matlab《数字图像处理》第8章 傅立叶变换
matlab傅里叶变换
matlab傅里叶变换傅里叶变换（FourierTransform，简称FT）是一种将时间信号转换为频率信号的数学技术，通常用于分析时域信号的周期性和非周期性特征。
傅里叶变换把某一时间序列上的所有信号表示为存在不同频率下的幅度和相位量，从而使时间域中延时，普通滤波器都无法滤除的元素，成为在频域中可以通过简单的滤波器来实现的。
Matlab是一种高级技术计算语言，拥有广泛的应用和优异的计算性能，其具有许多内置的函数，可用于帮助用户完成各种复杂的数学任务，其中之一就是傅里叶变换的实现。
Matlab的傅里叶变换功能提供了一些很有用的算法可以帮助设计系统完成各种高级建模和分析。
例如，经典的FFT（快速傅里叶变换）算法，可以帮助设计者实现快速、准确的频域分析；非经典的傅里叶变换，可以更好地提取出实际信号中存在的频率分量。
Matlab还提供了一些其他特殊的傅里叶变换，如理论变换、傅立叶变换和谱比变换，其中可以实现复杂的信号测量和建模。
在实际的应用中，Matlab的傅里叶变换功能可以帮助用户解决许多复杂的信号处理和建模问题。
例如，在现代无线通信领域，FFT 算法可以用来实现多径衰落的测量；在航空航天工程中，分析某个特定的复杂信号时，傅立叶变换可以帮助找出其中的模式；而在计算机视觉技术中，谱比变换是用来识别图像中特定的模式等。
此外，Matlab也提供了一些用于傅里叶变换的工具，以帮助用户更好地实现复杂的信号处理问题。
例如，如果用户想使用傅立叶变换来进行信号分析，则可以借助于Matlab提供的傅立叶变换函数；如果用户想使用FFT算法来实现某种复杂的频域建模，则可以借助于Matlab提供的FFT函数；此外，还可以借助Matlab提供的其他内置函数来实现更复杂的信号处理问题，比如用来实现抽取、变量组合、数据滤波等等。
总之，Matlab提供的傅里叶变换功能可以极大地提高信号处理和建模的效率，而其内置的各种函数则使其应用更加广泛。
matlab自行编写fft傅里叶变换
傅里叶变换（Fourier Transform）是信号处理中的重要数学工具，它可以将一个信号从时域转换到频域。
在数字信号处理领域中，傅里叶变换被广泛应用于频谱分析、滤波、频谱估计等方面。
MATLAB作为一个功能强大的数学软件，自带了丰富的信号处理工具箱，可以用于实现傅里叶变换。
在MATLAB中，自行编写FFT（Fast Fourier Transform）的过程需要以下几个步骤：1. 确定输入信号我们首先需要确定输入信号，可以是任意时间序列数据，例如声音信号、振动信号、光学信号等。
假设我们有一个长度为N的信号x，即x = [x[0], x[1], ..., x[N-1]]。
2. 生成频率向量在进行傅里叶变换之前，我们需要生成一个频率向量f，用于表示频域中的频率范围。
频率向量的长度为N，且频率范围为[0, Fs)，其中Fs 为输入信号的采样频率。
3. 实现FFT算法FFT算法是一种高效的离散傅里叶变换算法，它可以快速计算出输入信号的频域表示。
在MATLAB中，我们可以使用fft函数来实现FFT 算法，其调用方式为X = fft(x)。
其中X为输入信号x的频域表示。
4. 计算频谱通过FFT算法得到的频域表示X是一个复数数组，我们可以计算其幅度谱和相位谱。
幅度谱表示频率成分的强弱，可以通过abs(X)得到；相位谱表示不同频率成分之间的相位差，可以通过angle(X)得到。
5. 绘制结果我们可以将输入信号的时域波形和频域表示进行可视化。
在MATLAB 中，我们可以使用plot函数来绘制时域波形或频谱图。
通过以上几个步骤，我们就可以在MATLAB中自行编写FFT傅里叶变换的算法。
通过对信号的时域和频域表示进行分析，我们可以更好地理解信号的特性，从而在实际应用中进行更精确的信号处理和分析。
6. 频谱分析借助自行编写的FFT傅里叶变换算法，我们可以对信号进行频谱分析。
频谱分析是一种非常重要的信号处理技术，可以帮助我们了解信号中所包含的各种频率成分以及它们在信号中的能量分布情况。
matlab中进行傅里叶变换
matlab中进行傅里叶变换# MATLAB中的傅里叶变换及应用## 引言傅里叶变换是信号处理领域中一项重要的数学工具，广泛应用于信号分析、图像处理、通信等领域。
MATLAB作为一种高效的科学计算软件，提供了强大的傅里叶变换工具，使得用户能够方便地进行信号频谱分析和处理。
本文将介绍MATLAB中傅里叶变换的基本概念、函数使用方法，并结合实例展示其在信号处理中的应用。
