江西省高二数学上学期第一次月考试题
江西省南昌十九中2013-2014学年高二数学上学期10月第一次月考试题(含解析)北师大版
江西省南昌十九中2013-2014学年高二数学上学期10月第一次月考试题（含解析）北师大版第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线20x y --=的倾斜角为( )A ．30︒B ．45︒ C. 60︒ D. 90︒ 【答案】B 【解析】试题分析:由直线方程知1tan ==αk ，)180,0[︒︒∈α，故︒=45α，选B. 考点：直线的倾斜角与斜率的关系.2.将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） A.1133y x =-+ B. 113y x =-+ C.33y x =- D.31y x =+3.0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）A ．-B ．-．或 D ．或【答案】A 【解析】试题分析：由圆22220x y x +--=可得标准方程为3)1(22=+-y x ，知圆心为)0,1(，半径为3，由直线与圆相切可得圆心到直线的距离32|03|=+-=m d ，解得3=m ，或33-=m .故选A.考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离.4.过点(0,1)的直线与圆224x y +=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．C ．3D ．5.已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方 程为（ ）A.2(2)x ++2(2)y -=1 B.2(2)x -+2(2)y +=1 C.2(2)x ++2(2)y +=1 D.2(2)x -+2(2)y -=16.已知圆C 与直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在直线0=+y x 上，则圆C 的 方程为（ ）A.22(1)(1)2x y ++-= B. 22(1)(1)2x y -++= C. 22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=7.空间直角坐标系中，点(1,2,3)P 关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A.(1,2,3)-B.(1,2,3)--C.(1,2,3)--D. (1,2,3)--8.设A 在x 轴上，它到点P 的距离等于到点(0,1,1)Q -的距离的两倍，那么A 点的坐标是( )A.（1，0，0）和（ -1，0，0）B.（2，0，0）和（-2，0，0） C.（12，0，0）和（12-，0，0） D.（2-，0，0）和（20，0）【答案】A 【解析】试题分析：可设点A )0,0,(x ，则222222)1(123)2(x x +-+=++，解得1±=x ，故选A.考点：空间内两点的距离公式.9.已知平面区域如右图所示，)0(>+=m y mx z 在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为（ ）A ．207B ．207-C ．21D ．不存在10.若直线y x b =+与曲线3y =-有公共点，则b 的取值范围是（ ）A.[1-1+13] C.[-1，1+1-3]; 【答案】D 【解析】试题分析：由曲线3y =-可知其图像不以（2，3）为圆心，半径为2的半圆，故直线y x b =+与之有公共点介于图中两直线之间，求得直线与半圆相切时221-=b ，直线过点（0，3）时有一个交点.故选D.考点：1.曲线的图像；2.直线与圆相切.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知直线310ax y +-=与直线40x ay += 平行，则a = ．12.平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程为.13.设若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a=______.14.某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有___________种. 【答案】7 【解析】试题分析：设，软件买x 件，磁盘y 件，则⎪⎩⎪⎨⎧∈≥∈≥≤+N y y N x x y x ,2,35007060，作出可行域为直角三角形ABC,在可靠域内的整点为（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，2）、（4，3）、（5，2）、（6，2）共7个，故有7种选购方式.考点：1.二元一次不等式组与平面区域；2.简单线性规划.15.已知P 点坐标为)3,2(，在y 轴及直线x y 21=上各取一点R 、Q ，为使PQR ∆的周长最小，则Q 点的坐标为 ，R 点的坐标为 .考点：1.关于直线的对称点的求法；2.直线方程求法；3.两点之间线段最短.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（12分）已知点)4,5(-A 和),2,3(B 求过点)2,1(-C 且与A B 点、的距离相等的直线方程.17.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝9.(1)判断两圆的位置关系;(2)求直线m 的方程，使直线m 被圆C 1截得的弦长为4，与圆C 2截得的弦长是6.18.（12分）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，（Ⅰ）若直线1l 过定点A (1，0)，且与圆C 相切，求1l 的方程；(Ⅱ) 若圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y +-=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．19.（12分）已知圆C：,25)2()1(22=-+-y x 直线)(47)1()12(:R m m y m x m l ∈+=+++（1）证明：不论m 取何实数，直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长的最小值及此时直线l 的方程. 【答案】（1）见解析；（2）最短弦为45；直线方程为052=--y x 【解析】试题分析：（1）只须确定直线上一定点在圆内，则过圆内一点的直线恒与圆相交；（2）由弦心距、半弦、半径构成的直角三角形可过A 作AC 的垂线，此时的直线与圆C 相交于B 、D 两点，根据圆的几何性质可得，线段BD 为直线被圆所截得最短弦，从而求出最短弦和对应的直线.试题解析：（1）证明：直线)(47)1()12(:R m m y m x m l ∈+=+++可化为：04)72(=-++-+y x y x m ，由此知道直线必经过直线072=-+y x 与04=-+y x的交点，解得：⎩⎨⎧==13y x ，则两直线的交点为A （3，1），而此点在圆的内部，故不论m 为任何实数，直线l 与圆C 恒相交。
2022-2023学年江西省临川第二中学高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
2022-2023学年江西省临川第二中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列直线中，倾斜角为锐角的是（ ） A ．10x y -+= B ．21y x =-+ C ．1y = D ．2x =【答案】A【分析】先由直线方程找到直线的斜率，再推导出直线的倾斜角即可. 【详解】选项A ：直线10x y -+=的斜率1k =，则直线倾斜角为4π，是锐角，判断正确；选项B ：直线21y x =-+的斜率20k =-<，则直线倾斜角为钝角，判断错误； 选项C ：直线1y =的斜率0k =，则直线倾斜角为0，不是锐角，判断错误； 选项D ：直线2x =没有斜率，倾斜角为直角，不是锐角，判断错误. 故选：A2．已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=， 所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．3．直线34120x y ++=与圆()()22119-++=x y 的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.【详解】圆心坐标为()11-，，半径3r =，圆心到直线34120x y ++=的距离115d r =<，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．故选:D4．2a =-是直线230ax y ++=和()5370x a y a +-+-=平行的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两直线平行求出参数a ，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】解：因为直线230ax y ++=和()5370x a y a +-+-=平行， 所以()3100a a --=，解得2a =-或5，当2a =-时，两直线分别为2230,5590x y x y -++=--=，两直线平行， 当5a =时，两直线分别为5230,5220x y x y ++=+-=，两直线平行， 所以2a =-或5，所以2a =-是直线230ax y ++=和()5370x a y a +-+-=平行的充分不必要条件. 故选：A.5．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的A ．焦距相同B ．焦点相等C ．离心率相等D ．渐近线相同【答案】A【分析】由题可知两个曲线一个为椭圆、一个为双曲线，然后根据两个曲线的方程及椭圆、双曲线的相关性质即得．【详解】根据题意，曲线221(6)106x y m m m +=<--方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 曲线221(59)59x y m m m +=<<--即22195y x m m -=--，表示焦点在y 轴上的双曲线，椭圆焦距为4，双曲线焦距为4，故A 正确；椭圆焦点在x 轴上，双曲线焦点在y 轴上，故B 错误；椭圆的离心率小于1，双曲线离心率大于1，故C 错误； 椭圆无渐近线，故D 错误. 故选：A ．6．已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【分析】作出图形，求出,PA PB 的斜率，数形结合可求得直线l 的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-． 由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-， 因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C7．已知椭圆22:143x y C +=，过左焦点F 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，（点A 在x 轴上方），若2AF FB =，则直线l 的斜率的值为（ ） A 5B ．5C ．12D ．12-【答案】A【分析】设出直线方程为(1)y k x =+，1122(,),(,)A x y B x y ．直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，再转化为1212,y y y y +，由2AF FB =得122y y =-，与1212,y y y y +消去12,y y 得k 的方程，解方程可得，注意0k >．【详解】由已知1c =，所以(1,0)F -， 设直线l 方程为(1)y k x =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由22=(+1)+=143y k x x y ⎧⎪⎨⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， 则2122834k x x k+=-+，212241234k x x k -=+， 121226(2)34ky y k x x k +=++=+①，2221212121229(1)(1)(1)33k y y k x x k x x x x k =++=+++=-+②， 2AF FB =，则122y y -=，122y y =-③，③代入①得22634k y k -=+，22634ky k =-+④， ③代入②得22229234k y k -=-+⑤，④⑤消去2y 并整理得254k =，由于A 在x 轴上方，所以0k >，所以k =故选：A ．8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π=3F PF ∠，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（ ） ABC ．1D ．12【答案】B【分析】利用椭圆和双曲线的定义及12π3F PF ∠=可以列出关于1e ，2e 的方程，再利用均值定理即可得到12e e ⋅的最小值【详解】设椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴长为2a '，1PF m =，2PF n =，（m n >） ，122F F c =则+=2=2m n am n a -'⎧⎨⎩，解之得=+=m a a n a a ⎧⎨-''⎩ 又222π41cos 322m n c mn +-== 则()()()()2224a a a a c a a a a ''''++--=+-则222340a a c '+-=，则2212134e e +=则221212134e e =+≥12e e ⋅≥（当且仅当12e e ==则12e e ⋅故选：B二、多选题9．下列说法正确的有（ ）A ．若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则()k b ，在第二象限B ．直线32y ax a =-+过定点()32，C ．过点()21-，斜率为)12y x +=- D ．斜率为2-，在y 轴截距为3的直线方程为23y x =-±． 【答案】ABC【解析】由直线y kx b =+过一、二、四象限，得到斜率0k <，截距0b >，可判定A 正确；由把直线方程化简为()()320a x y -+-+=，得到点()32，都满足方程，可判定B 正确；由点斜式方程，可判定C 正确；由斜截式直线方程可判定D 错误．【详解】对于A 中，由直线y kx b =+过一、二、四象限，所以直线的斜率0k <，截距0b >， 故点()k b ，在第二象限，所以A 正确；对于B 中，由直线方程32y ax a =-+，整理得()()320a x y -+-+=，所以无论a 取何值点()32，都满足方程，所以B 正确； 对于C 中，由点斜式方程，可知过点()21-，斜率为)12y x +=-，所以C 正确；由斜截式直线方程得到斜率为2-，在y 轴上的截距为3的直线方程为23y x =-+， 所以D 错误． 故选：ABC ．【点睛】本题主要考查了直线的方程的形式，以及直线方程的应用，其中解答中熟记直线的点斜式的概念及形式，以及直线的斜率与截距的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.10．已知过点()4,2P 的直线l 与圆()()22:334C x y -+-=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则（ ） A ．AB 的最大值为4 B ．AB 的最小值为2C ．点O 到直线l 的距离的最大值为D ．POC △【答案】AC【分析】求得圆C 的圆心坐标为(3,3)C ，半径为=2r ，结合圆的性质和圆的弦长公式，三角形面积公式，即可求解.【详解】解：由题意，圆22:(3)(3)4C x y -+-=的圆心坐标为(3,3)C ，半径为=2r ， 又由点()4,2P 在圆C 内部，因为过点()4,2P 的直线l 与圆22:(3)(3)4C x y -+-=交于,A B 两点， 所以AB 的最大值为24r =，所以A 正确；因为PC当直线l 与PC 垂直时，此时弦AB 取得最小值，最小值为AB ==B 错误； 当直线l 与OP 垂直时，点O 到直线l 的距离有最大值，且最大值为OP ==C 正确； 由30231,13043OC PC k k --====---，可得1P OC C k k ⋅=-，即OC PC ⊥，所以POC △的面积为11322OC PC ⋅=⨯=，所以D 错误. 故选：AC.11．