数列求和各种方法总结归纳
数列求和的七种基本方法
数列求和的七种基本方法在数学中，数列是一系列按一定规律排列的数值，求和则是将数列中的所有数值相加的运算。
数列求和是数学中非常重要的一部分，它不仅在数学中具有广泛的应用，也在其他学科如物理学、经济学等中发挥着重要的作用。
在数列求和问题中，有许多种基本的方法可以帮助我们解决问题。
一、综合物理方法（高中物理方法）：物理学中，我们经常遇到等差数列求和的问题，例如计算平均速度。
我们可以利用物理公式来求解数列的和。
假设一个运动物体在时间t内以a的加速度匀加速运动，初速度为v0，则末速度v= at + v0。
利用等差数列的思想，将时间划分为无穷小时间片段dt，则位移ds= (at + v0)dt。
将位移累加起来，即可得到整个时间段内的位移S。
我们可以通过对时间积分求和来解决这个问题。
二、找到规律在数列求和的问题中，我们常常需要根据数列的规律来进行求和。
数列的规律可以通过观察数列的前几项，并进行逻辑推理来得出。
有时，根据数列的规律，我们可以将数列拆分成若干个简单的数列，从而方便我们进行求和。
例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，我们可以将其拆分为两个数列，一个是由首项、末项构成的数列(an = a1 + (n-1)d)，另一个是由末项、首项构成的数列(a1 = an - (n-1)d)。
我们可以对这两个数列进行求和，然后将结果相加，即可得到等差数列的和。
同样地，对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，我们可以将其拆分为两个数列，一个是由首项、末项构成的数列(an = a1 * q^(n-1))，另一个是由末项、首项构成的数列(a1 = an / q^(n-1))。
我们可以对这两个数列进行求和，然后将结果相加，即可得到等比数列的和。
三、利用前缀和前缀和也叫做累加和，是指从数列的第一项开始，逐项进行求和，得到的数列。
求和前缀和的过程可以通过递推公式来表示。
对于一个数列{a1, a2, a3, ..., an}，它的前缀和表示为{S1, S2, S3, ..., Sn}，其中Si表示数列的前i项的和。
数列求和题型归纳
数列求和体题型总结一、方法1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 2．公式法： 222221(1)(21)1236n k n n n kn =++=++++=∑ 2333331(1)1232nk n n k n =+⎡⎤=++++=⎢⎥⎣⎦∑ 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式：111)1(1+-=+n n n n ； 1111()(2)22n n n n =-++ ; )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n 5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
6．合并求和法：7．倒序相加法：8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等二、典型例题1．直接法或公式法求和例1．求和：① 个n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1(nn n x x x x x x S ++++++= ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S2．错位相减法求和例2．已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a an a a n ，求前n 项和。
3.裂项相消法求和例3.（1）求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n （2）()()111112323434512n S n n n =++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯++ ，求n S 。
4.倒序相加法求和例4．2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++ ．5．分组求和法例5.求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…三、课后练习1.．已知数列{n a }满足：}{,2)32()12(3121n n n b n a n a a 数列+⋅-=-+++ 的前n 项和 n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222⋅-+=.2．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足,)1(2,11n n a n S a +==（I ）求n a 与1-n a 的关系式，并求{n a }的通项公式； （II ）求和.111111212322-++-+-=+n n a a a W3．已知数列{}n a 的通项65()2()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．。
数列求和各种方法总结归纳
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
an (2)设数列{ n－1}的前n项和为Sn， 2 a2 an 即Sn＝a1＋ 2 ＋…＋ n－1，① 2 Sn a1 a2 an 故S1＝1， 2 ＝ 2 ＋ 4 ＋…＋2n，② 所以，当n＞1时，①－②得
a2－a1 an－an－1 an Sn 2 ＝a1＋ 2 ＋…＋ 2n－1 －2n
－ － －
(2)由题意知bn－an＝3n 1，所以bn＝3n 1＋an＝3n 1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3
n－1
3n－1 )＝－n ＋20n＋ 2 .
2
[冲关锦囊]
分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·n－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； q (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列， 采用分组求和法求{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式； 第三行
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求 {bn}的前2n项和S2n
[自主解答]
(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，
2 3a2＝1，a3＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{b }的前n项和． n
[自主解答]
(1)设数列{an}的公比为q.由a2＝9a2a6得 3 9 3
1 1 2 2 2 a3＝9a4，所以q ＝ .由条件可知q＞0，故q＝ . 1 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝3. 1 故数列{an}的通项公式为an＝3n.
