数列的求和问题(规律总结)
数列的规律与求和公式推导
数列的规律与求和公式推导数学是一门充满魅力的学科，其中数列是数学中的重要概念之一。
数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。
在数列中，每个数称为项，而项与项之间的关系则被称为数列的规律。
掌握数列的规律对于解决数学问题和推导求和公式至关重要。
一、等差等差数列是指数列中每一项与它的前一项之差都相等的数列。
我们用a1，a2，a3，……，an来表示等差数列的各项。
设等差数列的公差为d，即a2-a1=a3-a2=……=an-a(n-1)=d。
等差数列的规律可以通过观察数列的前几项来推导。
以等差数列1，4，7，10，13为例，我们可以发现每一项与前一项之差都是3。
这个差值3即为等差数列的公差。
因此，等差数列的规律可以总结为an=a1+(n-1)d。
在求等差数列的和时，我们可以利用求和公式进行推导。
设等差数列的前n项和为Sn。
根据等差数列的规律，我们可以将Sn表示为Sn=a1+a2+a3+……+an。
将等差数列的每一项与第一项a1的差值表示为d，即a2=a1+d，a3=a1+2d，……，an=a1+(n-1)d。
将这些项代入Sn中，我们可以得到Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……+(a1+(n-1)d)。
将等差数列的项数n与公差d提取出来，我们可以得到Sn=n(a1+an)/2。
这就是等差数列的求和公式。
二、等比等比数列是指数列中每一项与它的前一项之比都相等的数列。
我们用a1，a2，a3，……，an来表示等比数列的各项。
设等比数列的公比为r，即a2/a1=a3/a2=……=an/a(n-1)=r。
等比数列的规律可以通过观察数列的前几项来推导。
以等比数列2，4，8，16，32为例，我们可以发现每一项与前一项之比都是2。
这个比值2即为等比数列的公比。
因此，等比数列的规律可以总结为an=a1*r^(n-1)。
在求等比数列的和时，我们同样可以利用求和公式进行推导。
设等比数列的前n项和为Sn。
根据等比数列的规律，我们可以将Sn表示为Sn=a1+a2+a3+……+an。
连续数的求和与规律
连续数的求和与规律连续数的求和是数学中一个常见的问题，它涉及到数列的概念。
在数学中，数列是指按照一定的规律排列起来的一组数。
而连续数则是指相邻的两个数之间没有间隔，例如1, 2, 3, 4, 5等。
接下来，我们将探讨连续数的求和方法以及与之相关的规律。
一、求和公式对于一个包含从1到n的连续数列，求和的常用公式是等差数列求和公式，即Sn = (a1 + an) * n / 2。
其中，Sn表示数列的和，a1表示数列的首项，an表示数列的末项，n表示数列的项数。
以数列1, 2, 3, 4, 5为例，我们可以使用求和公式求解。
首先，确定数列的首项a1为1，末项an为5，项数n为5。
带入公式，得到S5 =(1 + 5) * 5 / 2 = 15。
因此，数列1, 2, 3, 4, 5的和为15。
二、连续数求和的规律连续数的求和问题中，存在一些规律。
首先，对于从1到n的连续数求和，和的大小与项数n的平方成正比。
也就是说，当项数n增加时，和的结果也会呈现出相应的增加趋势。
例如，数列1, 2, 3的和为6，而数列1, 2, 3, 4的和为10，增加了4。
其次，连续奇数或者连续偶数的求和可以通过数列的性质进行简化。
当求和的连续数为奇数时，和的结果一定是一个奇数；当求和的连续数为偶数时，和的结果一定是一个偶数。
这是因为奇数个连续数的和一定是一个奇数，而偶数个连续数的和一定是一个偶数。
最后，连续数的和可以通过逆向运算来验证。
在求和的过程中，我们可以将首项与末项相加，再将第二项与倒数第二项相加，以此类推。
如果逆向运算得到的结果与使用求和公式得到的结果相等，那么就可以确认求和的计算结果是正确的。
三、实例分析为了更好地理解连续数的求和与规律，我们以一个具体的例子来展示。
假设需要计算数列1, 2, 3, 4, 5, 6的和。
首先，可以使用求和公式来计算，得到S6 = (1 + 6) * 6 / 2 = 21。
接下来，我们可以通过逆向运算来验证结果的正确性。
数列求和各种方法总结归纳
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
an (2)设数列{ n－1}的前n项和为Sn， 2 a2 an 即Sn＝a1＋ 2 ＋…＋ n－1，① 2 Sn a1 a2 an 故S1＝1， 2 ＝ 2 ＋ 4 ＋…＋2n，② 所以，当n＞1时，①－②得
a2－a1 an－an－1 an Sn 2 ＝a1＋ 2 ＋…＋ 2n－1 －2n
－ － －
(2)由题意知bn－an＝3n 1，所以bn＝3n 1＋an＝3n 1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3
n－1
3n－1 )＝－n ＋20n＋ 2 .