（多选题）光线自点()2,4射入，经倾斜角为135的直线:1l y kx =+反射后经过点()5,0，则反射光线还经过下列哪个点（ ）A ．()14,2B ．914,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()13,2D ．()13,1【答案】BD【分析】求出点()2,4关于直线l 的对称点的坐标，求出反射光线所在直线的方程，逐一验证各选项中的点是否在反射光线所在直线上，由此可得出合适的选项. 【详解】因为直线l 的倾斜角为135，所以直线l 的斜率为1k =-， 设点()2,4关于直线:1l y x =-+的对称点为(),m n ， 则41242122n m n m -⎧=⎪⎪-⎨++⎪=-+⎪⎩，解得31m n =-⎧⎨=-⎩，所以，反射光线经过点()3,1--和点()5,0，反射光线所在直线的斜率为101358--=--， 则反射光线所在直线的方程为()158y x =-， 当14x =时，98y =；当13x =时，1y =.故选：BD.【点睛】结论点睛：若点()11,P x y 与点()222,P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，由方程组121222210221x x y y A B C y y A x x B ++⎧⋅+⋅+=⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⋅-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩可得到点1P 关于直线l 的对称点2P 的坐标()22,x y （其中0B ≠，12x x ≠）.12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右两焦点分别是1F ，2F ，其中122F F c =.直线:()(R)l y k x c k =+∈与椭圆交于A ，B 两点.则下列说法中正确的有（ ） A ．当0k ≠时，2ABF 的周长为4a B ．当0k ≠时，若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C ．若2123AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是12⎤⎥⎣⎦ D ．若AB 的最小值为3c ，则椭圆的离心率12e = 【答案】AC【分析】利用椭圆定义判断A ；联立直线l 与椭圆C 的方程求出点M 坐标判断B ； 求出12AF AF ⋅取值范围计算判断C ；利用椭圆过焦点的最短弦列式判断D 作答. 【详解】对于A ，由椭圆定义得：2ABF 的周长222112||||||||||||||4AF AB BF AF AF BF BF a ++=+++=，A 正确；对于B ，由222222()y k x c b x a y a b =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理得：22222222222()20a k b x a ck x a c k a b +++-=，则弦AB 中点222222222(,)a ck b ck M a k b a k b -++，而0k ≠，则22OM b k a k =-，即22OM b k k a⋅=-，B 不正确；对于C ，设00(,)A x y ，则2222002b y b x a=-，2200x a ≤≤，而12(,0),(,0)F c F c -， 于是得2222222120000002(,)(,)c AF AF c x y c x y x y c x b c a⋅=---⋅--=+-=+-2222[,]b c a c ∈--，由222223b c c a c -≤≤-得22245c a c ≤≤12e ≤≤，C 正确； 对于D ，由椭圆的性质知，椭圆的通径是过焦点的椭圆的最短弦，当223b c a=时，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，解得12e =，因直线l 不垂直于x 轴，则弦AB 不能取到22b a，即12e ≠，D 不正确. 故选：AC三、填空题13．已知直线(1)y k x =+截圆22(1)(1)4x y -+-=所得两段圆弧的弧长之比为1：2，则k =__________．【答案】0或4343或0 【分析】利用圆的性质可得圆心到直线的距离为半径的一半，然后利用点到直线的距离公式即求.【详解】由22(1)(1)4x y -+-=可知圆心为()1,1C ，半径为2，设直线与圆交于A 、B 两点，又直线(1)y k x =+截圆22(1)(1)4x y -+-=所得两段圆弧的弧长之比为1：2，∴120ACB ∠=，∴圆心到直线的距离为半径的一半， 22111k k -=+，解得0k =或43k =. 故答案为：0或43.14．设双曲线221916x y -=的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，若1232PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=______． 【答案】0【分析】先由双曲线的定义结合已知求得12PF PF ⊥，进而可求出12PF PF ⋅. 【详解】由题意得，221,916265c PF PF +-===，联立1212632PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22221212121223664100PF PF PF PF PF PF F F ⇒+=-+=+==，因此12PF PF ⊥，则120PF PF ⋅=． 故答案为：0.15．点P 在椭圆221169x y +=上，点P 到直线3424x y -=的最大距离与最小距离的和为______. 【答案】4859.6 【分析】利用椭圆的参数方程、点到直线的距离公式、辅助角公式以及三角函数的性质进行求解.【详解】因为点P 在椭圆221169x y +=上，所以设点[)(4cos 3sin ),0,2πP θθθ∈，，则点P 到直线3424x y -=的距离π122cos 244|12cos 12sin 24|55d θθθ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭==， 因为[)0,2πθ∈，所以π122cos 122,1224θ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭， 所以π122cos 2442412224122,555θ⎛⎫+- ⎪⎡⎤-+⎝⎭∈⎢⎥⎣⎦， 所以P 到直线3424x y -=的最大距离与最小距离的和241222412248555-++=. 故答案为：485. 16．已知O 为坐标原点，定点()1,0F ，M 是圆22:4O x y +=内一动点，圆O 与以线段FM 为直径的圆内切，则动点M 的轨迹方程为________. 【答案】()221243x y x +=≠± 【分析】取点()1,0E -，设线段FM 的中点为P ，圆P 与圆O 的切点为Q ，利用中位线的几何性质并结合椭圆的定义可求得点M 的轨迹方程.【详解】取点()1,0E -，设线段FM 的中点为P ，圆P 与圆O 的切点为Q ，易知O 为线段EF 的中点，则2ME OP =， 所以，2224ME MF OP PQ OQ EF +=+==>，故点M 的轨迹是以点E 、F 为焦点，长轴长为4（去除长轴端点）的椭圆， 且24a =，则=2a ，=1c ，则223b a c =- 因此，点M 的轨迹方程为()221243x y x +=≠±. 故答案为：()221243x y x +=≠±.四、解答题17．已知()1,1M -，()2,2N ，()3,0P ．(1)若点Q 满足PQ MN ⊥，PN MQ ∥，求点Q 的坐标；(2)若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ ∠=∠，求直线MQ 的倾斜角．【答案】(1)()0,1Q(2)90°【分析】第（1）问中，若12,k k 存在，两直线垂直，则有121k k ，两直线平行，则有12k k =,设出点Q 的坐标，列方程即可求解.第（2）问中，根据NQP NPQ ∠=∠，可知NQ NP k k =-，设点坐标列方程即可.【详解】(1)设(),Q x y ，由题意得3MN k =，2PN k =-．因为PQ MN ⊥，所以1PQ MN k k ⋅=-， 即313y x ⨯=--．① 又PN MQ ∥，所以PN MQ k k =，即121y x +=--．② 由①②，得0x =，1y =，即()0,1Q ．(2)如图所示：设(),0Q x ，因为NQP NPQ ∠=∠，所以NQ NP k k =-．又22NQ k x=-，2NP k =-，所以222x =-，即1x =， 所以()1,0Q ，又()1,1M -，所以MQ x ⊥轴，故直线MQ 的倾斜角为90°．18．已知圆1C ：²²4230x y x y +---=，圆2:?²20C x y x m +-+=，其中51m -<<.（1）若1m =-，判断圆1C 与2C 的位置关系，并求两圆公切线方程（2）设圆1C 与圆2C 的公共弦所在直线为l ，且圆2C 的圆心到直线l 直线l 的方程以及公共弦长【答案】（1）两圆内切，10x y ++=；（2）直线l 的方程为0x y +=【分析】（1）由1m =-，分别得到圆1C 和圆2C 的圆心，半径，然后利用圆圆的位置关系判断，再由两圆方程相减得到公切线；（2）先得到两圆公共弦所在直线l 的方程，再利用弦长公式求解.【详解】（1）当1m =-时，圆1C 的圆心()12,1C ，半径1r =圆2C 的圆心()21,0C ，半径2r圆心距1212C C r r ==-，所以两圆内切；因为两圆内切，所以公切线只有一条，两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：10x y ++=；（2）两圆公共弦所在直线l 的方程为：2230x y m +++=，圆2C 的圆心()21,0C 到直线l =， 于是52m +=，3m =-或7(-舍)，所以直线l 的方程为0x y +=；因为圆2C 半径22r =，弦心距d ==19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为短轴长为2，直线l 过点()2,1P -且与椭圆C 交于A 、B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为1，求三角形OAB 的面积.【答案】(1)2219x y += (2)910【分析】（1）由已知求得,,c b a 后得椭圆方程；（2）写出直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点,A B 坐标，计算AB ，求出原点到直线AB 的距离后可得面积．【详解】(1)椭圆焦点为2c ，则2c =，c =又22b =，1b =，所以3a =， 椭圆方程为2219x y +=； (2)直线l 方程为12y x -=+，即3y x =+， 由22=+3+=19y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩，解得11=3=0x y -⎧⎨⎩，2212=53=5x y -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 即(3,0)A -，123(,)55B -，AB == O 到直线AB的距离为d ==所以19210OAB S ==． 20．已知直线l 的方程为()()()14232140m x m y m +--+-=.(1)证明：无论m 为何值，直线l 恒过定点，并求出定点的坐标；(2)若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在直线l 使得ABO 的面积为9.若存在，求出直线l 的方程；若不存，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；()2,2(2)存在，2211660x y +-=或922660x y +-=【分析】（1）在直线的方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x 、y 的值，可得直线经过定点的坐标.（2）求出A 、B 的坐标，根据ABO 的面积为9，求出m 的值，可得结论.【详解】(1)直线l 的方程为()()()14232140m x m y m +--+-=，即()()4314220m x y x y +-+-+=，令43140x y +-=，可得220x y ，求得2x =，2y =，可得该直线一定经过43140x y +-=和220x y 的交点()2,2.(2)若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点， 则142,014m A m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭、1420,32m B m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭，且142014m m ->+，142032m m ->- ，∴14m <-，或23m >. 则ABO 的面积为1142142921432m m m m --⨯⨯=+-， 即()()()227194132m m m ⨯-+-=，即21017200m m --=， ∴52m =，或 45m =-. 故存在直线l 满足条件，且满足条件的出直线l 的方程为2211660x y +-=，或922660x y +-=.21．已知动点P 与两个顶点(0,0)O ，(3,0)A 的距离的比值为2，点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)过点(0,3)B -且斜率为k 的直线l ，交曲线C 于、N 两点，若9OM ON ⋅=，求斜率k【答案】(1)22(4)4x y -+=；(2)1k =.【分析】（1）设出动点P 的坐标，借助两点间距离公式列式，化简计算作答.（2）根据给定条件写出l 的方程，联立l 与C 的方程，借助韦达定理计算判断作答.【详解】(1)设点(,)P x y ，依题意，||2||PO PA =，则22224[(3)]x y x y +=-+，化简整理得：22(4)4x y -+=，所以曲线C 的轨迹方程是：22(4)4x y -+=.(2)依题意，设直线l 的方程为：3y kx =-，由223(4)4y kx x y =-⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得：22(1)2(34)210k x k x +-++=，由224(34)84(1)0k k ∆=+-+>得11k << 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则有1212226821,11k x x x x k k ++==++， 2121212121212(3)(3)(1)3()99OM ON x x y y x x kx kx k x x k x x ⋅=+=+--=+-++=， 即22221680(1)311k k k k k +⋅-++⋅=+，整理得2870k k -+=，解得1k =或7k =（舍去）， 所以斜率1k =.【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．22．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>(-是椭圆1C 上的点． (1)求椭圆1C 的方程；(2)已知点P 为椭圆1C 上的任意一点，过点P 作1C 的切线与圆2C ：2212x y +=交于A ，B 两点，设OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k ⋅为定值，并求该定值．【答案】(1)22184x y +=；(2)证明见解析，定值为12-.【分析】（1）由离心率、点在椭圆上及椭圆参数关系求椭圆参数，即可得椭圆方程. （2）讨论AB 斜率，并设直线方程联立椭圆方程，应用韦达定理及斜率两点式得到12k k ⋅关于参数的表达式，进而化简即可证结论.【详解】(1)由题设，e=c a =222a c =，而222b a c =-，则22b c =， 设椭圆1C 的方程为222212x y c c+=，又点(-在椭圆1C 上， 所以224212c c +=，可得：24c =，故椭圆1C 的方程为22184x y +=. (2)①当直线AB 斜率不存在时，直线AB的方程为x =x =-若x =A，2)B -，则1k =，2k =1212k k ⋅=-．若x =-(A -，(2)B --，则1k =2k =1212k k ⋅=-． ②当直线AB 斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 直线与椭圆联立2228y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(12)4280k x kmx m +++-=， 由直线与椭圆相切，则∆=2222164(12)(28)0k m k m -+-=，化简得：2248m k =+．直线与圆联立：2212y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：()22212120k x kmx m +++-=， 12221km x x k -+=+，2122121m x x k -=+，(*)，而OA ，OB 的斜率分别为111y k x =，222y k x =，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅===， 将(*)式代入：222222221222(12)2(1)121212k m k m m k k m k k m m --++-+⋅==--， 将2248m k =+代入：2122441882k k k k -+⋅==--． 综上：12k k ⋅为定值，该定值为12-．。
