青岛理工大学概率论习题册答案__(1)
概率论与数理统计习题答案1-19章
1 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。
设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．（1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；（3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω （2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB =（3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点数之和小于15”．（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3只，A —“最小号码为1”．解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则},,,{1843ωωω =Ω；},,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB =(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ；(2) ABC ；(3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品；（4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) n A A A 21；(2) n A A A 21或n A A A ⋃⋃⋃ 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121⋃⋃⋃ (4) n A A A ⋃⋃⋃ 21或.21n A A A2 概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．解：基本事件总数为611011011011011011019109⨯=C C C C C C C有利事件总数为456789214151617181919⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则0605.0109456789)(62≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．解：基本事件总数为!101010=A指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!777=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818=C 种；这三本书的排列顺序数为!333=A ；故有利事件总数为!3!8!38!7⨯=⨯⨯(亦可理解为)3388P P 设A 表示“指定的三本书放在一起”，则067.0151!10!3!8)(≈=⨯=A P三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率．解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数1020C ；两个最强的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数91812C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则526.01910)(102091812≈==C C C A P四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多于 1个”，则 .10A A A ⋃=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而0281.0979942347)(5010050950≈⨯⨯⨯==C C A P 1529.09799447255)(501004995151≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P 故 181.01529.00281.0)(=+≈A P五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率．解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则(1) 0855.019819920019319418)(3200219416≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P (2) 912.0198199200192193194)(32003194≈⨯⨯⨯⨯==C C B P(3) 00223.019819920012019490)(3200019436119426≈⨯⨯⨯⨯=+=C C C C C C P六、设41)( ,0 ,31)()()(======BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的 概率．解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ⋃⋃=，于是有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃= 75.04341313131==-++=3 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=⨯--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P68.074.05.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(≈=--+=-+==A PB P A P A P B A P B A A P B A A P二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”（1）2.0101101)()()(19111101911011=+=⋅+=+=C C C C C C A B P A P C P（2）4.05151)()()(2511141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合格品”（1）)()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(31)03.01(32≈-⨯+-⨯=（2）25.002.03103.03202.031)()()()()()()()()(22112222=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ，则由题设，有1006.0)(1kA P ==，得60=k ，从而有4.015060150)(2===k A P ，.3.020060200)(3===k A P设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ++=，故有)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=⨯-⨯-+⨯-+= （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ，则2201)(312330==C C A P 22027)(31219231==C C C A P 220108)(31229132==C C C A P 22084)(31239033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则312363123731238312393022084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ⋅+⋅+⋅+⋅==∑=146.0532400776161112208444722010855142202755212201≈=⋅+⋅+⋅+⋅=4 随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ，则9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=于是有)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++= )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-+⨯⨯=902.0=．（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B +=且0B 、1B 互斥，另外有504.07.08.09.0)(0=⨯⨯=B P398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P ．二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率． 解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P又设B 表示“电路发生间断”，则321A A A B +=于是有)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+= 328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=．三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、41，求能将此密码译出的概率．解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则51)(=A P 31)(=B P 41)(=C P设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ⋃⋃=，从而有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++= 6.0413151415141513151413151=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=． （另解）52)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ，从而有6.053521)(1)(==-=-=D P D P四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则4.0)(1=A P5.0)(2=A P 7.0)(3=A P 设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ，则09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P)()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=14.07.05.04.0)()()()()(3213213=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”，则由题设有0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P故有458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(30=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P ．五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率．解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i ．又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则 )9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C9991889)7.0()3.0()7.0(⋅+⋅⋅+C C+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126918)7.0()3.0()7.0(9+⋅⋅+ 0403.01556.02668.02668.01715.0++++= 901.0=．六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n 次试验，则n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次要p p n ≥--)1(1，即要p p n -≤-1)1(，从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答：至少需要进行一次试验．5 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即亦即二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布．解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q -=1，则ξ的概率分布为三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布． 