第十八章 计算水力学基础
水力学水动力学基础PPT课件
设
hl’
为
单
位z1
p1
重量g液
体2u1g2由过z水2 断p面g2
1
-2u1g22运动hl至'
2
-
2
的
机
械
能
损失，
u12hΒιβλιοθήκη '或元流
的
水
头2损g 失
p1
g
，
实
际
液
体
元
流
伯
努
利
方
程
可u为22
2g p
2
g
z1
z2
第21页/共39页
3.5.5 实际液体总流的伯努利方程
总流是元流的集合，不同的元流存在着不同的运 动状
z
p
u2
c
沿元流机械能守恒，故又称能量方程。
g 2g
沿元流各点总水头相等，总水头线水平。
第19页/共39页
毕托管（Pitot tube）与流速水头
1730年法国工程师毕托用一根前端弯成直角的玻 璃管
测 量弯塞管前纳端河迎水向来的流流，水速 。
h
深H，入口前取A点，入口 后取B点，水流进入弯管后 上升至 h 。
流动参数（如流速）是三个空间坐标的函数，流动是 三元的。其他依此类推。
第4页/共39页
（3）流线 为形象地描述流动，特引入流线的概念。 流线（stream line）—流场中的空间曲线，在同
一瞬时 线上各点的速度矢量u1 与之相切。 u2
u3
两流线不能相交或为折线，而是光滑曲线或直线。 某时段内，液体质点经过的轨迹称迹线（path line）。 迹线与流线是完全不同的两个概念。恒定流时，流线 与迹线重合。
给水排水管网水力学基础
I
4
43
nM v2
4
D(R / R0 )3
6.350(nM v) D( R / R0 )1.333
非满流管渠水力计算方法
三、已知流量q、管径D和充满度h/D，求水力坡
度I和流速v
求解步骤：
1、先根据充满度h/D查表3.7求出q/q0，然后用下式计算
水力坡度I
10
I
43
2
nM q q / q0
2
例变换进行计算
（1）水力计算图表
充满度
流速 坡 度
精 度 低， 通 用 性 差。
流量
水力计算图适用于混凝土及钢筋混凝土管道， 其粗糙系数 n＝0.014。每张图适用于一个指定的 管径。图上的纵座标表示坡度 I，即是设计管道的 管底坡度，横座标表示流量 Q，图中的曲线分别 表示流量、坡度、流速和充满度间的关系。当选 定管材与管径后，在流量 Q、坡度 I、流速 v、充 满度 h/D 四个因素中，只要已知其中任意两个， 就可由图查出另外两个。
vo
1 nM
Ro2 / 3I 1/ 2
2(1 2 h ) h (1 h )
R ＝1 Ro
DD D cos 1 (1 2 h )
＝f1 (h D)
D
A ＝ 1 cos 1 (1 2 h ) 2 (1 2 h )
Ao
D
D
h D
(1
h D
)＝f 2
(h
D)
2
q qo
A Ao
(
R Ro
)
测压管水头
水头损失
▪ 流体克服流动阻力所消耗的机械能称为水头 损失。
▪ 当流体受固定边界限制做均匀流动时，流动 阻力中只有沿程不变的切应力，称为沿程阻 力。由沿程阻力引起的水头损失成为沿程水 头损失。
水力学(给排水基础)课件
4Q v 2 2.73m / s d
设为层流
v
2 1 1
2g
z2
p2
2v2
2g
2
hw
适用条件：恒定流动、质量力只有重力、
不可压缩流体、所取过流断面为渐变流断 面、两断面间无分流和汇流。
水力坡度
水头线的斜率冠以负号
测压管坡度
d H d hw J ds ds
dH P JP ds
称为测压管坡度
称为水力坡度
水流阻力和水头损失
分 类
沿程水头损失——在均匀流段（包括渐变流）中产生
的流动阻力为沿程阻力（或摩擦阻力），由此引起的
水头损失，与流程的长度成正比，用hf表示；
局部水头损失——在非均匀流段（流动边界急剧变化）
中产生的流动阻力为局部阻力，由此引起的水头损失，
取决于管配件的形式，用hj表示；
整个管道中的水头损失等于各段的沿程水头损失和各
两者关系：
p pabs pa
真空度（真空值）——相对压强的负值。pV
即
pV pa pabs p
静压强的量测方法： 1.弹簧金属式 量测相对压强和真空度,表中心数值 2.电测式 压力传感器、电信号 3.液位式 测压管技术（测压管、微压计、U形管）
静水压力
作用在平面上的静水总压力P 1.解析法： 总压力
P pc A
作用点位置 惯性矩: 矩形断面 圆形断面
Ic y D yc yc A
1 3 I c bh 12
Ic
64
D4