江西省南昌三中2013-2014学年高二上学期第一次月考数学试题 Word版含答案
南昌三中2013—2014学年度上学期第一次月考高二数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、直线053=++y x 的倾斜角是( )A.30°B.120°C.60°D.150°2.已知直线01=++my x 与直线=--122y x m 0互相垂直，则实数m 为（ ）A ．32B ．0或2C ．2D ．0或323．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝04．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝55．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3 C. 3 D ．16．若实数,x y 满足24,012222--=+--+x y y x y x 则的取值范围为（ ）． A.]34,0[ B.),34[+∞ C.]34,(--∞ D.)0,34[-7. 已知0ab ≠,点(,)P a b 是圆222x y r +=内一点, 直线m 是以点P 为中心的弦所在的直线, 直线L 的方程是2ax by r +=, 则下列结论正确的是 ( )A. m ∥L ,且L 与圆相交B. m ⊥L , 且L 与圆相切C. m ∥L ,且L 与圆相离D. m ⊥L , 且L 与圆相离8. 光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点D （－1，6），则BC 所在直线的方程是 ( ) A. 5270x y -+= B. 310x y +-= C. 3240x y -+= D. 230x y --=9．过点（1，2）的直线l 将圆 22(3)9x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的方程为（ ）A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．240x y +-=D ．230x y -+= 10．已知函数]2,1[,)1(12∈--=x x y 对于满足2121<<<x x 的任意1x ，2x ，给出下列结论：①1212)()(x x x f x f ->-； ②2112()()x f x x f x >；③0)]()()[(1212<--x f x f x x ． ④0)]()()[(1212>--x f x f x x其中正确结论的个数有( )A ． 1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．过点(0,1)A ,且倾斜角为60的直线方程是 12．过点(1,2)A ，且横纵截矩相等的直线方程是13．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是14．若直线x y k +=与曲线y =,则k 的取值范围是 15.设直线系)20(1sin )2(cos :πθθθ≤≤=-+y x M ，对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点;B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上;C ．对于任意整数)3(≥n n ，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上;D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.（本小题满分12分）已知两条直线l 1 (3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2 2x ＋(5＋m )y ＝8.当m 分别为何值时，l 1与l 2：(1)相交？(2)平行？(3)垂直？17．（本小题满分12分）过点M (0,1)作直线，使它被两直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程． 18．（本小题满分12分）已知关于x ，y 的方程C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)在(1)的条件下，若圆C 与直线l ：x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且|MN |＝455，求m 的值．19．（本小题满分12分）已知圆C:22(1)(3)16x y -+-=,直线:(23)(4)220l m x m y m ++++-=。
江西省南昌市第二中学2014-2015学年高二上学期第一次考试(月考)数学(文)试题 Word版含答案(人教A版)
高二上学期第一次考试数学（文）试题命题人：余毛毛 审题人：曹开文一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 直线x +y ﹣1=0的倾斜角为（ ）.A ．B ．C ．D ．2. 直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( ) A ．(3,0) B ．(－3,0) C ．(0，－3) D ．(0,3) 3．过点且倾斜角为60°的直线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知直线ax+2y+2=0与3x ﹣y ﹣2=0平行，则系数a=（ ）. A.﹣3B.﹣6C.D.5．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．13-C ．23- D ．2-6．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A ．x 2+(y ﹣2)2=1 B ．x 2+(y +2)2=1 C ．(x ﹣1)2+(y ﹣3)2=1 D ．x 2+(y ﹣3)2=17．直线x -y =2被圆22(4)4x y -+=所截得的弦长为（ ） A ．2 B ．22 C ．42 D ．48．圆222430x x y y ++-+=与直线0x y b ++=相切,正实数b 的值为 ( )A.12B ．1C ．221-D ．3 9．圆x 2+y 2=1和圆x 2+y 2﹣6y +5=0的位置关系是（ ）. A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 内含10．已知实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则22-+y x xy的最小值为( )A ．222-B ．222-C ．222+D ．222--二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．平行线0943=-+y x 和620x my ++=的距离是_______12．已知圆22:230M x y mx +--=(0)m <的半径为2，则其圆心坐标为 。
江西省2022高二数学上学期第一次月考试题 文
南昌二中2022—2021学年度上学期第一次月考高二数学〔文〕试卷一、选择题〔每题5分，共12小题，共60分〕1．假设直线250x y a -+=平分圆224250x y x y +-+-=的周长，那么a = A ．9B ．-9C ．1D ．-12．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，那么它们之间的距离为A ．4B ．21313C ．51326D ．710203．假设直线022=+-y x 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，那么该椭圆的标准方程为A. 1522=+y x B. 15422=+y x C.1522=+y x 或15422=+y x D ．以上答案都不对4．直线1+-=k kx y 与椭圆14922=+y x 的位置关系为 A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定5．2log x ，2log y ，2成等差数列，那么在平面直角坐标系中，点的轨迹为(,)M x yA ．B ．C ．D ．6．假设抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，那么p =7．设1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，那么E 的离心率为 A.12 B.34 C.23D.458．直线:l 23y x =+被椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>截得的弦长为7，那么以下直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有①23y x =- ②21y x =+ ③23y x =-- ④ 23y x =-+ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条9．圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,30,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，假设圆心C ∈Ω,且圆C与x 轴相切，那么22a b +的最大值为 A ．5B ．29C ．37D ．4910．.如图，21,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x T 的左、右焦点，P 是椭圆T 上任意一点，过2F 作21PF F ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ,那么点Q 的轨迹为A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线11．设点0(,1)M x ，假设在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，那么0x 的范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．2,2⎡⎤-⎣⎦D ．2222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 12．阿波罗尼斯〔约公元前262﹣190年〕证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k 〔0k >且1k ≠〕的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．假设平面内两定点,A B 间的距离为2，动点P 与,A B 距离之比为2，当,,P A B 不共线时，PAB ∆面积最大值是A ．22B ．2C ．223D ．23二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.13．C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为45，面积为20π，那么椭圆C的标准方程为______．14．设实数,x y 满足条件41002800,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，假设目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，那么23a b+的最小值为________． 15．P 是椭圆191622=+y x 上一点，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，假设1221=⋅PF PF ,那么21PF F ∠的大小为________．16．抛物线y x C 8:2=的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q切于点P ，那么FQ FP ⋅的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题10分)ABC ∆的三个顶点(4,6),(4,1),(1,4)A B C ---.求：〔Ⅰ〕AC 边上高BD 所在的直线的一般方程； 〔Ⅱ〕AB 边中线CE 所在的直线的一般方程．18．(本小题12分)椭圆的中心在原点，焦点为)0,32(),0,32(21F F -，且离心率23=e ． 〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕求以点)1,2(-P 为中点的弦所在的直线方程．19．(本小题12分)圆22:24200C x y x y +---=〔Ⅰ〕过点(4,4)P -的直线l 被圆C 截得的弦长为8，求直线l 的方程；〔Ⅱ〕当k 取何值时，直线310kx y k -++=与圆C 相交的弦长最短，并求出最短弦长．20．(本小题12分)点()1,0F ，直线:1l x =-，动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离． 〔Ⅰ〕试判断点P 的轨迹C 的形状，并写出其方程；〔Ⅱ〕假设曲线C 与直线:1m y x =-相交于AB 、两点，求OAB ∆的面积.21．(本小题12分)点M 在椭圆上，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的右焦点F ．〔Ⅰ〕假设圆M 与y 轴相交于A 、B 两点，且△ABM 是边长为2的正三角形，求椭圆的方程。
江西省南昌市第十中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(含解析)
南昌十中2024-2025学年上学期第一次月考高二数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分。
考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（）A．B．C．D．2．若直线的倾斜角为，则实数值为（）AB．CD．3．已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（）A．B．C．D．4．已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（）A．B．或C．0或D．0或5．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD6．已知，，直线，，且，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．97．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时直线的方程分别为（）ABCDO xyz-()2,4,3P--yOz()2,4,3-()2,4,3--()2,4,3--()2,4,3-:10l x my++=23πm()3,1l()3,2l32110x y+-=2330x y--=2390x y+-=3270x y--=()1,1,0a=()1,,2bλ=-75a b+2a b-λ3535753575111ABC A B C-AC BC⊥14AC AA==2BC=1AC1B Ca>0b>()1:110l a x y-+-=2:210l x by++=12l l⊥21a b+ ()2,1P--()()():131240l x yλλλλ+++--=∈Rl:3250x y+-=3250x y+-= 2310x y-+=:2310x y-+=8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ）AB ．2CD ．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