数列求和的8种常用方法
数列求和的8种常用方法数列求和是数学中非常常见的问题，它的解法有很多种。
下面我将介绍8种常用的方法来求解数列的和，让我们一起来看看吧。
一、等差数列求和公式对于等差数列$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
二、等比数列求和公式对于等比数列$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用等比数列求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1或者当q=1时，$S=a_1n$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
三、几何级数求和公式对于几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用几何级数求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1四、等差数列-等比数列混合求和公式对于等差数列-等比数列混合数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列-等比数列混合求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} + \frac{n(n-1)d}{2}q^{(n-2)}$，其中q≠1五、反比例数列求和公式对于反比例数列$s_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}$，其中$a_1$表示第一个数，我们可以利用反比例数列求和公式求解：$S = \frac{n}{a_1}$六、算术-几何级数求和公式对于算术-几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差$S = \frac{a_1}{1-q} + \frac{d}{(1-q)^2}$，其中q≠1七、差分数列求和公式对于差分数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1+ (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用差分数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
数列求和公式方法总结
数列求和公式方法总结数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数构成的序列。
在数列中，求和是一个常见的问题，而求和公式和方法则是解决这一问题的关键。
本文将对数列求和的常见公式和方法进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握数列求和的技巧。
一、等差数列求和公式。
等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，常用的求和公式有以下两种：1. 等差数列的前n项和公式，Sn = (a1 + an) n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
2. 等差数列的通项公式，an = a1 + (n-1) d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
二、等比数列求和公式。
等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列，常用的求和公式有以下两种：1. 等比数列的前n项和公式，Sn = a1 (1 q^n) / (1 q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
2. 等比数列的通项公式，an = a1 q^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，q为公比。
三、其他常见数列求和公式。
除了等差数列和等比数列外，还有一些其他常见的数列求和公式，如：1. 平方和公式，1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6。
2. 立方和公式，1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n (n + 1) / 2)^2。
3. 斐波那契数列求和公式，F(n) = F(n+2) 1，其中F(n)为斐波那契数列的前n项和。
四、数列求和的常用方法。
除了利用求和公式外，还有一些常用的方法可以帮助我们求解数列的和，如：1. 数学归纳法，通过证明首项成立，然后假设第k项成立，推导出第k+1项也成立，从而得出结论。
2. Telescoping series，利用数列中相邻项之间的关系，将求和式中的部分项相互抵消，从而简化求和过程。
3. 倒序相消法，将数列按照相反的顺序排列，然后与原数列相加，利用相邻项之间的关系进行相消，从而简化求和过程。
数列求和的8种常用方法
数列求和的8种常用方法数列求和是数学中常见的问题，解决数列求和问题有很多方法。
下面将介绍数列求和的8种常用方法。
1.直接相加法：这是最基本的方法，实际上就是将数列中的所有项相加。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，可以直接相加得到1+3+5+7+9=252.偶数项和与奇数项和之和法：对于一些数列，可以将其分解为偶数项和与奇数项和，然后再求和。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，可以分解为偶数项和4+8和奇数项和1+3+5+7+9，再相加得到(4+8)+(1+3+5+7+9)=373.首项与末项和的乘法法：对于等差数列，可以利用首项与末项之和的公式来求和。
首项与末项之和等于和的平均数乘以项数。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，首项与末项之和等于(1+9)*(项数/2)=10*5/2=254.首项与公差与项数的乘法法：对于等差数列，可以利用首项、公差和项数的乘积来求和。
