矩阵分析Chapter TwoSummary - 北京理工大学研究生课程

（2）用特征矩阵秩的方法求数字矩阵的Jordan标 准形. 具体操作步骤： （1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征值；
（2）以 i为主对角元的 阶 t Jordan 块的个数等
于
rank(i E A)t1 rank(i E A)t
（3）如何求相似变换矩阵？
设 ACnn，则存在 n 阶可逆矩阵 P 使得
J1
P1AP
J2
J
t
其中
这里
Ji
为Jordan块，记
Pi C nni
P
P1, P2,
, Pt
那么有
AP1, AP2, , APt P1J1, P2J2, , Pt Jt
APi Pi Ji , i 1, 2, ,t
记 Pi Xi1, Xi2, , Xini ，又可得
A与B 相似的充分必要条件为它们的特征矩
阵
I A
与
I B
等价。
定义： 对于数字矩阵A ，我们称 I A 的 不变因子为 A 的不变因子，称 I A的初等
因子为 A 的初等因子。
对于任何一个数字矩阵 A, I A 0 所以 rank(I A) n ，于是可得下面两
个定理
定理： 两个同阶的方阵 A, B 相似的充分必要
J1
J
J2
J
s
为Jordan标准形矩阵。
定理： 设 A C nn , A的初等因子为
( a1)n1 , ( a2 )n2 ,
则
AJ
, ( as )ns
，这里
J1
J
J2
Hale Waihona Puke Baidu
J
s
其中
ai 1
ai 1
Ji
,(i 1,2, , s)
1
ai ni ni
我们称 J 是矩阵 A 的Jordan标准形。
X i1, X i2 , , X ini
（4）Jordan标准形的某些应用 a)求一个给定的矩阵的高次幂 b) 求解一个常微分方程组 c) 判断两个矩阵是否相似 d) 待补充…☺
0
0
其中 r 1, di ()是首项系数为1的多项式且
di () di1() (i 1,2, , r 1)
称这种形式的 矩阵为 A( ) 的Smith标准形。 d1(), d2(), , dr ()称为 A()的不变因子。
矩阵Smith标准形的唯一性
(1) 行列式因子
定 义： A()为一个 矩阵且 rank( A()) r 对
于任意的正整数 k ，1 k r ，A() 必有非零的 k 阶子式，A() 的全部 k 阶子式的首项系数为1的最 大公因式 Dk () 称为 A()的 k 阶行列式因子。 显然，如果 rank( A()) r，则行列式因子一共有
个。
（2）不变因子与行列式因子的关系：
d1() D1()
d2 ( )
条件是它们有相同的初等因子。
定理：两个同阶的方阵 A, B 相似的充分必要
条件是它们有相同的不变因子。
三、数字矩阵的Jordan标准形 （1）用初等因子求数字矩阵的Jordan标准形
ai 1
ai 1
Ji
1
ai ni ni
为Jordan块。设 对角形矩阵
J1,
J
2,
, J s 为Jordan块，称准
AX i1 i X i1 AX i2 X i1 i X i2
AX ini
X X ini 1
i ini
注意： X i1 是矩阵 A
特征向量，特征向量
的对应于特征值 i 的
X i1的选取应该保证向
量 Xi2
可以求出，同样向量
X
i
的选取应该保证
2
向量 Xi3可以求出，依此类推，并且使得
线性无关。
总结： - 矩阵与矩阵的Jordan标准形 一、 -矩阵的Smith标准形
(1) 存在性 (2) 唯一性
(3) 求一个给定的 -矩阵的Smith标准形的方法
矩阵Smith标准形的存在性
定 理 任意一个非零的m n型的 矩阵都等价于
一个“对角矩阵”，即
d1 ( )
d2()
A( )
dr ( )
D2 () D1 ( )
D1() d1() D2 () d1()d2 ()
dr ()
Dr () Dr 1 ( )
Dr () d1()d2() dr ()
二、初等因子和矩阵的相似
（1）初等因子
设 矩阵 A() 的不变因子为
d1(), d2(), , dr ()
在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：
d1
(
a )e11 1
(
a2
)e12
d2
(
a )e21 1
(
a2
)e22
( as )e1s ( as )e2s
dr
(
a )er1 1
(
a2
)er
2
( as )ers
其中 a1, as 是互异的复数，eij 是非负整数。因
为 di | di1()(i 1, , r 1) ，所以满足如下关系
0 e11 e21 0 e12 e22
er1 er2
0 e1s e2s ers
定义 在上式中，所以指数大于零的因子
( aj )eij , eij 0,i 1, , r, j 1, , s
称为 矩阵 A() 的初等因子
（2）数字矩阵的相似与 矩阵的等价
定理： 设 A, B 是两个n 阶的数字矩阵，那么