2.图解法：
静水总压力P=
水力学主要知识点课件
水洞实验的主要设备包括水洞、水泵、压力计、速度测量仪等。
实验步骤
首先，开启水泵，使水流通过水洞并测量相关参数；然后，根据 测量结果计算水流的动力学特性和水力性能。
压力管实验基础
实验原理
压力管实验是通过测量压力管中的压力、流量等参数，研究水流 的压力变化和能量损失。
实验设备
压力管实验的主要设备包括压力管、水泵、流量计、压力计等。
实验设备
水槽实验的主要设备包括水槽、水泵、流量计、压力计、速度测量 仪等。
实验步骤
首先，将水槽中的水抽至一定高度，然后开启水泵，使水流通过实验 设备并测量相关参数；最后，根据测量结果计算水力学参数。
水洞实验基础
实验原理
水洞实验是通过测量水洞中的水流状态、压力等参数，研究水流 的动力学特性和水力性能。
现代水力学
20世纪中叶至今，水力学 研究领域不断扩大，涉及 水资源的开发、利用、保 护和管理等方面。
水力学的研究对象和任务
研究对象
水流的运动规律、水与边界的相 互作用以及水对物体的作用力等。
研究任务
为水利工程、土木工程、环境工 程等领域的实际应用提供理论支 持和设计依据。
水力学的应用领域
土木工程
实验步骤
首先，开启水泵，使水流通过压力管并测量相关参数；然后，根据 测量结果计算水流的压力变化和能量损失。
THANKS。
桥梁、隧道、港口、机场等工 程设施的水力学问题分析和设 计。
自然地理
研究地球上水的循环、河流、 湖泊和海洋的动力学特征。
水利工程
水库、水电站、堤防等水利设 施的设计、建设和运行管理。
环境工程
水污染控制、水资源保护、城 市排水和洪水控制等环境水力 学问题。
计算水力学01
2
式中 t 为紊动粘性系数，字母上方的横线表示时均值
李光炽
计算水力学
2.
通用微分方程
如果用 表示通用变量，则有各方程的通用 形式：
divU divgrad S t
称为水流和输运现象的通用微分方程。通用 微分方程包含变化率项、对流项、扩散项和 源项。令因变量代表不同的物理量，并对扩 散系数 和源项S作相应的调整
化简后得：
A Q ql t x
简化过程中用到了ρ 为常数的假设。式中：Ａ为 过水断面面积，Ｑ为断面流量
李光炽
计算水力学
二、动量方程 动量方程的推导主要依据是动量守恒定律。 由于动量是一矢量，推导是建立水流流动方 向的动量方程。 通过控制面流进到控制体内的动量 ＋作用于控制体外力的冲量 ＝控制体积内动量的增量
李光炽
计算水力学
3 圣维南方程
一、连续方程 质量守恒定律： 通过控制面进到控制体的质量＝控制体内质 量增量
李光炽
计算水力学
1
( A x ) t t
2
ρQ
t+△t
t
Q
△X
1 2
Q x x
质量守恒原理示意图
李光炽
计算水力学基础
计算水力学（CFD ）杨大超（水利水电学院 水力学及河流动力学 1030201039）计算水力学(Computational Fluid Dynamics ，简称CFD)是由流体力学理论、计算机技术和数值方法等交叉产生的一门应用学科。
基本思想是把原来在空间域和时间域上连续的物理量场，用一系列有很个离散点上的变量值来代替，通过一定原理和方式建立起关于这些离散点上的场变量之间关系的方程组，然后求解代数方程组获得场变量的近似值。
一、CFD 的求解过程1．建立反映流体流动问题的数学模型。
具体的说就是要建立反映问题各个量之间关系的微分方程及相应的定解条件。
流体的基本控制方程通常包括质量守恒方程、动量守恒方程、能力守恒方程，以及这些方程相应的定解条件。
2．确定计算方法。
即建立针对控制方程的数值离散化方法，如有限差分法、有限元法、有限体积法等。
这里的计算方法不仅包括微分方程的离散化方法及求解方法，还包括边界条件的处理等。
3．计算区域网格划分、编制程序和进行计算。
这部分工作包括计算网格划分、初始条件和边界条件的输入、控制参数的设定等。
4．计算结果分析。
二、常用的CFD 控制方程1．圣维南方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂0)(022AR C Q Q g x H gA A Q x t Q x Q t A式中：x 为距离坐标；t 为时间坐标；A 为过水断面面积；Q 为流量；h 为水位；q 为旁测入流量；C 为谢才系数；R 为水力半径；g 为重力加速度。