等差数列的和等于首项乘以项数，再加上项数与公差之积的和。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，和等于1*5+(5*4)/2=10+10=20。
5.平均数法：对于一些特殊的数列，可以利用平均数的性质来求和。
平均数等于数列中的第一项与最后一项的平均值。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，平均数等于(1+9)/2=5，然后将平均数乘以项数，得到5*5=256.高斯求和法：高斯求和法是一种数学推导方法，用于求等差数列的和。
首先将数列化为由首项和末项构成的和，然后将数列顺序颠倒，再将之前的和与颠倒后的和相加，得到的结果就是等差数列的和。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，将其化为(1+9)+(3+7)+5，然后将数列颠倒得到5+(7+3)+9，再相加得到257. telescopage法（消去法）：telescopage法是一种利用抵消的思想来求和的方法。
可以将数列中相邻的两项之差相消为0，最终得到一个简单的表达式，然后再求值。
例如，对于数列1, 2, 3, 4, 5，可以将(2-1) + (3-2) + (4-3) + (5-4)相加，得到1 + 1 + 1 + 1 = 48.更一般的求和方法：对于一些复杂的数列，可能需要应用更一般的数学方法来求解。
数列求和各种方法总结归纳
数列求和各种方法总结归纳数列求和是数学中常见的问题之一，涉及到很多的方法和技巧。
下面我将对几种常见的数列求和方法进行总结归纳。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项的差都相等的数列。
我们可以通过以下几种方法来求等差数列的和：1. 公式法：对于等差数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。
等差数列的和可以表示为：S = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
2.差分法：我们可以通过差分法来求等差数列的和。
即将数列中相邻两项的差列示出来，并求和，这样就变成了一个等差数列求和的问题。
例如对于数列1,3,5,7,9，差分后得到的数列是2,2,2,2，再求和得到83.数学归纳法：我们可以通过数学归纳法来求等差数列的和。
首先假设等差数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。
例如对于数列1,3,5,7,9，我们可以假设Sn=1+3+5+7+9，然后通过归纳可以得到Sn+1=1+3+5+7+9+11=Sn+a(n+1)，其中a(n+1)为数列的第n+1项，最终求得Sn=n^2二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项的比相等的数列。
我们可以通过以下几种方法来求等比数列的和：1.公式法：对于等比数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。
等比数列的和可以表示为：S=a*(1-r^n)/(1-r)，其中a为首项，r为公比，n为项数。
需要注意的是，当r小于1时，求和公式仍然成立。
当r等于1时，等比数列的和为a*n。
2.求导法：我们可以通过对等比数列求导来求和。
对等比数列进行求导得到的结果是一个等差数列，然后再对等差数列进行求和就可以求得等比数列的和。
3.数学归纳法：和等差数列一样，我们也可以通过数学归纳法来求等比数列的和。
首先假设等比数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。
三、递推数列求和递推数列是指数列中每一项都是由前面一项或几项推出来的。
数列求和方法总结
数列求和方法总结数列求和是数学中一个非常常见且重要的问题，它出现在各个领域的数学问题中，并且在高中数学及以上的学习中经常遇到。
在解决数列求和问题时，我们可以通过多种方法，其中包括代入法、消元法、几何法、差分法、数学归纳法等等。
下面我将对这些方法进行详细的总结与说明。
1. 代入法：代入法是一种常见的求和方法。
我们可以通过代入来求和项的个数和具体数值。
首先，我们需要确定数列的通项公式，然后将要求和的项数具体代入到通项公式中，求出每一项的数值，最后再将这些数值相加即可得到所求的数列的和。
例如，要求等差数列1、3、5、7、9的前n项和，我们可以先找到通项公式为an=2n-1，然后代入每一项的数值，得到1、3、5、7、9，最后相加得到的和为(1+9)*5/2=25。
2. 消元法：消元法是一种常用的数学方法，在求和问题中也有广泛应用。
通过对求和式进行变形，我们可以通过消除多项式的常数项、控制变量项或者引入新的变量来简化求和的步骤，从而得到更简单的表达式。
例如，要求等差数列1、2、3、4、5的前n项和，我们可以通过对求和式进行变形，得到Sn=(n+1)*n/2。
3. 几何法：几何法是一种求解数列求和的常见方法，它通常适用于等比数列求和问题。
当数列的各项之间的比值存在规律时，我们可以通过将数列的各项代入到几何模型中来计算求和的方法。
例如，要求等比数列1、2、4、8、16的前n项和，我们可以将这些数列代入等比数列的几何模型中，即1、2、2^2、2^3、2^4，可见，这是一个以2为公比的等比数列。
根据等比数列的求和公式Sn=a1*(r^n-1)/(r-1)，代入数值可得到所求的和。
4. 差分法：差分法是一种通过对数列进行差分来求和的方法。
它通常适用于数列之间的差为常数或规律的数列，通过对数列进行差分可以简化求和的过程。
例如，要求等差数列1、3、5、7、9的前n项和，我们可以通过差分法来解决，即将数列进行差分得到2、2、2、2，可以发现这是一个公差为2的等差数列。
数列求和方法汇总
数列求和方法汇总数列求和是数列中各项数值的总和。
在数学中，数列求和是基本的概念之一，有许多不同的方法可以用于解决数列求和问题。
我将在以下几个方面对数列求和的方法进行归纳总结：等差数列求和、等比数列求和、调和数列求和、斐波那契数列求和以及其他常见数列求和方法。
一、等差数列求和：等差数列是指数列中每一项与前一项的差值都相等的数列。
等差数列的求和有以下几种方法：1. 公式法：等差数列的求和可以使用求和公式Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示数列的和，n表示数列中项数，a1表示数列的首项，an表示数列的末项。