2024-2025学年江西省抚州市临川二中高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年江西省抚州市临川二中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线3x +2y−3=0和直线6x +my +1=0互相平行，则m 的值为( )A. −9B. 32C. −4D. 42.若两个非零向量a ，b 的夹角为θ，且满足|a |=2|b |，(a +3b )⊥a ，则cosθ=( )A. −23B. −13C. 13D. 233.已知直线3x−(a−2)y−2=0与直线x +ay +8=0互相垂直，则a =( )A. 1B. −3C. −1或3D. −3或14.为了得到函数y =sin (5x +π3)的图象，只要将函数y =sin5x 的图象( )A. 向左平移π15个单位长度 B. 向右平移π15个单位长度C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度5.过点(3,−2)且与椭圆4x 2+9y 2−36=0有相同焦点的椭圆方程是( )A. x 215+y 210=1 B. x 25+y 210=1 C. x 210+y 215=1 D. x 225+y 210=16.已知圆的方程为x 2+y 2−2x =0，M(x,y)为圆上任意一点，则y−2x−1的取值范围是( )A. [− 3,3]B. [−1,1]C. (−∞,− 3]∪[3,+∞)D. [1,+∞)∪(−∞,−1]7.已知圆C ：(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m ，0)，B(m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB =90°，则m 的最大值为 ( )A. 7B. 6C. 5D. 48.已知向量a ，b 满足|a |=1，|2a +b |+|b |=4，则|a +b |的取值范围是( )A. [2−3,2]B. [1,3]C. [2− 3,2+3]D. [3,2]二、多选题：本题共3小题，共18分。
江西省临川第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题 理(含解析)
江西省临川第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题 理（含解析）一､选择题1.若直线//l α，且l 的方向向量为(2,,1)m ，平面α的法向量为(1,1,2)-，则m 为（ ） A. -4 B. -2C. 2D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由题可得l 与平面α的法向量垂直,再利用垂直的数量积公式求解即可.【详解】由题有l 与平面α的法向量垂直,故(2,,1)(1,1,2)0220m m ⋅-=⇒-+=,所以4m =.故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行得出线和法向量垂直的关系,同时也考查了空间向量垂直的计算,属于基础题.2.下列说法正确的是（ ）A. 若()p q ⌝∧为真命题，则p ，q 均为假命题；B. 命题“若2340x x --=，则1x =-”的逆否命题为真命题；C. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若“10a >”则“20192018S S >”的否命题为真命题；D. “平面向量a 与b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<” 【答案】C 【解析】 【分析】根据逻辑连接词的性质判断A;根据逆否命题与原命题同真假判断B;根据逆否命题同真同假判断C;再根据数量积的公式判断D 即可.【详解】对A, 若()p q ⌝∧为真命题,则p q ∧为假命题,故p ,q 至少有一个假命题,故A 错误. 对B, 因为2340x x --=有1x =-或4x =,故命题“若2340x x --=,则1x =-”为假命题,故其逆否命题也为假命题.故B 错误.对C, 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“10a >”则“20192018S S >”的逆命题为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“20192018S S >”则“10a >”.又因为当20192018S S >时201920180S S ->即2018201911000a a q a >⇒>⇒>成立.而原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，故C 正确.对D, 当0a b ⋅<时, a 与b 也可能反向,此时夹角为π.故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查了命题的真假判定,包括四种命题之间的关系与充分必要条件的性质判定等.属于基础题.3.命题“[2,3]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. 0a ≤ B. 1a ≤C. 2a ≤D. 3a ≤【答案】D 【解析】 【分析】先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可.【详解】命题“[2,3]x ∀∈,220x a -≥”为真命题的充要条件：[2,3]x ∀∈,22x a ≥恒成立.即42a ≥,2a ≤.故其必要不充分条件为3a ≤. 故选：D【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进行判定.属于基础题.4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于2a 的是（ ）A. 2AB CA ⋅B. 2AC FG ⋅C. 2AD DC ⋅D.2EF DB ⋅【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积公式分析向量的夹角与模长逐个判断即可.【详解】对A, 2222cos 3AB CA AB CA a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对B, 222cos022aAC FG AC FG a a ⋅=⋅⋅︒=⨯=.满足对C, 2222cos 3AD DC AD DC a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对D, 222cos 22aEF DB EF DB a a π⋅=⋅⋅=-⨯=-.不满足故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积,需要根据几何关系判断向量的夹角与模长,属于基础题.5.命题p :函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数.命题q :直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0. 若p q ∨为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. 4a >B. 0a ≥C. 04a ≤<D.04a <≤【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴与区间的位置关系判断a 的取值范围,再求得直线0x y a +-=在y 轴上的截距令其小于0计算a 的取值范围.再根据p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题再分析即可. 【详解】当函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数时,对称轴满足242aa ≤⇒≤. 当直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0时有0a <.又p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题.故440a a a >⎧⇒>⎨≥⎩.故选：A【点睛】本题主要考查了利用命题间的关系求解参数的范围问题,需要根据题意先求出命题均为真命题时的参数范围,再根据复合命题的真假求取值范围即可.6.设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（ ）B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan 2S b θ=求解即可.【详解】由题知12609tan2F PF S︒=⨯=设P 点的纵坐标为h 则1221F F h h ⋅⋅=⇒=. 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积运用,属于中档题.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG m m =<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）C.3【答案】D 【解析】 分析】易得11//A B 平面1D EF ,故点G 到平面1D EF 的距离为点1A 到平面1D EF 的距离,再分析线面垂直的关系求解即可.【详解】作11A P ED⊥于P,因为,E F分别为棱1AA､1BB的中点,故11//EF A B,EF⊥平面11A ADD.故1EF A P⊥,又11A P ED⊥,1EF ED E⋂=.故11A P ED F⊥平面. 又11//EF A B所以点G到平面1D EF的距离为点1A到平面1D EF的距离1A P.又111111111212111152225112A E A DA P ED A E A D A PED⨯⋅⋅=⋅⇒===⎛⎫+⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了点到平面距离的计算,根据题意可直接找到11A P ED F⊥再根据等面积法计算1A P,属于中档题.8.我们把由半椭圆22221(0)x yxa b+=≥与半椭圆22221(0)y xxb c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222a b c=+，0a b c>>>).如图，设点0,F1,F2F是相应椭圆的焦点，1,A2A和1,B2B是“果圆”与,x y轴的交点，若012F F F△是等腰直角三角形，则ab的值为（）A.722 C.62D.54【答案】C【解析】【分析】根据题意分别利用椭圆中的基本量关系计算0,F2F对应的坐标,再根据012F F F△是等腰直角三角形可得02OF OF=计算即可.【详解】根据题意有(),0F c,()2220,bF c-,又根据012F F F△是等腰直角三角形的性质可得02OF OF=,即()22222222322ab c c b a bb-=⇒=-⇒=.故6ab=故选：C【点睛】本题主要考查了根据椭圆的基本量关系列式求解的方法,需要求出对应点的坐标,利用等腰直角三角形的性质列式化简求解.属于基础题.9.如图，直三棱柱111ABC A B C-中，侧棱长为4，2AC BC==，90ACB︒∠=，点D是11A B 的中点，F是侧面11AA B B(含边界)上的动点.要使1AB⊥平面1C DF，则线段1C F的长的最大值为（）5 B. 213 D. 25【答案】A【解析】【分析】分析可得当1AB⊥平面1C DF时1AB DF⊥,故F在边界1BB时1C F取最大值,再根据平面中的边角比例关系求解即可.【详解】由题,当1AB⊥平面1C DF时1AB DF⊥,故F在边界1BB时1C F取最大值,此时因为1AB DF⊥,故111111190FDB AB A B AA AB A∠+∠=∠+∠=︒.故111FDB B AA∠=∠.故111tan tanFDB B AA∠=∠即1111111111FB A B A B DBFBDB AA AA⋅=⇒==2411BB=<满足题意 .此时1C F===故选：A【点睛】本题主要考查了根据线面垂直计算边长的关系的方法.需要根据题意找到对应的角度等量关系,利用正切值相等进行列式求解.属于中档题.10.椭圆22143x y+=上有n个不同的点123,,,,nP P P P⋅⋅⋅，椭圆右焦点F，数列{}nP F是公差大于12019的等差数列，则n的最大值为（）A. 4036B. 4037C. 4038D. 4039 【答案】C【解析】【分析】根据题意分析最大最小的n P F的值,再利用等差数列的通项公式求解n的最大值即可. 【详解】根据题意有,当1P为椭圆的右顶点,n P为左顶点时n取得最大值.此时121PF==.23nP F==.又数列{}nP F是公差12019d>的等差数列,()2131112019n d dn=+-⇒=>-,所以140384039n n-<⇒<.故n的最大值为4038.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到焦点的距离最值以及等差数列的基本量运用,属于中档题.11.已知正四棱锥S ABCD-，E是线段AB上的点且13AE AB=，设SE与BC所成的角为1θ，二面角S AB C--的平面角为2θ，SE与平面ABCD所成的角为3θ，则（）A.123θθθ<< B.321θθθ<< C.132θθθ<< D.231θθθ<<【答案】B【解析】 【分析】作出立体图形,分别构造关于123,,θθθ的直角三角形,利用正切值的大小判断即可. 【详解】如图,作SO ⊥平面ABCD 于O ,取AB 中点J ,在DC 上取F 使得13DF DC =,I 为EF 中点.连接各点如图所示.易得//EF BC ,故SE 与BC 所成的角1SEF θ=∠,二面角S AB C --的平面角2SJO θ=∠,SE 与平面ABCD 所成的角3SEO θ=∠. 又OJ AB ⊥,故EO JO >,所以32tan tan SO SO EO JOθθ=<=. 又12EI JO BC ==,SO OI ⊥,故SI SO >,21tan tan SO SI JO EIθθ=<=. 综上有321tan tan tan θθθ<<.又1230,,2πθθθ<<.故321θθθ<< 故选：B【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面角与线线角等之间的关系,需要找到对应的角度,利用正切函数的单调性进行大小的判断.属于中档题.12.在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的下顶点，,M N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A. ⎫⎪⎪⎝⎭B. 32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题四边形OPMN 为平行四边形可知,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,再代入椭圆方程可求得,M N 的坐标,再利用35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,根据斜率等于倾斜角的正切值求斜率的表达式再计算即可.【详解】∴,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即,M N 两点关于x 轴对称,MN OP a ==,可设,,,22a a M x N x ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,代入椭圆方程得：2x =,因为35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故0x <得2a N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, α为直线ON 的倾斜角,tan aα==,又35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan 1,3α⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭,即1133ba -<<-⇒<<.故0,3e ⎛= ⎝⎭∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的几何关系列出关于基本量的不等式求解离心率的问题,重点是根据题设找到对应的等量关系列式求解.属于中档题. 二､填空题13.