2．紊流的基本方程紊流的连续方程：不可压缩流体的连续方程0=∂∂+∂∂i i x u t ρρ不可压缩流体的连续方程：0=∂∂i i x u不可压缩流体的紊流时均流动的连续方程为：0=∂∂i i x u不可压缩粘性流体的运动方程即 N~S 方程可写为：i j j i i j i j i F x x u x p x u u t u +∂∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂21νρ不可压缩紊流时均流动流动的运动方程(雷诺时均方程)i j i j i j i j i j i F u u x u x x p x u u t u +-∂∂∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂)(1νρ 上式中的j i ij u u ρτ-=是紊动对时均流动产生的影响，称为雷诺应力。
《水力计算基础》课件
海拔高度和气压的影响
气压变化
液体高度的变化受到气压变化的影响，特别是在高海拔地区，需要重新计算液体流量。
水力涡轮发电机基本原理
详细介绍了水力涡轮发电机动力学原理，将充分满足读者的好奇心。
水力发电和燃料发电的对比
1
水力发电
介绍水力发电的特点及其与燃料发电之间的差异，如环保、修理维护成本等等。
2
燃料发电
《水力计算基础》PPT课 件
想要深入了解水力计算基础？本课程将带你浏览水力学的各个方面，从流体 静力学、动力学到阻力与流量计算，一一介绍并深入剖析。
流体静力学及其应用
1
浮力
2
什么是浮力？以及为什么小密度的物
体会浮在水表面上？
3
流速计算
4
万有引力定律是计算液体流速的基础 公式，结合管直径和液体密度就可以
雷诺数与流动类型
流体的行为与雷诺数密切相关。在分析流动 类型和过渡时需要利用到它。
流量计算
不同流量计算方法的优缺点，以及如何选择 适合你的流量计算方法。
液位计算和水头损失
使用液位计算流量
通过液位计算流量是常用的经济实用方法。通过 特定管道直径和用途，杜绝误差。
水头损失
液体在管道中运动时，受到摩擦力、弯曲、扩散 等因素影响导致的能量损失就是水头损失。
利用扬程式流量计、涡轮 流量计等不同的流量计 法，实现不同的测量方法。
测量误差
河流流量测量中误差难免， 因此需要对误差进行深入 研究和降低。
详细地介绍了燃料发电的三种类型——化石燃料、天然气和核燃料——以及这三 种类型发电的方式、原理。
3
比较分析
比较了水力发电和燃料发电之间的优劣势，以及所处的市场和投资范围。描述地 生动有意思。
计算水力学基础
计算水力学基础(总79页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--计算水力学基础李占松编着郑州大学水利与环境学院内容简介本讲义是编者根据多年的教学实践，并参考《微机计算水力学》（杨景芳编着，大连理工大学出版社出版，1991年5月第1版）等类似教材，取其精华，编写而成的。
目的是使读者掌握通过计算机解水力学问题的方法，为解决更复杂的实际工程问题打下牢固的计算基础。
书中内容包括：数值计算基础，偏微分方程式的差分解法，有限单元法；用这些方法解有压管流、明渠流、闸孔出流、堰流、消能、地下水的渗流及平面势流等计算问题。
讲义中的用FORTRAN77算法语言编写的计算程序，几乎包括了全部水力学的主要计算问题。
另外，结合讲授对象的实际情况，也提供了用VB 算法语言编写的计算程序。
VB程序编程人员的话为了更好地促进水利水电工程建筑专业的同学学好《微机计算水力学》这门学科，编程员借暑假休息的时间，利用我们专业目前所学的VB中的算法语言部分对水力学常见的计算题型编制成常用程序。
希望大家能借此资料更好地学习《微机计算水力学》这门课程。
本程序着重程序的可读性，不苛求程序的过分技巧。
对水力学中常用的计算题型，用我们现在所学的VB语言编制而成。
由于编程员能力有限，程序中缺点和错误在所难免，望老师和同学及时给予批评指正。
VB程序编程人员：黄渝桂曹命凯前言----计算水力学的形成与发展计算水力学作为一门新学科，形成于20世纪60年代中期。
水力学问题中有比较复杂的紊流、分离、气穴、水击等流动现象，并存在各种界面形式，如自由水面、分层流、交界面等。
由各种流动现象而建立的数学模型（由微分方程表示的定解问题），例如连续方程、动量方程等组成的控制微分方程组，多具有非线性和非恒定性，只有少数特定条件下的问题，可根据求解问题的特性对方程和边界条件作相应简化，而得到其解析解。