2
[冲关锦囊]
分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·n－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； q (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列， 采用分组求和法求{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式； 第三行
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求 {bn}的前2n项和S2n
[自主解答]
(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，
2 3a2＝1，a3＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{b }的前n项和． n
[自主解答]
(1)设数列{an}的公比为q.由a2＝9a2a6得 3 9 3
1 1 2 2 2 a3＝9a4，所以q ＝ .由条件可知q＞0，故q＝ . 1 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝3. 1 故数列{an}的通项公式为an＝3n.
数列求和的七种基本方法
数列求和的七种基本方法数列求和是数学中常见的问题之一，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍数列求和的七种基本方法，包括等差数列求和、等比数列求和、算术平方平均数列求和、等差等比混合数列求和、调和数列求和、几何级数求和和级数求和。
通过了解和掌握这些方法，相信读者能更好地解决数列求和问题。
一、等差数列求和等差数列是指一个数列中的每两个相邻的项之差都相等。
求和等差数列的公式为：Sn = n(a1+an)/2，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一个数，an是最后一个数。
二、等比数列求和等比数列是指一个数列中的每两个相邻的项之比都相等。
求和等比数列的公式为：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn是数列的和，a1是第一个数，q是公比，n是项数。
三、算术平方平均数列求和算术平方平均数列是指一个数列中的每两个相邻的项的算术平方平均数都相等。
求和算术平方平均数列的公式为：Sn=n(2a1+(n-1)d)/2，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一个数，d是公差。
四、等差等比混合数列求和等差等比混合数列是指一个数列中的每两个相邻的项之比和差都相等。
求和等差等比混合数列的公式为：Sn = (a1+an)/2*n+(q^n-1)/(q-1)，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一个数，an是最后一个数，q是公比。
五、调和数列求和调和数列是指一个数列中的每一项的倒数都与它的序号之比都相等。
求和调和数列的公式为：Sn=Hn/a，其中Sn是数列的和，Hn是调和数列的第n项，a是常数。
六、几何级数求和几何级数是指一个数列中的每个数都与前一项的比值都相等。
求和几何级数的公式为：Sn=a*(1-q^n)/(1-q)，其中Sn是数列的和，a是第一个数，q是比值，n是项数。
七、级数求和级数是无穷多个数连加的结果，求和级数的公式为：Sn=a/(1-r)，其中Sn是级数的和，a是第一个数，r是比值。
这七种基本的数列求和方法能够解决大部分数列求和问题。
数列求和题型归纳总结
类型七：利用数列的通项求和
• 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列 的通项揭示的规律来求数列的前项和，是一个重要的方法.
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数列求和
•七大类型
类型一：公式法（定义法）
类型二：倒序相加法
• 如果一个数列 an ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，
那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用 此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可
以得到n个 (a1 an ) .
• 例题3
类型三：错位相减法
类型四：裂项相消法
类型五：分段（组）求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 可把数列பைடு நூலகம்每一项分成多个项或把数列的项重新组合， 使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
类型六：并项求和法：
• 在数列求和过程中，将某些项分组合并后即可转化为具有某种特殊的性质的特殊数列，可 将这些项放在一起先求和，最后再将它们求和，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项 合并求.利用该法时要特别注意有时要对所分项数是奇数还是偶数进行讨论.
数列的求和与推导总结
数列的求和与推导总结数列是数学中的重要概念，它是按照一定规律排列的一系列数。
数列的求和与推导是数列研究中的基本问题之一，通过对数列的求和与推导，我们可以深入了解数列的性质和规律。
本文将介绍数列的求和与推导的基本方法，并对其进行总结与归纳。
一、等差数列的求和与推导等差数列是指数列中两个相邻项之差都相等的数列。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。
1. 求和公式：等差数列的前n项和记为Sₙ，可以通过以下公式求得：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 22. 推导公式：通过等差数列的通项公式，我们可以推导出等差数列的其他性质：（1）第n项与第m项的和：aₙ + aₙ = a₁ + (n-1)d + a₁ + (m-1)d = (2a₁ + (n+m-2)d)（2）前n项和与后m项和的关系：Sₙ = a₁ + (a₁ + d) + ... + (a₁ + (n-1)d)Sₙ = aₙ + (aₙ - d) + ... + (aₙ - (m-1)d)Sₙ - Sₙ = n(a₁ + aₙ) - m(aₙ + aₙ - (m-1)d) = (n-m)(a₁ + aₙ) + (n-m)(n+m-1)d = (n-m)[2a₁ + (n+m-1)d]注意：对于Sₙ - Sₙ，当n=m时，公式简化为0，即前n项和与后n项和相等。