正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若1AC 与底面ABCD 所成角为45︒，则11A C 和底面ABCD 的距离是________.【答案】2 【解析】 【分析】确定1AC 与底面ABCD 所成角,再利用直角三角形中的边角关系求解即可.【详解】连接1AC ,因为1CC ⊥平面ABCD ,故1AC 与底面ABCD 所成角为145C AC ∠=︒. 所以1C AC 为等腰直角三角形.所以11A C 和底面ABCD 的距离221112CC AC ==+=.2【点睛】本题主要考查了线面角的辨析与立体几何中的求解,属于基础题.14.给定两个命题，P :对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q :方程2213x ya a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆.如果P Q ∧⌝为真命题，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.再分别根据恒成立以及椭圆的标准方程性质求解即可.【详解】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题. 又对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立则显然0a ≥ ：①当0a =时10>恒成立满足题意,②当0a >时24004a a a ∆=-<⇒<<. 综上有04a ≤<又方程2213x y a a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆有33032a a a >->⇒<<.又Q 为假命题故32a ≤或3a ≥. 故实数a 的取值范围是30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围问题.需要根据题意分析命题的真假,再求解对应的参数范围最后再求参数的交集.属于中档题.15.函数()1g x ax =+(0)a >，2()2f x x x =-，对1[1,2]x ∀∈-，0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立，则a 的取值范围是_________.【答案】(0,1] 【解析】 【分析】由题意可知()f x 的值域包含()g x 的值域,再分别根据定义域求对应函数的值域,再根据包含关系列不等式求解即可.【详解】由题,当[]11,2x ∈-时,因为0a >,故[]()11,21g x ax a a =+∈-++.又0[0,3]x ∈则[]2()21,3f x x x =-∈-.又1[1,2]x ∀∈-,0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立,所以()f x 的值域包含()g x 的值域.所以111213a a a -+≥-⎧⇒≤⎨+≤⎩,因为0a >,所以a 的取值范围是(0,1]. 故答案为：(0,1]【点睛】本题主要考查了根据函数恒成立与能成立的问题求解参数范围的问题,需要根据题意判定出函数值域满足的关系式,再分别列式求解.属于中档题.16.已知O 为坐标原点,平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：22221(0)x y a b a b+=>>,点E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ,OF 的斜率之积为12-,则椭圆Ω的离心率为______．【答案】2【解析】 【分析】设()11,C x y ,则()22,D x y ,由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --,由可得2211221x y a b +=,2222221x y a b+=,相减可得：AB ，AD 斜率之积为()()()()2121221212.y y y y b x x x x a -+=--+由E ,F 分别为AB ,AD 的中点,可得OE ，OF 的斜率之积等于AB ,AD 斜率之积．即2212b a =,即可求得椭圆Ω的离心率．【详解】解：设()11,C x y ,则()22,D x y , 由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --， 可得2211221x y a b +=,2222221x y a b +=．相减可得：22221212220x x y y a b--+= AB ∴,AD 斜率之积为()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+． E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ，OF 的斜率之积为12-，则OE ,OF 的斜率之积等于AB ，AD 斜率之积．2212b a =∴,则椭圆Ω的离心率为2e ==,故答案为:2．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三､解答题17.已知集合{}2|320A x x x=-+≤，集合{}2|2B y y x x a==--，集合{}2|20C x x ax=+-≤，命题:p A B⋂≠∅，命题:q A C⊆.（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p q∧为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3a<-（2）31a-≤≤-【解析】【分析】(1)由题意A B=∅,再根据区间端点满足的关系式求解即可.【详解】由题, {}{}2|320|12A x x x x x=-+≤=≤≤,{}{}2|2|1B y y x x a y y a==--=≥--（1）由命题p是假命题,可得A B=∅,即得12,3a a--><-.（2）p q∧为真命题,,p q∴都为真命题,即A B⋂≠∅,且A C⊆.∴有121204220aaa--≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩,解得31a-≤≤-.【点睛】本题主要考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题,需要根据题意求出对应的区间端点满足的不等式再求解.属于中档题.18.如图，在几何体ABCDE中，//CD AE，90EAC︒∠=，平面EACD⊥平面ABC，22CD EA ==，2AB AC ==，23BC =，F 为BD 的中点.（1）证明://EF 平面ABC ； （2）求直线BC 与平面BDE 所成角. 【答案】（1）证明见解析（2）30°. 【解析】 【分析】(1)取BC 中点G ,连接FG ,AG ,再证明四边形AGFE 是平行四边形即可.(2) 以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再用空间向量求解直线BC 与平面BDE 所成角即可.【详解】（1）取BC 中点G ,连接FG ,AG ,又F 为BD 的中点,2CD EA =,//CD AE ,12FG CD EA ∴==,且//FG AE , ∴四边形AGFE 是平行四边形, //EF AG ∴,而且EF ⊄平面ABC ,AG ⊂平面ABC , //EF ∴平面ABC ；（2）90EAC ︒∠=,平面EACD ⊥平面ABC ,且交于AC , ∴平EA ⊥面ABC ,由（1）知//FG AE ,FG ∴⊥平面ABC ,又AB AC =,G 为BC 中点, AG BC ∴⊥,如图,以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则3,0)B ,(0,3,0)C ,(0,3,2)D -,(1,0,1)E ,(0,23,0)BC ∴=-,(0,23,2)BD =-,(1,3,1)BE =,设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =,则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即3030z x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,令1y =,得(0,1,3)n =, ∴直线BC 与平面BDE 所成角的正弦值为12||||BC n BC n ⋅=.∴直线BC 与平面BDE 所成角为30°.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的问题,需要找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再求面的法向量与直线的向量,进而求得线面所成角的正弦求解.属于中档题. 19.已知21:()4P f x ax ax =-+R ，:q x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，关于x 的不等式(1)(2)0x m x m -+-≤的解集记为B . （1）若p q ∧为真，求实数a 的取值集合A ；（2）在（1）的条件下，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）10,4⎡⎫=⎪⎢⎣⎭A ；（2）1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）先确定p ，q 为真的等价条件，若p q ∧为真则p 真q 真，求交集即可；（2）利用x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，即A ⊊B ，确定条件关系，即可求实数m 的取值范围．【详解】（1）:p 真 f （x ）214ax ax =-+的定义域为R ，则ax 2﹣ax +14≥0对任意实数x都成立，当a ＝0时显然满足，当a ≠0时，有2()0a a a ⎧⎨--≤⎩＞，解得0＜a ≤1． 综上： []a 0,1∈:q 真 x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，∴14a 0=->即a 1,4⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭p q ∧为真，即p 真，q 真，∴ 10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭（2）①12m m -<，即1m >-，此时[]1,2B m m =-x A ∈是x B ∈的充分不必要条件∴ 10124m m -≤⎧⎪⎨≥⎪⎩1,18⎡⎤⇒⎢⎥⎣⎦； ②12m m -=，即1m =-，此时{}2B =- 不符合题意． ③①12m m ->，即1m <-，此时[]2,1B m m =-10,4A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为[]2,1B m m =-的充分不必要条件 ∴ 11420m m ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 无解；综上所述：1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查且命题、交集运算、不等式解法、充分条件和必要条件的应用等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.长方形ABCD中，2=AB AD M 是DC 中点（图1）.将ADM 沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中:（1）求证:平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --5，说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用勾股定理与线面垂直的性质证明BM ⊥平面ADM 即可.(2) 以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系. 设(01)BE BD λλ=<<,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.【详解】（1）在长方形ABCD 中,连结BM ,因为2AB AD =,M 是DC 中点, 所以2AM BM AD ==,从而222AM BM AB +=,所以AM BM ⊥ 因为AD BM ⊥,ADAM A =,所以BM ⊥平面ADM . 因为BM ⊂平面ABCM ,所以平面ADM ⊥平面ABCM .（2）因为平面ADM ⊥平面ABCM ,交线是AM ,所以在面ADM 过M 垂直于AM 的直线必然垂直平面ABCM .以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴, 建立空间直角坐标系.则()2,0,0A ,()0,2,0B ,()1,0,1D ,(1,2,1)BD =-.设(01)BE BD λλ=<<,则(),22,ME MB BE λλλ=+=-.设1(,,)x y z =n 是平面AME 的法向量,则1100n ME n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即(22)020x y z x λλλ+-+=⎧⎨=⎩,取()10,,22n λλ=-,平取面AMD 的一个法向量是()20,1,0n =. 依题意122cos ,2n n =, ()222525λλ=+-,解方程得12λ=, 因此在线段BD 上存点E ,使得二面角E AM D --5. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定与利用空间直角坐标系求解是否存在点满足条件的问题.一般做法是先假设存在,再设对应的向量的参数,再根据二面角的余弦列出关于参数的表达式最后进行求解即可.属于中档题.21.已知动点G(x,y)2222(1)(1)4x y x y ++-+= （1）求动点G 的轨迹C 的方程；（2）过点Q(1,1)作直线L 与曲线C 交于不同的两点,A B ,且线段AB 中点恰好为Q.求OAB ∆的面积；【答案】（1）22143x y +=；（2）1056【解析】 【分析】（1）先由椭圆的定义得知轨迹C 为椭圆，并利用椭圆定义求出a ，从已知条件中得出c ，并求出b 值，结合椭圆焦点位置得出椭圆C 的标准方程；（2）由已知条件得知直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为()11y k x -=-，将直线L 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由Q 为AB 的中点求出k 的值，从而得出直线L 的方程，再利用弦长公式求出AB ，由点到直线的距离公式计算出原点O 到直线L 的距离，再利用三角形的面积公式可求出OAB ∆的面积．【详解】（1）由动点(),G x y4=可知，动点G 的轨迹是以()1,0-和()1,0为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为22143x y +=；（2）由于直线L 与曲线C 相交所得线段AB 中点恰好为()1,1Q 可知， 直线L 的斜率一定存在，设直线L 的方程为()11y k x -=-，联立221431(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y 可得2222(43)(88)(488)0k x k k x k k +--+--=， 所以21222122884348843k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩， 又线段AB 中点的横坐标为1，∴212288243k kx x k -+==+，解得34k =-， 12122121x x x x +=⎧⎪∴⎨=⎪⎩， 直线L 的方程为3470x y +-=，弦长21AB ==L 的距离为75d =，1725ABC S ∆∴==． 【点睛】本题考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法，韦达定理的应用，以及弦长、三角形面积的计算，对于直线与圆锥曲线的综合问题，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，应用韦达定理进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好地考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题解决问题的能力等．22.已知F 1，F 2分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F 1的最大距离等于4，离心率等于13，过左焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，圆E 内切于三角形F 2MN ；（1）求椭圆的标准方程 （2）求圆E 半径的最大值 【答案】（1）22198x y ；（2）max 89r =【解析】 【分析】（1）根据椭圆上点与1F 的最大距离和离心率列方程组，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用与三角形内切圆有关的三角形面积公式列式，求得内切圆半径的表达式，利用换元法结合基本不等式求得圆半径的最大值.【详解】由条件知13314c a a c a c ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩ ，所以2228b a c =-=.故椭圆的标准方程为22198x y +=；（2）由条件l 不为x 轴，设1l x my =-：交椭圆于()()1122,,,M x y N x y ，设圆E 的半径为r ，由221198x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()228916640m y my +--=，1212221664,8989m y y y y m m -+==++ 22221(2F MN F MN F MN S C r C F MN ∆∆∆=⨯∆为的周长）2121166F MN r S y y ∴==-重点中学试卷 可修改 欢迎下载- 21 - 即r ==令21t m =+，（1t ≥），则r ==当1,0t m ==即时，max 89r =. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆位置关系，考查三角形内切圆半径有关计算，考查换元法和基本不等式求最值，属于中档题.。