这个公式可以直接应用于已知首项、末项和项数的情况。
2.累加法：如果项数较少，可以直接将各项相加求和，这种方法适用于求和数列项数较少的情况。
3.差分法：等差数列的求和也可以通过差分法来解决。
差分法的基本思想是利用数列的递推关系进行求和。
通过计算相邻两项的差值，然后将这些差值相加，得到数列的和。
二、等比数列求和：等比数列是指数列中每一项与前一项的比值都相等的数列。
等比数列的求和有以下几种方法：1.公式法：等比数列的求和可以使用求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，n表示数列中项数，a1表示数列的首项，q表示公比。
这个公式可以直接应用于已知首项、公比和项数的情况。
2.累加法：与等差数列类似，如果项数较少，可以直接将各项相加求和，这种方法适用于求和数列项数较少的情况。
3.分组法：对于一些特殊的等比数列，可以将数列拆分为多个子数列，然后分别求和。
通过分组求和可以简化求和过程，得到最终结果。
三、调和数列求和：调和数列是指数列中每一项的倒数构成的数列。
调和数列的求和有以下几种方法：1.公式法：调和数列的求和可以使用求和公式Sn=1/1+1/2+1/3+...+1/n，其中Sn表示数列的和，n表示数列中的项数。
调和数列的求和公式没有一般形式的解，但可以通过近似方法来求和，如泰勒级数展开等。
数列求和的七种方法
数列求和的七种方法数列求和是数学中的一个基本问题，我们经常会在数学课上遇到。
在解决数列求和的问题时，我们可以使用多种方法来计算数列的和。
下面我将介绍七种常见的方法。
第一种方法是等差数列求和。
等差数列的特点是每一项与前一项的差值都相等，我们可以使用等差数列求和公式来计算其和。
如果一个等差数列的首项为a，公差为d，有n项，则等差数列的和可以表示为Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)。
通过这个公式，我们可以快速计算等差数列的和。
第二种方法是等比数列求和。
等比数列的特点是每一项与前一项的比值都相等，我们可以使用等比数列求和公式来计算其和。
如果一个等比数列的首项为a，公比为r，有n项，则等比数列的和可以表示为Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)。
通过这个公式，我们可以方便地计算等比数列的和。
第三种方法是求和公式法。
对于一些特殊的数列，我们可以找到一个求和公式来计算其和。
例如，等差数列和等比数列都有对应的求和公式。
在解决数列求和的问题时，我们可以通过寻找求和公式来简化计算过程。
第四种方法是换元法。
有时候，我们可以通过将数列中的项进行变量替换来简化计算过程。
例如，我们可以将数列中的项表示为一个多项式，并对该多项式进行求和。
通过变量替换和多项式求和，我们可以迅速得出数列的和。
第五种方法是递推法。
对于一些没有明显规律的数列，我们可以使用递推法来计算其和。
递推法的思想是通过前几项的和来求解后一项的值。
通过不断累加并递推，我们可以得到数列的和。
第六种方法是分组求和法。
对于一些复杂的数列，我们可以将其划分为多个子数列，并分别计算每个子数列的和。
然后将所有子数列的和相加，即得到整个数列的和。
这个方法常常在解决难题时使用，可以将复杂问题化简为简单问题。
第七种方法是利用数学工具求和。
在现代数学中，我们有各种各样的数学工具可以用来辅助求和。
例如，我们可以使用微积分中的积分来计算一些复杂数列的和。
通过利用数学工具，我们可以更加高效地求解数列求和的问题。
高中数学必修五数列求和方法归纳总结
数列求和方法归纳总结数列前n 项和求解的基本方法主要有：公式法，倒序相加法，分组求和法，错位相减法，裂项相消法。
1.公式法：即利用等差数列前n 项和公式或等比数列前n 项和公式求解。
例1、已知点(,)n n a 在函数()21f x x =-图像上，数列{}n a 的前n 项和为n S .求n S .2.倒序相加法：如果一个数列{}n a 首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
（等差数列的前n 项和即用此法推导的）例2、设4()42x x f x =+，求和：122001...200220022002S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.分组求和法：把数列的项重新组合后，可构成等差或等比数列，则利用此法求解。
例3、（1）求数列11111,3,5...,[(21)]2482n n -+的前n 项和； （2）求数列{(1)(21)}n n --的前2013项和2013S .4.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成，则用此法求解（等比数列的前n 项和即用此法推导的）。
求解时，把数列的各项均乘以等比数列的公比，并错后一项与原数列各项对应相减，即可转化为特殊数列的求和问题。
例4、已知数列{}n a 是首项11a =的等比数列，且0n a >，数列{}n b 是首项1b =的等差数列，又5321a b +=，3513a b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}2n nb a 的前n 项和为n S .5. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
注意：（1）在利用裂项相消法时要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也可能剩前面两项和后面两项；（2）将通项公式裂项后，注意调整前面的系数，使之相等。
（3）常见的拆项公式：1111()()n n k k n n k =-++；1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+.例5、已知等比数列{}n a 的首项为113a =，公比q 满足0q >且1q ≠，又已知135,5,9a a a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令31log n n b a =，求12231111...n n b b b b b b ++++的值.例6、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）求n a 和n S ； （2）令211n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和为n T .同步练习1.已知数列满足，，数列的前项和为，且数列, , , ……. ……是首项和公比都为的等比数列。
