剪力弯矩计算

二、梁的内力及其求法
内力—外力引起的受力构件内相邻部分之间相互作用力的改变量。
杆件横截面上的内力有：轴力，剪力，弯矩，扭矩等。 1、剪力和弯矩的概念 图示简支梁在荷载及支座反 力共同作用下处于平衡状态。 求距支座A为x的横截面m-m. 上的内力。用截面法求内力。 步骤：1)截开 2)代替 剪力Q——限制梁段上下移动的内力; 弯矩M——限制梁段转动的内力偶。 单位：剪力Q KN, N；弯矩M KN.m ， N.m Q RA RA Q 0 3)平衡 Y 0
3、直接法求梁的内力：（由外力直接求梁横截面上的内力）
（1）梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧（左侧或 右侧）所有外力沿截面方向投影的代数和；
Q PiQ
符号规定：外力使截面产生顺时针转 动趋势时（或左上右下）该截面剪力为正， 否则为负； （2）梁任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧（左侧或 右侧）所有外力对截面形心力矩的代数和；
o
0, P 1 3 YA 1 M1 0 矩心o—1-1截面形心
M
3、求2-2截面上的内力：取右半段研究 Y 0, Q2 YB 0 Q2 YB 9kN
o'
0, YB 1.5 M 2 0 矩心o’—2-2截面形心
M
M 2 1.5YB 13.5kN m 若取左半段梁研究，则 Y 0,YA P1 P2 Q2 ' 0
Pa , M (l ) 0. l
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结论：在集中力P作用截面，Q图发生 突变，突变值等于该集中力P的大小；M图 有尖角，尖角的指向与集中力P相同。 内力函数的不连续是由于将集中力的 作用范围简化为一个点的结果。若考虑集 中力为微梁段上的均布荷载，则C截面的 Q图和M图应为斜直线和抛物线。 因此，当谈到集中力作用出的剪力时， 必须指明是集中力的左侧截面（C左）还是 集中力的右侧截面（C右）。
MA 0

P 6 P Q V 3-3截面： 3 A 6 7P Q V 4-4截面: 4 B 6
2-2截面： Q2 V A
M 2 VA
L p L PL 4 PL m 3 6 3 2 9 L L P 2 L PL 7 PL M 3 VA ( ) m 3 3 6 3 2 18 L 7 P L 7 PL M 4 VB 3 6 3 18
2
例3-4 作图示悬臂梁的内力图。 解：1.列内力方程：（先确定x坐标， 再由直接法求x截面的内力。）
Q( x) P, (0 x l )
M ( x) Px, (0 x l )
2.作内力图：（先取坐标系确 定端点坐标，再按内力方程特征绘图。） Q(x)等于常数，为水平线图形；由
pL 2L P VB L 0 2 3 7P VB () 6 PL L M 0 P VA L 0 B 2 3 P V A () 6 P 7P Y V P V P 0 反力无误。 A B 校核 6 6 6 2）计算截面内力 3 18 1 A Q V M 1 V A 1-1截面： P L PL
求得的 Q1 、M1 均为负值,说明内力实际方 向与假设方向相反。矩心 O 是1-1截面的形心。 2）求2-2截面上的内力
Y 0பைடு நூலகம்
P ql Q2 0
P l (ql ) l M2 0 2
Q2 P ql
1 2 M Pl ql 2 M0 0 2 求得的 Q2 、M2 均为负值,说明内力实际方向与假设 方向相反。矩心 O1是2-2截面的形心。
2.作内力图： Q(x)为x的一次函数，Q图为斜直线；
x 0, Q(0) 1 1 ql ; x l , Q(l ) ql ;作 2 2
M(x)为x的二次函数，M图为抛物线；
作 结论：当梁段上有均布荷载q作用时，Q图为斜直线， M图为二次抛物线。
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l l 1 2 x 0, M (0) 0; x l , M (l ) 0; x , M ( ) ql ; 2 2 8
x 0, Q(0) P, x l , Q(l ) P; 作剪力图
M(x)等于x的一次函数，为斜直线图形；由 作弯矩图 x 0, M (0) 0; x l , M (l ) Pl;
结论：当梁段上没有荷载q作用时，剪力图为水平线， 弯矩图为斜直线。
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第二节 梁的内力图及其绘制
一、剪力图和弯矩图的概念 梁各截面的内力随截面位置而变化，其函数关系式 Qx=Q(x), Mx=M(x) 称作剪力方程和弯矩方程。 列内力方程即求任意截面的内力。 Q( x) P qx (0 x l )
1 M ( x) Px qx 2 2
(0 x l )
反映剪力（弯矩）随截面位置变化 规律的曲线，称作剪力（弯矩）图。 二、剪力图和弯矩图的作法： 1 Pl ql 取平行梁轴的轴线表示截面位置，规定 2 正值的剪力画轴上侧，正值的弯矩画轴下侧； 可先列内力方程再作其函数曲线图。 如悬臂梁：当x=o, Q(x)=-P, M(x)=0; x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=-Pl-ql2/2. 其剪力图和弯矩图如图示。 返回 下一张 上一张 小结
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例3-2 外伸梁如图，试求1-1，2-2截面上的剪力和弯矩。
解：1、求支座反力：由整体平衡 M B 0, P1 8 P2 3 YA 6 0 YA 14kN
M
A
0, P 1 2 P 2 3 YB 6 0
YB 9kN
m , M (l ) 0. l
