DTFT对称性
数字信号处理中的对称性问题
数字信号处理中的对称性问题虞粉英;陆锦辉【摘要】数字信号处理是利用计算机或信号处理设备、采用数值计算方法对信号进行处理的过程.该文分析了离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散傅里叶变换(DFT)、连续与非周期以及离散与周期的对称性,将N点序列的离散谱视为DTFT连续谱一个周期的采样,解决了利用计算机分析信号频谱的问题.通过对比分析DTFT和DFT 的对称性可知,将DFT的对称性应用到实序列DFT计算中,可减少约50％运算量.【期刊名称】《南京理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(042)005【总页数】7页(P615-621)【关键词】数字信号处理;奇偶对称性;共轭对称性;圆周共轭对称性【作者】虞粉英;陆锦辉【作者单位】南京理工大学电子工程与光电技术学院,江苏南京210094;南京理工大学电子工程与光电技术学院,江苏南京210094【正文语种】中文【中图分类】TN911.72数字信号处理(Digital signal processing,DSP)是利用计算机或通用(专用)的信号处理设备，采用数值计算的方法对信号进行处理的一门学科。
随着信息、通信、计算机科学与技术的迅速发展，数字信号处理理论得到快速发展，在信息与通信领域应用广泛。
文献[1]利用多路欠采样的方法对多分量线性调频(Linear frequency modulation，LFM)信号进行参数估计。
文献[2，3]研究了中继协作通信系统中数字信号处理算法的对称性问题，用于设计上下行链路。
数字信号处理理论在自动控制、生物医学、机械、能源、电力、纺织、仪器仪表等领域的应用也日益广泛[4，5]。
我国中东部经济发达地区电力供应相对紧缺，为此，在国家西电东输工程中，电力的转换与传输中存在大量的数据监测和监控，利用数字信号处理的方法就可以进行数据的自动分类、准确监控，从而实现高效率、高精度的电力转换与传输。
数字信号处理理论在电网储能优化配置中也有着重要作用[6]。
DFT的共轭对称性
又据Xep(k)的对称性：X ep
(k)
X
* ep
(( N
k )) N
RN
(k)
X (k) X *((N k))N RN (k)
当x(n)为纯虚序列时，则
X(k)=Xop(k)
又据Xop(k)的对称性：X
op
(k
)
X
* op
((k
))
N
RN
(k
)
X (k) X *((k))N RN (k)
即可由频域采样X (k)不失真地恢复原信号 x(n) ，否则产生时域混叠现象。
二、由X (k)表示X (Z )和X (e j ) - - -内插恢复
1.由X(k)恢复X(Z) M点有限长序列x(n)，频域N点等间隔抽样，且
NM
M 1
N 1
则： X (z) x(n)zn x(n)zn
k ))N
]RN
(k)
由x2 (n) Im[w(n)]得
X 2 (k )
DFT[x2 (n)]
1 j Wop (k)
1 2j
[W
((k )) N
W
* (( N
k )) N
]RN
(k)
3.3频域抽样理论--抽样Z变换
讨论： 时域抽样: 对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其 进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频 谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复 原信号。 频域抽样: 对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得 x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频 域抽样。
xep
(
matlab的有限长序列的DTFT分析
郑州大学信息工程学院实验报告年级 2008级专业电子信息工程班级一班姓名学号指导老师成绩年月日题目：有限长序列的DTFT一.任务：求有限长序列想x（n）=[1,3,5,3,1]的DTFT,画出它在w=-8-8 rad/s范围的频率特性，讨论其对称性，再把x(n)的位置左右移动，讨论时移对DTFT的影响。
二．分析：三．Matlab程序%有限长序列的DTFTx=[1,3,5,3,1];%序列nx=[-1:3];w=linspace(-8,8,1000); %w=[-8，8]分1000份X=x*exp(-j*nx'*w);%频率特性%绘图subplot(5,3,1),stem(nx,x),axis([-2,6,-1,6]) title('原始序列')ylabel('x(n)')subplot(5,3,4),plot(w,abs(X));ylabel('幅度')subplot(5,3,7),plot(w,angle(X));ylabel('相位')subplot(5,3,10),plot(w,real(X));ylabel('实部')subplot(5,3,13),plot(w,imag(X));ylabel('虚部')%左右移动nx1=nx+2;X1=x*exp(-j*nx1'*w);%左移2nx2=nx-1;X2=