专题八、动手操作题

【例题分层探究】 (1)图形的旋转有哪些特征？ (2)在图 36－ 2①中，当点 D′恰好落在 EF 边上时，如何 求旋转角 α 的值？ (3)在图 36－ 2②中，G 为 BC 的中点，如何证明△ GCD′ ≌△E′CD? (4)小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中， △ DCD′与△ CBD′在什么情况下可以全等？此时的旋转角 α 的值是多少？
(1)①对应点到旋转中心的距离相等； ②任意一对对应点与 旋转中心的连线所成的角都相等，都是旋转角；③旋转只改变 图形的位置，不改变图形的大小和形状 (旋转前后的两个图形 全等 )，对应线段相等，对应角相等． (2)根据旋转的性质得 CD′＝CD＝ 2，在 Rt△ CED′中， CD′＝ 2，CE＝1，则∠ CD′E＝30°，然后根据平行线的性质 即可得到 α＝ 30° . (3)由 G 为 BC 中点可得 CG＝CE，根据旋转的性质得 CE ＝ CE′，又∠ D′ CE′＝∠ DCE＝90°，则∠ GCD′＝∠ DCE′ ＝ 90°＋ α，然后根据“ SAS”可判断△GCD′≌△ E′CD. (4)根据正方形的性质得 CB＝CD， 而 CD＝ CD′， 则△ DCD′ 与△ CBD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全 等，若△ DCD′与△ CBD′为钝角三角形，可计算出 α＝135°； 若△ DCD′与△ CBD′为锐角三角形时，可计算出 α＝315°.
探究三
平移和旋转型操作题
例 3 如图 36－2①所示，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2、宽为 1 的长方形 CEFD 拼在一起，构成一个大的 长方形 ABEF.现将小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′ F′D′， 旋转角为 α.
(1)当点 D′恰好落在 EF 边上时，求旋转角 α 的值； (2)如图②，G 为 BC 的中点，且 0° ＜α＜90° ，求证：GD′＝ E′D； (3)小长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，△ DCD′ 与△ CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角 α 的值；若不能，说 明理由．
方法 3：作∠ BDG＝∠ BDC，过 B 点作 BH⊥ DG，垂足为 E； 方法 4：作∠ DBH＝∠ DBC，过 D 点作 DG⊥ BH，垂足为 E； ∴△ DEB 为所求作的图形 .
(2)等腰三角形． ∵△ BDE 是△ BDC 沿 BD 折叠而成， ∴△ BDE≌△ BDC， ∴∠ FDB＝∠ CDB. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB∥ CD， ∴∠ ABD＝∠ BDC， ∴∠ FDB＝∠ ABD， ∴△ BDF 是等腰三角形．
操作探究题
目 录 一、知识复习例题讲解 二、广安中考怎么考
操作探究题可分为折叠操作题、平移旋转变换题和图形分 割操作题三种类型，解决这类问题需要通过观察、操作、比较、 猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活 运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．
┃考向互动探究┃ 探究一 图形剪拼
【解题方法点析】 在解决有关折叠问题时，关键要抓住折叠的性质，在 图形的折叠过程中，折叠前后的两个图形全等，且关于折 痕成轴对称．
解： (1)作法参考： 方法 1：作∠ BDG＝∠ BDC，在射线 DG 上截取 DE＝ DC，连接 BE； 方法 2：作∠ DBH＝∠ DBC，在射线 BH 上截取 BE＝ BC，连接 DE；
(1)设等腰三角形的腰为 x cm，可建立方程求出三角形的 三条边为 10 cm， 10 cm，12 cm. (2)矩形、平行四边形、不规则四边形． (3)略．
【解题方法点析】 图形拼凑问题的关键是找到所拼凑的图形中的对应 线段，利用对应线段能够重合这一特点，将分割的图形重 新组合， 在解此类题时经常结合图形的平移、 旋转等性质．
解：如图， ∵等腰三角形的周长为 32 cm，底比一腰多 2 cm， ∴AB＝ AC＝ 10 cm， BD＝ CD＝ 6 ห้องสมุดไป่ตู้m， AD＝ 8 cm.
拼成的各种四边形如下： ①矩形：
∵ AB＝ 10， ∴四边形的两条对角线长的和是 10×2＝20(cm)．
②平行四边形 1：
连接 BC，过点 C 作 CE⊥BD 交 BD 的延长线于点 E， ∵ BC＝ BE2＋CE2＝ 122＋82＝ 4 13(cm)， ∴四边形的两条对角线长的和是 BC＋AD＝ (4 13＋8)(cm)；
(1)图形的折叠可得到全等形，即相等的边和角． (2)折叠前后两个图形关于折痕成轴对称，其中折痕所 在的直线就是它们的对称轴． (3)先作点 C 关于 BD 的对称点 E， 然后连接 DE 和 BE， 所得的三角形为所求作的折叠图形． (4)先作∠ BDG＝∠BDC，然后过 B 点作 BH⊥DG，垂 足为 E，所得的三角形为所求作的折叠图形．
例 1 现有一块等腰三角形板，量得周长为 32 cm，底比一
腰多 2 cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四 边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的 各个四边形的两条对角线长的和．
【例题分层探究】 等腰三角形是轴对称图形，如果沿对称轴剪开可以 得到两个全等的直角三角形． (1)利用给出的等腰三角形周长为 32 cm，底比腰多 2 cm，是否可以求出三角形的三条边？ (2)将两个全等的直角三角形进行拼凑，可以得到什 么样的四边形？ (3)在拼凑的图形中，如何利用已知边长求出四边形 对角线的长度？
③平行四边形 2：
连接 AA′，过点 A′作 A′E⊥AD 交 AD 的延长线于点 E， ∵ AA′＝ AE2＋ A′E2＝ 162＋ 62＝ 2 73(cm)， ∴四边形的两条对角线长的和是 BD＋AA′＝(6＋2 73)(cm)；
④不规则四边形：
连接 DD′交 AB 于点 O.易知，△ ADB∽△ DOB. DO BD DO 6 ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ DO＝ 4.8 cm. AD BA 8 10 ∵ DD′＝ 2DO＝ 2×4.8＝ 9.6(cm)， ∴四边形的两条对角线长的和是 AC＋ DD′＝ 10＋ 9.6＝ 19.6(cm)．
探究二
折叠形操作题
例 2 [2012· 兰州] 如图 36－ 1①，矩形纸片 ABCD，把它沿对
角线 BD 向上折叠． (1)在图②中用实线画出折叠后得到的图形 (要求尺规作图，保 留作图痕迹，不写作法 )； (2)折叠后重合部分是什么图形？说明理由．
【例题分层探究】 (1)图形的折叠，能得到哪些性质？ (2)折叠前后两个图形与折叠之间有什么关系？ (3)若利用轴对称如何作出折叠后的图形？ (4)若利用角平分线性质如何作出折叠后的图形？