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第三节 弯矩、剪力、荷载集度间的关系 一、弯矩、剪力、荷载集度间的关系
由梁微段的平衡条件：
dQ ( x) q ( x)......(a ) dx M 0 , O (Mo—矩心O取在右侧截面的形心。)
为避免符号出错,要求：
未知内力均按符号规定的正向 假设。
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例3-1：悬臂梁如图所示。求1-1截面和2-2截 面上的剪力和弯矩。 解：1）求1-1截面上的内力 1 1 Q P ql 1 Y 0 P 2 ql Q1 0 2
M0 0
P
l 1 l ( ql ) M 1 0 2 2 4 1 1 2 M 1 Pl ql 2 8
例3-5 作图示简支梁的内力图。 解：1.列内力方程：先求支座反力 1 利用对称性： V A VB ql ()
2 1 Q( x) VA qx ql qx , (0 x l ) 2 1 2 1 2
M ( x) VA x qx q(lx x ), (0 x l ) 2 2
o'
Q2 ' YA P 1P 2 14 3 20 9kN
0, YA 4.5 P 1 6.5 P 2 1.5 M 2 ' 0
M 2 ' YA 4.5 P 1 6.5 P 2 1.5 13.5kN m
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2.作内力图： AC段：x 0, Q(0)
Pa , M (0) 0; l Pb x a, Q ( a ) , M (a) 0; l
x1 a, ( x2 b), Q(a ) CB段：
Pb Pab , M (a) ; l l
x1 l , ( x2 0), Q(l )
若取右半段梁为研究对象,可得： Q' Q
M
o
0
M o RA x 0
M o RA x
Mo ' Mo
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2、剪力和弯矩的符号规定
1）剪力Q：截面上的剪力Q使 所取脱离体产生顺时针转动趋势 时（或者左上右下）为正，反之 为负。 2）弯矩M：截面上的弯矩M使 所取脱离体产生下边凸出的变形 时（或者左顺右逆）为正，反之 为负。
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2、轴向拉伸与压缩— 杆（纵向力作用） 受力特点：外力与杆轴线方向重合； 变形特点：杆轴沿外力方向伸长或缩短。
3、扭转—轴（外力偶作用）
受力特点：外力偶作用在垂直杆轴平面内； 变形特点：截面绕杆轴相对旋转。 4、组合变形—两种或两种以上基本变形的组合。
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第一节
杆件的内力及其求法 梁的内力图及其绘制 弯矩、剪力、荷载集度 间的关系
第四节
第二节
第三节
叠加法作剪力图和弯矩图 其它杆件的内力计算方法 小结
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第五节
第一节
杆件的内力及其求法
一、杆件的外力与变形特点 1.弯曲—梁（横向力作用） 受力特点：垂直杆轴方向作用外力， 或杆轴平面内作用外力偶； 变形特点：杆轴由直变弯。 平面弯曲—荷载与反力均作用 在梁的纵向对称平面内，梁轴线也 在该平面内弯成一条曲线。 单跨静定梁的基本形式：
例3-6 作图示简支梁的内力图。 解：1.列内力方程： 求支座反力： 由整体平衡 V A Pb (), VB Pa (); 校核无误。
l
l
因P作用，内力方程应分AC和CB两段建立。 Pb Pb Q ( x ) V , M ( x ) V x x; (0 x a) A A AC段： l l Pa Pa Q ( x ) V , M ( x ) V ( l x ) (l x1 ); CB段： 1 B 1 B 1 l l (a x1 l ) Pa Pa Q ( x2 ) , M ( x2 ) x2 ; ( 0 x2 b ) l l
M Mo (P iQ )
符号规定：外力使梁段产生上凹下凸 变形时（或左顺右逆）该截面弯矩为正， 否则为负； 计算时可按二看一定的顺序进行：一看截面一侧有几个力， 二看各力使梁段产生的变形，最后确定该截面内力的数值。
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例3-3：简支梁如图所示。试计算1-1、2-2、 3-3、4-4 截面上的剪力和弯矩。 解：1）求支座反力
2. 作内力图： m x 0 : Q ( 0 ) , M (0) 0; AC段： l
x a : Q(a)
m ma , M (a) ; l l m mb x a : Q ( a ) , M ( a ) ; CB段：1 l l
x1 l : Q (l )
结论：在集中力偶作用截面，Q图不受影响；M图有突变， 突变值等于该集中力偶的力偶矩。（谈弯矩时，必须指明集中力 偶作用截面的左侧或者右侧。）
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例3-7 作图示简支梁的内力图。 解：1.列内力方程：求支座反力 m V A VB () 校核无误。 l
m m , M ( x) x; (0 x a) l l m m Q ( x ) , M ( x ) (l x1 ); (a x1 l ) CB段： 1 l 1 l m m Q ( x2 ) , M ( x2 ) x 2 ; ( 0 x2 b ) l l Q( x) AC段：
校核： Y YA YB P1 P2 14 9 3 20 0 反力无误。
2、求1-1截面上的内力：取左半段研究 Y 0,YA P1 Q1 0 Q1 YA P1 14 3 11kN
M
M1 YA 1 P 1 3 5kN m