x*exp(-j*nx2'*w);%右移1%左移2绘图subplot(5,3,2),stem(nx1,x),axis([-2,6,-1,6]); title('左移2位')subplot(5,3,5),plot(w,abs(X1));subplot(5,3,8),plot(w,angle(1));subplot(5,3,11),plot(w,real(X1));subplot(5,3,14),plot(w,imag(X1));%右移1绘图subplot(5,3,3),stem(nx2,x),axis([-2,6,-1,6]); title('右移一位')subplot(5,3,6),plot(w,abs(X2));subplot(5,3,9),plot(w,angle(X2));subplot(5,3,12),plot(w,real(X2));subplot(5,3,15),plot(w,imag(X2));运行结果：四．讨论：1.有限长序列的DTFT是连续函数。
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
x a (t )e
st
e
jk
2 T
t
dt
用傅里叶级数表示
即：Z变换可看成是x(n)乘以指数序列r-n后的傅里叶变换。 2、单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
X a ( s jk s )
k
周期延拓
z re
j
r 1 z e
j
X (z)
ze
sT
X (e
M N
y (n)
m 0
bm x (n m )
k 1
ak y (n k )
23
24
4
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
2、变换域中的表述 用系统函数H(z)来表征（指明收敛域）
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
用频率响应来H(ejω)表征
H (e
x ( n )e
j ( n )
]
X (e
*
j
)
满足共轭反对称性
X o (e
j
) X o (e
)
19
20
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
4、信号的实部和虚部的傅里叶变换
x ( n ) Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )]
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
j
)] X e ( e
j
)
Im[ X ( e
j
)] Im[ X ( e
j
奇函数
j Im[ x ( n )]
1 2
[ x ( n ) x ( n )] 1 2
实序列的共轭对称性及其工程应用 (1)
03 共轭对称性的工程应用
共轭对称性的工程应用
●共轭对称性在磁共振图像处理消除伪影技术上的应用
Ghost伪影是回波平面成像(EPI)中一个很普遍的伪影，利用K空间原始数据的共轭对称性 来消除ghost伪影的方法，且可以自动进行而不需要参考扫描。首先利用K空间的上述特 性估计产生ghost伪影的K空间数据奇数和偶数行间的相位差，然后用迭代的方法对K空间 数据进行校正，直到达到最好的ghost伪影消除效果。
证明共轭对称性
结果图：
xep
4
2
0
-2
0
2
4
2
0
-2
-4
0
2
xop
共轭对称分量
4
6
8
n
共轭反对称分量
10
12
4
6
8
10
12
n
证明共轭对称性
结果图：
10 5 0 -5
-10 0
10 5 0 -5
-10 0
real(X)
5
10
k
DFT[xep(n)]
5
10
k
10 0
-10 0
10 0
-10 0
imag(X)
证明共轭对称性
主程序：
figure(1) n=0:11;x=[2.5 0 1.6 -3 -2 2 1.6 -3 -1 4 4.5 2]； [xep,xop]=gedc(x); subplot(2,1,1); stem(n,xep); title('共轭对称分量');xlabel('n'); ylabel('xep'); axis([-0.5,12.5,-3,4]); subplot(2,1,2); stem(n,xop); title('共轭反对称分量'); xlabel('n'); ylabel('xop'); axis([-0.5,12.5, 