因此长期以来，水力学的发展只得主要藉助于物理模型试验。
水力学计算公式
❖常用消能方式：底流消能、条流消能和面 流消能
❖水流衔接形式
当ht＜hc' '
当ht= hc' ' 当ht＞ hc' '
远驱水跃 临界水跃 淹没水跃
第三十三页，共36页。
水力学重点及难点
❖底流消能降低护坦消力池设计 (1)消力池深d (2)消力池长度的计算 (由于消力池末端
池壁的作用,消力池中水跃长度比自由水 跃Lj短) Lk=(0.7~0.8)Lj
第十三页，共36页。
水力学重点及难点
② 能量方程应用注意事项: 选择统一基准面便于计算、选计算断面、 选典型点计算测压管水（压强计算采用统 一标准）
能量方程应用：
孔口恒定出流 、 毕托管、文丘里 流量计 、管嘴出流
第十四页，共36页。
能量方程图示
掌握总头线、测压管水头线、水力坡度的 概念及水头线的绘制。
第十七页，共36页。
Chapter 4 水力学重点及难点
❖ 液体的两种流态和判别 雷诺实验 层流 —液体质点互相不混掺的层 状流动。 紊流 —存在涡体质点互相混掺的 流动。
❖ 流态的判别：雷诺数Re
Re＜Rek 层流 ；Re＞Rek 紊流
雷诺数是重要的无量纲数，它的物理意义 表示惯性力与粘滞力的比值。
表示土壤渗透能力的大小 适用范围：恒定均匀层流渗流
第三十五页，共36页。
水力学重点及难点
❖ 恒定无压渐变渗流基本公式 —杜比公式
v k dH ds
dH J
ds
式中：H—测压管水头，（或称为水面高 程）， J—渗透坡降。（对于渐变渗流，同 一过水断面上的渗透坡降可以认为是常数， 因此同一渗流断面上各点的流速为定值。）
水力学中常用的基本计算方法
水力学中常用的基本计算方法水力学中经常会遇到一些高次方程，微分方程的求解问题。
多年来，求解复杂高次方程的基本方法便是试算法，或查图表法，对于简单的微分方程尚可以用积分求解，而边界条件较为复杂的微分方程的求解就存在着较大的困难，但随着计算数学的发展及计算机的广泛使用，一门新的水力学分支《计算水力学》应运而生，但用计算机解决水力学问题，还需要了解一些一般的计算方法。
在水力学课程中常用的有以下几种，现分述于后。
一、高次方程式的求解方法：（一）二分法1、二分法的基本内容：在区间[X1，X2]上有一单调连续函数F（x）=0，则可绘出F（x）～Ｘ关系曲线。
如果在两端点处函数值异号即F（x１）·F（x2）＜0，（见图（一）），则方程F （x）=0，在区间[X1，X2]之间有实根存在，其根的范围大致如下：取221 3xx x +=1°若F（x2）·F（x3）＞0，则解ξ∈[X1，X3]2°若F（x2）·F（x3）＜0，则解ξ∈[X3，X2]3°若F（x2）·F（x3）=0，则解ξ=X3对情况1°，可以令x2=x3，重复计算。
对情况2°，可以令x1=x3，重复计算。
当规定误差ε之后，只要|x 1-x 2|≤ε，则x 1(或x 2)就是方程F(x)=0的根。
显然，二分法的理论依据就是高等数学中的连续函数介值定理。
它的优点是思路清晰，计算简单，其收敛速度与公比为21的等比级数相同；它的局限性在于只能求实根，而不能求重根。
2、二分法的程序框图(以求解明渠均匀流正常水深为例)最后必须说明，二分法要求x 2值必须足够大，要保证F 1·F 2＜0，否则计算得不到正确结果。
为了避免x 2值不够大，产生计算错误，在程序中加入了判别条件F 1·F 2＞0。
也可以给定x J 及步长△x ，让计算机选择x 2(x 2=x 1+△x)。
计算水力学
ql
A—过水断面面积 Q—过水流量 ql—均匀旁侧入流
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
基本定律—动量守恒定律
动量守恒定律：
单位时间内通过控制面流进控制体的净动量与 作用于控制体的外力之矢量和等于同时段内 控制体的动量增量。
版权所有
§2. 基本方程——动量方程
动量方程
旁侧入流
2断面
2断面流出
1断面
版权所有
§1. 基本假设与定律
基本定律—动量守恒定律
流入控制体的净动量 + 外力矢量 = 动量增量
控制面
控制体 控制体
与动量等价的“冲量”Ft 矢量相加：同方向投影的分量相加
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