解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)4,3,2,0()(6206164===-x C C C x X P xx从而X 的概率分布为即（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P xx x从而X即四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算)01.0(=p168877.0)01.01()01.0()1()4(2964430029644300≈-=-==C p p C ξP（2）用泊松分布计算)301.0300(=⨯==np λ168031355.0!43)4(34≈==-e ξP相对误差为.5168877.0168031355.0168877.0000≈-=δ五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率． 解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)(==p A P ，5=n ，).3.0,5(~B X 于是有)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P5554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=16308.000243.002835.01323.0≈++≈（另解） )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P322541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------=16308.0≈六、设随机变量X 的概率分布为2, 1, ,0 , !)(===k k ak X P kλ；其中λ>0为常数，试确定常数a ．解：因为∑∞===01)(k k X P ，即∑∞==01!k kk λa ，亦即1=λae ，所以.λe a -=6 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、函数211x +可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）（∞+∞- ,）；（2）（0,∞-）．解：（1）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F因为0)(lim =-∞→x F x ，0)(lim =+∞→x F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．（2）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F 且0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim 0=-→x F x 因为)0( 0)1(2)('22<>+-=x x xx F ，所以)(x F 在（0,∞-）上单增． 综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π； （2）[]π,0； （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π． 解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以0sin )(≥=x x f ；又因为1cos )(2020=-=⎰ππx dx x f ，所以当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度．（2）因为[]πx ,0∈，所以0sin )(≥=x x f ；但12cos )(00≠=-=⎰ππx dx x f ，所以当[]πx ,0∈时，函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度． （3）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0πx ，所以x x f sin )(=不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度．二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为于是，⎪⎩>3,1x四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率；(3) X 的概率密度．解：(1) 由0)2()(lim =-⋅+=-∞→πB A x F x ，12)(lim =⋅+=-∞→πB A x F x ，解得.1,21πB A ==即)( ,arctan 121)(+∞<<-∞+=x x πx F ．(2) .21)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π． 五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Aex f x,)(．求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数．解：(1) 由1)(⎰+∞∞-=dx x f ，得1220⎰⎰+∞∞-+∞--===A dx e A dx Ae xx ，解得21=A ，即有).( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x(2) ).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x -=-===<<--⎰⎰(3) 随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤===-∞--∞-⎰⎰21102121)()(x e x e dx e dx x f x F x xx xx．7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,1)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上 的概率．解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xe x F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(． 另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=． 解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X XY -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f yyyyyyXYY π，即 )( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f y yY π．８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan(),(y C x B A y x F ++=． 求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π（3）X 及Y 的边缘分布函数分别为xx x X x dx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan 1)4(2),()(2ππ 2arctan 121xπ+=yx y Y y dy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan 1)9(3),()(2ππ 3arctan 121yπ+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dy e e dy y x f x f x y x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰0030006),()(3032y y e x x dx e e dx y x f y f y y x Y（4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xR dy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(6306271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰Cx x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx481.02713)322(92922132102≈=-++=x x x x ． ９ 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,21)(2y y e y f yY求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥．解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈=)1,0(,0)1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X（2）dx edx e dy e dx dxdy y x f X Y P x xy xy xy ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞+-∞+-≥=-===≥1021022102)(21),()(7869.0)1(2221122≈-=-=--e ex二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：.,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(212211n j qp C j p n i q p C i p jn jj n Y in i i n X ====--证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布．证明: 设j i k +=, 则ik n i k i k n ki i n i i n k i Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22110)()()()( ∑=-+=ki kn n k i n in q p C C2121)( 由knm ki ik n k m C C C +=-=∑, 有kn n ki in i n C C C21210+==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(212121n n k q p C k P kn n k i n n Z +==-++ 由此知Y X Z +=也服从二项分布.三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：⎪⎩⎪⎨⎧><≤<-≤≤=.20 0,; 2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或求随机变量Y X Z +=的概率密度．解: X 的概率密度为 ⎩⎨⎧∉∈=]1,0[,0]1,0[,1)(x x y f ξ . 于是),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-≤≤≤≤=. 0, 2 1,10 ,210,10,),(其它当当y x y y x y y x fY X Z +=的联合分布函数为}),{(}{}{)(D y x P z Y X P z Z P z F Z ∈=≤+=≤=，其中D 是z y x ≤+与),(y x f 的定义域的公共部分.故有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<-+-≤≤><=3229321212331023,00)(222z z z z z z z z z z z F Z 从而随机变量Y X Z +=的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤≤><=3232132103,00)(z z z z z z z z z f Z三、电子仪器由六个相互独立的部件ij L （3,2,1;2,1==j i ）组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命ij X 服从相同的指数分布)(λe ，求仪器使用寿命的概率密度．解: 由题设，知ij X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1x x e F x X ij λ先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),max(21==i Y i i i ξξ从而有)3,2,1( =i Y i 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-==-0,00,)1()(221y y e F F y F y X X Y i i i λ 设Z "仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min(321Y Y Y Z =.