江西省高二数学上第一次月考试题 文
江西省上饶市横峰中学2021-2021学年高二数学上学期第一次月考试题 文总分值：150分一、选择题：〔此题包括12小题，每题5分，共60分，每题只有一个选项符合题意〕 知向量()2,1a =-，()1,7b =，那么以下结论正确的选项是〔〕 A ．a b ⊥B ．a //bC ．()a ab ⊥+D ．()a ab ⊥-2. 平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，那么23a b +=〔 〕 A ．(5,10)--B ．()4,8--C ．()3,6--D ．()2,4--3.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,3=c ，1=a ，6π=∠B ，那么=b ( )A ．1B ．3C ．2D ．24.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人．假设高三年级共有学生600人，那么该校学生总人数为〔〕 A ．900B ．1200C ．1500D ．18005.ABC 中，a b c 、、分别是角、、A B C 的对边，假设10,30,c C ︒==那么ABC 的外接圆的面积是〔 〕 A ．π100 B ．π200C ．π3100D ．π506.中，c AB =，b AC =．假设点D 满足2BD DC =，那么AD =〔 〕A ．c b 3132+ B ．b c 3235-C ．c b 3132- D ．c b 3231+ 7. 如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y 〔吨标准煤〕的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 最新x 的线性回归方程，那么表中m 的值为〔 〕 x 3 4 5 6 ym4A ．4B ．3.15C ．4.5D ．38.在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+假设2sin sin sin B C A ⋅=，那么ABC ∆的形状是〔〕A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角121==→→e e ,1e ，2e 的夹角为120°，那么向量12e e -与向量122e e +的夹角为(〕A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°10.ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，2c a =，1sin sin sin 2b B a A a C -=，那么B cos 的值为〔 〕A ．3B ．34C ．13D ．4112e ,e 是两个单位向量，R λ∈时，12e e λ+的最小值为12||e e +=〔 〕A ．1B C ．1D ．212. 设,,a b c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，D 是BC 边的中点，且2221a b c --=，那么AB DA DB →→→⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭等于〔〕A B C ．12D ．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13. )3,1(=→a ，),2(kb -=→，且)2(→→+b a //)3(→→-b a ，那么实数k =________． 14.1=→a ，2=→b ，且)(→→→+⊥b a a ，那么向量a 在b 方向上的投影为.15. 在ABC 中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，60,1A b ︒==a =.16.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin (2)tan b C a b B =+，c =，那么ABC ∆面积的最大值为_.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．〔10分〕平面向量(6,19)a =-，(2,1)b =，(3,4)c =-. 〔1〕求满足a mb nc =+的实数m ，n ；〔2〕假设()(2)a kb c b +⊥-，求实数k 的值.18. 〔12分〕公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用〔单位：元〕，得到如下图的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.〔1〕试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数； 〔2〕 该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用多于8元？ 19. 〔12分〕在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b ac +=+． 〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设6a c +=，ABC ∆的面积为23b . 20.(12分) ||1,||1a b ==，且向量a 与b 不共线. 〔1〕假设a 与b 的夹角为45︒，求)()2→→→→+⋅-b a b a （；〔2〕假设向量ka b +与ka b -的夹角的钝角，求实数k 的取值范围.21．〔12分〕在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C 向量()cos ,cos m A B =，(),2n a c b =-，且//m n ．〔1〕求角A 的大小； 〔2〕假设4433a b ==，ABC 面积． 22．〔12分〕在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B -+=-.〔1〕求角C 的大小；〔2〕求22cos cos A B +的取值范围.2021-2021学年度上学期高二年级第一次月考数学试卷〔文科〕答案一、选择题：〔此题包括12小题，每题5分，共60分〕 C B A B A A D C B B C C二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分) 13.-6 14. 22-133三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.〔10分〕解：〔1〕由(2,)mb m m =，(3,4)nc n n =-得：(23,4)mb nc m n m n +=-+ 且(6,19)a mb nc =-=+所以236,419,m n m n -=-⎧⎨+=⎩得3m =，4n =.〔2〕因为(62,19)a kb k k +=-++，2(7,2)c b -=-， 且()(2)a kb c b +⊥-，所以7(62)2(19)0k k -⨯-++⨯+=， 所以203k =. 18. 〔12分〕解：〔1〕因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1， 所以()0.050.100.100.050.0521a +++++⨯=，解得0.15a =； 该公司职员早餐日平均费用的众数为4652+=； 〔2〕由频率分布直方图可知，职员早餐日平均费用不少于8元的频率为()0.050.0520.2+⨯=， 又因为该公司有1000名职员，所以该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有10000.2200⨯=〔人〕.19.〔12分〕解：〔1〕因为222a cb ac +-=，由余弦定理，222cos 2a c b B ac+-=，所以1cos 2B =，因为0180B <<︒，所以60B =︒；〔2〕1sin 2ac B =，所以8ac =，因为222a c ac b +-=，即()223a c ac b +-=， 因为6a c +=，所以b =20. 〔12分〕解：〔1〕a 与b 的夹角为45︒，•cos 451122a b a b ∴=︒=⨯⨯=222(2)()221122a b a b a a b b ∴-⋅+=+⋅-=+-=+. 〔2〕向量ka b +与ka b -的夹角为钝角，0))((<-+∴→→→→b a k b a k ，且不能反向共线， 012222<-=-→→k b a k ，解得11,0k k -<<≠∴实数k 的取值范围是-11k <<且0k ≠.21. 〔12分〕解：〔1〕由//m n 得，(2)cos cos 0c b A a B --=， 由正弦定理可得，可得：2sin cos sin()0C A A B -+=，即：2sin cos sin 0C A C -=， 由sin 0C ≠，可得：1cos 2A =， 又(0,)A π∈， 可得：3A π=． 〔2〕由及正弦定理得sin sin a b A B =即43sin sin 3B π=可得1sin2B =ab >A B ∴>即B=6π故C=2πABC ∆的面积11sin 422S ba C ==⨯ 22. 〔12分〕解：〔1〕因为()()()sin sin sin sin a c A C b A B -+=-，由正弦定理得()()()a c a c b a b -+=-，即222a b c ab +-=，那么222122a b c ab +-=根据余弦定理得1cos 2C =又因为0C π<<，所以3C π=〔2〕因为3C π=，所以4223B A π=-那么()221cos21cos21cos cos 1cos2cos2222A B A B A B +++=+=++ 141cos2cos 223A A π⎡⎤⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111cos222A A ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭11cos 223A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为三角形ABC 为锐角三角形且3C π=，所以62A ππ<<那么242333A πππ<+< 所以11cos 262A π⎛⎫-≤+<- ⎪⎝⎭， 所以2213cos cos 24A B ≤+< 即22cos cos A B +的取值范围为1324，⎡⎫⎪⎢⎣⎭。
江西省高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） 20x -=A ．B ．C ．D ．6π4π3π5π6【答案】D【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为，倾斜角为， k α∵∴，． y =tan k α==56πα=故选：D ．2．过点（2，－3）、斜率为的直线在y 轴上的截距为（ ）12-A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4【答案】B【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令，可得答案. 0x =【详解】由题意得直线方程为，令x =0，解得y ＝－2． ()1322y x +=--故选：B ．3．直线与圆的位置关系是（ ） 34120x y ++=()()22119-++=x y A ．相交且过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心【答案】D【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较，即可判断圆与直线的位置关系.【详解】圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离()11-，3r =34120x y ++=，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心． 115d r <故选:D4．在平面直角坐标系内，一束光线从点A （1，2）出发，被直线反射后到达点B （3，6），则y x =这束光线从A 到B 所经过的距离为（ ）A ．BC ．4D ．5【答案】B【分析】作出点A 关于直线的对称点，连接，利用光线关于直线对称得到即为y x =()2,1C CB CB光线经过路程的最小值，再利用两点间的距离公式进行求解. 【详解】作出点A 关于直线的对称点， y x =()2,1C 连接，交直线于点， CB y x =M 则即为光线经过路程的最小值，CB=此即光线从A 到B . 故选：B ．5．若直线与直线的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是1:2l y kx k =++2:24l y x =-+（ ） A ．B ． 23k >-2k <C ． D ．或223k -<<23k <-2k >【答案】C【分析】求出两直线的交点坐标，再根据交点在第一象限建立不等式组求解.【详解】方法一：由直线，有交点，得．由，得，即交点坐标1l 2l 2k ≠-224y kx k y x =++⎧⎨=-+⎩22642k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩为．又交点在第一象限内，所以，解得． 264,22k k k k -+⎛⎫⎪++⎝⎭202642kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩223k -<<方法二：由题意知，直线过定点，斜率为k ，直线与x 轴、y 轴分别交于1:2(1)l y k x -=+(1,2)P -2l 点，．若直线与的交点在第一象限内，则必过线段AB 上的点（不包括点A ，(2,0)A (0,4)B 1l 2l 1l B ）．因为，，所以．故A ，B ，D 错误.23PA k =-2PB k =223k -<<故选：C ．6．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） 2260x y x +-=()1,2A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】整理圆的方程，写出圆心坐标，利用圆的性质，以及两点之间距离公式，结合勾股定理，可得答案.【详解】整理为，故圆心为，半径为， 2260x y x +-=22(3)9x y -+=()3,0A 3r =设，故当与圆的弦垂直时，弦最短， ()1,2B AB=由垂径定理得：. 22==故选：B7．已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为()()22124x y +++=10ax by ++=0a >0b >12a b+（ ） A ．B ．9C ．4D ．