基本定律—质量守恒定律
质量守恒定律： 单位时间内通过控制面流进控制体的净质量， 等于同时段内控制体的质量增量。
1
t
AAxx
t
tt
2
t+Δt t
x
1
2
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
质量守恒定律：
Ax
t
t
x
Qt
x
ql
x
t
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
质量守恒定律：
Ax
t
t
x
Qt
x
ql
x
t
版权所有
§1. 基本方程——连续方程
质量守恒定律：
Ax
t
t
x
Qt
x
ql
x
t
化简得
A t
Q x
用 流量模数公式
S
0 f
QQ K2
水力学计算公式范文
水力学计算公式范文水力学是研究液体在运动中的力学性质的科学。
在水力学中，有许多重要的计算公式被广泛应用于水力工程和水资源管理的设计和分析中。
以下是一些常见的水力学计算公式：1.含固体颗粒的流体流动的沿程摩擦头损失计算公式：沿程摩擦头损失（h_f）=f*(L/D)*(V^2/2g)其中，f是摩擦系数，L是管道的长度，D是管道的直径，V是流速，g是重力加速度。
2.波速的计算公式：波速（c）=√(g*λ/2π)其中，g是重力加速度，λ是波长。
3.液体静压力的计算公式：液体静压力（P）=ρ*g*h其中，ρ是液体的密度，g是重力加速度，h是液体的其中一点相对于参考面的高度。
4.流量的计算公式：流量（Q）=A*V其中，A是流动截面的面积，V是流速。
5.完全开管流动的斯托克斯-泊肃叶定律：流量（Q）=k*A*(ΔP/L)*(L/D)^0.5其中，k是校正因子，A是流动截面的面积，ΔP是两侧的压力差，L是管道的长度，D是管道的直径。
6.火箭推进器的质量流率计算公式：质量流率（m_dot）= A * V * ρ其中，A是喷嘴的横截面积，V是喷嘴的出口速度，ρ是喷嘴中的流体的密度。
7.雷诺数的计算公式：雷诺数（Re）=(ρ*V*D)/μ其中，ρ是液体的密度，V是流速，D是特征长度（如管道的直径），μ是液体的动力黏度。
8.管道流动的临界速度计算公式：临界速度（V_c）=√(g*D)其中，g是重力加速度，D是管道的直径。
9.流动速度与管道内径的关系：V=(g*H)^0.5其中，V是水流速度，g是重力加速度，H是水流的水头。
10.冲击力的计算公式：冲击力（F）=ρ*A*ΔV其中，ρ是液体的密度，A是液体作用面的面积，ΔV是液体速度的改变量。
这些公式是水力学中的基本计算公式，可以用于各种水力学的设计和分析问题。
但需要注意的是，实际应用时可能需要根据具体情况进行修正或迭代计算。
水力学基本公式3篇
水力学基本公式3篇以下是网友分享的关于水力学基本公式的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
水力学基本公式篇1短管：既考虑局部损失又考虑沿程损失可分为自由出流和淹没出流水泵吸水管、虹吸管、铁路涵管、建筑给水管等。
长管：仅考虑沿程损失，不计流速水头和局部损失流：若在容器壁上开孔，水经孔口流出的水力现象。
仅考虑局部损失自由出流定义：水经孔口流入空气中ϕ=≈==0.97μ=εϕ=0.64⨯0.97=0.62薄壁小孔口在Re 很大时，局部阻力系数ζ0=0.06淹没出流:孔口流出的水流不是进入空气，而是流入下游水体中，致使孔口淹没在下游水面2222v v αv αv c 之下。
当Acse=1 H +0+11=H +0+22+ζc +ζ12g22g2gse在相同水头H0的作用下，同样断面面积的管嘴的过流能力是孔口的1.32倍，μn =ϕn =0.822g对管嘴的长度也有一定限制。
长度过短，流束收缩后来不及扩大到整个出口断面，收缩断面的真空不能形成，管嘴仍不能发挥作用；长度过长，沿程水头损失不容忽略，管嘴出流变为p v≤7m 短管流动。
ρg 圆柱形外管嘴正常工作条件作用水头：H0≤9m 管嘴长度：l = (3~4)l=3~4d短管的水力计算流量系数：自 2由自由出流出口中心以上的水头w 淹没出流:上下游水位差μ=自由出流c淹没出流μ=c管道轴线的一部分高出无压的上游供水水面，这样的管道称为虹吸管⎛l ⎫vH =h = λ+∑ζ⎪⎝d ⎭2g长管的水力计算：因为长管可以忽略不计，则w f长管的全部作用水头都消耗于沿程水头损失，总水头线H 是连续下降的直线，并与测压管水头线重合。
