直线与直线方程经典例题

必修2 第二章 解析几何初步

第一节：直线与直线方程（王建明）

一、直线的倾斜角和斜率

（1）倾斜角定义：平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，

把__x 轴(正方向)_按__逆时针__方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，

叫作直线l 的倾斜角。（0°≤α<180°）

（2）斜率k=tan α=1

212x x y y -- （0°≤α＜180°），当α=90时，k 不存在。（两种求法，注意21x x =的情况）（3）函数y=tanx 在)90,0[0增加的，在)180,90(00也是增加的。

例1：过点M （-2，m ）,N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 。

例2：过两点A （m 2+2,m 2-3）,B （3-m-m 2,2m ）的直线l 的倾斜角为45°求m 的值。

例3：已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k

的取值范围。

例4：已知a ＞0,若平面内三点A （1，—a ），B （2，a 2）,C(3,a 3)共线，则a 值为 。 练习：

1经过点P (2，m )和Q (2m ，5)的直线的斜率等于12

，则m 的值是( B )

A ．4

B ．3

C ．1或3

D ．1或4 变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ--

2. 已知直线l 过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．

点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案： ⎝ ⎛⎦

⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围．

答案：⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞) 二、两直线的平行与垂直

1.平行的判定：

2. 垂直的判定：

例（1）l 1 经过点M （-1，0）, N (-5,-2)，l 2经过点R （-4,3），S （0,5），l 1与l 2是否平行？

（2）l 1 经过点A （m ，1）, B (-3,4), ）l 2 经过点C （1，m ）, D (-1, m+1),确定m 的值，使l 1//l 2。

练习：

的值平行，求实数与直线已知直线a ay x a l ay x l 01)13(:012:.121=---=-+

的值平行，求实数与直线已知直线a y a x a l ay x a l 03)2()2(:013)2(:.221=-++-=+++

例（1） l 1的倾斜角为45，l 2经过点P （-2,-1），Q （3,-6）.

例（2）已知点M （2,2）和N （5，-2），点P 在x 轴上，且∠MPN 为直角，求点P 的坐标。

练习：

1.求a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？

答案：a=-1

2.求过点P (1，－1)，且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．

答案：3x －2y －5＝0.

三、直线的方程

1、点斜式: y-y 0=k (x －x 0) (斜率存在，可为0)

1、 斜截式： y=kx +b (b 是与y 轴的交点) (斜率存在，可为0)

2、 两点式: 121y y y y --=1

21x x x x -- (斜率存在，不能为0) 3、 一般式：A x +B y +C=0 (任意直线)

4、 截距式：

a x +b

y =1 (斜率存在且不过原点且不为0) 典型例题 表示

b ＋kx ＝y 的直线直线都可以用b)，A(0．经经过定D 1表表

by x 可以用方程．不经不经过原点的直C 表示

)y －)(y x －(x ＝)x －)(x y －(y 程 的直线直线都可以

)y ，(x P 、)y ，(x P ．经经过任意两个不同B 表示

)x －k(x ＝y －y 的直线直线都可以用)y ，(x P ．经经过定A )

(四种种法中正确的1.下12112122211100000=+a 面例 例2.求过定点P (2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．

例3.已知△ABC 的顶点A (1，－1)，线段BC 的中点为D (3，2

3)．

(1)求BC 边上的中线所在直线的方程；

(2)若边BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求BC 所在直线的方程．

例4.方程(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6满足下列条件，请根据条件分别确定实数m 的值．

(1)方程能够表示一条直线；（答案：m 1-≠）

(2)方程表示一条斜率为－1的直线．（答案：m 2-=）

例5.直线l 的方程为(a －2)y ＝(3a －1)x －1(a ∈R)．

(1)求证：直线l 必过定点；（答案：(15，35

)） (2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（答案：5x ＋5y －4＝0）

(3)若直线l 不过第二象限，求实数a 的取值范围．（答案：分斜率存在与不存在）

练习：

1.若直线7x ＋2y －m ＝0在两坐标轴上的截距之差等于5，则m ＝( )

A ．14

B ．－14

C ．0

D ．14或－14

2、直线过点（3,2），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

3、经过点A （-1,8），B （4，-2）的直线方程。

4、已知A(1,2), B （3,1），求线段AB 的垂直平分线方程。

5、一条光线从点P （6,4）射出，与x 轴相交于点Q （2，0）经x 轴反射，求入射光线和反射光线所在的直线方程。

四、直线的交点坐标与距离公式

1、求两条直线的交点（联立方程组）

例（1）若三条直线：2x+3y+8=0,x-y-1=0 和x +ky +k+

21=0相交于一点，则k=

（2）已知直线l 1：x+y+2=0, l 2：2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x +y -1=0平行的直线l 的方程。

2、 两点间的距离公式︱P 1P 2︱= 212212)()(y y x x -+-

例（1）已知点A （a,-5）与B （0,10）间的距离是17，求a 的值。

例（2）已知点A （-1,2），B （2，7），在x 轴上求一点P ，使︱PA ︱=︱PB ︱，并求的 ︱PA ︱值。

例.直线l 的方程为(a －2)y ＝(3a －1)x －1(a ∈R)．

(1)求证：直线l 必过定点；（答案：(15，35

)） (2)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（答案：5x ＋5y －4＝0）

(3)若直线l 不过第二象限，求实数a 的取值范围．（答案：分斜率存在与不存在）

五、点到直线的距离