从而有Z 的分布函数为⎩⎨⎧≤>---=⎩⎨⎧≤>----=-0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z λ 故Z 的概率密度为⎩⎨⎧≤>--=---0,00,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z λλλλ10 随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即1103322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即3.0004.03041.02205.0175.00≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX2X 的分布为即于是有229220192209444914302=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即4091.0004.09041.04205.0175.002≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX从而有3191.013310042471)11033(229)(222≈=-=-=EX EX DX 565.03191.0≈==DX Xσ二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差． 解：设X 表示“第i 次击中”),2,1( =i ，则X 的分布为X1 2 3 …… n ……p q p q q p q p iqp ipqEX i i i i i i 1)1()1()(211111=-='-='===∑∑∑∞=∞=-∞=- 2Xpp p p q q p q p q q p pqi EX i i i ii i 122)1()1()(])([223111122-=-=-+='=''==∑∑∑∞=∞=∞=-进一步有pp p p p EX EX DX 11)1(12)(22222-=--=-=三、设离散型随机变量X 的概率函数为,,2,1,21]2)1([ ==-=k k X P k k k问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．解：因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=⋅-=-=-==1111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k ki i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以ξ没有数学期望．四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1, 0;1,11)(2x x x x f π 求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：011)()(112=-⋅==⎰⎰-+∞∞-dx xx dx x xf X E πdx x x dx xx dx x f x X D ⎰⎰⎰-=-⋅==-∞+∞-1022112221211)()(πππ21]arcsin 2112[2102=+--=x x x π五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 )( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x．求数学期望)(X E 及方差)(X D ． 解：021)(===⎰⎰+∞∞--+∞∞-dx xe dx x xf EX x2!2)3(21)(0222==Γ====⎰⎰⎰+∞-+∞∞--+∞∞-dx e x dx e x dx x f x DX x x（分部积分亦可）11 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2)3(X X Y -=的数学期望及方差． 解：X 的概率分布为Y 的概率分布为2Y 的分布为72.072.0128.00=⨯+⨯=EY 72.072.0128.002=⨯+⨯=EY2016.0)72.0(72.0)(222=-=-=EY EY DY二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为θ，则θ服从]2,2[ππ-上的均匀分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=]2,2[,0]2,2[,1)(ππθππθπθf ． 弦OB 的长为 ]2,2[cos 2)(ππθθθ-∈=R L ，故所有弦的平均长度为⎰⎰-∞+∞-⋅==22cos 21)()()]([ππθθπθθθθd R d L f L EπθπθθπππRRd R4sin 4cos 4202===⎰．三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-. 0, 0 ;0 ,41)(4x x e x f x工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元， 调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利． 解：由题设，有⎰⎰---∞--=-===<104110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x进而有 41)1(1)1(-=<-=≥e X P X P设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为从而有64.33200300100)1(200414141≈-⨯=⨯+-⨯-=---ee e EY答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2σ．求这些随机变量的算术平均值∑==ni i X n X 11的数学期望与方差．解：因为μ=)(i X E ，2)(σ=i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有μμ=====∑∑∑∑====ni n i i ni i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(，nn X D n X D n X n D X D ni ni i n i i n i i 2122121211)(1)(1)1()(σσ=====∑∑∑∑====．五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 =i ). 则i X 服从"10-"分布. 其中⎩⎨⎧=站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i ,1,0 于是i X 的概率分布为设∑==ni iXX 1, 则X 表示沿途停车次数, 故有]})10110(1[1)10110(0{10)(2020101101--⨯+-⨯===∑∑==i i i i EX X E EX748.8)9.01(1020≈-= 即停车次数的数学期望为748.8.12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为()(). 1,222++=y xAy x f求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ．解: (1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f . 有()()⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+==+=++1112022222A dr rrd A dxdy y xAπθπ解得, π1=A .(2) ()011),()(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxdy dxdy y x xf X E π.由对称性, 知 0)(=Y E .⎰⎰+∞∞-+∞∞-==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(222()⎰⎰∞+∞-∞+∞-++=dx y xx dy 222211π()()+∞=+++=+-+=+=∞+∞+∞+⎰⎰⎰22022220223]11)1ln([1)1(211rr dr r rr r dr rr d πθπ同理, 有 +∞=)(Y D .)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(()011),(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxydy dxdy y x xyf π.二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它．,0;10,,1),(x x y y x f 求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？ 解: (1) 因为 ⎰⎰⎰⎰⎰====-∞+∞-∞+∞-1210322),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x0),(10===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xx ydy dx dxdy y x yf EY0),()(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xxydy xdx dxdy y x xyf XY E所以有])32[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X -=--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(010==⎰⎰-xxydy xdx ．(2) 当)1,0(∈x 时,有 ⎰⎰+∞∞--===x dy dy y x f x f xxX 2),()(; 当)1,0(∉x 时, 有0)(=x f X .即⎩⎨⎧∉∈=)1,0(0)1,0(2)(X x x x x f 同理有 ⎩⎨⎧∉+∈-=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=⎰⎰-)1,0(1)1,0(1)1,0()1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f y y因为 ),()()(y x f y f x f Y X ≠, 所以X 与Y 不是独立的．又因为0),cov(=Y X , 所以X 与Y 是不相关的．三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差)(X σ的概率．解：91)3()3(2=≤>-ξξξξξD D D E P ．四、为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于0.01的概率． 解：设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”，则)5.0,10000(~B ξ且有50005.010000=⨯==np E ξ 2500)5.01(5.010000=-⨯⨯==n p q D ξ 于是有npqp npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(-=-≥<-=<- 75.025.011=-=-=pq五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？ 解：设ξ表示“发现的次品件数”，则)1.0,(~n B ξ，现要求.nn ξE 1.0= n ξD 09.0=要使得9.0)10(=>ξP ，即9.0)10(=≤<n ξP ，因为9.0)10(=≤<n ξP ，所以 )3.01.03.01.03.01.010()10(nn n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P -≤-<-=-≤-<-)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0nn n n n n ξn n P --≈≤-<-=ΦΦ1)3.0101.0()3(1,01,0--+nn n ΦΦ （德莫威尔—Laplace 定理）因为10>n ，所以53>n ，从而有1)3(1,0≈n Φ，故9.0)3.0101.0(1,0≈-nn Φ． 查表有8997.0)28.1(1,0=Φ，故有28.13.0101.0≈-nn ，解得.146≈n 答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯=故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--= 于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ． 当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z =2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++=212222212221μσμσσσ++=．