4,4]); figure(2) X=dft(x,12) ; Xep=dft(xep,12);Xop=dft(xop,12); subplot(2,2,1); stem(n,real(X)); axis([-0.5,12.5,-10,10]); title(' real(X)'); xlabel('k'); subplot(2,2,2); stem(n,imag(X)); axis([-0.5,12.5,-17,17]); title(' imag(X)'); xlabel('k'); subplot(2,2,3); stem(n,Xep); axis([-0.5,12.5, -10,10]); title('DFT[xep(n)]'); xlabel('k'); subplot(2,2,4); stem(n,imag(Xop)); axis([-0.5,12.5,-17,17]); title('DFT[xop(n)]'); xlabel('k'); figure(3) X=dft(x,12) ; [Xe,Xo]=gedc(X); subplot(2,2,1); stem(n, Xe); axis([-0.5,12.5,-10,10]); title(' Xep'); xlabel('k'); subplot(2,2,2); stem(n,Xo); axis([-0.5,12.5,-17,17]); title(' Xop'); xlabel('k'); subplot(2,2,3);stem(n,real(X)); axis([-0.5,12.5, -10,10]); title('DFT[real(xn)]'); xlabel('k'); subplot(2,2,4); stem(n,i*imag(X)); axis([-0.5,12.5,-17,17]); title('DFT[imag(xn)]'); xlabel('k');
离散时间傅立叶变换(DTFT)
| X (e j ) | sin(N / 2) sin( / 2)
arg[ X (e j )] (N 1) arg[sin(N / 2)]
2
sin( / 2)
当N＝4时，序列x(n)及其幅度谱与相位谱如下图示。
程序清单
clc; clear; y=[1 1 1 1]; x=0; n=[0:3]; w=0:0.01:2*pi; subplot(311); stem(n,y); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); for n=0:3
xe (n) xe (n)
xo (n) xo(n)
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
（4）对序列x(n)旳X(ejω)
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)
Xe(ejω)=X*e(e-jω) Xo(ejω)=-X*o(e-jω)
X e (e j
)
对比上面两公式， 左边相等， 所以得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n)
（2）共轭反对称序列： 若满足下式： xO(n)=-x*O(-n) 则称xO(n)为共轭反对称序列。
共轭反对称序列旳性质：实部是奇函数， 虚部是偶函数。
例：共轭对称序列 共轭反对称序列
5－j －5＋j
d
5、时域卷积定理
设
y(n)=x(n)*h(n),
则 Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)
时域卷积， 频域乘法
证明：
令k=n-m
y(n) x(m)h(n m)
m
Y (e j ) FT[ y(n)]
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号和系统的频域分析信号与系统的分析方法有两种：时域分析方法和频域分析方法。
在连续时间信号与系统中，信号一般用连续变量时间t 的函数表示，系统用微分方程描述，其频域分析方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换。
在时域离散信号与系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，系统则用差分方程描述，频域分析方法是Z 变换和序列傅立叶变换法。
Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。
因此，对求解离散时间系统而言，Z变换是一个极重要的数学工具。
2．2 序列的傅立叶变换（离散时间傅立叶变换）一、序列傅立叶变换：正变换：DTFT[x(n)]=（2.2.1）反变换：DTFT-1式（2.2.1）级数收敛条件为||= (2.2.2)上式称为x(n)绝对可和。
这也是DTFT存在的充分必要条件。
当遇到一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其DTFT可用冲激函数的形式表示出来。
二、序列傅立叶变换的基本性质：1、 DTFT的周期性，是频率的周期函数，周期为2。
∵ = 。
问题1：设x(n)=R N(n)，求x(n)的DTFT。
====设N为4，画出幅度与相位曲线。
2、线性设=DTFT[x1(n)]，=DTFT[x2(n)]，则：DTFT[a x1(n)+b x2(n)]= = a+b3、序列的移位和频移设 = DTFT[x(n)]，则：DTFT[x(n-n0)] ==DTFT[x(n)] == =4、 DTFT的对称性共轭对称序列的定义：设序列满足下式则称为共轭对称序列。
共轭对称序列的性质：共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数证明：=+j（实部加虚部）∵∴+j=-j∴=（偶函数）∴=－（奇函数）一般情况下，共轭对称序列用表示：共轭反对称序列的定义：设序列满足下式则称为共轭反对称序列。