H =h =h2、简单管道的比阻计算方法比阻a 取决于λ、dH =h f =alQ 2=SQ 2串联管道：若节点处q1= q2 = …= 0，则Q1= Q2= Q3= …=Q 若有流量分出，Qi = qi + Qi +1n n n2总水头损失等于各管段水头损失的总和。
第十八章 计算水力学基础
(2)光滑粒子流体动力学方法SPH 光滑粒子流体动力学方法SPH是近20多年来逐步发展起来的 一种无网格方法，该方法的基本思想是将连续的流体(或固体) 用相互作用的质点组来描述，各个物质点上承载各种物理量， 包括质量、速度等，通过求解质点组的动力学方程和跟踪每 个质点的运动轨迹，获得整个系统的力学行为。该方法类似 于物理学中的粒子云模拟，原理上，只要质点的数目足够多， 就能精确地描述力学过程。虽然在SpH方法中，解的精度也 依赖于质点的排列，但它对点阵排列的要求远远低于网格的 要求，由于质点之同不存在网格关系，因此它可避免极度大 变形时网格扭曲而造成的精度破坏等同题，并且也能较为方 便地处理不同介质的交界面。SpH的优点还在于它是一种纯 Lagrange方法，能避免Euler描述中欧拉网格与材料的界面问 题，因此特别适合求解高速碰撞等动态大变形问题。
18.2.1有限差分法概述 有限差分法是所有数值求解偏微分方程的方法中最为常见的 一种，其研究思路是，首先将连续的时空解域离散为有限的 时空节点，然后在这些节点上通过节点本身的值及相邻节点 的值来近似表达拟求解偏微分方程中不同阶数的导数。有限 差分法的核心理论基础是任意连续函数(如某偏微分方程的真 解)上的任意点的函数值均可表示为其相邻点的函数值与在该 点上各阶导数级数形成的无限级数之和，即泰勒级数展开理论， 该理论保证了该函数的任意阶导数都可以用有限相邻离散点 上的函数值通过代数运算来近似。为了更好地说明这一点， 以给定函数(x) x 为例，说明如何采用有限差分格式建立该 函数的一阶导数 / x与二阶导数 / x 的数值近似。
（18.2）
（2） 边界条件与初始条件 N—S方程一般用于模拟复杂流动现象，包括有压流和无压 流，以及这些水流和结构物的相互作用。 对于有压流动问题，需要给定计算区域各个边界上满足 的条件。下面以经典平面二维圆柱绕流问题为例给出有压 流动常见的边界条件，如图18.1
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(2)光滑粒子流体动力学方法SPH 光滑粒子流体动力学方法SPH是近20多年来逐步发展起来的 一种无网格方法，该方法的基本思想是将连续的流体(或固体) 用相互作用的质点组来描述，各个物质点上承载各种物理量， 包括质量、速度等，通过求解质点组的动力学方程和跟踪每 个质点的运动轨迹，获得整个系统的力学行为。该方法类似 于物理学中的粒子云模拟，原理上，只要质点的数目足够多， 就能精确地描述力学过程。虽然在SpH方法中，解的精度也 依赖于质点的排列，但它对点阵排列的要求远远低于网格的 要求，由于质点之同不存在网格关系，因此它可避免极度大 变形时网格扭曲而造成的精度破坏等同题，并且也能较为方 便地处理不同介质的交界面。SpH的优点还在于它是一种纯 Lagrange方法，能避免Euler描述中欧拉网格与材料的界面问 题，因此特别适合求解高速碰撞等动态大变形问题。
1.沿垂向积分——浅水方程 在河口、湖泊、海湾及水库等具有开阔水面的水域，水平 尺度远大于垂向尺度。流速在垂直方向的大小和变化远远 小于水平方向的大小和变化，因此垂直方向的流速可用流 速沿水深方向的平均值来表示，从而推导出水深积分的二 维浅水方程(shallow water equation)。
2.沿展向积分——二维水库水温模型 沿水深积分的浅水方程适用于水深较浅的情况。当水库水深 较深时，水库水温会呈现分层现象，使得水温沿垂向具有一 定的温度梯度，这样沿水深积分的浅水方程就不再适用于深 水水库。对于水库水温分层问题，可以沿河流展向(宽度方向) 对N-S方程进行积分，得到立面二维积分方程组，其一般形式 为
(2)黎曼稳定分析 另一种差分格式稳定性分析方法是经典的方法。这种方法通 过引入博里叶级数，求解并判定误差放大系数的绝对值是否大 于1，来判定格式是否稳定，假定第N时间步误差(在实际中这个 误差可能由截断误差、机器进位误差等诸多原因导致)在空间上 可展开为傅里叶级数。选取I节点处某个特定误差组分 E Ae (18.91) j 为虚数，为 1 K A 式中， x方向的波数；为对应该误差项的幅 度系数。