1４ 二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布·中心极限定理四、 设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()(==Y E X E ，16)(=X D ，25)(=Y D ，并且12),cov(=Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．解：已知0==y x μμ，416==x σ，525==y σ，53),cov(),(===y x Y X Y X r σσ．从而2516)53(1122=-=-r ，5412=-r ．进一步按公式])())((2)([)1(21222121),(yy y x y x x x y y x r x r y x ery x f σμσσμμσμσπσ-+-------=，可得),(Y X 的联合概率密度为)2550316((322522321),(y xy x ey x f +--=π．二、设随机变量X 与Y 独立，并且)1,0(~N X ，)2,1(~2N Y ．求随机变量32+-=Y X Z 的概率密度． 解：由题设，有0)(=X E ，1)(=X D ，1)(=Y E ，4)(=Y D ．又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有2)3()()(2)32()(=+-=+-=E Y E X E Y X E Z E ． 8)3()()(4)32()(=++=+-=D Y D X D Y X D Z D ．且)8,2())(,)((~N Z D Z E N Z =，故随机变量32+-=Y X Z 的概率密度为16)2(82)2(2241821)(--⨯--==z z Z eez f ππ )(+∞<<-∞z ．三、 台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X (mm)表示轴的直径，随机变量Y (mm)表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在3~1(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率． 解：由题设，知随机变量X 与Y 是独立的，且)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ．设X Y Z -=根据独立正态随机变量线性组合的分布，我们有)5.0,2()3.0)1(4.0,50)1(52(~2222N N Z =⨯-+⨯-+．根据题目假设，我们知道当31≤-=≤X Y Z 时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率为1)2(2)2()2()25.022()5.0235.025.021()31(-Φ=-Φ-Φ=≤-≤-=-≤-≤-=≤≤Z P Z P Z P9544.019772.02=-⨯=．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求： （1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率；。
概率论第一章习题参考解答
概论论与数理统计 习题参考解答 习题一8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件, 则125.08121)(3====n n A P A . 9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n =, 467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解: 设A ={能打开门},基本事件总数2412344=⨯⨯⨯==P n , 有利于A 的基本事件数为2=A n , 因此, 0833.0121)(===n n A P A . 11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(51002973351003972322510049711510059700=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P12. N 个产品中有N 1个次品, 从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ), 求其中有k (k ≤n )个次品的概率. 解: 设A k 为有k 个次品的概率, k =0,1,2,…,n ,基本事件总数nN C m =, 有利于事件A k 的基本事件数kn N N k N k C C m --=11,k =0,1,2,…,n ,因此, n k C C C m m A P nNkn N N k N k k ,,1,0,)(11 ===-- 13. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件, 则基本事件总数1644=⨯=n , 有利于A 的基本事件数422=⨯=A n , 有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B .15. 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产品的合格率.解: 设事件A 1为一等品, A 2为二等品, B 为合格品, 则 P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.16,B =A 1+A 2, 且A 1与A 2互不相容, 根据加法法则有 P (B )=P (A 1)+P (A 2)=0.8+0.16=0.9616. 袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币, 任意取出5个, 求总数超过一角的概率. 解: 假设B 为总数超过一角,A 1为5个中有两个5分, A 2为5个中有一个5分三个2分一个1分, A 3为5个中有一个5分两个2分两个1分, 则B =A 1+A 2+A 3, 而A 1,A 2,A 3互不相容, 基本事件总数252762354321678910510=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==C n设有利于A 1,A 2,A 3的基本事件数为n 1,n 2,n 3, 则5.0252126252601056)(,60214532,1052,563216782523123153312238221==++==⨯⨯⨯⨯===⨯===⨯⨯⨯⨯==B P C C C n C C C n C C n 17. 求习题11中次品数不超过一个的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3, B 为次品数不超过一个, 则B =A 0+A 1, A 0与A 1互不相容, 则根据11题的计算结果有 P (B )=P (A 0)+P (A 1)=0.856+0.138=0.99419. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B ), P (B |A ), P (A +B ). 解: 根据题意有P (A )=4/15, P (B )=7/15, P (AB )=1/10, 则633.03019303814101154157)()()()(275.08315/410/1)())|(214.014315/710/1)()()|(==-+=-+=-+=+========AB P B P A P B A P A P PAB A B P B P AB P B A P20. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求 (1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有 P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A +B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A =+, 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-=+=⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P21. 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最后, 证明3人抽到难签的概率相等.证: 设事件A ,B ,C 表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然P (A )=4/10, 而由903095106)|()()(902496104)|()()(902494106)|()()(901293104)|()()(=⨯===⨯===⨯===⨯==A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P B A P A B P A P AB P由于A 与A 互不相容,且构成完备事件组, 因此B A AB B +=可分解为两个互不相容事件的并, 则有1049036902412)()()(==+=+=B A P AB P B P 又因B A B A B A AB ,,,之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有C B A C B A BC A ABC C +++=分解为四个互不相容的事件的并,且720120849030)|()()(72072839024)|()()(72072839024)|()()(72024829012)|()()(=⨯===⨯===⨯===⨯==B A C P B A P C B A P B A C P B A P C B A P B A C P B A P BC A P AB C P AB P ABC P则104720288720120727224()()()()(==+++=+++=C B A P C B A P BC A P ABC P C P 因此有P (A )=P (B )=P (C ), 证毕.22. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率. 解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格, A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2,P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95, 由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P23. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(312162633123933121527231213292312142813122319131213290312330=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(3=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P 24. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求: (1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组056.005.04.006.06.0)|()()|()()(05.0)|(,06.0)|(4.05020)(,6.05030)(=⨯+⨯=+=======A B P A P A B P A P B P A B P A B P A P A P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个, 乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P25. 一个机床有1/3的时间加工零件A , 其余时间加工零件B , 加工零件A 时, 停机的概率是0.3, 加工零件B 时, 停机的概率是0.4, 求这个机床停机的概率.解: 设C 为加工零件A 的事件, 则C 为加工零件B 的事件, C 与C 构成完备事件组. 设D 为停机事件, 则根据题意有 P (C )=1/3, P (C )=2/3, P (D |C )=0.3, P (D |C )=0.4, 根据全概率公司有367.04.0323.031)|()()|()()(=⨯+⨯=+=C D P C P C D P C P D P 26. 甲, 乙两部机器制造大量的同一种机器零件, 根据长期资料总结, 甲机器制造出的零件废品率为1%, 乙机器制造出的废品率为2%, 现有同一机器制造的一批零件, 估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍, 今从该批零件中任意取出一件, 经检查恰好是废品, 试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率.解: 设A 为零件由甲机器制造, 则A 为零件由乙机器制造, A 与A 构成完备事件组. 由P (A +A )=P (A )+P (A )=1并由题意知P (A )=2P (A ), 得P (A )=1/3, P (A )=2/3. 设B 为零件为废品, 则由题意知P (B |A )=0.01, P (B |A )=0.02,则根据贝叶斯公式, 任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为2.005.001.002.03201.03101.031)|()()|()()|()()|(==⨯+⨯⨯==+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P 27. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球. 则P (A )=2/3, P (A )=1/3, P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4, 则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P28. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大. 29. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组.易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3.设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P30. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。