共轭反对称序列的性质：共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数证明：=+j（实部加虚部）∵∴+j=+j∴=（奇函数）∴=（偶函数）一般情况下，用来表示一个序列可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示。
dtft的理解
dtft的理解DTFT（Discrete Time Fourier Transform）是离散时间傅里叶变换的缩写，是信号处理中重要的数学工具之一。
它可以将离散时间序列信号从时域转换到频域，从而可以分析信号的频谱特性。
本文将从原理、性质和应用三个方面对DTFT进行详细阐述。
我们来了解一下DTFT的原理。
DTFT是对离散时间序列信号进行频域分析的一种方法，它将离散时间序列信号表示为复数序列。
DTFT 的定义公式如下：X(e^jω) = Σ[x(n)e^(-jωn)]其中，X(e^jω)表示DTFT的结果，x(n)表示原始离散时间序列信号，e^jωn是单位复数旋转因子，ω是频率。
从定义可以看出，DTFT 将离散时间序列信号在所有频率上进行了穷尽的分析。
接下来，我们来讨论一下DTFT的性质。
DTFT具有线性性、频移性、共轭对称性、共轭周期性等性质。
线性性指的是DTFT满足线性叠加原则，即对于信号的线性组合，其DTFT等于各个信号的DTFT 的线性组合。
频移性指的是一个信号的DTFT的频谱图可以通过平移来得到另一个信号的DTFT的频谱图。
共轭对称性指的是实序列的DTFT是共轭对称的，即其频谱图关于实轴对称。
共轭周期性指的是周期序列的DTFT是共轭周期的，即其频谱图在频率为2π的整数倍时重复出现。
这些性质使得DTFT在频域分析中具有重要的作用。
我们来看一下DTFT的应用。
DTFT广泛应用于信号处理和系统分析中。
在信号处理中，DTFT可以用于频域滤波、频谱分析和信号重构等。
通过对信号进行DTFT分析，可以了解信号的频率成分、频谱特性和频域归一化情况。
在系统分析中，DTFT可以用于系统的频率响应分析和系统的稳定性判断等。
通过对系统的输入输出进行DTFT 分析，可以得到系统的频率响应特性，从而判断系统的稳定性和频率响应。
DTFT作为离散时间信号处理中的重要工具，具有重要的理论和实际应用价值。
通过对离散时间序列信号进行频域分析，可以揭示信号的频谱特性和频域信息，为信号处理和系统分析提供了有力的工具和方法。
第二章_DTFT及性质2011
(
)
( )
21
DTFT性质 DTFT性质： 性质：对称性
若 x(n) 为实序列 序列，则其傅氏变换有以下性质:
(a) X e jω = X * e − jω
( )
(
)
− −共轭对称
(b) Re [ X (e jω )] = Re [ X (e − jω )] − −实部是ω 的偶函数 (c) I m [ X (e jω )] = − I m [ X (e − jω )] − −虚部是 ω 的奇函数
DTFT
∫π
−
π
X ( e jθ ) ∗ H ( e j (ω −θ ) )dθ
证明:
Y (e ) =
jω
∑
n=−∞
∞
x ( n)h( n)e
− jnω
1 = ∑ x ( n) 2π n=−∞
∞
− jnω jθ jnθ H ( e ) e d θ e ∫− π
π
交换积分与求和的次序， 交换积分与求和的次序，有
时域内的卷积关系映射到频域内为相乘
x (n ) ∗ h (n ) ← → X (e
F
jω
)H (e )
jω
时域卷积
频域相乘
11
x(n ) ∗ h(n ) → X (e jω )H (e jω )
证明： 证明：
F [ x(n) ∗ h(n)] =
=
=
− jnω ( ) [ x ( n ) ∗ h n ] e ∑ n = −∞
jω
∧
∞ − jn ω jω 级数收敛的条件是 = X ( e ) x ( n ) e ∞ ∑ x ( n) < ∞ n = −∞ ∑ ∴ n = −∞ π 1 j jn ω ω x(n) = X (e )e dω ∫ 2π −π ——离散时间信号的傅氏变换对
2.6 DTFT变换
(b) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反 对称部分xo(n)，即 x(n)=xe(n)+xo(n)， x*(-n)=xe(-n)-xo(-n)
1 xe (n ) [ x(n ) x ( n )] 2 1 xo (n ) [ x (n ) x ( n )] 2
HI(ejω)=-HI(e-jω)
实序列的DTFT的实部是偶函数，虚部 是奇函数； 实序列的DTFT的模是偶函数，相位为 奇函数。 对于实序列，一般只需分析 0 之间的 离散时间傅里叶变换。
2.10 离散系统的系统函数、系统的频率响应
2.10.1 传输函数与系统函数 设系统初始状态为零，输出端对输入为单 位脉冲序列δ(n)的响应，称为系统的单位脉冲 响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e jω)
j
xo ( n )
j
X (e ) X R (e ) jX I (e )
序列的共轭对称部分xe(n)对应着DTFT的实 部XR(ejω)， 而序列的共轭反对称部分xo(n)对应
