3、万有引力定律的案例分析

三、知wenku.baidu.com网络：
“地上一式”：地面附近万有引力近似等于物体重力，即 G
两条思路
＝mg
万有引力定律
“天上一式”：天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，即
万有引力提供向心力
mv²/r v＝
G ＝ mrw² ω＝
T＝2π
应用 天体运动
1. 质量、密度计算 2. 轨道V、W、T、a的求解 3. 卫星的发射与变轨 4. 多星问题
一、考纲要求：
1、万有引力定律及其应用 Ⅱ 2、环绕速度 Ⅱ 3、第二宇宙速度、第三宇宙速度Ⅰ
• 二、命题趋势：
万有引力与航天是圆周运动的引申与应用，随着我国天宫 系列空间站、“天眼”侦察卫星、“悟空”号暗物质粒子探测 卫星、“墨子”号量子科学实验卫星等重大科技成果相继问 世，结合最新的航天成果考查万有引力与航天方面的知识已成 为高考的热点，2019 年高考可能会结合最新科技成果从以下三 个角度命题：一是天体运动中的线速度、周期、向心加速度等 物理量的关系；二是估测中心天体的质量及密度；三是卫星的 变轨、能量的变化。建议考生自学为主。
突破点三、卫星的发射与变轨问题
• 一、卫星的发射（三种宇宙速度）
• 1．第一宇宙速度(环绕速度)：v1＝7.9 km/s，是
人造地球卫星的最小发射速度．也是人造地球卫 星绕地球做圆周运动的最大环绕速度． • 2．第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，是 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度． • 3.第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，是使 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
• 变式训练、（2011山东T17）.甲、乙为两颗地球 卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低 于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。 以下判断正确的是（ AC ）
• A.甲的周期大于乙的周期
• B.乙的速度大于第一宇宙速度
• C.甲的加速度小于乙的加速度
• D.甲在运行时能经过北极的正上方
二.卫星的变轨
当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机
或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将
做变轨运行．
①当v增大时，所需向心力m 增大，即万有引力不足
以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，
轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由
v＝
知其运行速度要减小，但重力势能、机械能
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其
轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝
可见，只
要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心
天体的密度．
突破点二、卫星的各物理量随轨道半径的变化而
变化的规律
(1)向心力和向心加速度：向心力是由万有引力充当的，即F
＝
再根据牛顿第二定律可得，随着轨道半径的增加，卫星的
星在 Q 点的速度至少要达到 11.2 km/s
突破点(四) 宇宙多星模型
在天体运动中彼此相距较近，在相互间的万有引力作用 下，围绕同一点做匀速圆周运动的星体系统称为宇宙多星模 型。要充分利用宇宙多星模型中各星体运行的周期、角速度 都相等这一特点，解题模板如下。
• 例4 如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在
四、重难点突破
突破点一、天体质量和密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G ＝mg，故天体质量M＝ 天体密度ρ＝
(2)利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r. ①由万有引力等于向心力，即G ＝m r，得出
中心天体 质量M＝ ②若已知天体的半径R，则天体的密度 ρ＝
均增加．
②当卫星的速度突然减小时，向心力 减小，即
万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向
心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，
进入新轨道运行时由v＝
知运行速度将增大，
但重力势能、机械能均减少。(卫星的发射和回收
就是利用了这一原理)．
• 例3、（2010·江苏物理卷·T6）2009年5月，航天飞机在完成 对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭 圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的 运动，下列说法中正确的有
（A）在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度 （B）在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 （C）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 （D）在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
答案：ABC
变式训练 如图所示，某次发射人造卫星的 过程中，先将卫星发射到地面附近的圆形轨
A. X星球的质量为 M 4 2r1 GT12
B. X星球表面的重力加速度为
gX
4 2 r1
T1 2
C.
登陆舱在与轨道上运动是的速度大小之比为
v1 v2

m1r2 m2 r1
D. 登陆舱在半径为轨道上做圆周运动的周期为
T2 T1
r2 3 r13
E.若已知X星球的半径为R，则该星球的密度为 ρ 3r13 GT12 R3
引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者 中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共 线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G. • 求两星球做圆周运动的周期；
• 对于变轨问题：向心加速度、线速度、动 能、角速度、周期及机械能的变化不一定 适用，应具体问题具体分析 。
例2 （2011浙江第19题）.为了探测X星球，载着登陆 舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨 道船上 ，运 变动 轨，到周离期星为球更T1，近总的质半量径为为mr2 1的。圆随轨后道登上陆运舱动脱，离此飞 时登陆舱的质量为m2则（ DE ）
道Ⅰ上，在 P 点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，Q 点 为轨道Ⅱ的远地点。下列说法正确的是 ( A )
A．卫星在 P 点变轨时的速度必须大于 7.9 km/s
B．卫星从 P 点到 Q 点的过程中机械能逐渐减小
C．卫星沿轨道Ⅰ经过 P 点时的加速度大于沿轨道Ⅱ经过 P 点时的加速度
D．若要使运动到 Q 点的卫星能摆脱地球引力的束缚，卫
向心力和向心加速度都减小．
(2)线速度v：由
得v＝
随着轨道半径的增加，卫
星的线速度减小．
(3)角速度ω：由
＝mω2r得ω＝
随着轨道半 径的增加，做
匀速圆周运动的卫星的角速度减小．
(4)周期：由
得T＝2π
随着轨道半 径的增加，
卫星的周期增大．
结论
• 对于稳定轨道运行时有：r越大，向心加速 度、线速度、动能、角速度均越小 ，而周 期和机械能均越大 。