概率论习题解答 一-9页文档资料
习 题 一1．下列随机试验各包含几个基本事件？（1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。
两个球看作是可动物，一个一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C 种，b 球也可放入三个盒子的任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ⨯=种。
（2）观察三粒不同种子的发芽情况。
解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。
三粒种子发芽共有8121212=⨯⨯C C C 种不同情况。
（3）从五人中任选两名参加某项活动。
解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。
（4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。
解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，101=∴n 。
（5）将c b a ,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。
解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一个一个放入盒子内（按要求）。
a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。
b 球因为试验要求每只盒子只装一个球，所以a 球放入的盒子不能再放入b 球，b 球只能放入其余（无a 球 的盒子）两个中任一个，其放法有212=C 个。
c 只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。
三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 611213=⨯⨯C C 种。
2． 事件A 表示“五件产品中至少有一件废品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”，则,A B AB 各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？解： 设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。
此随机试验E 的样本空间可以写成：{}B A A A A A S ,,,,,43210= 而 01234A A A A A A = ,A B S ∴=φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。
青岛理工大学2010年概率论与数理统计试卷
一、填空题（每题3分，共15分）1、对于随机事件A 与B ，已知()0.5,()0.6,P A P B ==且8.0)(=⋃B A P ，则(|)PB A = 。
. 2、已知~(3,1),~(2,1)X N Y N -，且X 与Y 相互独立，设323--=Y X Z ，则~Z 。
3随机变量X 的分布函数为0, 10.4, 11()0.8, 131, 3x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤<+∞⎩，则随机变量X 的分布律为 。
4、随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，D(－2X+1)=_____________。
5、设),,,(21n X X X 是来自总体),(~2σμN X 的样本，2,σμ均为未知参数，则置信水平为α-1的关于2σ的双侧置信区间为 。
二、选择题（每题2分，共20分）1、设A n 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，且(,) (01)A n B n p p <<～，则当n 很大时，下列选项不正确的是( )A ．An n依概率收敛于p (B)(,(1))A n N np np p -～ C ．(1)(,)A n p p N p n n -～(0,1)N 2、如果()0,()0,(|)()P A P B P A B P A >>=，则下列结论不成立的是( )。
A ．(|)()P B A P B = B ．(|)()P A B P A = C ．A 、B 相容 D ． A 、B 不相容 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B = ，()0.2P A =，()0.4P B =，则()成立A ．()0.32P AB = B ．()0.2P AB =C ．()0.4P B A -=D ．()0.48P B A = 4、设)1,0(~N X ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于()A ．1B ．0C ．12D ．-1 5、已知1,3EX DX =-=,则()232E X ⎡⎤-⎣⎦=()A ．9B ．6C ．30D ．36 6、当X 服从( )分布时,EX DX =。
概率论与数理统计习题解答全稿(1-7)
习题一1．设C B A ,,为随机试验的三个随机事件，试将下列事件用C B A ,,表示出来．（1）仅仅A 发生；（2）所有三个事件都发生；（3）A 与B 均发生，C 不发生；（4）至少有一个事件发生；（5）至少有两个事件发生；（6）恰有一个事件发生；（7）恰有两个事件发生；（8）没有一个事件发生；（9）不多于两个事件发生．解：（1）C B A ；（2）ABC ；（3）C AB ；(4)C B A ；(5)AC BC AB ；(6)C B A C B A C B A ；（7）C AB C B A BC A ；（8）C B A ；（9）ABC ．2．写出下列随机试验的样本空间（1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子的点数之和；（2）将一枚硬币抛三次，观察出现正反面的各种可能结果；（3）对一目标进行射击，且到击中5次为止，记录射击的次数；（4）将一单位长的线段分为三段，观察各段的长度；（5）从分别标有号码1，2， ，10的10个球中任意取两球，记录球的号码．解：（1）{3，4，5， ，18}；（2）{}TTT THT TTH THH HTT HTH HHT HHH ,,,,,,,;(3) {5,6,7, }；(4) }{1,0,0,0:),,(=++>>>z y x z y x z y x ;(5)}{n m n m n m ≠≤≤≤≤,101,101:),(．3．将12个球随机地放入20个盒子，试求每个盒子中的球不多于1个的概率．解：设)(A P 表式所求的概率，则：12122020!12.)(C A P =≈0.01473． 4．将10本书任意地放在书架上，其中有一套4卷成套的书，求下列事件的概率：（1）成套的书放在一起；（2）成套的书按卷次顺序排好放在一起．解： （1）设)(A P 表示所求的概率，则：)(A P =301!10!4!7=⋅． （2）设)(B P 表示所求的概率，则：)(B P =7201!10!7=． ５．一辆公共汽车出发前载有５名乘客，每一位乘客独立的在七个站中的任一个站离开，试求下列事件的概率：（1）第七站恰好有两位乘客离去；（2）没有两位及两位以上乘客在同一站离去． 解：5名乘客在七个站中的任意一个站离开的结果总数57=n ．（1）第七站恰好有两位乘客离去，其方法数3256⋅=C m ，故设)(A P 为所求概率，则：1285.076)(5325=⋅=C A P ． （2）设=B {没有两位及两位以上乘客在同一站离去}，则：1499.07!5)(557=⋅=C B P ． 6．有一个随机数发生器，每一次等可能的产生9,,2,1,0 十个数字，由这些数字随机编成的n 位数码（各数字允许重复），从全部n 位数码中任意选取一个，其最大数字不超过k （9≤k ）的概率．解：设)(A P 表式所求的概率，则由全部n 位数码的总数为n10，得：n nk A P 10)1()(+=． ７．一元件盒中有50个元件，期中25件一等品，15件二等品，10件次品，从中任取10件，求：（1）恰有两件一等品，两件二等品的概率；（2）恰有两件一等品的概率；（3）没有次品的概率．解：（1）设)(A P 为所求概率，则：41050610215225104397.6)(-⨯=⋅⋅=C C C C A P ． （2）设)(B P 为所求概率，则：03158.0)(1050825225=⋅=C C C B P ． （3）设)(C P 为所求概率，则：0825.0)(10501040==C C C P ． ８．有10个人分别佩戴者标号从1号到10号的纪念章，任意选出3人，记下其纪念章的号码，试求：（1）最小的号码为5的概率；（2）最大的号码为5的概率．解：从10人中任意选3人纪念章号码的总数为310C n =，（1）最小号码为5，则余下2个在6—10中选，即25C m =，设)(A P 为所求概率，则： 083.0)(31025==C C A P ． （2）同理设)(B P 为所求概率，则：05.0)(31024==C C A P ． 9．设事件B A ,及B A 的概率分别为q p ,和r ，试求：)(),(),(),(B A P B A P B A P AB P ． 解：r q p B A P B P A P AB P -+=-+=)()()()( ；p r A P A B P A B P B A P -=-=-=)()()()( （单调性）； q r B P B A P B A P B A P -=-=-=)()()()( （单调性）；r B A P B A P B A P -=-==1)(1)()( ．10．一批产品共100件，其中5件不合格．若抽检的5件产品中有产品不合格，则认为整批产品不合格，试问该批产品被拒绝接收的概率是多少？解：（法一）设i A ={抽检的5件产品中第i 件不合格}，i =1,2,3,4,5则所求概率为：∑===5151)()(i i i i A P A P )()()()()(54321A P A P A P A P A P ++++= 2304.0510055510019545510029535510039525510049515≈++++=C C C C C C C C C C C C C C ． （法二） 2304.01)(1)(5100595051≈-=-==C C A P A P i i ． 11．设A 和B 是试验E 的两个事件，且21)(,31)(==B P A P ，在下述各种情况下计算概率)(A B P ：（1）B A ⊂；（2）A 和B 互不相容；（3）81)(=AB P ． 解：（1）613121)()()()(=-=-=-=A P B P A B P A B P ．（2）21)()(==B P A B P ． （3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P A B P A B P ． 12．现有两种报警系统A 与B ，每种系统单独使用时，系统A 有效的概率为0.92，系统有效的概率为0.93 ．装置在一起后，至少有一个系统有效的概率则为0.988，试求装置后：（1）两个系统均有效的概率；（2）两个系统中仅有一个有效的概率．解：（1）所求概率为)(AB P ，得：)()()()(B A P B P A P AB P -+=862.0988.093.092.0=-+=；（2）所求概率为)(B A B A P ，得：)(B A B A P )()(B A P B A P +=)()()()(AB P B P AB P A P -+-=126.0862.0293.092.0=⨯-+=．13．10把钥匙上有3把能打开门，今任取2把，求能打开门的概率．解：（法一）从10把钥匙中任取2把的试验结果总数45210==C n ，能打开门意味着取到的二两把钥匙至少有一把能打开门，其取法数24171323=+=C C C m ，故设)(A P 为所求概率，则：158)(210231713=+=C C C C A P ．（法二）记A 为“能打开门”，则=A “两把钥匙皆开不了门”，于是158452111)(1)(21027=-=-=-=C C A P A P ． 14．一个盒子中有24个灯泡，其中有4个次品，若甲从盒中随机取走10个，乙取走余下的14个，求4个次品灯泡被一人全部取走的概率．解：设=A {次品灯泡全部被甲取走}，=B {次品灯泡全部被乙取走}，则B A ,互不相容，所求概率为：)()()(B P A P B A P += 1140.0424414424410=+=C C C C ． 