着DTFT的虚部jXI(ejω) 。
若序列h(n)是实序列， 则其DTFT只 有共轭对称部分He(ejω)， 共轭反对称部 分为零。 H(ejω)=He(ejω)= He*(e-jω) H(ejω)=He(ejω)= HR(ejω)+j HI(ejω) He*(e-jω)=HR(e-jω)-j HI(e-jω) HR(ejω)=HR(e-jω)
是X (e j )的实部， Im[ ]是 X (e j )的虚部 Re [ ]
| X (e ) | 表示幅度谱
zt、dtft、dft和fft算法原理
zt、dtft、dft和fft算法原理
zt（Z Transform，Z 变换）是一种离散时间信号的变换方法，用于将离散时间序列从时域转换到复平面上的Z 域。
zt 变换广泛应用于信号和系统分析中。
DTFT（Discrete-Time Fourier Transform，离散时间傅里叶变换）是一种将离散时间信号从时域转换到频域的方法，其结果是一个连续的频谱。
DTFT 系数是复数形式的，表示信号在不同频率上的幅度和相位。
DFT（Discrete Fourier Transform，离散傅里叶变换）是对有限长离散时间信号进行频谱分析的一种方法。
DFT 的输入是离散时间序列，输出的结果也是离散时间序列，表示信号在不同频率上的幅度和相位。
DFT 是DTFT 的一种离散实现方式。
FFT（Fast Fourier Transform，快速傅里叶变换）是一种高效算法，用于计算DFT。
FFT 可以大幅提高计算效率，特别在长度为2 的幂的离散时间序列上效果更显著。
FFT 算法利用信号的对称性质和递归原理，将DFT 的计算复杂度从
O(N^2) 减少到O(N log N)。
FFT 算法被广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
信号分析与处理公式 笔记
信号分析是认识世界的方法，信号处理是改造世界的手段用阶跃函数闭式表示分段光滑信号x (t ) = 2ε(t )- 3ε(t -1) +ε(t -2)冲激函数的性质1） 与普通函数 x(t) 的乘积——筛分性质若x (t )在 t = 0 、 t = t0处存在，则 x (t )δ(t ) = x (0)δ(t ) ， x (t )δ(t –t 0) = x (a) (t –t 0) 2） 与普通函数 x(t) 的乘积再积分——抽样性质3）冲激函数与阶跃函数关系： 可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。
如 x (t ) = 2ε(t +1)-2ε(t -1) x′(t ) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)注意：图中K 为强度，要括住！冲激函数的导数δ’(t ) （也称冲激偶信号） 1） 与普通函数 x(t) 的乘积——筛分性质2） 抽样性质 例如：★周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和 非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示周期信号的傅里叶级数 1、傅里叶级数的三角形式)(d )()(00t x t t t t x =-⎰∞∞-δ⎰∞-=tt ττδεd )()(dt t d t )()(δδ='()()(0)()(0)()x t t x t x t δδδ'''=-00()()d ()x t t t t x t δ∞-∞''-=-⎰)42(4)(2-=t t t xδ24(2(2))t t δ=-24(2)8(2)2t t t δδ=-=-1sin()()2j t j tt e e j ωωω-=-1cos()()2j t j t t e e ωωω-=+))sin()cos(()(1110t k b t k a a t x k k k ωω++=∑∞=∑∞=++=110)cos()(k k k t k C C t x ϕω⎰∞∞--=ττδτd )()()(t x t x2、傅里叶级数的指数形式两种傅氏级数的系数间的关系:非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的频谱1.单边指数信号 x (t) = e –αt ε(t)， α >0实数2. 矩形脉冲信号 （门函数）3. 符号函数4. 单位冲激信号5. 