数列求和的8种常用方法(最全)
求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，()111n n a q S q-=-，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式: （1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21n k k ==∑222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++；（3）31n k k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=. 例1 已知3log 1log 23-=x ，求23n x x x x ++++的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n S n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即8n =时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
数列求和方法总结
数列求和方法总结1.公式法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可以组成等差或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解。
常见的公式：（1）等差数列求和公式d n n n a a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11n q qq a q na S n（3）)12)(1(61 (3212)222++=++++n n n n（4）233332)1(.......321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n例1：求和：S n =1+（1+21）+（1+21+41）+........+[1+21+41+…+（21）n-1]．2. 奇偶分析法对于正负项间的数列或含有()n1-的运算结构的数列求和，通常要进行奇偶分析分类讨论求解。
例2：等比数列{a n }中．a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）如数列{b n }满足b n =a n +（﹣1）n lna n ，求数列b n 的前n 项和s n ．练习1：数列{a n }中)(543*1N n n a a n n ∈-=++．（1）若a 1=﹣20，求数列的通项公式；（2）设S n 为{a n }的前n 项和，证明：当a 1＞﹣27时，有相同的n ，使S n 与|a n+1+a n |都取最小值．练习2：已知数列{a n }的前4项成等差数列，且满足⎩⎨⎧+=+)(,2)(,22为偶数为奇数n a n a a nn n ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）数列{a n }的前n 项的和为S n ，求满足S n ＜2012的最大的S n 的值．3. 分段讨论法一般地，求形如{}n a 型数列的前n 项和，常用分段讨论法，通过分段讨论脱去绝对值号后求解。
数列求和7种方法
数列求和7种方法一、求等差数列的和：等差数列的通项公式为 an = a1 + (n-1)d ，其中an 表示第 n 个数，a1 表示首项，d 表示公差，n 表示项数。
1.直接求和法：根据数列的首项 a1、末项 an 和项数 n，直接相加即可。
例如：已知等差数列的首项 a1 = 2，公差 d = 3，项数 n = 5，求和公式为 S = (a1 + an) * n / 2 = (2 + 2 + 4 * 3) * 5 / 2 = 35 2.公式法：利用等差数列的求和公式：S = (a1 + an) * n / 2例如：已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，项数n=5，代入公式即可得到结果。
3.递推法：利用数列的递推关系a(n)=a(n-1)+d，可得到递归式，通过递归累加求和。
例如：已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，项数n=5，则S(n)=S(n-1)+(a(n-1)+d)=S(n-1)+a(n-1)+d。
二、求等比数列的和：等比数列的通项公式为 an = a1 * q^(n-1)，其中an 表示第 n 个数，a1 表示首项，q 表示公比，n 表示项数。
4.直接求和法：根据数列的首项 a1、末项 an 和项数 n，直接相加即可。
例如：已知等比数列的首项a1=2，公比q=3，项数n=5，求和公式为S=(a1*(q^n-1))/(q-1)=(2*(3^5-1))/(3-1)=2425.公式法：利用等比数列的求和公式：S=(a1*(q^n-1))/(q-1)。
例如：已知等比数列的首项a1=2，公比q=3，项数n=5，代入公式即可得到结果。
6.迭代法：利用数列的递推关系a(n)=a(n-1)*q，可得到递归式，通过递归累加求和。
例如：已知等比数列的首项a1=2，公比q=3，项数n=5，则S(n)=S(n-1)+a(n-1)*q=S(n-1)+a(n-1)*q。
三、其他数列的求和方法：7.利用数列的递归关系：对于一些特殊的数列，可能没有通项公式，但可以根据数列的递归关系利用递归求和。
数列求和常见方法总结
一：公式法：即直接用求和公式，求数列的前n和Sn
①等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式：
Sn
naa1(11(qqn1)) 1q
a1 anq 1q
(q
1)
（3）:12 22 32
解：(1)设数列{an}的公比为 q.由 a23＝9a2a6 得
a23＝9a24，所以
q2＝1.由条件可知 9
q＞0，故
q＝1. 3
由 2a1＋3a2＝1，得 2a1＋3a1q＝1，得 a1＝13.