15．设将5个球随意地放入3个盒子中，求每个盒子内至少有一个球的概率．解：5个球随意地放入3个盒子中事件总数53=n ，3个盒子中一个或两个盒子中有球数为332533153p C p C m ++=，设所求概率为)(A P ，则：8150331)(533253315=++-=p C p C A P ． 16．已知1A 和2A 同时发生，则A 必发生，证明：1)()()(21-+≥A P A P A P ． 证明：由已知，A A A ⊂21，再由单调性，)()(21A P A A P ≤，则)()()()()(212121A A P A P A P A A P A P -+=≥,1)(021≤≤A A P ．1)()()()()()()(21212121-+≥-+=≥∴A P A P A A P A P A P A A P A P ．17．掷一枚均匀硬币直到出现三次正面才停止，问正好在第六次停止的情况下，第五次也是正面的概率是多少？解：设=A {第五次出现正面}，=B {第六次停止}，则：52)21()21()()()|(256146===C C B P AB P B A P ． 18．证明：0)()|(>>A P B A P ，则)()|(B P A B P >． 证明：)()|()()()()|(B P B A P AB P A P AB P A B P =>=，即证． 19．设事件B A ,互不相容，且0)(>B P ，试证：)(1)()|(B P A P B A P -=． 证明：)(1)()()()|(B P A P B P B A P B A P -=互不相容． 20．将两颗均匀骰子同时掷一次，已知两个骰子的点数之和是奇数，求两个骰子的点数之和小于8的概率．解：此事件的样本空间由36个样本点组成，设=A {两个骰子的点数之和小于8}，=B {两个骰子的点数之和是奇数}，则3618)(=B P ，3612)(=AB P ，于是： 322131)()()|(===B P AB P B A P ． 21．设10件产品中有4件是次品，从中任取两件，试求在所取得的产品中发现有一件是次品后，另一件也是次品的概率．解：设=A {所取得两件中至少有一件是次品}，=B {所取得两件产品都是次品}，B AB A B =∴⊂, ．而321)(1)(21026=-=-=C C A P A P ，152)(21024==C C B P ，所求概率为：5132152)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ． 22． 10件产品有6件是正品，4件次品，对它们逐一进行检查，问下列事件的概率是多少？（1）最先两次抽到的都是正品；（2）第一、三次抽到正品，第二、四次抽到次品；（3）在第五次检查时发现最后一个次品．解：设i A ={第i 次抽到的是正品}，i =1,2,3,4,5,6．则 (1)3195106)|()()(12121=⋅=⋅=A A P A P A A P ; (2) )(4321A A A A P )|()|()|()(3214213121A A A A P A A A P A A P A P =141738594106=⋅⋅⋅=； (3) 设=B {第五次检查时发现最后一个次品}，则2104)(151********=*=C C C C C B P ． 23．某人忘记电话号码的最后一个数字，他仅记得最末一位数字是偶数．现在他试着拨最后一个号码，求他拨号不超过三次而接通电话的概率．解：设=A {接通电话}，=i B {拨号i 次}，i =1，2，3．i B 构成样本空间的一个划分，由全概率公式：)|()()|()()|()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++=532110321522121=⨯+⨯+⨯=． 24．某型号的显像管主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总产品和的25%、50%、25%，甲、乙、丙三个厂的产品在规定时间内能正常工作的概率分别是0.1、0.2、0.4，求一个随机选取的显像管能在规定时间内正常工作的概率．解：设A ={能在规定时间内正常工作}，i B ={选取第i 个厂家的产品}，i =1，2，3．则由全概率公式：)|()()|()()|()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++=225.04.025.02.05.01.025.0=⨯+⨯+⨯=．25．两批同类产品各自有12件和10件，在每一批产品中有一件次品，无意中将第一批的一件产品混入第二批，现从第二批中取出一件，求第二批中取出次品的概率．解：设=B {第二批中取出次品}，=A {第一批的次品混入第二批}，A A ,构成样本空间的一个有限划分，由全概率公式：0985.01111211112121)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P ． 26．在一个盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原盒中，第二次比赛时，同样任意的取出三个球，求第二次取出三个新球的概率．解：设B={第二次取出3个新球}．可以看出，直接确定B 的概率)(B P 是困难的，原因是，第一次比赛之后，12个乒乓球中的新、旧球的分布情况不清楚，而一旦新旧球的分布情况明确了，那么相应的概率也容易求得．为此，设i A ={第一次取到的3个球中有i 个新球}， i =0，1，2，3．容易判断3210,,,A A A A 构成一个划分．由于3,2,1,0,)(315369==-i C C C A P i i i ，又3,2,1,0,)|(31539==-i C C A B P i i ． 由全概率公式，得：)|()()(30i i i A B P A P B P ∑==∑=--=3023*******)(i i i i C C C C 0893.02070251680756075601680≈+++=． 27．仓库中存有从甲厂购进的产品30箱，从乙厂购进的同类产品25箱，甲厂的每箱装12个，废品率为0.04，乙厂的每箱装10个，废品率0.05，求：(1)任取一箱，从此箱中任取一个为废品的概率；(2)将所有产品开箱后混放，任取一个为废品的概率．解：(1)设=B {取出的是废品}，=A {从甲厂取出}，A A ,构成一个划分，则)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=0441.005.010251230102504.0102512301230=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(2) 0441.010********.0102504.01230=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯ 28．已知一批产品中96%是合格品，用某种检验方法辨认出合格品为合格品的概率是0.98，而误认废品是合格品的概率是0.05，求检查合格的一件产品确系合格的概率．解： 设A ={检查合格产品}，B ={确系合格}．由已知，05.0)|(,98.0)|(,96.0)(===B A P B A P B P ， 由贝叶斯公式：)()|()()|(A P B A P B P A B P =)|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P += 9979.005.004.098.096.098.096.0≈⨯+⨯⨯=． 29．已知5%的男人和0.25%的女人是色盲者，现随机挑选一人，此人恰为色盲者，问此人 是男人的概率为多少（假设男人女人各占总人数的一半）．解：设=A {色盲者}，=B {男人}， B B ,构成样本空间的一个划分，且05.0)|(=B A P ， 0025.0)|(=B A P ，由贝叶斯公式：)()|()()|(A P B A P B P A B P = )|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P +=9524.00025.02105.02105.021=⨯+⨯⨯=． 30．设某种病菌在人口中的带菌率为0.03，由于检验手段不完善，带菌者呈阳性反应的概 率为0.99，而不带菌者呈阳性反应的概率为0.05，若某人检查结果是呈阳性反应，他是带菌者的概率是多少？解：设=A {结果呈阳性}，=B {是带菌者}，则B B ,构成样本空间的一个划分，且 99.0)|(=B A P ，05.0)|(=B A P ，由贝叶斯公式：)()|()()|(A P B A P B P A B P =)|()()|()()|()(B A P B P B A P B P B A P B P += 3798.005.097.099.003.099.003.0=⨯+⨯⨯=． 31．证明：如果)|()|(B A P B A P =，则事件A 和B 相互独立． 证明：由已知和条件概率公式，有)()()()(B P B A P B P AB P =，即)()()()(AB P B P B A P B P =， 即)())(1()()(AB P B P AB A P B P -=-，又A AB ⊂，上式得：)()](1[)]()()[(AB P B P AB P A P B P -=-，有)()()(B P A P AB P =，即A 和B 相互独立．32．设一个n 位二进制数是由n 各“0”或“1”数字组成，每一位出现错误数字的概率是p ，各位数字出现错误与否是独立的，问组成一个不正确的这类二进制数的概率是多少？ 解：每一位出现正确数字的概率是p -1，由已知，各位数字出现正确与否也是独立的，于是所求概率nP A P )1(1)(--=．33.设事件C B A ,,相互独立，且21)(,31)(,41)(===C P B P A P ，试求： （1）三个事件都不发生的概率；（2）三个事件中至少有一个事件发生的概率；（3）三个事件中恰有一个事件发生的概率；（4）至多有两个事件发生的概率.解：（1）41)211)(311)(411()()()()(=---==C P B P A P C B A P ； （2）43411)(1)(=-=-=C B A P C B A P ； （3）)(C B A C B A C B A P )()()(C B A P C B A P C B A P ++=2411213243213143213241=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； （4）)()()(1)(1C P B P A P ABC P -=-24232131411=⋅⋅-=． 34．甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球；乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球．从两袋中各取一球，试求两球颜色相同的概率．解：设C B A ,,表示两球同为白色、红色和黑色，C B A ,,互不相容，则所求概率为：)()()()(C P B P A P C B A P ++= 3312.025925152562572510253=⨯+⨯+⨯=． 35．两部机床独立的工作，每部机床不需要工人照管的概率分别为0.9和0.85，试求：(1)两部均不需照管的概率； (2)恰有一部需要照管的概率；(3)两部同时需要照管的概率．解：设=A {甲机床不需要工人照管}，=B {乙机床不需要工人照管}，则9.0)(=A P ，85.0)(=B P ，(1)765.085.09.0)()()(=⨯==B P A P AB P (2))()()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P B A B A P +=+=22.085.01.015.09.0=⨯+⨯= (3) 015.015.01.0)()()(=⨯==B P A P B A P ．36．求下列系统（图1.6）能正常工作的概率，其框图的字母代表组件，字母相同，下标不同的均为同一类组件，知识装配在不同的位置，A 类组件正常工作的概率为a γ，B 类组件正常工作的概率为b γ，C 类为c γ．解：(1)所求概率为)]()()()[()()()]([BC P C P B P A P C B P A P C B A P -+==c b a c a b a γγγγγγγ-+=．(2)所求概率为)()()()()(5421635241635241A A A A P A A P A A P A A P A A A A A A P -++= )()()(65432165326431A A A A A A P A A A A P A A A A P +--，又654321,,,,,A A A A A A 相互独立，则)33(33)(422642635241a a a a a a A A A A A A P γγγγγγ+-=+-= ．(3)所求概率为 )()()()]())([(22112211n n n n B A P B A P B A P B A B A B A P =)]()()([)]()()()][()()([22221111n n n n B A P B P A P B A P B P A P B A P B P A P -+-+-+= n b a b a )(γγγγ-+=．习题二1、一批晶体管中有9个合格品和3个不合格品，从中任取一个安装在电子设备上，如果取出不合格品不再放回，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的概率．解：设在取得合格品以前已取出的不合格品数为随机变量X ，则X 的所有可能取值为：0，1，2，3。
