届高三数学二轮复习：数列专题及其答案

2０18届高三第二轮复习——数列

第１讲等差、等比考点

【高考感悟】

从近三年高考看,高考命题热点考向可能为：

1．必记公式

（１）等差数列通项公式:a n=a1＋（ｎ－1)ｄ.

(2)等差数列前n项和公式：Sｎ＝错误!=ｎa1+错误!.

(３)等比数列通项公式：a nａ１ｑn-1.

（4)等比数列前n项和公式:

S n=错误!.

(5)等差中项公式：2a n＝aｎ－1+ａn＋１(n≥２).

(６)等比中项公式：ａ错误!=a n－1·aｎ+1（n≥2).

(7)数列{a n}的前n项和与通项a n之间的关系:a n＝错误!.

2．重要性质

(１）通项公式的推广:等差数列中,aｎ=ａm＋(n-m）d;等比数列中，aｎ=ａmｑn-ｍ.

(2）增减性：①等差数列中,若公差大于零，则数列为递增数列;若公差小于零，则数列为递减数列．

②等比数列中,若a１＞0且q＞1或ａ1<0且０<ｑ＜１，则数列为递增数列;若a1>０且01，则数列为递减数列.

3．易错提醒

(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时,忽视各项都不为零的条件．

（2)漏掉等比中项:正数a，b的等比中项是±＼ｒ(ａb),容易漏掉-ａｂ.

【真题体验】

1．(２015·新课标Ⅰ高考)已知｛ａn}是公差为1的等差数列，Ｓｎ为{ａn}的前n项和.若Ｓ8＝4S4，则ａ１０=()

A.错误!Ｂ.错误!C．10 D.１2

2.(２015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n ｝满足a 1=错误!，a 3a 5=4(ａ4-1)，则a 2＝( ）

A.2 Ｂ.1 C.＼ｆ(1，2） Ｄ.＼f (1,８）

3.(２０1５·浙江高考)已知｛ａn }是等差数列，公差d 不为零.若ａ2,a 3,ａ7成等比数列，且2a 1+ａ２＝1,则ａ

1=____＿____＿,ｄ=________.

4．(2０１6·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111

==3

n n n n b b a b b nb +++=1，，,. (Ｉ)求{}n a 的通项公式；(II ）求{}n b 的前n 项和.

【考 点 突 破 】

考点一、等差（比)的基本运算

1.(2015·湖南高考）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a １＝1，且3Ｓ1，2Ｓ2,S 3成等差数列，则a n ＝＿_____＿＿.

2．(2015·重庆高考）已知等差数列{a n }满足a 3=２,前3项和S 3＝9

2

．

（1)求｛a ｎ}的通项公式;

(2)设等比数列｛b n ｝满足b 1=ａ1，b 4=a １5，求｛ｂｎ}的前n 项和T n .

考点二、等差（比)的证明与判断

【典例1】( ２017·全国1 )记S ｎ为等比数列{}n a 的前ｎ项和,已知Ｓ2=2,S 3=-6.

(1)求{}n a 的通项公式；（2）求S ｎ,并判断Ｓn +１，Ｓｎ,S n +２是否成等差数列。 .

【规律感悟】判断和证明数列是等差(比）数列的三种方法

(1）定义法：对于ｎ≥1的任意自然数,验证ａn+1-aｎ错误!为同一常数.

(2）通项公式法：

①若a n＝a1+(n－1)d=a m+(n－m）d或aｎ＝kｎ+b(n∈N*),则｛a n｝为等差数列;

②若ａｎ＝a１qｎ-１=a m q n－m或aｎ＝pｑkn＋b(n∈N*),则{a n}为等比数列．

(3）中项公式法:

①若2aｎ＝a n-1+ａn＋1（n∈Ｎ*，ｎ≥2），则{a n}为等差数列；

②若a错误!=ａn－1·aｎ+１(n∈N*，n≥2)，且aｎ≠0,则｛ａn}为等比数列.

变式：(2014·全国大纲高考)数列{a n}满足a1=1，a2=2,aｎ+2=2a n+1－a n+2.

(1)设ｂn＝ａn＋1-a n，证明｛b n}是等差数列;（2)求{a n}的通项公式．

考点三、等差(比)数列的性质

命题角度一与等差(比)数列的项有关的性质

【典例2】（1)(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{ａn}满足ａ1＝3，a1+a3+a5=21,则a3+a5＋a7＝( ）A．２１B．4２ C.６３Ｄ.84

(２)（2０15·铜陵模拟)已知等差数列{a n}的前ｎ项和为S n，且S10=１2，则a5+a6＝( )

A.错误!B．1２ C.6 D．错误!

命题角度二与等差(比)数列的和有关的性质

【典例３】(１)(201４·全国大纲高考)设等比数列｛a n}的前n项和为S n．若S2=3，S4=１5,则S6＝( )A．3１B．32C.6３D．６4

(２)(２015·衡水中学二调)等差数列{aｎ}中,3(a3＋a５)＋２（a7+ａ10+ａ１3)＝2４，则该数列前13

项的和是() Ａ．13 B．26 Ｃ.52 Ｄ．15６

[针对训练］

1．在等差数列{ａn}中，若a3＋a4＋ａ5＋a６+a7=25，则a２+ａ8＝＿___＿_＿_.

2.在等比数列｛a n}中，ａ4·ａ8＝1６,则a4·a5·a７·a8的值为＿_____＿_.

３.若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12＝２e5,则ln ａ1＋ｌn ａ2+…＋ln a2０=＿____＿．

【巩固训练】

一、选择题

1．(2０1５·新课标Ⅱ高考)设S n是等差数列{a n}的前n项和．若ａ1＋a3＋ａ5=３,则S5=()

A.５

B.7 C．9Ｄ.11

２.(2０１4·福建高考)等差数列｛a n｝的前ｎ项和为Ｓn,若ａ１＝２，S３＝12，则a6等于() Ａ．8 Ｂ．１0C．12 D．1４

3．(2０14·重庆高考）对任意等比数列{aｎ｝,下列说法一定正确的是（) Ａ．a1，a３，ａ9成等比数列 B.a2,a3，ａ６成等比数列

C．a2,a4,ａ8成等比数列Ｄ．a３，a6,a9成等比数列

4．(2014·天津高考)设｛aｎ}是首项为a1，公差为－１的等差数列，Ｓn为其前n项和．若S１,S ２

，S4成等比数列,则a１=()

A．２B．-２Ｃ.1

2D．-

＼ｆ(1,2)

5.(２015·辽宁大连模拟)数列{a n}满足a n－ａn＋１＝a n·ａn＋1(n∈N*)，数列{ｂｎ｝满足b n＝1

aｎ

，且b1+b2+…＋b９＝9０，则b4·b6( )

A．最大值为99 Ｂ.为定值９９C．最大值为１０0 D.最大值为200

二、填空题

6．（２015·陕西高考)中位数为１010的一组数构成等差数列,其末项为2 ０15，则该数列的首项为______＿＿．

7．（20１5·安徽高考)已知数列{a n}是递增的等比数列,a1＋a4=9，a2a３＝8,则数列{ａｎ｝的前n项和等于________.