852【答案】B【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.()210,0a b a b +=>>【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，()()22124x y +++=()1,2--()1,2--10ax by ++=因此，即，210a b --+=()210,0a b a b +=>>∴， ()1212222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时取“=”， 22b a a b =13a b ==所以的最小值为9. 12a b+故选：B.8．若圆上至少有3个点到直线的距离为，则k 的取值范226:80M x y x y +-+=():13l y k x -=-52围是（ ）A ．B ．)(⎡⋃⎣[]3,3-C ．D ．(),-∞⋃+∞(),-∞+∞【答案】C【分析】圆M 先成化标准方程求得圆心，半径为5，则至少有3个点到直线l 的距离为()3,4M -52等价于圆心到直线l 的距离不超过，用点线距离公式列式求解即可 52【详解】圆M 的标准方程为，则圆心，半径为5， ()()222345x y -++=()3,4M -由题意及圆的几何性质得，圆心到直线的距离不超过， ()3,4M -():13l y k x -=-52，解得，即 52≤23k ≥k ≥k ≤故选：C二、多选题9．使方程表示圆的实数a 的可能取值为（ ） 2222210x y ax ay a a +-+++-=A ． B ．0 C ． D ．2-1-34【答案】BC【分析】配方后，利用半径的平方大于0，得到不等式，解不等式求出实数a 的取值范围. 【详解】，配方得： 2222210x y ax ay a a +-+++-=，()2223124a x y a a a ⎛⎫-++=--+ ⎪⎝⎭要想表示圆，则，23140a a -->+解得：， 223a -<<故选：BC10．已知圆，下列结论中正确的有（ ） ()()224x a y b -+-=A ．若圆过原点，则 B ．若圆心在轴上，则224a b +=y 0b =C ．若圆与轴相切，则 D ．若圆与轴均相切，则y 2a =±,x y 2a b ==【答案】ACD【分析】将原点代入圆方程可知A 正确；由圆心为可知B 错误；由圆心坐标和半径可确定(),a b CD 正确.【详解】对于A ，若圆过原点，则，即，A 正确；()()22004a b -+-=224a b +=对于B ，由圆的方程知其圆心为，若圆心在轴上，则，B 错误； (),a b y 0a =对于C ，由圆的方程知其圆心为，半径；若圆与轴相切，则，(),a b 2r =y 2a r ==，C 正确；2a ∴=±对于D ，若圆与轴均相切，由C 知：，D 正确. ,x y 2a b ==故选：ACD.11．下列结论正确的有（ ）A ．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 ()()1,1,4,2AB ():2l y k x =-AB k []1,1-B ．点关于的对称点为()0,21yx =+()1,1C ．直线方向向量为，则此直线倾斜角为(30︒D ．若直线与直线平行，则或2 :210l x ay ++=2:210l ax y ++=2a =-【答案】BC【分析】易得直线过定点，作出图象，结合图象即可判断A ；设点关于的对l ()2,0C ()0,21y x =+称点为，则，从而可判断B ；根据直线的方向向量求得直线的斜率，即可得直线(),a b 2112122b ab a -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩的倾斜角，即可判断C ；根据两直线平行的公式即可判断D. 【详解】选项A ，作图如下：直线过定点，若与线段相交，则， l ()2,0C AB 20011,14221BC AC k k --====---直线的斜率，故A 错误；l ()(),11,k ∈-∞-+∞ 选项B ，设点关于的对称点为，()0,21y x =+(),a b则，解得，2112122b ab a -⎧⋅=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩1a b ==所以点关于的对称点为，故B 正确；()0,21y x =+()1,1选项C ，因为方向向量为，倾斜角的正切为，又，(tan α=[)0,πα∈所以倾斜角为，故C 正确；30︒选项D ，由两直线平行可得，则，故D 错误；2222a a ⎧=⎨≠⎩2a =-故选：BC.12．已知实数x ，y 满足方程，则下列说法正确的是（ ） 224240x y x y +--+=A ．的最大值为 B ．的最小值为0 yx 43yxC ．D ．的最大值为22xy+1+x y ＋3【答案】ABD 【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A ，B ，根据的几何意义y x y x22x y +求其最值，判断C ，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.【详解】由实数x ，y 满足方程可得点在圆上，作其224240x y x y +--+=(,)x y ()()22211x y -+-=图象如下，因为表示点与坐标原点连线的斜率， yx(,)x y设过坐标原点的圆的切线方程为，解得：或， y kx =10k =43k =，，，A ，B 正确； 40,3y x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦max 43y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭min0y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为22x y +(,)x y (,)x y ，+1OC所以最大值为22x y +()21OC+所以的最大值为C 错，22xy +6+因为可化为， 224240x y x y +--+=()()22211x y -+-=故可设，，2cos x θ=+1sin y θ=+所以，2cos 1sin 34x y πθθθ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭＋所以当时，即取最大值，最大值为，D 对， 4πθ=21x y ==x y ＋3故选：ABD.三、填空题13．已知、和三点共线，则实数______． ()1,3A ()4,1B ()1,3C a +-=a 【答案】9【分析】利用直线斜率的定义列方程即可求得实数a 的值. 【详解】由题意可得，即 AB AC k k =313(3)141(1)a ---=--+解之得 9a =故答案为：914．已知两直线与，则与间的距离为______．1:60l x y -+=2:3320l x y -+-=1l 2l 【分析】先将两平行直线方程x 的系数化成相等，然后由平行直线的距离公式直接可得. 【详解】将直线的方程化为， 1l 33180x y -+-=则与间的距离1l 2ld15．已知点是直线上的点，点是圆上的点，则的最小值P 3420x y +-=Q 22(1)(1)1x y +++=PQ 是___________. 【答案】## 450.8【分析】由题意可得的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可 PQ 【详解】圆的圆心为，半径为1， 22(1)(1)1x y +++=(1,1)--则圆心到直线的距离为3420x y +-=， 95d 所以的最小值为，PQ 94155-=故答案为：4516．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.:420l kx y k -++=y =k 【答案】31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】先求出直线所过定点，再将曲线，可知其为l (2,4)A -y =224(0)x y y +=≥半圆，结合图像，即可求出的取值范围.k 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， l (2)40x k y +-+=l (2,4)A -又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如y =224(0)x y y +=≥(0,0)图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，l (0,0)2d 34k =-设，则， (2,0)B 40122AB k -==---由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即.l y =314k -≤<-31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭故答案为：.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭四、解答题17．已知直线l 经过直线x ＋3y -4＝0与直线3x ＋4y -2＝0的交点P ，且垂直于直线x -2y -1＝0． (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)； 220x y ++=(2)1.【分析】（1）解方程组求出点P 的坐标，由垂直条件求出直线l 的斜率，并由点斜式写出方程作答. （2）求出直线l 与二坐标轴的交点坐标即可求出三角形面积作答.【详解】（1）依题意，由，解得，则，3403420x y x y +-=⎧⎨+-=⎩22x y =-⎧⎨=⎩(2,2)P -因为直线l 与直线x -2y -1＝0垂直，设直线l 的斜率为k ，则，解得k ＝-2， 112k ⨯=-所以直线l 的方程为，即2x ＋y ＋2＝0.()222y x -=-+（2）直线l ：2x ＋y ＋2＝0与x 轴的交点为，与y 轴的交点为， (1,0)-(0,2)-所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积．11212S =⨯⨯=18．求适合下列条件的直线的方程：l (1)直线在两坐标轴上的截距相等，且经过点；l ()4,3P (2)直线经过点且与点和点的距离之比为. l ()2,5P -()3,2A -()1,6B -1:2【答案】(1)或 340x y -=70x y +-=(2)或 30x y ++=17290x y +-=【分析】（1）分别讨论截距存在和不存在两种情况，利用正比例函数和直线的截距式方程，带点求参即可得到直线方程；（2）分别讨论斜率存在和不存在两种情况，利用点斜式方程和点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）若直线过原点，设直线的方程为，代入点，可得， l l y kx =()4,3P 34k =则直线的方程为， l 340x y -=若直线不过原点，可设直线的方程为，代入点，可得， l l ()10x ya a a+=≠()4,3P 7a =则直线的方程为，l 70x y +-=综上所述，直线的方程为或； l 340x y -=70x y +-=（2）若直线的斜率不存在，直线的方程为， l l 2x =此时，点到直线的距离分别为，不合乎题意；A B ､l 13､若直线的斜率存在，设直线的方程为，即.l l ()52y k x +=-250kx y k ---=，整理得，解得或. 12218170k k ++=1k =-17k =-综上所述，直线的方程为或，即或.l 30x y ---=173450x y --+-=30x y ++=17290x y +-=19．已知方程表示圆，其圆心为.()2222410621190x y kx k y k k +++++++=C (1)求圆心坐标以及该圆半径的取值范围；r (2)若，线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方2k =-AB A ()0,4B C AB M 程.【答案】(1)()5,25,0,2k k ⎛⎤--- ⎥⎝⎦(2)223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】（1）利用配方法，整理圆的一般方程为标准方程，根据标准方程的成立条件，可得答案； （2）设出动点坐标，利用中点坐标公式，表示点的坐标，代入圆方程，可得答案.B 【详解】（1）方程可变为：()2222410621190x y kx k y k k +++++++=由方程表示圆， 222()(25)6x k y k k k ++++=--+所以，即得，260k k --+>32k -<<.圆心坐标为. 50,2r ⎛⎤∴== ⎥⎝⎦(),25k k ---（2）当时，圆方程为：，2k =-C 22(2)(1)4x y -++=设，又为线段的中点，的坐标为则，(),M x y M AB A ()0,4()2,24B x y -由端点在圆上运动，B C 即 22(22)(23)4x y ∴-+-=223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭线段中点的轨迹方程为. ∴AB M 223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭20．已知圆C 的圆心在直线x +y ﹣2＝0上，且经过点A （4，0），B （2，2）．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l 过点P （3，4）与圆交于M ，N 两点，且弦长l 的方程．||MN =【答案】(1)()2224x y -+=(2)x ﹣3＝0或15x ﹣8y ﹣13＝0【分析】（1）求得圆心和半径，由此求得圆的方程.（2）根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，结合弦长来求得直线的方程.l l 【详解】（1）由题意可得：，AB 中点坐标为M （3，1），则直线AB 的垂直平分线20124AB k -==--方程为y ﹣1＝x ﹣3，与直线x +y ﹣2＝0联立可得两直线的交点坐标为（2，0），即所求圆的圆心坐标为（2，0），圆的半径r ＝4﹣2＝2，圆的方程为：．()2224x y -+=（2）设圆心到直线的距离为d ，则，解得d ＝1，很明显直线斜率不存在时，直线=x ﹣3＝0满足题意，当直线斜率存在时，设直线方程为：y ﹣4＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k +4＝0，，解得，则直线方程为，即15x ﹣8y ﹣13＝0， 1=158k =151534088x y --⨯+=综上可得，直线方程为x ﹣3＝0或15x ﹣8y ﹣13＝0．21．如图，某海面上有O ，A ，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处．以O 为坐标原点，O的正东方向为x 轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C 经过O ，A ，B 三点．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?【答案】(1)；2220600x y x y +--=(2)该船有触礁的危险．【分析】（1）根据给定条件，求出点A ，B 的坐标，设出圆C 的一般方程，利用待定系数法求解作答.（2）求出船D 的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.【详解】（1）依题意，因A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛， ()40,40A 又B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处，则，()20,0B 设过O ，A ，B 三点的圆C 的方程为，220x y Dx Ey F ++++=则，解得，222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩20600D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以圆C 的方程为．2220600x y x y +--=（2）因船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，则，(20,D --而船D 沿着北偏东45°方向行驶，则船D 的航线所在直线l 的斜率为1，直线l的方程为， 200x y -+-=由（1）知，圆C 的圆心为，半径()10,30C r =则圆心C 到直线l 的距离，d d r <所以该船有触礁的危险. 22．已知直线与圆.:(2)(12)630l m x m y m ++-+-=22:40C x y x +-=(1)求证：直线l 过定点，并求出此定点坐标；(2)设O 为坐标原点，若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，ON 的斜率分别为，，则1k 2k 是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．12k k +【答案】(1)证明见解析，定点(0,3)(2)是定值，定值为43【分析】（1）由已知可得根据过定点(2)(12)630,m x m y m ++-+-=(23)(26)0.x y m x y +-+-+=的直线系方程计算方法可得l 恒过定点(0,3).（2）设出直线的方程.联立直线与圆的方程，利用韦达定理求解进而即可得结果.l 【详解】（1）由直线得， :(2)(12)630l m x m y m ++-+-=(26)(23)0m x y x y -+++-=联立，解得， 260230x y x y -+=⎧⎨+-=⎩03x y =⎧⎨=⎩直线l 恒过定点.∴(0,3)（2）圆的圆心为，半径为，直线过点，22:40C x y x +-=()2,02l ()0,3直线l 与圆C 交于M ，N 两点，则直线l 的斜率存在，设直线l 方程为，3y kx =+联立，得， 22340y kx x y x =+⎧⎨+-=⎩22(1)(64)90k x k x ++-+=设，，则，， 11(,)M x y 22(,)N x y 122641k x x k -+=-+12291x x k =+ 12121212121212333()3(46)422.93y y kx kx x x k k k k k x x x x x x +++-+=+=+=+=+=是定值，定值为 12k k ∴+4.3。