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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S= __________________________(2)—枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S= _____________________________________ ;2.(1)丢一颗骰子.A :出现奇数点，贝U A= _________________ ; B:数点大于2，则B=(2)一枚硬币连丢2次， A :第一次出现正面，则A= _________________ ;B:两次出现同一面，则 = ________________ ; C :至少有一次出现正面，则C= § 1 .2随机事件的运算1•设A、B C为三事件，用A B C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为： __________ .(2)A 与B都发生，而C不发生表示为：(3)A与B都不发生，而C发生表示为：.(4)A 、B C中最多二个发生表示为：(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A 、B C中不多于一个发生表示为：2.设S = {x : 0 _ x _ 5}, A = {x :1 ：： x _ 3}, B = {x : 2 _ ：： 4}:贝y(1) A 一 B = , (2) AB = , (3) AB = _______________ ,(4) A B = __________________ , (5) AB = ________________________ 。
§ 1 .3概率的定义和性质1.已知P(A B)二0.8, P( A)二0.5, P(B)二0.6，贝U(1) P(AB) = , (2)( P( A B) )= , (3) P(A B)= .2.已知P(A) =0.7, P(AB) =0.3,则P(AB)= .§ 1 .4古典概型1.某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率，(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到 4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.§ 1 .5条件概率与乘法公式1 •丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是 ____________________ 。
线性代数 概率论与数理统计 作业册 (参考答案)青岛理工大学
第一章 行列式第一节二阶与三阶行列式 第二节全排列及其逆序数第三节n 阶行列式的定义第四节对换1.求下列各排列的逆序数：(1) 134785692 (2) 139782645 (3) 13…(2n-1)24…(2n) (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 （11;17;2)1(-n n ;)1(-n n ） 2. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) .3.计算下列各阶行列式：(1) 600300301395200199204100103 (2)0d 0c 0b 0a 0 (3)efcfbfde cd bd aeac ab --- [2000; 0; 4abcdef] 4. 设xx x x xD 111123111212-=，则D 的展开式中3x 的系数为 -1 .5 求二次多项式()x f ，使得()61=-f ，()21=f ，()32=f解 设()c bx ax x f ++=2，于是由()61=-f ，()21=f ，()32=f 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-32426c b a c b a c b a 求c b a ,,如下： 06124111111≠-=-=D ，61231121161-=-=D ，121341211612==D ，183242116113-=-=D 所以 11==D D a ，22-==D Db ，33==DD c故()322+-=x x x f 为所求。
第五节 行列式的性质 第六节 行列式按行（列）展开 第七节克拉默法则1.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( D ). （A ）- （B ）+ （C ）n)1(- （D ）1)1(--n2.如果1a a a a a a a a a D 333231232221131211==，求333231312322212113121111a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4--- [-12] 3. 已知4521011130112101--=D ，计算44434241A A A A +++ [-1]4. 计算行列式3833262290432231---- [-50]5.计算下列各行列式（D k 为k 阶行列式）(1)a11a,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0; [2--n naa ](2) aaaa x a aax; [1)(--n a x a ](3)n1n 321a xxxxx a x x x x x a x x x x xa xx x x x a- [利用递推公式来求]递推公式为1121)()())((---+---=n n n n D x a x a x a x a x Dn D =)1)(())((2121xa xx a x x a x x a x a x a n n -++-+-+--- (4) n2222232222222221[)!2(-n ](5)β+ααββ+αβ+ααββ+ααββ+ααββ+α1000000100001000010000[n n n n βαββαα++++--11]6.问λ，μ取何值时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0x x 2x 0x x x 0x x x 321321321有非零解？ [0;1==μλ]求每类商品的销售利润率。
青岛理工大学概率论与数理统计作业册
习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ⊃,则下列表述正确的是( ).(A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生.(C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. (2) 设A ，B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是( ).(A) (AU B)-B ＝A (B) (AU B)-B A ⊂ (C) (AU B)-B A ⊃ (D) (A —B)U B ＝A2. 设A,B,C 为三个事件,试用A,B,C 的运算关系表示下列事件: (1)A 发生,B 与C 不发生; (2)A 与B 都发生,C 不发生; (3)A,B,C 都发生; (4)A,B,C 都不发生; (5)A,B,C 不都发生;(6)A,B,C 中至少有一个发生; (7)A,B,,C 中多于一个发生; (8)A,B,C 中至少有两个发生.习题1-31. 选择题(1) 随机事件A 与B 互不相容, 且P （A ）＞P （B ）＞0，则结论正确的是 ( ). (A) P(A)=1-P(B) (B) P(AB)=P(A)P(B) (C) P(A ⋃B)=1 (D) P(AB)1= (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0,则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 不一定是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. (3) 若事件A 与B 相容，则有（ ）. (A)()()()P A B P A P B =+ (B)()()()()P A B P A P B P AB =+- (C) ()1()()P AB P A P B =-- (D) ()1()()P AB P A P B =-2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ).3. 已知()0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B =, 则()P AB .4. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发生的概率.习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A , B 满足P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( ).(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件. (C) AB B =. (D)()()P AB P B =.(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ).(A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥. (B) 若()1P B A =, 则()0P AB =.(C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对立事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.2.填空题(1)()0.92,()0.93,(|)0.85,(|)___,()___.P A P B P B A P A B P A B =====则(2) 掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，则其中有一颗为1点的概率为________.(3) 已知P(A )=0.3，P(B )=0.4，P(B A )=0.5，P(B |A B )=____________. 3. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.4. 在某工厂里有甲、乙、丙3台机器生产螺丝钉它们的产量各占25%、35%、40%,并且在各自的产品里,不合格品各占5%、4%、2%.现从产品中任取一只，求(1)恰好取到不合格品的概率;(2)求此不合格品分别是机器甲、乙、丙生产的概率.5.某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?习题1-61. 选择题(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成立的是( ).(A) A , B 相互独立. (B) A , B 不相互独立. (C) A , B 互为对立事件. (D) A , B 不互为对立事件. (2) 设事件A 与B 独立, 则下面的说法中错误的是( ).(A) A 与B 独立. (B) A 与B 独立. (C) ()()()P AB P A P B =. (D) A 与B 一定互斥.(3)设A ，B ，C 是两两独立且不能同时发生的随机事件，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝p ，则p 的最大值为( ).(A)0.5 (B)l (C)1/3 (D)0.25 2. 设三事件A , B 和C 两两独立, 满足条件：,ABC =∅1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16P A B C =,求()P A .3.一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为8180，求此射手每次射击的命中率.总习题一1. 选择题：设,,A B C 是三个相互独立的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).(A)()AB 与C . (B)()AC 与C .(C) ()A B -与C . (D) AB 与C .2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.3. 某学生接连参加同一课程的两次考试．第一次考试及格的概率为p ，如果他第一次及格，则第二次及格的概率也为p ，如果他第一次不及格，则第二次及格的概率为2p ． ⑴ 求他第一次与第二次考试都及格的概率． ⑵ 求他第二次考试及格的概率．⑶ 若在这两次考试中至少有一次及格，他便可以取得某种证书，求该学生取得这种证书的概率．⑷ 若已知第二次考试他及格了，求他第一次考试及格的概率4. 甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7。
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没有击中目标概率为, 恰有一发击中目标概率为
, 恰有两发击中目标概率为
, 恰有三发击中目标概率为
. 又已知 , 所以由全概率公式得到
5. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑
球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取
一球.