二、等比数列的求和与推导等比数列是指数列中两个相邻项之比都相等的数列。
假设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * q^(n-1)。
1. 求和公式：等比数列的前n项和记为Sₙ，可以通过以下公式求得：Sₙ = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1) (q ≠ 1)2. 推导公式：通过等比数列的通项公式，我们可以推导出等比数列的其他性质：（1）任意两项的比：aₙ / aₙ = (a₁ * q^(n-1)) / (a₁ * q^(m-1)) = q^(n-m)注意：当n=m时，等比数列中任意两项的比为1，即相邻项相等。
数列的通项公式与求和公式总结
数列的通项公式与求和公式总结数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列，通常用公式表示。
数列的通项公式是指能够根据数列的位置得出该位置上的数值的公式，而求和公式则是指能够计算数列中所有数值的和的公式。
以下是一些常见数列的通项公式与求和公式的总结。
等差数列：等差数列是一个公差为d的数列，其中每一项与前一项之间的差值相等。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 + (n-1)d其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，d表示公差。
求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)其中Sn表示数列前n项的和。
等比数列：等比数列是一个公比为q的数列，其中每一项与前一项之间的比值相等。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 * q^(n-1)其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，q表示公比。
求和公式：Sn = (a1 * (q^n - 1))/(q - 1)其中Sn表示数列前n项的和。
斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项为1，后续每一项是前两项之和。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = (1/sqrt(5)) * (((1 + sqrt(5))/2)^n - ((1 - sqrt(5))/2)^n)其中an表示数列的第n项。
求和公式：Sn = a1 * (1 - ((1 + sqrt(5))/2)^n)/(1 - ((1 + sqrt(5))/2))其中Sn表示数列前n项的和。
这些是常见数列的通项公式与求和公式的总结，通过这些公式，我们可以通过给定的位置计算出数列中的数值，或者计算数列中所有数值的和。
在数学中，数列的通项公式与求和公式是非常重要的工具，能够帮助我们理解数列的规律和特性。
数列求和问题
数列求和问题数列求和是数学中一个重要的概念，常用于计算一系列数字的总和。
以下将介绍数列求和的基本原理、常见数列的求和公式以及解决数列求和问题的方法。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之间的差都相等的数列。
等差数列求和的公式如下：Sn=(a1+an)×n/2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。
例子：求等差数列1,3,5,7,9的前5项和。
解答：首先确定等差数列的首项a1为1，末项an为9，项数n为5。
代入求和公式计算即可：S5=(1+9)×5/2=10×5/2=25所以等差数列1,3,5,7,9的前5项和为25。
二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之间的比都相等的数列。
等比数列求和的公式如下：Sn=a1×(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1为首项，r为公比，n为项数。
例子：求等比数列2,4,8,16的前4项和。
解答：首先确定等比数列的首项a1为2，公比r为2，项数n为4。
代入求和公式计算即可：S4=2×(1-2^4)/(1-2)=2×(1-16)/(1-2)=2×(-15)/(-1)=30所以等比数列2,4,8,16的前4项和为30。
三、其他常见数列求和公式除了等差数列和等比数列之外，还有一些常见的数列求和公式：1.平方数列求和：Sn=n×(n+1)×(2n+1)/62.立方数列求和：Sn=[n×(n+1)/2]^23.斐波那契数列求和：Sn=F(n+2)-1，其中F(n)表示第n个斐波那契数四、解决数列求和问题的方法在解决数列求和问题时，我们需要注意以下几点：1.确定数列的类型：首先要确定数列是等差数列还是等比数列，或者其他类型的数列。
2.找到数列的通项公式：根据已知条件，找到数列的通项公式，以便进一步求解。
3.使用相应的求和公式：根据数列类型选择合适的求和公式，代入已知条件计算结果。
数列求和与求通项公式方法总结(已打)
12、已知 为等比数列, , ,则 。
13、已知 得三边长成公比为 的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.
14、已知等比数列 为递增数列,且 ,则数列的通项公式 _____.
15、等比数列{ }的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比 =_______
(Ⅰ)求 的值;(Ⅱ)求数列 的通项公式.
（1）求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 。
数列练习题（近三年各地高考题选编）
一、填空题
1、在等差数列 中, ,则 的前5项和 =。
2、等差数列 中, ,则数列 的公差为。
3、在等差数列 中,已知 =16,则 。
4、如果等差数列 中， + + =12，那么 + +•••…+ =。
5、 为等差数列, 为其前 项和.若 , ,则 ________.
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，问 > 的最小正整数 是多少
2、（2012广州一模）已知等差数列 的公差 ，它的前 项和为 ，若 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证： ．
3、（2012惠州三模）已知函数 ，且数列 是首项为 ，公差为2的等差数列.
6、{an}的前n项和为Sn,且Sn= ,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
7、已知 是等差数列,其前 项和为 , 是等比数列,且 .