第十八章 计算水力学基础
本章学习要求： 理解水动力学基本方程与边界初始条件； 掌握微分方程的离散方法； 理解有限差分法； 理解对流—扩散—源汇方程的差分格式；
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18.1 水动力学基本方程与边界初始条件 18.2 微分方程的离散方法 18.3 有限差分法 18.4 对流—扩散—源汇方程的差分格式
18.1.3渗流控制方程
18.1.4物质输运扩散方程 水利工程中的物质输运现象主要包括两类问题水环境中污染 物的对流扩散运动与河道中的泥沙运动。前者主要针对可溶 物质随水流的运动特性，后者针对悬浮在水中的泥沙颗粒(可 视为可溶)与底床上的泥沙体(不可溶)随水流的运动特性。这 里简要介绍这两类物质输移现象所满足的控制方程。 （1）对流-扩散-源汇方程 （2）泥沙运动方程组
18.1 水动力学基本方程与边界、初始条件
水动力学基本方程和边界、初始条件一起构成了对一个水 力学问题的完整的数学描述。水动力学基本方程一般描述 水体的运动过程中基本动力学属性（如流速、水深、压强 ）的变化特征，目前有不同的控制方程可以描述水体的流 动规律，如描述一般流体运动的最基本的N—S方程，在此 基础上简化的水深平均平面二维浅水方程、一维圣维南方 程、考虑多孔介质影响的地下水流动系列控制方程等。通 过求解水体运动控制方程，一般可以获得水体不同位置的 流速分布和空间变化。本章将从液体运动所满足的基本方 程（N—S方程）出发，介绍计算流体力学中常见的基本方 程。
Te (
(18.82) 这个截断误差项反映了用离散点来计算导数所带来的误差， 它既给出了差分格式的精度(即误差项中Ax的最低阶数)， 也给出了每个误差项的具休表达式。
)i i i 1 x xi 1/ 2
18.3.2 差分格式的稳定性分析 (1)启发式稳定分析 对二个导数建立差分格式可以用于估算该导数在某节点的 导数值。同一导数存在无数可能的差分格式，每种差分格 式的精度不尽相同。在精度相同的情况下(如对二阶导数分 别采用前差分与后差分格式近似)，不同差分格式的误差特 性也不会相同，这可以通过观察与分析截断误差来确定。 一般情况下，对导数建立差分格式的最终目的是求解由多 个导数组合而成的偏微分方程。因此，还需要进一步了解 差分格式在求解偏微分方程时的整体表现，这样就需要综 合分析每二个差分项的截断误差组合后的整体表现，而稳 定性分析则是在用差分方法求解非恒定问题时最为重要的 步骤，因为一个不稳定的格式即便精度很高，在计算过程 中将很快失稳，导致计算误差指数级的放大。
18.2.4 其他离散方法简介 (1)格子Boltzmann方法 格子Boltzzmann方法是一种基于统计物理的介观方法。它从 介观角度出发，以分子运动论和统计力学为理论基础，用简 单规则的微观粒子运动代替复杂多变的宏观现象，通过建立 离散的速度模型，在满足质量、动量和能量守恒的条件下得 出粒子分布函数，然后对粒子分布函数进行统计计算，得到 压力、流速等宏观变量。
3.沿截面积分——一维圣维南方程 现在考虑河道中的水流，占主导地位的流动方向是沿河道 方向(流向)，而沿河道展向(横截面方向)的流动较弱。在此 情况下，可以沿河流展向(横截面方向)对平面二维浅水方程 进行积分，河流展向的流动信息以展向积分的形式出现在新 方程中。这样就得到了一维圣维南方程组，其矢量形式为
（1）隐式格式 （2）显示格式 （3）数值震荡抑制格式 （4）时间分裂格式 （5）经典差分格式数值特性
18.4 对流－扩散－源汇方程的差分格式
18.2.5代数矩阵求解 采用隐式格式建立的差分格式联立求解多个偏微分方程 组(如浅水方程或者采用有限元方法求解偏微分方程时， 都不可避免地会遇到求解大型的问题。矩阵求解在线性代 数及数值分析的课程中都有详细阐述，在这里仅就几种常 见算法做简要介绍。 （1）Gauss-Seidel法与Jacobi法 （2）超松弛迭代法 （3）共轭梯度法
n i n jkx (ix )
x