故数列{an}的通项公式为 an＝31n.
练习：(2011·全国新课标卷)等比数列{an}的各项均为正数，且 2a1＋3a2＝1，a23＝9a2a6. (2)设 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{b1n}的前 n 项和．
an＝2－n.
综上，数列{2an－n 1}的前 n 项和 Sn＝2nn－1.
(12分)(2010·四川高考)已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式； (1)an＝3－(n－1)＝4－n (2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
qn ＋1－n ＋1qn ＋1
q－1
.
若
q＝1，则
S
n＝1＋2＋3＋…＋n＝n
n＋1. 2
nn＋1 2
所以，Sn＝ nqn＋1－n＋1qn＋1 q－12
q＝1， q≠1.
于是，S
n
数列求和的方法技巧总结
数列求和的方法技巧总结数列求和的方法技巧总结总结是事后对某一时期、某一项目或某些工作进行回顾和分析，从而做出带有规律性的结论，写总结有利于我们学习和工作能力的提高，我想我们需要写一份总结了吧。
总结怎么写才不会千篇一律呢？下面是小编为大家整理的数列求和的方法技巧总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
一、倒序相加法此法来源于等差数列求和公式的推导方法。
例1. 已知求解：。
①把等式①的右边顺序倒过来写，即①可以写成以下式子：②把①②两式相加得二、错位相消法此法来源于等比数列求和公式的推导方法。
例2. 求数列的前n项和。
解：设当时，当时，①①式两边同时乘以公比a，得②①②两式相减得三、拆项分组法把一个数列分拆成若干个简单数列（等差数列、等比数列），然后利用相应公式进行分别求和。
例3. 求数列的前n项和。
解：设数列的前n项和为，则当时，当时，说明：在运用等比数列的前n项和公式时，应对q＝1与的'情况进行讨论。
四、裂项相消法用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项技巧。
如例4. 求数列的前n项和。
解：五、奇偶数讨论法如果一个数列为正负交错型数列，那么从奇数项和偶数项分别总结出与n的关系进行求解。
例5. 已知数列求该数列的前n项和。
解：对n分奇数、偶数讨论求和。
①当时，②当时，六、通项公式法利用，问题便转化成了求数列的通项问题。
这种方法不仅思路清晰，而且运算简洁。
例6. 已知数列求该数列的前n项和。
解：即∴数列是一个常数列，首项为七、综合法这种方法灵活性比较大，平时注意培养对式子的敏锐观察力，尽量把给定数列转化为等差或等比数列来处理。
例7. 已知求分析：注意观察到：其他可依次类推。
关键是注意讨论最后的n是奇数还是偶数。
解：①当n为奇数时，由以上的分析可知：②当n为偶数时，可知：由①②可得说明：对于以上的各种方法，大家应注意体会其中所蕴含的分类讨论及化归的数学思想方法。
当然，数列求和的方法还有很多，大家平时还应多注意总结。
数列求和的8种常用方法(最全)
数列求和的8种常用方法(最全)一、前言在高中数学以及各类应用数学问题中，数列求和问题是非常常见的。
解决数列求和问题不仅需要对常用数列的规律进行深刻的理解，还需要掌握多种数列求和的方法。
本文将介绍数列求和的八种常用方法，并且会结合具体的数列实例来进行讲解。
尽力做到对每一种方法的介绍都能够做到极致详细，希望对读者有所帮助。
二、数列求和的8种常用方法1. 等差数列求和公式对于一个首项为$a_1$，公差为$d$，共有$n$ 项的等差数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。
举例：求和数列$1，3，5，7，9$ 的和。
分析：此数列的首项为1，公差为2，总共有5项。
解答：$$S_5 = \frac{5}{2}(2\times 1 + (5-1)\times 2)=25$$因此，数列$1，3，5，7，9$ 的和为25。
2. 等比数列求和公式对于一个首项为$a_1$，公比为$q$，共有$n$ 项的等比数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。
举例：求和数列$2，4，8，16，32$ 的和。
分析：此数列的首项为2，公比为2，总共有5项。
解答：$$S_5=\frac{2\times (1-2^5)}{1-2}=-62$$因此，数列$2，4，8，16，32$ 的和为-62。
3. 几何级数通项公式求和对于一般形式为$a_1r^{n-1}$ 的数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。
举例：求和数列$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16}$ 的和。
分析：此数列的首项是1，公比是$-\frac{1}{2}$，总共有5项。
数列求和7种方法(方法全,例子多)