(I)求数列 与 的通项公式;
数列求和常用的五种方法
数列求和常用的五种方法在数学学科中，数列是指一系列按照一定规律排列的数字。
数列求和是数学中常见的问题之一，有多种求解方法可以帮助我们计算数列的和。
在本文中，我将介绍五种常见的数列求和方法。
1.等差数列求和公式：等差数列是指数列中的每个元素与前一个元素之差保持不变的数列。
如果数列的首项为a，公差为d，一共有n项，则其求和公式如下：Sn=n/2×(2a+(n-1)d)其中Sn表示数列的和。
这个公式可以通过首项、末项和项数来快速求出数列的和。
2.等比数列求和公式：等比数列是指数列中的每个元素与前一个元素之比保持不变的数列。
如果数列的首项为a，公比为r，一共有n项，则其求和公式如下：Sn=a×(1-r^n)/(1-r)其中Sn表示数列的和。
这个公式可以通过首项、末项和项数来快速求出数列的和。
3.平方和公式：平方和公式用于求解平方数列的和。
平方数列是指数列中的每个元素是前一个元素的平方。
如果数列的首项为a，一共有n项，则其和为：Sn=(2a^3-a-n)/6这个公式可以帮助我们计算平方数列的和，避免了逐个相加的繁琐过程。
4.等差数列求和的几何解释：我们可以将等差数列的求和问题用几何的方法解释。
对于等差数列，每个元素与前一个元素之差保持不变，可以将数列中的元素排列成一个等差数列。
我们可以将等差数列首尾相接，形成一个首项为1，公差为d的数列。
则等差数列的和可以看作是这个等差数列形成的图形的面积。
利用等差数列的几何解释，我们可以得到等差数列求和的公式：Sn=n/2×(a+l)，其中l为数列的末项。
5.积数列求和公式：积数列是指数列中的每个元素是前一个元素与公比之积。
如果数列的首项为a，公比为r，一共有n项，则其和为：Sn=a×(1-r^n)/(1-r)这个公式类似于等比数列求和公式，但是是针对积数列而用的。
以上是数列求和的五种常见方法。
每种方法都适用于不同类型的数列，可以根据数列的特点选择合适的方法来求解数列的和。
数列的求和公式和递推公式
数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。
2.等比数列求和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q（q≠1），项数为n，则等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q=1时，S = n * a1。
3.斐波那契数列求和公式：设斐波那契数列的前n项和为S，则有S =F(n+2) - 1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。
4.平方数列求和公式：设平方数列的前n项和为S，则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。
5.立方数列求和公式：设立方数列的前n项和为S，则有S = n^2(n + 1)/ 2。
二、数列的递推公式1.等差数列递推公式：设等差数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为：an = a1 + (n - 1)d。
2.等比数列递推公式：设等比数列的第n项为an，首项为a1，公比为q（q≠1），则等比数列的递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。
3.斐波那契数列递推公式：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则有F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。
4.线性递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则线性递推公式为：an = an-1 + d。
5.多项式递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，多项式系数为c1, c2, …, cm，则多项式递推公式为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法，为高中数学学习打下基础。
习题及方法：1.等差数列求和习题：已知等差数列的首项为3，末项为20，公差为2，求该数列的前10项和。
数列求和的几种方法
数列求和的几种方法一、数列的求和问题在数学中非常常见，可以通过各种方法进行求解。
下面将介绍一些数列求和的常用方法。
1.直接求和法直接求和法是最基础的求和方法，即将数列中的所有项相加得到数列的总和。
例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
根据等差数列求和公式Sn = n(a1 + an)/2，可以直接将数列中的所有项相加来求和。
2.差分法差分法是一种将数列转化为差分序列进行求和的方法。
对于数列an，可以构造差分序列∆an = an+1 - an，然后将差分序列的所有项相加，得到数列的和。
差分法在数列中的应用较为广泛，尤其对于一些递推关系式的求和问题具有很好的效果。
3.转化法转化法是将数列进行变换，使其转化为容易求解的形式进行求和的方法。
例如，对于等差数列an，可以将其转化为等比数列，再利用等比数列的求和公式进行求解。
转化法需要根据具体数列的性质进行变换，通常需要一定的技巧和经验。
4.等差数列求和公式对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数，有等差数列求和公式Sn = n(a1 + an)/2、该公式是数列求和中最常用的公式之一，可以快速计算得到等差数列的和。
此外，还可以利用等差数列的对称性求和，即Sn = na1 + n(n-1)d/25.等比数列求和公式对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数，有等比数列求和公式Sn = a1 * (q^n - 1)/(q - 1)。
该公式是数列求和中另一个常用的公式，可以迅速计算得到等比数列的和。
6.综合求和法当数列无法通过上述方法直接求和时，可以尝试使用综合求和法。
综合求和法是利用数列中的递推关系式和数学归纳法进行求和的方法。
通过观察数列中的规律，可以得到数列中前n项的和与前n-1项的和之间的关系，从而得到数列的总和。
以上是数列求和的一些常用方法，不同的数列可以采用不同的方法求解。
(完整版)数列前n项和的求法总结
数列前n 项和的求法总结核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。
一． 公式法（1） 等差数列前n 项和： S n=n(a 1+a n )2=na 1+n(n+1)2d（2） 等比数列前n 项和： q =1时， S n=na 1；q ≠1时， S n =a 1（1−q n ）1−q（3） 其他公式： S n=1+2+3+⋯+n =12n (n +1)S n =12+22+32+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)S n =13+23+33+⋯+n 3=[12n (n +1)]2例题1：求数列 112，214，318，……，(n +12n )，…… 的前n 项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。
练习：二.倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an }，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn =a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn =an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn =(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn =n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。
数列的规律与求和公式
数列的规律与求和公式数列是数学中常见的一种数值排列形式，其中的数字按照一定的规律排列。
数列的规律及其求和公式在数学学习中扮演着重要角色，掌握了数列的规律与求和公式，能够帮助我们解决实际问题，同时也有助于提高我们的数学思维能力。
本文将介绍数列的规律与求和公式，并通过实例进行解说。
一、等差等差数列是一种数列，其中的两个相邻项之间的差值保持不变。