(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱
的概率.
解
(1)以A表示“取得球是白球”，表示“取得球来至第i个箱
率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).
2．设A, B是任意两个事件, 其中A的概率不等于0和1, 证明
P(B|A)=是事件A与B独立的充分必要条件.
证 由于的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.
充分性. 因事件A与B独立, 知事件与B也独立, 因此
,
从而
.
有一件一等品的概率为, 没有一等品的概率为, 将两者加起即为0.7. 答案
为（D）.
2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次
品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有
1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.
解 (1) 恰有1件次品的概率是;(2) 恰有2件次品的概率是; (3 )至少有
解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}；
(4) 设在生产第10件正品前共生产了n件不合格品，则样本空间为{}.
3. 设A, B, C是三个随机事件, 试以A,
(1) 仅有A发生；
(2) A, B, C中至少有一个发生;
由概率一般加法公式得
由对立事件的概率性质知A ,B, C全不发生的概率是
.
习题1-4
1. 选择题
在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7
为概率的事件是( )．
(A) 都不是一等品.
(B) 恰有1件一等品.
(C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.
解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含
(3) A, B, C中恰有一个发生;
(4) A, B, C中最多有一个发生;
(5) A, B, C都不发生;
(6) A不发生, B, C中至少有一个发生.
解 (1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) .
4. 事件Ai表示某射手第i次(i=1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事
和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A),
(C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正
确..
2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次
取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽
(C) AB未必是不可能事件. (D) P(A)=0或P(B)=0.
解 本题答案应选(C).
2. 设P(AB)=P(), 且P(A)＝p，求P(B).
解因,
故. 于是
3. 已知,,, 求.
由公式知. 于是
4. 设A, B为随机事件,,, 求.
解 由公式可知,. 于是.
5. 设A, B是两个事件, 且, .问:
得一件为正品, 一件为次品的概率.
解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率为.
(1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为
3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有的产品
是第一家工厂生产的, 其它二厂各生产. 又知第一、第二家工厂生产的产
品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任
2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X, 再从1,2,…,X中任取一个数, 记
为Y,求P{Y=2}.
解 解 P{Y=2}=P{X=1}P{Y=2|X=1}+P{X=2}P{Y=2|X=2}
+P{X=3}P{Y=2|X=3}+P{X=4}P{Y=2|X=4}
=×(0+++)=.
3. 口袋中有b个黑球、r个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色
(A) 与独立.
(B) 与独立.
(C) .
(D) A与B一定互斥.
解 因事件A与B独立, 故,A与及与B也相互独立. 因此本题应选(D).
(3) 设事件A与 B相互独立, 且0<P(B)<1, 则下列说法错误的是( ).
(A) . (B) .
(C) A与B一定互斥. (D) .
解 因事件A与B独立, 故也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概
1件次品的概率是1-; (4) 至多有1件次品的概率是+; (5) 至少有2件次品的
概率是+.
3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：
(1) 两个球均为白球的概率；
(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率；
(3）至少有一个黑球的概率.
解 从9个球中取出2个球的取法有种，两个球都是白球的取法有 种，一黑一白的取法有种，由古典概率的公式知道
(A) A是必然事件.
(B) B是必然事件.
(C) .
(D).
解 由条件概率定义可知选(D).
(2) 设A, B为两个随机事件, 且, 则下列命题正确的是( ).
(A) 若, 则A, B互斥.
(B) 若, 则.
(C) 若, 则A, B为对立事件.
(D) 若, 则B为必然事件.
解 由条件概率的定义知选（B）．
(2) 恰有一人命中目标的概率；
(3) 目标被命中的概率.
解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是
(1)
(2)
(3)
总习题一
1. 选择题：设是三个相互独立的随机事件, 且, 则在下列给定的四对
事件中不相互独立的是( ).
(A)与C.
(B)与.
(C) 与C.
(D) 与.
解 由于A, B, C是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的
(1) 求这件产品是次品的概率;
(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率
分别是多少？
解 设A表示“取到的是一件次品”, (i=1, 2, 3)分别表示“所取到的产品
来自甲、乙、丙工厂”. 易知, 是样本空间S的一个划分, 且
，,.
(1) 由全概率公式可得
.
(2) 由贝叶斯公式可得
又
P(B1)=, P(B2) =, P(B3)=,
P(A| B1)=, P(A| B2)=, P(A| B3)=,
由全概率公式得
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A| B3)
==0.025.
4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品
习题
2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:
(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球,
观察其颜色;
(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色；
(3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数；
(4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数.
(1) 两球都是白球的概率是; (2) 两球中一黑一白的概率是; (3) 至少有一个黑球的概率是1.
4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和 小于;(2) 两数之积小于;(3) 以上两个条件同时满足;(4) 两数之差的绝对 值小于的概率.
解 设X, Y为所取的两个数, 则样本空间S = {(X, Y)|0<X, Y<1}., (1) P{X+Y<}=; (2) P{XY<}=; (3) P{X+Y<, XY<}
必要性. 已知, 由条件概率公式和对立事件概率公式得到
,
移项得
化简得 P(AB)=P(A)P(B), 因此A和B独立.
3. 设三事件A , B和C两两独立, 满足条件：
, 且,
求.
解 根据一般加法公式有
.
由题设可知 A, B和C 两两相互独立, , 因此有
从而
,
于是或, 再根据题设, 故.
4． 某人向同一目标独立重复射击, 每次射击命中目标的概率
为p(0<p<1), 求此人第4次射击时恰好第2次命中目标的概率.
解 “第4次射击恰好第2次命中” 表示4次射击中第4次命中目标, 前3
次射击中有一次命中目标. 由独立重复性知所求概率为 .
5. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7,
乙命中目标的概率为0.8. 求：
(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；
次或第二次没有击中目标.
习题1-3
1. 选择题
(1) 设A, B为任二事件, 则下列关系正确的是( ).
(A). (B).
(C). (D).
解 由文氏图易知本题应选(D).
(2) 若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=0, 则下列结论正确的是