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .解： 原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位）①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。
数列求和的8种方法
数列求和的8种方法数列求和是数学中一个很重要的概念，常常在数学课上出现，也被广泛应用于其他学科中。
本文将为您介绍数列求和的8种常用方法。
一、公式法公式法是数列求和中最常用的一种方法。
当数列具有规律性时，可以通过观察数列的特点和规律，得出数列求和的公式。
例如，等差数列的求和公式为Sn = (a1 + an) × n / 2，其中a1为首项，an为尾项，n为项数。
二、差累加法差累加法是一种通过累加差值来求和的方法。
将一个数列中的每一项与其前一项的差相加，即可得到数列的和。
例如，斐波那契数列的差累加法求和公式为Sn=Fn+2-1三、奇偶分拆法奇偶分拆法是一种将数列分为奇数项和偶数项两个数列的方法。
通过将原数列中的项按照奇偶分类，并分别求和，然后将奇数部分和偶数部分的和相加，即可得到原数列的和。
这种方法特别适用于等差数列或等比数列求和。
四、数形结合法数形结合法是通过图形化数列来求和的方法。
将数列用图形的形式展现出来，然后通过计算图形的面积、周长或者中点之间的连线长度等等，来求得数列的和。
这种方法特别适用于几何数列或者满足其中一种几何规律的数列。
五、递推关系法递推关系法是通过递推关系来求和的方法。
数列中的每一项可以通过前面一项或者多项之间的关系得到，因此可以通过递推关系来直接求得数列的和。
例如，斐波那契数列的递推关系是Fn=Fn-1+Fn-2，可以利用这个关系式求得数列的和。
六、数列分解法数列分解法是通过将数列分解成其他数列的和来求和的方法。
通过将数列拆分成两个或多个数列，然后分别求得每个数列的和，并将它们相加，即可得到原数列的和。
这种方法适用于数列可以被分解成多个简单数列的情况。
七、夹逼定理法夹逼定理法是一种通过构造相等的两个或多个数列来求和的方法。
通过找到与原数列相等的其他数列，然后求得这些数列的和，并将它们相加，就可以求得原数列的和。
这种方法特别适用于数列无法通过常规的方法求和的情况。
八、换元法换元法是一种通过将数列中的索引进行变换，来求得数列的和的方法。
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[冲关锦囊] 分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，
采用分组求和法求{an}的前n项和.
[精析考题] [例2] (2011·辽宁高考)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2an－n 1}的前n项和．
(12分)(2010·四川高考)已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项 和为－4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.
(1)an＝3－(n－1)＝4－n (2)由(1)可得，bn＝n·qn－1，于是 Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1 若 q≠1，将上式两边同乘以 q 有 qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn
解：(1)证明：由题意得2bn＋1＝bn＋1， ∴bn＋1＋1＝2bn＋2＝2(bn＋1)． 又∵a1＝2b1＋1＝1， ∴b1＝0，b1＋1＝1≠0. 故数列{bn＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列．
(2)由(1)可知，bn＋1＝2n－1，∴an＝2bn＋1＝2n－1. 故Cn＝an·2ann＋1＝2n－122nn＋1－1＝2n－1 1－2n＋11－1. ∴Tn＝C1＋C2＋…＋Cn ＝(1－13)＋(13－17)＋…＋(2n－1 1－2n＋11－1) ＝1－2n＋11－1.由Tn>22 001112，得2n＋1>2 013，解得n≥10. ∴满足条件的n的最小值为10.
解：Sn＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an① 2Sn＝2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan② ①－②得－Sn＝a1＋2(a2－a1)＋22(a3－a2)＋…＋2n－1(an－an－1)－2nan ＝1－(2＋22＋…＋2n－1)－2n(2－n)＝1－211－－22n－1－2n＋1＋n·2n ＝1＋2－2n－2n＋1＋n·2n＝(n－3)2n－3， ∴Sn＝3－(n－3)·2n.
一、公式法
1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等
差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要
分q＝1或q≠1.