等差数列的通项公式为An = A1 + (n-1)d，其中An表示第n个项，A1表示第一个项，d表示公差。
在等差数列中，每一项与首项的差值为d。
等差数列的求和公式为Sn = (n/2)(A1 + An)，其中Sn表示前n项和，A1表示第一个项，An表示第n个项。
通过等差数列的求和公式，我们可以轻松计算任意项数的等差数列的和。
例如，给定一个等差数列：2，5，8，11，14，.....，其中首项A1= 2，公差d = 3。
我们可以使用通项公式和求和公式来计算该等差数列的任意项和前n项的和。
二、等比等比数列是一种数列，其中的两个相邻项之间的比值保持不变。
等比数列的通项公式为An = A1 × r^(n-1)，其中An表示第n个项，A1表示第一个项，r表示公比。
在等比数列中，每一项与前一项的比值为r。
等比数列的求和公式为Sn = A1 × (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n 项和，A1表示第一个项，r表示公比。
通过等比数列的求和公式，我们可以计算任意项数的等比数列的和。
例如，给定一个等比数列：3，6，12，24，48，.....，其中首项A1= 3，公比r = 2。
我们可以使用通项公式和求和公式来计算该等比数列的任意项和前n项的和。
三、斐波那契斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每个项都是前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中Fn表示第n个项，F1 = 1，F2 = 1。
斐波那契数列的规律独特且十分有趣，常常在自然界中出现。
数列求和的方法技巧总结
数列求和的方法技巧总结数列求和的方法技巧总结总结是事后对某一时期、某一项目或某些工作进行回顾和分析，从而做出带有规律性的结论，写总结有利于我们学习和工作能力的提高，我想我们需要写一份总结了吧。
总结怎么写才不会千篇一律呢？下面是小编为大家整理的数列求和的方法技巧总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
一、倒序相加法此法来源于等差数列求和公式的推导方法。
例1. 已知求解：。
①把等式①的右边顺序倒过来写，即①可以写成以下式子：②把①②两式相加得二、错位相消法此法来源于等比数列求和公式的推导方法。
例2. 求数列的前n项和。
解：设当时，当时，①①式两边同时乘以公比a，得②①②两式相减得三、拆项分组法把一个数列分拆成若干个简单数列（等差数列、等比数列），然后利用相应公式进行分别求和。
例3. 求数列的前n项和。
解：设数列的前n项和为，则当时，当时，说明：在运用等比数列的前n项和公式时，应对q＝1与的'情况进行讨论。
四、裂项相消法用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项技巧。
如例4. 求数列的前n项和。
解：五、奇偶数讨论法如果一个数列为正负交错型数列，那么从奇数项和偶数项分别总结出与n的关系进行求解。
例5. 已知数列求该数列的前n项和。
解：对n分奇数、偶数讨论求和。
①当时，②当时，六、通项公式法利用，问题便转化成了求数列的通项问题。
这种方法不仅思路清晰，而且运算简洁。
例6. 已知数列求该数列的前n项和。
解：即∴数列是一个常数列，首项为七、综合法这种方法灵活性比较大，平时注意培养对式子的敏锐观察力，尽量把给定数列转化为等差或等比数列来处理。
例7. 已知求分析：注意观察到：其他可依次类推。
关键是注意讨论最后的n是奇数还是偶数。
解：①当n为奇数时，由以上的分析可知：②当n为偶数时，可知：由①②可得说明：对于以上的各种方法，大家应注意体会其中所蕴含的分类讨论及化归的数学思想方法。
当然，数列求和的方法还有很多，大家平时还应多注意总结。
数列求和的8种常用方法(最全)
数列求和的8种常用方法(最全)一、前言在高中数学以及各类应用数学问题中，数列求和问题是非常常见的。
解决数列求和问题不仅需要对常用数列的规律进行深刻的理解，还需要掌握多种数列求和的方法。
本文将介绍数列求和的八种常用方法，并且会结合具体的数列实例来进行讲解。
尽力做到对每一种方法的介绍都能够做到极致详细，希望对读者有所帮助。
二、数列求和的8种常用方法1. 等差数列求和公式对于一个首项为$a_1$，公差为$d$，共有$n$ 项的等差数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。
举例：求和数列$1，3，5，7，9$ 的和。
分析：此数列的首项为1，公差为2，总共有5项。
解答：$$S_5 = \frac{5}{2}(2\times 1 + (5-1)\times 2)=25$$因此，数列$1，3，5，7，9$ 的和为25。
2. 等比数列求和公式对于一个首项为$a_1$，公比为$q$，共有$n$ 项的等比数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。
举例：求和数列$2，4，8，16，32$ 的和。
分析：此数列的首项为2，公比为2，总共有5项。
解答：$$S_5=\frac{2\times (1-2^5)}{1-2}=-62$$因此，数列$2，4，8，16，32$ 的和为-62。
3. 几何级数通项公式求和对于一般形式为$a_1r^{n-1}$ 的数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。
举例：求和数列$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16}$ 的和。
分析：此数列的首项是1，公比是$-\frac{1}{2}$，总共有5项。
数列求和问题的常用解法
数列求和问题的常用解法
数列求和是数学中常见的问题，常用的解法有以下几种：
1. 等差数列求和公式：对于首项为a，公差为d的等差数列，其前n项和为Sn = n/2(2a + (n-1)d)。
2. 等比数列求和公式：对于首项为a，公比为r的等比数列，其前n项和为Sn = a(1-r^n)/(1-r)。
3. 算术-几何平均数不等式：对于正数a1,a2,...,an和
b1,b2,...,bn，有(a1×b1 + a2×b2 + ... + an×bn)/n >=
(a1+a2+...+an)^(1/n) × (b1+b2+...+bn)^(1/n)。
该不等式可以用于证明柯西不等式和均值不等式，也可以用于求解某些数列的和。
4. 指数函数与对数函数求和：对于形如a^1+a^2+...+a^n的数列，可以使用指数函数与对数函数的性质求解，即将其转化为
(a^(n+1)-1)/(a-1)的形式。
5. 差分求和法：对于某些数列，如果其相邻两项之差为一个定值，可以使用差分求和法求解。
具体方法为将每项减去前一项，得到一个新的数列，然后使用等差数列求和公式求解。
以上是数列求和问题的常用解法，根据具体问题的不同，还可以使用其他方法求解。
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数列求和知识点归纳总结
数列求和知识点归纳总结数列求和是数学中的一项重要内容，是指根据数列中的规律，计算出数列中所有项的和。
在数学中，数列求和有各种不同的方法和公式，下面将对常见的数列求和知识点进行归纳总结。
一、等差数列的求和等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
在等差数列中，我们常用的求和公式为：Sn = n（a1 + an）/ 2其中，Sn表示前n项的和，a1为首项，an为末项，n为项数。
例子一：求和公式对于等差数列1，3，5，7，9的前10项和可以表示为：S10 = 10（1 + 9）/ 2 = 10 * 10 / 2 = 50二、等比数列的求和等比数列是指数列中每一项与前一项的比值都相等的数列。
在等比数列中，我们常用的求和公式为：Sn = a1（1 - q^n）/ (1 - q)其中，Sn表示前n项的和，a1为首项，q为公比，n为项数。
例子二：求和公式对于等比数列2，4，8，16，32的前5项和可以表示为：S5 = 2（1 - 2^5）/ (1 - 2) = 62三、特殊数列的求和除了等差数列和等比数列，还有一些特殊的数列求和公式需要注意。
1. 奇数数列的求和对于奇数数列1，3，5，7，9，11......，前n项和可以表示为：Sn = n^22. 平方数列的求和对于平方数列1，4，9，16，25，......，前n项和可以表示为：Sn = n（n + 1）(2n + 1)/63. 立方数列的求和对于立方数列1，8，27，64，125，......，前n项和可以表示为：Sn = [n(n + 1)/2]^2四、递推公式的应用在一些情况下，数列的求和可以利用递推公式来求解。