单位阶跃信号 ⎰-=221111d )cos()(2T T k t t k t x T a ω∑∞-∞==k tjk k X t x 1e )(ω000a c X ==)(21k k j k k jb a e X X k -==ϕ)(21k k j k k jb a e X X k+==---ϕ()()()()()()1F 1F 2j tj tX x t x t e dt x t X X e d ωωωωωωπ∞--∞∞--∞⎧==⎡⎤⎣⎦⎪⎨⎪==⎡⎤⎣⎦⎩⎰⎰⎰∞∞--∞→==t t x T X X tj k T d e )(lim )(11ωω()()()j X X e ϕωωω=⎰∞∞-=dt t x X )()0(⎰∞∞-=ωωπd )(21)0(X x ωαωαωωαωαj j t X t j t j t +=+-==∞+-∞--⎰1e 1d e e )(0)(0()()22222sin Sa 22j t j t j t E X x t e dt E e dt e j E E ττωωωττωωωτωττω∞----∞--===-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()1,0sgn 1,0t x t t t >⎧==⎨-<⎩ωωαωωααj j X t 22lim )(lim )sgn(22010=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=←→→→0()()1j t j X t e dt e ωωωδ+∞---∞===⎰)(2)(2d e 1ωπδωπδω=-=←→⎰∞∞--t tj 111傅里叶变换的性质1. 线性(Linear Property)2. 对偶性(Symmetrical Property) 若 x (t ) ←→X (ω) 则3. 尺度变换性质(Scaling Transform Property) 若 x (t ) ←→X (ω) 则 其中 “a ” 为不等于零的实常数。
DFT的共轭对称性
N −1
内插公式与内插函数
1 − z − N N −1 X ( k ) 内插公式：X ( z ) = ∑ 1 − W − k z −1 N k =0 N 1 1 − z−N 内插函数：Φ k ( z ) = ⋅ − k −1 N 1 − WN z
则内插公式简化为： X ( z ) = ∑ X ( k )Φ k ( z )
即可由频域采样 X ( k ) 不失真地恢复原信号 x ( n ) ，否则产生时域混叠现象。
二、由X (k )表示X ( Z )和X (e ) - - -内插恢复
1.由X(k)恢复X(Z) M 点有限长序列x ( n )，频域N 点等间隔抽样，且
jω
N≥M
则： X ( z ) = ∑ x ( n ) z − n = ∑ x ( n ) z − n
若有: x(n) = xr (n) + jxi (n) DFT[ x(n)] = X (k ) = X ep (k ) + X op (k )
则有：
1 xr (n) = [ x(n) + x∗ (n)] 证明： 2 1 DFT[ xr (n)] = [ X (k ) + X ∗ ( N − k )] = X ep (k ) 2 1 xi (n) = [ x(n) − x∗ (n)] 2 1 DFT[xi (n)] = [ X (k ) − X ∗ ( N − k )] = X op (k ) 2
DFT [ x1 (n)] = X 1 (k )
DFT [ x2 (n)] = X 2 (k )
利用两序列构成一个复序列
w( n ) = x1 ( n ) + jx2 ( n ) 则 W ( k ) = DFT [ w( n )] = DFT [ x1 ( n ) + jx2 ( n )] = DFT [ x1 ( n )] + jDFT [ x2 ( n )] = X 1 ( k ) + jX 2 ( k )
信号与系统复习资料 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT
Z变换与DTFT
以下假设
n1<n2
•如果n2 ≤0 ，则收敛域不包括∞点
• 如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
• 如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
1) n2 0( n1 0), 0 z
2) n1 0( n2 0)， 0 z
3) n1 0, n2 0， 0 z
Rx
当Rx Rx 时，Roc :
-10-
0
当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx
Z变换与DTFT
例1
[n]1, 0 z
ZT
[n]z
n
n
[0]z 1
0
收敛域应是整个z 的闭平面
-11-
Z变换与DTFT
Z变换与DTFT
第二章 z变换和DTFT
-1-
Z变换与DTFT
本章主要内容：
1. z变换：定义及收敛域，z变换的反变换
z变换的基本性质和定理 2. ZT 与连续信号LT、FT的关系
（信号）
3. 离散时间信号的DTFT（序列的傅立叶变换）
4. z变换与DTFT的关系 5. DTFT的一些性质 6. 周期性序列的DTFT 7. DTFT变换的对称性质
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n ) z = RN (n ) z
n n n
N Z=1处零 z 1 极对消 z N 1 ( z 1)
1 z = z 1 z 1 n 0
N 1 n
n N
q n1 q n2 1 n q 1 q n n1
2第二章-z变换
调用： num [ p0 , p1 , p2 , , pM ]
den [d 0 , d1 , d 2 , , d N ] H freqz(num, den, )
ˆ X a ( s)
X (z )
思考练习
?