(1)1＋2＋3＋4＋ … ＋n＝
nn＋1 2
(2)1＋3＋5＋7＋ … ＋2n－1＝ n2
(3)2＋4＋6＋8＋ … ＋2n＝ n2＋n
二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法
两式相减得到
(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1(7分)
＝nqn－qqn－－11＝n
qn＋1－n＋1qn＋1
q－1
.
于是，Sn＝nqn＋1－q－n＋112qn＋1.(9分)
[例1] (2011·山东高考)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表
第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不
在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3
2
10
第二行 6 (1)求数列{an}的通项公式；第三行 9
4
14
8
18
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求 {bn}的前2n项和S2n
所以S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋ (－1)2n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln 3＝2×11－－332n＋ nln 3＝32n＋nln 3－1.
1．(2012·临沂模拟)数列112，314，518，7116，…的前n项和Sn为 (
)
A．n2＋1－21n
B．n2＋2－21n
C．n2＋1－2n1－1
D．n2＋2－2n1－1
解析：因为an＝2n－1＋21n， 则Sn＝1＋22n－1n＋1211－－1221n＝n2＋1－21n.
2．(2011·北京东城二模)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差 数列，Sn为{an}的前n项和．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.
【错位相减法】设 {an}的前n项和为Sn，an＝n·2n，则Sn＝
解析：∵Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…
＋n·2n
①
∴2Sn＝
1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1②
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012·温州调研)将函数 f(x)＝sin14x·sin14(x＋2π)·sin12(x＋3π)在区间 (0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝2nan，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的表达式．
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解：(1)f(x)＝sin14x·sin14(x＋2π)·sin12(x＋3π) ＝－14sin x. 其极值点为x＝kπ＋π2(k∈Z)． 它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以π2为首项，π为公差的等差数列． ∴an＝π2＋(n－1)·π＝2n2－1π(n∈N*)．
(2)∵bn＝2nan＝π2(2n－1)·2n， ∴Tn＝π2[1·2＋3·22＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n]， 2Tn＝π2[1·22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1]， 两式相减，得 －Tn＝π2[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1]， ∴Tn＝π[(2n－3)·2n＋3]．
[自主解答] (1)设数列{an}的公比为q.由a23＝9a2a6得 a23＝9a24，所以q2＝19.由条件可知q＞0，故q＝13. 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝13. 故数列{an}的通项公式为an＝31n.
(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an ＝－(1＋2＋…＋n)＝－nn2＋1. 故b1n＝－nn2＋1＝－2n1－n＋1 1. b11＋b12＋…＋b1n＝－21－12＋12－13＋…＋
数列求和的方法
(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通 项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备 某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路： ①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来 完成． ②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
n＋2 B.n＋1
n C.n－1
n＋1 D. n
解析：∵f′(x)＝mxm－1＋a，∴m＝2，a＝1. ∴f(x)＝x2＋x，f(n)＝n2＋n， ∴f1n＝n2＋1 n＝nn1＋1＝n1－n＋1 1， ∴Sn＝f11＋f12＋f13＋…＋fn－1 1＋f1n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋n－1 1－n1＋n1－n＋1 1 ＝1－n＋1 1＝n＋n 1.
[自主解答] (1)当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3， 故an＝2·3n－1.
(2)因为bn＝an＋(－1)nln an＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
[理](2012·西南大学附中月考)已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x，x∈ R，数列{an}，{bn}满足条件：a1＝1，an＝f(bn)＝g(bn＋1)，n∈N*. (1)求证：数列{bn＋1}为等比数列； (2)令Cn＝an·2ann＋1，Tn是数列{Cn}的前n项和，求使Tn>22 001112成立的 最小的n值．
21－2n
① －②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝
－n·2n+1
1－2
＝2n+1－2－n·2n+1
∴Sn＝(n－1)·2n+1＋2
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可 以相互抵消，从而求得其和．
【裂项求和法】{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 Sn=
(1)求通项an及Sn； (2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}
的通项公式及其前n项和Tn
解：(1)因为{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，所以an＝ 19－2(n－1)＝－2n＋21. Sn＝19n＋nn2－1·(－2)＝－n2＋20n. (2)由题意知bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1＋an＝3n－1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋3n－2 1.
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等 或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒 序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
2．分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别 求和而后相加减．
【分组求和法】数列{(－1)n·n}的前n项和Sn=？
n1－n＋1 1＝－n2＋n1. 所以数列{b1n}的前n项和为－n2＋n1.
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
4．(2012·青田模拟)设函数 f(x)＝xm＋ax 的导函数 f′(x)＝2x＋1，
则数列{f1n}(n∈N*)的前 n 项和是