递推公式是指通过前一项或前几项来推导出下一项的公式。
例子三：对于数列1，1/2，1/4，1/8，1/16，......，可以发现每一项都是前一项的一半。
因此，我们可以利用递推公式来求和：Sn = 1（1 - 1/2^n）/ (1 - 1/2) = 2 - 1/2^n以上是数列求和的一些常见知识点的归纳总结。
高中数学知识点总结(第六章 数列 第四节 数列求和)
第四节 数列求和一、基础知识1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝na 1＋a n 2＝na 1＋nn －1d2. 推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝nn ＋12； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．考点一 分组转化法求和[典例] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． [解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n2－n －12＋n －12＝n .又a 1＝1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝21－22n 1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. [解题技法]1．分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和．2．分组转化法求和的常见类型[题组训练]1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －⎝⎛⎭⎫12n，则其前20项和为( ) A ．379＋1220B ．399＋1220C ．419＋1220D ．439＋1220解析：选C 令数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝2(1＋2＋3＋…＋20)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋1220＝420－⎝⎛⎭⎫1－1220＝419＋1220. 2．(2019·资阳诊断)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A ．1 121B ．1 122C ．1 123D ．1 124解析：选C 由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×1－2101－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.选C.考点二 裂项相消法求和考法(一) 形如a n ＝1nn ＋k型 [典例] (2019·南宁摸底联考)已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n a n ＋1，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)设等差数列的公差为d ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. (2)因为c n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3，所以c n ＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3，所以T n ＝12⎝⎛⎭⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝⎛⎭⎫13－12n ＋3＝n6n ＋9. 考法(二) 形如a n ＝1n ＋k ＋n型[典例] 已知函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令a n ＝1f n ＋1＋f n ，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 019＝( )A. 2 018－1B. 2 019－1C. 2 020－1D. 2 020＋1[解析] 由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f n ＋1＋f n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 019＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝(2－ 1 )＋(3－ 2 )＋(4－ 3 )＋…＋( 2 019－2 018)＋( 2 020－ 2 019)＝ 2 020－1. [答案] C[解题技法]1．用裂项法求和的裂项原则及消项规律 2．常见的拆项公式(1)1n n ＋1＝1n －1n ＋1；(2)12n －12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(4)2n2n－12n ＋1－1＝12n－1－12n ＋1－1. [题组训练]1.在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝6，a 11＝8，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋3·a n ＋4的前n 项和为( )A.n ＋1n ＋2B.n n ＋2C.n n ＋1D.2n n ＋1解析：选C 因为a 3＋a 5＋a 7＝6， 所以3a 5＝6，a 5＝2，又a 11＝8， 所以等差数列{a n }的公差d ＝a 11－a 511－5＝1， 所以a n ＝a 5＋(n －5)d ＝n －3， 所以1a n ＋3·a n ＋4＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1， 因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an ＋3·a n ＋4的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，故选C.2.各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝8，且2a 1，a 3,3a 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1n log 2a n，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)． ∵2a 1，a 3,3a 2成等差数列，∴2a 3＝2a 1＋3a 2，即2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q ， ∴2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12(舍去)，∴a n ＝8×2n －1＝2n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝1n log 22n ＋2＝1n n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 ＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2. 考点三 错位相减法[典例] (2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和T n .[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2.又a n ＞0，解得a 1＝2，q ＝2， 所以a n ＝2n . (2)由题意知， S 2n ＋1＝2n ＋1b 1＋b 2n ＋12＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝32＋1－⎝⎛⎭⎫12n －1－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1， 所以T n ＝5－2n ＋52n .[变透练清]1.变结论若本例中a n ，b n 不变，求数列{a n b n }的前n 项和T n .