X a (s)
2. Z变换与傅里叶变换
s j 的拉普拉斯变换即为傅里叶变换，
ze e
sT
jT
映射为z平面的单位圆
jT
X ( z ) z e jT X (e
ˆ ) X a ( j)
抽样序列在单位圆上的z变换，等于其理想抽 样信号的傅里叶变换。
c
c
| H (e j ) |2 d
c
Parseval定理
序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系
统进行分析。它是用{ 变换用{
jt
e
j n
}作为基函数对序
列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶
e
}对模拟信号进行展开相似。
4. 序列傅立叶变换的对称性
• 序列的共轭对称性质
xe (n) xe (n) 若序列 xe (n)满足
则称 xe (n)为共轭对称序列
若序列xo (n)满足 xo (n) x
o
( n)
则称 xo (n)为共轭反对称序列
任何序列 x(n)均可表示成上述两种序列之和，
即x(n) xe (n) xo (n) 1 xe ( n) {x( n) x ( n)} 2 其中 1 xo ( n) {x( n) x ( n)} 2
第3章 看到DTFT性
(3) 周期信号的傅立叶变换
周期信号
FS
上式表明，一个周期信号的傅里叶变 换是由频率轴上间距为 0 的冲激序列所组 成，这些序列的强度等于相应的傅里叶系 数乘以 2 。 可见，时域连续的周期信号的傅里叶
变换在频域是离散的、非周期的。 例：时域冲激串序列
其傅里叶变换为
p(t )
n
1.
DTFT [ (n)] 1
DTFT[ (n m)] e
2.
3.
jm
DTFT [e j0n ] 2
k
(
0
2 k )
k Z
DTFT [sin(0 n)] j
k
[ (
0
2 k ) ( 0 2 k )]
n
x (nT ) (t nT )
a s s
抽样：等间隔地将模拟信号
的样值抽取出来，抽样得到
的离散信号的幅度准确地等
于模拟信号在抽样时刻的幅
度。
X a ( j) FT[ xa (t )]
P( j) FT [ p(t )]
X (e j )e jn d ]
1 2
X (e
)[ x (n)e
* n
j n
1 ]d 2
X (e ) d
j
2
1 Ex 2
1 j Ex (e )d 2
X (e j ) d
2
（五）典型信号的在DTFT
其中
X e (e j ) DTFT[ xR (n)]
傅里叶变换的对称性证明
一． 序列的傅里叶变换（DTFT ）的对称性已知：[()]()j DTFT x n X e ω=**[()]()j DTFT x n X e ω-= **[()]()j DTFT x n X e ω-=(由Z 变换的性质可推出)共轭对称序列：()()*e e x n x n =-实部是偶对称序列，虚部是奇对称序列 共轭反对称序列: ()()*o o x n x n =--实部是奇对称序列，虚部是偶对称序列 任一序列总可以表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和：()()()()()()()()()**1212e e o o x n x n x n x n x n x n x n x n x n ⎧⎡⎤=+-⎣⎦⎪⎪=+⎨⎪⎡⎤=--⎣⎦⎪⎩()()()()()()()()()**1212j j j e j j j e o j j j o X e X e X e X e X e X e X e X e X e ωωωωωωωωω--⎧⎡⎤=+⎪⎣⎦⎪=+⎨⎪⎡⎤=-⎣⎦⎪⎩求证：[Re(())]()[Im(())]()j e j o DTFT x n X e DTFT j x n X e ωω⎧=⎨=⎩ or [()]Re(())[()]Im(())j e j o IDTFT X e x n IDTFT X e j x n ωω⎧=⎨=⎩ [()]Re(())[()]Im(())j e j o DTFT x n X e DTFT x n j X e ωω⎧=⎨=⎩ or [Re(())]()[Im(())]()j e j o IDTFT X e x n IDTFT j X e x n ωω⎧=⎨=⎩证明：()()()[][]**121()()212Re(())2Re(())j j j e X e X e X e DTFT x n x n DTFT x n DTFT x n ωωω-⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦== ()()()[][]**121()()212Im(())2Im(())j j j o X e X e X e DTFT x n x n DTFT j x n DTFT j x n ωωω-⎡⎤=-⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦==()()()()()()()()()**121212Re 2Re e j j j j x n x n x n IDTFT X e X e IDTFT X e IDTFT X e ωωωω⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦ ()()()()()()()()()**121212Im 2Im o j j j j x n x n x n