18.3.3有限差分的经典格式与数值特性 怎样的差分格式才能是“好”。的格式呢?事实上，在实际 计算中并没有一个非常好的标准去判断那种差分格式最优。 但一个可行的格式必须是稳定的，这种稳定可以是无条件 稳定，也可以是在一定条件下的稳定，但不能像FTCS那样 无条件不稳定的。在精度方面，一般情况下一阶精度是基 本要求，因为一阶精度意味着差分格式的误差项与网格大 小x线性相关，也即当 x 0 时，差分格式的解趋于原创微 分方程的解，这称为算法的二致性，是对任何近似算法的 最低要求。有时会要求更高的精度，那就需要采用更多离 散点来建立分格式和它们的计算特性差分格式。为了更好 地认识这个问题，仍以对流方程为例，介绍二些经典的差 分格式和它们的计算特性。
（18.2）
（2） 边界条件与初始条件 N—S方程一般用于模拟复杂流动现象，包括有压流和无压 流，以及这些水流和结构物的相互作用。 对于有压流动问题，需要给定计算区域各个边界上满足 的条件。下面以经典平面二维圆柱绕流问题为例给出有压 流动常见的边界条件，如图18.1
(a)入流边界：u=常数，或u=u(t),v=0 (b)出流边界：du/dx=0,dv/dx=0,dp/dx=0（假设流动已经 充分发展，出流边界处趋于稳态）。 (c)固壁边界：u=0,v=0 （液体在壁面处无滑移运动，考虑 了液体和壁面的粘性作用，包括计算区域上、下边界和 结构物的边界）。
18.1.2积分降维类方程 N-S方程反映了水力学现象的三维流动特性和细节，但数值 求解难度较大。实际水利工程中大量的流动现象具有二维 (如水库、湖泊)或一维(如明渠流)特征，因此，在计算水力 学中可以针对水力学问题的流动特性対N-S方程沿坐标轴进 行积分处理，这样就可以将三维N-S方程降维到二维或一维 的积分方程。下面，将分别介绍沿垂向积分类(即水深方向)、 沿展向积分类(即河宽方向)、沿断面积分类方程组(即水深和 河宽两个方向)。
18.3有限差分法 18.2.1节中介绍的有限差分法的基本思想是，将微分方程 中各项"微商"用"差商"代替，从而形成差分方程。本节将 介绍差分方程的数值特性和些经典的差分格式。 18.3.1差分格式的误差与精度 不同的差分格式具有不同的误差特性，这可以通过分析 其被截断的高阶项(截断误差)的特征来获得，截断误差定 义为拟求解导数与差分表达式之差。以前述的后差分格式 为例，其截断误差为：
18.2微分方程的离散方法 上节介绍了计算水力学基本方程组和边界、初始条件。这些 基本方程组均由偏微分方程组成，一般不能求解解析解，往 往只能求解数值解。本节简要介绍求解这些微分方程组的数 值方法，包括有限差分法、有限体积法、有限元法等。有限 差分法是目前使用最为广泛的方法，这里仅简要介绍其基本 思路，具体内容将在18.3节中详细阐述
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18.2.2 有限体积法概述 有限体积法(简称FvM方法)可以认为是差分格式在一个有限 控制体内的积分形式。如果说差分格式是以泰勒级数展开 为理论基础，通过节点运算近似求解当地导数，那么有限 体积法则是以一系列相邻的控制体为单位，通过施加变址 守恒约束来求解变量的时空变化规律。
18.2.3有限元法概述 不同于有限差分法近似偏微分方程中的导数项、有限体积 法近似偏微分方程的导数积分项，有限元方法(linire el.ment mahod，简称FEM方法)直接近似偏微分方程的解。有限元法 通过使用逐段光滑函数来分段近似偏微分方程的真实解。类 似于有限体积法，有限元方法一般也能灵活使用不同的几何 形状作为计算单元，因而可以较好地适应不规则边界。传统 上有限元法更当地应用于与结构力学及固体力学相关的计算， 近年来也有不少用于流体计算，尤其是地下水问题的计算。
18.2.1有限差分法概述 有限差分法是所有数值求解偏微分方程的方法中最为常见的 一种，其研究思路是，首先将连续的时空解域离散为有限的 时空节点，然后在这些节点上通过节点本身的值及相邻节点 的值来近似表达拟求解偏微分方程中不同阶数的导数。有限 差分法的核心理论基础是任意连续函数(如某偏微分方程的真 解)上的任意点的函数值均可表示为其相邻点的函数值与在该 点上各阶导数级数形成的无限级数之和，即泰勒级数展开理论， 该理论保证了该函数的任意阶导数都可以用有限相邻离散点 上的函数值通过代数运算来近似。为了更好地说明这一点， 以给定函数(x) x 为例，说明如何采用有限差分格式建立该 函数的一阶导数 / x与二阶导数 / x 的数值近似。