自然数的N次方和

自然数的N次方和

小学的时候，那个著名的高斯的故事深深影响着我们，就是那个1+2+……+100的那个故事，尽管这个故事发没发生过都搞不清楚，就好像苹果砸牛顿脑袋就砸出一个万有引力定律的故事一样。尽管真假已难知晓，但是我们宁愿他是真的。

我们从高斯的故事知道了下面的公式：

在后面的学习中，我们又接触到了下面的公式：

出于人类思维的本能，我们自然就会想到对于一般的k，下面式子的和的公式：

不过很遗憾，到目前为止，对于这样的式子是没有公式的，不过有幸，我们有关于这个式子的递推公式

这个递推公式叫阿尔哈曾公式，不用说，肯定就是阿尔哈曾这个人提出的。如果你对上面的公式有点乱的话，那么下面的阿尔哈曾分割图就比较明显说明上面式子的含义：

这个就是非常好的一个分割，大长方形的高为n+1，红色框部分的面积等于大长方形面积减去其余部分面积，这刚好就是我们上面的阿尔哈曾公式。利用他可以来推导其他的次方和公式，正如你们所需要的，只要你想要，只要你不怕累，就一定可以推导出来，比如我们来推导14+24+34+……+n4的求和公式，为了方便，我们设fk(n)=1k+2k+3k+……+nk,我们就可以根据这个而来：

大伙可以根据上面的递推公式，或者是那张分割图，得到自己想要的公式，不过处理过程就有点麻烦。