江西省2022学年高二数学上学期第一次月考试题文
高二数学上学期第一次月考试题文一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在中,,,,则A等于A. B. C. 或 D. 或2.已知为等差数列,且, 则公差( )A. B. C. D. 23.满足条件,,的的个数是A. 1B. 2C. 无数个D. 不存在4.已知等差数列的前10项和为165,,则A. 14B. 18C. 21D. 245.设、分别为等差数列与的前n项和,若等于A. B. C. D.6.已知数列的前n项和为,当时,．A. 11B. 20C. 33D. 357.在等差数列中,,则的值为( )A. 2B. 3C. 4D. 58.按复利计算利率的储蓄,存入银行2万元,如果年息,5年后支取,本利和应为人民币( )万元．A. B. C. D.9.在中,若,则的形状为A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形10.在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,如果a,b,c成等差数列,B,ABC的面积为,那么b等于A. B. C. D.11.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是A. 174斤B. 184斤C. 191斤D. 201斤12.已知数列是1为首项,2为公差的等差数列,是1为首项,2为公比的等比数列,设,,,则当时,n的最大值是( )A. 9B. 10C. 11D. 12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等差数列中,若,则 ______ ．14.在中,,,,则________．15.已知数列的前n项和为,若,则的值为______．16.已知的面积为,则的周长为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设等差数列满足．求数列的通项公式；求数列的前n项和的最大值．18.已知数列满足递推关系式,其中．求数列的通项公式求数列的前n项和．19.在中,内角的对边分别是,已知。
贵溪市实验中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题含答案
江西省贵溪市实验中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（理）试题含答案贵溪市实验中学高中部2020—2021学年第一学期第一次月考高二(理科)数学试卷考试时间:120分钟 总分：150 命题人：一、 选择题:本大题共12小题。
每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的。
1、设等差数列｛}的前n 项和为n S ，若515S =,则3a =（ ） A. 3 B 。
4 C. 5 D 。
6 2．若a b c >>，且0a b c ++=,则（ ） A ．ab bc > B ．ac bc >C ．ab ac >D ．a b c b >3．若a 和b 是异面直线，a 和c 是平行直线，则b 和c 的位置关系是（ ）A ．平行B ．异面C ．异面或相交D ．相交、平行或异面4、在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等差数列，sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，则ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形5、从平面α外一点P 引直线与α相交，使P 点与交点的距离等于1,这样的直线（ ）A ．仅可作2条B ．可作无数条C ．仅可作1条D ．可作1条或无数条或不存在6、已知圆锥的母线长是10,侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）。
A ．B ． 100πC ．D ． 50π7．已知数列{}n a 为各项均不相等的等比数列，其前n 项和为n S ，且23a ，32a ，4a 成等差数列，则 ）A ．3B．1 D8、关于空间中直线与平面之间的关系描述不正确的是（ ) A ．b a a //,α⊥⇒α⊥b B ．αα⊥⊥b a ,⇒b a // C ．α⊂b b a ,//⇒α//a D ．αβα⊂a ,//⇒β//a9、在ABC 中，角A , B ， C 的对边分别为a , b ， c ，且75A =︒， 60B =︒，则b =（)．A.B 。
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江西省南昌市进贤一中2019-2021学年高二数学上学期第一次月考试题第一部分 （选择题)一、单选题（每小题5分，共60分)1．若三点()()()1,,5,7,10,12A b B C 在同一直线上，则实数b 等于（ ） A ．11- B ．11 C ．3- D ．32．已知直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是（ ） A ．3210x y +-= B ．3270x y ++= C ．2350x y -+= D ．2380x y -+= 3．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切4．已知椭圆 的两个焦点为 ,且 ,弦过点 ,则 的周长为( ) A ． B ．C ．D ．5．已知圆，圆与关于直线对称，则圆的方程为（ ） A ． B ． C ．. D ．6．若,x y 满足约束条件4430y xx y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则1yx +的取值范围是（ ）A ．5,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．3,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．到直线的距离为2的点的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8．一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射与圆相切，则反射光线所在的直线的斜率为（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或9．设,m n R ∈，若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则AOB ∆面积的最小值为（ ） A ．12B ．2C ．3D ．410．若直线220(0)ax by a b +-=≥>，始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则ba 21+的最小值为 （ ） A 、1 B ．322+ C ．4 D ．611．直线y x b =+与曲线21x y =-有且只有一个交点，则b 的取值范围是（ ） A ．2b ±=B ．11b -≤≤C ．1b 1-≤< 或2b =-D ．22b -≤≤12．设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立. 如果实数满足不等式,那么的取值范围是( )A ．(9, 49)B ．(13, 49)C ．(9, 25)D ．(3, 7)第二部分 （非选择题)二、填空题（每小题5分，共20分)13．已知1F （-3，0），2F （3，0），点M 满足1021=+MF MF ,则M 的轨迹方程为 ▲ 14．设不等式组 ，其中，若的最小值为，则．15．已知直线l 经过点()1,0P 且与以()2,1A ， ()3,2B -为端点的线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____．16．若0,0a b >>，4a b ab +=，在以(),a b 为圆心，a b +为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程为______三、解答题17（10分）．已知直线，.(1)若，求的值； (2)若，求的值.18（12分）．（1）求过点(3,4)且与两坐标轴截距相等的直线l 的方程；（2）已知正方形ABCD 的中心为直线10x y -+=和直线220x y ++=的交点，且AB 边所在直线方程为320x y +-=，求CD 边所在直线的方程.19（12分）．已知圆C 的圆心在直线x 30y -=上，且圆C 与y 轴相切，若圆C 截直线y x =得弦长为7，求圆C 的方程.20（12分）．已知圆4)4()3(:22=-+-y x C 和直线043:=-+-k y kx l ， （1）求证：不论k 取什么值，直线和圆总相交；（2）求k 取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求出最短弦的长；21（12分）．已知圆22:(1)(2)4C x y ++-=,O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线， 设切点为M ．（1）若点P 运动到(1,3)处，求此时切线的方程； （2）求满足条件PM PO =的点P 的轨迹方程．22（12分）．已知曲线C ：（1）当为何值时，曲线C 表示圆；（2）在（1）的条件下，设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．数学第一次月考参考答案1．D 2．A 3． B 4． D 5．B 6．B 7．D 8．D 9．C 10．D 11．C由题意可知曲线21x y =-，即()2210x y x +=≥表示一个再y 轴右侧的单位圆的一半，再利用数形结合找到两图象只有一个公共点时b 的范围即可. 【详解】由题意可知曲线21x y =-，即()2210x y x +=≥表示一个再y 轴右侧的单位圆的一半，如图所示.当直线y x b =+经过(0,1)时，1b =； 当直线y x b =+经过(0,-1)时，1b =-； 当直线y x b =+与半圆相切时，有：12b =，解得2b =-或2（舍）.由图可知，直线y x b =+与曲线21x y =-有且只有一个交点时，11b -<≤ 2b =-. 12．A 由得，又，∴，∵是上的增函数，∴＜， ∴. 结合图象知为圆内的点到原点距离，故.∴.13．2212516x y += 14． 15．][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭16．()()223681x y -+-= 试题分析：444444159111a a ab ab b a b a a a a a -++=∴=∴+=+=-++≥---，当3a =等号成立，此时6,9b r ==，所以圆的方程为()()223681x y -+-= 考点：1.圆的方程；2.均值不等式求最值 17．（1）；（2）（1）利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得1×（m ﹣2）+m ×3＝0，由此求得m 的值．（2）利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得，由此求得得m 的值．【详解】（1）∵直线l 1：x +my +6＝0，l 2：（m ﹣2）x +3y +2m ＝0， 由l 1⊥l 2 ，可得 1×（m ﹣2）+m ×3＝0，解得．（2）由题意可知m 不等于0, 由l 1∥l 2 可得，解得 m ＝﹣1．18．(1) 430x y -=或70x y +-= (2) 340x y ++= 【详解】（1）当截距为0时，设直线方程为y kx = ，代入点()3,4可得43k =所以直线方程为4y 3x =，即430x y -= 当截距不为0时，设直线方程为1x ya a+=代入点()3,4可得7a =所以直线方程为177x y+=，即70x y +-= 综上所述，直线l 的方程为430x y -=或70x y +-=（2）由10220x y x y -+=⎧⎨++=⎩，得1x y =-⎧⎨=⎩即中心坐标为()1,0- ∵正方形AB 边所在直线方程为320x y +-=∴可设正方形CD 边所在直线方程为()302x y m m ++=≠- ∵正方形中心到各边距离相等，=∴4m =或2m =-（舍） ∴CD 边所在直线方程为340x y ++= 19．313a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或313a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 解：设圆方程为()()222x a y b r -+-=，则2230a b r a r ⎧⎪-=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⇒ 313a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 或313a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，20．（1）点（4，3）在圆内；（2）1=k ，最短弦22 21．（1）1x =或34150x y +-=；（2）2410x y -+=．试题分析：（1）当直线的斜率不存在时，易求得直线方程为1x =，当直线的斜率存在时，把直线方程设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于半径，得关于斜率k 的方程，解方程得斜率k 的值，根据点斜式得直线方程；（2）直接用坐标表示条件PM PO =，用直接法求动点轨迹，化简整理即得动点的轨迹方程．试题解析：（1）当直线的斜率不存在时，此时直线方程为1x =，C 到直线的距离2d r ==，满足条件；当直线的斜率存在时，设斜率为k ，得直线的方程为3(1)y k x -=-，则2=，解得34k =-． 所以直线方程33(1)4y x -=--，即34150x y +-=． 综上，满足条件的切线方程为1x =或34150x y +-= （2）设(,)P x y ，则22222(1)(2)4PMPC MC x y =-=++--，222PO x y =+，∵PM PO =，∴2222(1)(2)4x y x y ++--=+，整理，得2410x y -+=， 故点P 的轨迹方程为2410x y -+=，考点：1、圆的切线方程；2、直接法求动点的轨迹方程．22．（1）；（2）存在实数使得以为直径的圆过原点,.试题分析：(1)根据圆的一般式可知,,可得范围;(2)假设存在,则有,设出两点坐标,可得.根据直线与圆的位置关系是相交,所以联立后首先根据初步判断的范围,而后利用根与系数的关系用表示出,将其带入解之,如有解且在的范围内,则存在,否则不存在.（1）由，得.（2）假设存在实数使得以为直径的圆过原点，则，所以. 设，则有,即.由得，，即，又由（1）知，故根据根与系数的关系知:,故存在实数使得以为直径的圆过原点，考点：圆的一般方程的判断,直线与圆的位置关系的应用,的使用.。