IDTFT X e X e IDTFT j X e IDTFT j X e ωωωω⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦对实数序列()x n()()()Re[]Im[]0x n x n x n =⎧⎪⎨=⎪⎩则：[Re(())]()()[Im(())]()0j j e j o DTFT x n X e X e DTFT j x n X e ωωω⎧==⎨==⎩ 即：实数序列的傅里叶变换具有共轭对称性（是共轭对称序列）()()()()()*1212e x n x n x n x n x n ⎡⎤=+-⎣⎦=+-⎡⎤⎣⎦ 共轭对称序列变成偶对称序列()()()()()*1212o x n x n x n x n x n ⎡⎤=--⎣⎦=--⎡⎤⎣⎦共轭反对称序列变成奇对称序列二． 离散傅里叶变换（DFT ）的对称性已知：()()()()()()*ep N N N x n x n x N n R n ⎡⎤=+-⎣⎦ ()()()()()()*op N N N x n x n x N n R n ⎡⎤=--⎣⎦()()()*1Re 2x n x n x n ⎡⎤=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()*1Im 2j x n x n x n ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()()()()()()*11**00*1*0*N N kn kn N N N N n n N N k n N NN N n N N DFT x n x n W R k x n W R k X k R k x n W R k X N k R k ---==--=⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦=-∑∑∑有时习惯上()()()*N NX N k R k - 可写成()*X N k -，但应该指出，当0k =时，()*X N k -可得到()*X N ，但由于DFT 的取值区间为01k N ≤≤-，已超出该区间，因而应当理解为()()**0X N X =。
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xer (n) xer (n)
则 xe ( n) xer ( n) jxei ( n)
xei (n) xei (n)
序列傅立叶变换的对称性
1 则F [ xe (n)] { X (e j ) X (e j )} Re[ X (e j )] X R (e j ) 2 1 F [ xo (n)] { X (e j ) X * (e j )} j Im[ X (e j )] jX I (e j ) 2 上式表明： xe ( n)的傅立叶变换对应于X (e j ) 的实部； xo ( n ) 的傅立叶变换对应于 X (e j )的虚部(加上j 在内)。 2、若将序列分成x(n) xr (n) jxi (n) 对其实施傅立叶变换X (e j ) F [ xr ( n)] jF[ xi ( n)] j 定义X e (e ) F [ xr ( n)] xr ( n)e jn
e
其中
即x(n) xe ( n) xo (n) 1 xe ( n) {x ( n) x ( n)} 2 1 xo ( n) {x ( n) x ( n)} 2
1
序列傅立叶变换的对称性
若将共轭对称序列 xe (n) 用它的实部和虚部来表示：
xe (n) xer (n) jxei (n)
此式表明：xe (n) 的实部是n的偶函数，而虚部是n 的奇函数；xo (n)的实部是n的奇函数，而虚部是n 的偶函数。 共轭对称 部分 序列傅立叶变换的共轭对称性质 共轭反对称 1、若将序列分成x(n) xe (n) xo (n) 部分 j 对其实施傅立叶变换X (e ) F [ xe ( n)] F [ xo (n)] 将X (e j )分成实部与虚部 X (e j ) X R (e j ) jX I (e j )
j e j j o j
X e (e j ) 具有共轭对称性质， 结论： X o (e j ) 具有共轭反对称性质。 若序列为纯实数序列，即若 x(n) xr (n)
Re[ X (e j )] Re[ X (e j )] 推论 Im[ X (e j )] Im[ X (e j )] 所以实序列x (n)的傅立叶变换的实部是的偶函数， 而虚部是的奇函数；幅度是的偶函数，而相位是 的奇函数 若序列为纯虚数序列，即若 x(n) jБайду номын сангаасi (n)
X o (e j ) jF[ xi ( n)] j xi ( n)e jn
n n
则X ( e
j
) X e (e
j
) X o ( e j )
3
序列傅立叶变换的对称性
X e (e ) X (e ) , X o (e ) X (e )
则 X ( e j ) X ( e j )
则X (e j ) X (e j ) 所以纯虚数序列的傅立叶变换是的奇函数。
4
序列傅立叶变换的对称性
序列的共轭对称性质 若序列 xe ( n)满足 xe ( n)
x ( n)
类似地，若序列 xo ( n)满足 xo ( n) xo ( n) 则称 xo ( n)为共轭反对称序列 任何序列x ( n)均可表示成上述两种序列之和，
则称 xe ( n)为共轭对称序列