解：由本例解析知a n ＝2n ，b n ＝2n ＋1， 故T n ＝3×21＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n ，2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n ＋1)×2n ＋1，上述两式相减，得，－T n ＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n ＋1)2n ＋1 ＝6＋81－2n－11－2－(2n ＋1)2n ＋1＝(1－2n )2n ＋1－2 得T n ＝(2n －1)×2n ＋1＋2.2．已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12， 而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 因为q >0，解得q ＝2，所以b n ＝2n . 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8. ① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16. ② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3， 由此可得a n ＝3n －2.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，有 T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ，2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋1， 上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n －(6n －2)×2n ＋1 ＝12×1－2n 1－2－4－(6n －2)×2n ＋1＝－(3n －4)2n ＋2－16， 得T n ＝(3n －4)2n ＋2＋16.所以数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋2＋16.[易误提醒](1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n －1项和当作n 项和．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q ＝1和q ≠1两种情况求解．[课时跟踪检测]A 级1．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n －1，若该数列的前k 项之和等于9，则k ＝( )A ．80B ．81C ．79D ．82解析：选B a n ＝1n ＋n －1＝n －n －1，故S n ＝n ，令S k ＝k ＝9，解得k ＝81，故选B.2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15解析：选A a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝5×3＝15，故选A.3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158解析：选C 设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得91－q 31－q ＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.4．在等差数列{a n }中，a 4＝5，a 7＝11.设b n ＝(－1)n ·a n ，则数列{b n }的前100项之和S 100＝( )A ．－200B ．－100C ．200D ．100解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝5，a 1＋6d ＝11⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2⇒a n ＝2n－3⇒b n ＝(－1)n (2n －3)⇒S 100＝(－a 1＋a 2)＋(－a 3＋a 4)＋…＋(－a 99＋a 100)＝50×2＝100，故选D.5．已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为( )A ．1 026B ．1 025C ．1 024D ．1 023解析：选C ∵2n ＋12n ＝1＋⎝⎛⎭⎫12n， ∴T n ＝n ＋1－12n ，∴T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1210，又m >T 10＋1 013， ∴整数m 的最小值为1 024.6．已知数列：112，214，318，…，⎝⎛⎭⎫n ＋12n ，…，则其前n 项和关于n 的表达式为________． 解析：设所求的前n 项和为S n ，则 S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝nn ＋12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n n ＋12－12n ＋1. 答案：nn ＋12－12n ＋1 7．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k ＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n n ＋12，1S n ＝2nn ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，因此∑k ＝1n1S k ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2nn ＋1.答案：2nn ＋18．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018＝________.解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，① ∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，②由①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 018＝1－21 0091－2＋21－21 0091－2＝3·21 009－3.答案：3·21 009－39．(2019·成都第一次诊断性检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝3，S 4＝16，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＝3，S 4＝16， ∴a 1＋d ＝3,4a 1＋6d ＝16， 解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1. (2)由题意知，b n ＝12n －12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1 ＝n2n ＋1. 10．(2018·南昌摸底调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，记b n ＝a n S n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)∵S n ＝2n ＋1－2，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1－2＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n . 又a 1＝2＝21，∴a n ＝2n .(2)由(1)知，b n ＝a n S n ＝2·4n －2n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋...＋b n ＝2(41＋42＋43＋...＋4n )－(22＋23＋ (2)＋1)＝2×41－4n 1－4－41－2n 1－2＝23·4n ＋1－2n ＋2＋43.B 级1．(2019·潍坊统一考试)若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －λ(λ>0，n ∈N *)． (1)证明数列{a n }为等比数列，并求a n ；(2)若λ＝4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .解：(1)∵S n ＝2a n －λ，当n ＝1时，得a 1＝λ， 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－λ， ∴S n －S n －1＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是以λ为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝λ·2n －1.(2)∵λ＝4，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数，∴T 2n ＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋…＋22n ＋2n ＋1 ＝(22＋24＋…＋22n )＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝4－4n ·41－4＋n 3＋2n ＋12＝4n ＋1－43＋n (n ＋2)，∴T 2n ＝4n ＋13＋n 2＋2n －43.2．已知首项为2的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝3S n －2S n －1(n ≥2，n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n ＋1a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为S n ＋1＝3S n －2S n －1(n ≥2)， 所以S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1(n ≥2)，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，所以a n ＋1＝2n ＋1，则a n ＝2n ，当n ＝1时，也满足，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)因为b n ＝n ＋12n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n， 所以T n ＝2×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋4×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫12n ，① 12T n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＋3×⎝⎛⎭⎫123＋4×⎝⎛⎭⎫124＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫12n ＋1，② ①－②得12T n ＝2×12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋111＝12＋⎝⎛⎭⎫121＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝12＋1－⎝⎛⎭⎫12n －(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ＝32－n ＋32n ＋1. 故数列{b n }的前n 项和为T n ＝3－n ＋32n .。
数列的求和问题(规律总结)
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数列的求和问题知识点一：数列的前项和的相关公式1。
任意数列的第项与前项和之间的关系式：2.等差数列的前项和公式：（为常数）当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时（a1≠0）,S n=na1是关于n的正比例式。
3.等比数列的前项和公式:当时,，，当时，或知识点二：求数列的前项和的几种常用方法1.公式法：如果一个数列是等差或者等比数列，求其前项和可直接利用等差数列或等比数列的前项和公式求和；2。
分组转化法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为a n=2n+3n的数列求和。
3.倒序相加法：如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,可以采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。
例如等差数列前项和公式的推导.对通项公式为的数列求和. 4。
错位相减法：如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法。
即错位相减法适用于通项为(其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）(也称为“差比数列"）的数列求前项和。
例如对通项公式为的数列求和。
一般步骤：,则所以有注意：①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前项和的两边都乘以等比数列的公比q后，再错位相减求出其前项和；②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1,若q=1，错位相减法会不成立。
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数列的求和问题
知识点一：数列的前项和的相关公式
1.任意数列的第项与前项和之间的关系式：
2.等差数列的前项和公式：
（为常数）
当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；
当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n的正比例式.
3.等比数列的前项和公式：
当时，，，
当时，或
知识点二：求数列的前项和的几种常用方法
1.公式法：
如果一个数列是等差或者等比数列，求其前项和可直接利用等差数列或等比数列的前项和公式求和；
2.分组转化法：
把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和。
例如对通项公式为a n=2n+3n的数列求和。
3.倒序相加法：
如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可以采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和.例如等差数列前项和公式的推导。
对
通项公式为的数列求和。
4.错位相减法：
如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应
项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为
（其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）
的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和。
一般步骤：
，则
所以有
注意：
①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法。
一般都是把前项和的两边都乘以等比数列的公
比q后，再错位相减求出其前项和；
②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错位相减法
会不成立.
5.裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.
例如对通项公式为的数列求和。
常见的拆项公式：
①；
②若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则；
③若的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，
则.
④；.
知识点三：掌握一些常见数列的前n项和公式
1. ；
2.
3. ；
规律方法指导
数列求和基本策略和方法：
1．基本策略：
一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，从通项变形拆分，邻项运算关系，整体隔项的规律……等角度去考查概括，转化化归为等差、等比数列或常数列等，然后用熟知的公式求解。
2．基本方法：
①公式法：等差、等比，自然数平方和公式；
②分解化归为可用公式；
③错项相减法；
④裂项相消法。