已知方格纸中的每个小正方形都是相同的正方形，∠AOB已画在方格纸上，请在小方格的交叉点处标出一个点P，使点P落在∠AOB的平分线上．

图5 图6 图7 1．如图6，在OA上取点C，在OB上取点D，使OC＝OD＝5．由于OP＝OP，利用三边对应相等的两个三角形全等，图中的点P即为所求的点，为什么？

2．讨论总结：在图6中再找出另个的两个符合条件的点P．

强化;

1．如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上截取OA=OB，P是OD•上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N，求证：PM=PN．

A

B

D

C

E

O

M

N