## 1. 傅里叶变换的基本概念### 1.1 时域与频域傅里叶变换是将时域信号转换到频域的一种数学工具。
在时域中，信号是关于时间的函数；而在频域中，信号则是关于频率的函数。
通过傅里叶变换，我们能够将信号在时域和频域之间进行转换，从而更好地理解信号的特性。
### 1.2 连续与离散傅里叶变换MATLAB中的傅里叶变换涵盖了连续和离散两种情况。
对于连续信号，可以使用`fft`函数进行变换；对于离散信号，可以使用`fft`函数进行快速傅里叶变换。
这两种情况下，变换的结果分别为连续频谱和离散频谱。
## 2. MATLAB中的傅里叶变换函数MATLAB提供了丰富的傅里叶变换函数，包括`fft`、`ifft`、`fft2`等。
这些函数可以适用于不同类型的信号，如一维信号、二维信号等。
以下是其中一些常用函数的简要介绍：### 2.1 `fft`函数`fft`函数用于计算一维离散傅里叶变换。
其基本语法为：```matlabY = fft(X)```其中，`X`为输入的离散信号，而`Y`则为变换后的频谱。
### 2.2 `ifft`函数`ifft`函数用于计算一维离散傅里叶反变换。
其基本语法为：```matlabX = ifft(Y)```其中，`Y`为输入的频谱，而`X`则为反变换后的信号。
### 2.3 `fft2`函数对于二维信号，可以使用`fft2`函数进行二维离散傅里叶变换。
其基本语法为：```matlabY = fft2(X)```同样，`X`为输入的二维信号，而`Y`则为变换后的二维频谱。
matlab实现傅里叶变换
matlab实现傅里叶变换傅里叶变换是一种将一个连续时间函数（或离散时间函数）分解成基函数的超级工具。
它的用途非常广泛，例如在信号处理、音频处理、图像处理、机器学习等领域都有重要的应用。
在这篇文章中，我将介绍使用 MATLAB 实现傅里叶变换的基本步骤。
一、MATLAB 傅里叶变换函数在 MATLAB 中，我们可以使用 fft 函数实现傅里叶变换。
FFT 表示快速傅里叶变换，是一种高效的算法，可以在很短的时间内计算出信号的频域表示。
下面是 fft 函数的基本语法：X = fft(x)其中 x 是输入信号，X 是输出信号的频域表示。
由于傅里叶变换是一个复杂的计算过程，输入信号需要满足一些条件。
这些条件将在下一节中讨论。
在进行傅里叶变换之前，我们需要确保输入信号满足一些条件，以便 fft 函数可以正确地执行。
这些条件包括以下要求：1. 信号长度为 2 的正整数次幂在傅里叶变换中，信号长度通常是 2 的正整数次幂，例如 2、4、8、16、32 等等。
如果信号长度不是 2 的正整数次幂，则 fft 函数将自动进行填充。
2. 离散时间信号需要零填充如果输入信号是离散时间信号，我们需要使用零填充的方法将信号长度补齐至 2 的正整数次幂。
例如，如果我们的离散时间信号包含 100 个样本，我们需要将其补齐至128 个样本（下一个最小的 2 的正整数次幂）。
3. 连续时间信号需要采样如果输入信号是连续时间信号，我们需要对其进行采样，以便将其转换为离散时间信号。
采样频率需要高于信号的最高频率，这样才能避免混叠现象的发生。
下面是一个简单的示例，其中我将展示如何使用 MATLAB 实现傅里叶变换。
假设我们有一个正弦波信号，频率为 10 Hz，并将其采样为 100 个样本。
我们可以定义该信号如下：Fs = 100; % 采样频率T = 1/Fs; % 采样周期L = 100; % 信号长度t = (0:L-1)*T; % 时间向量f = 10; % 信号频率x = sin(2*pi*f*t); % 正弦波信号我们可以使用 plot 函数绘制该信号：plot(t,x)xlabel('Time (s)')ylabel('Amplitude')title('Original Signal')现在我们可以将该信号传递给 fft 函数，并将频域表示存储在 X 变量中：由于傅里叶变换输出的是一个复数数组，因此我们需要使用 abs 函数计算幅度谱并将其绘制出来：P2 = abs(X/L);P1 = P2(1:L/2+1);P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);f = Fs*(0:(L/2))/L;plot(f,P1)xlabel('Frequency (Hz)')ylabel('Amplitude')title('Frequency Spectrum')幅度谱显示了信号在频域中的分布情况，显示了信号的频率成分及其振幅。
matlab《数字图像处理》第8章 傅立叶变换解析
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8.2 二维傅立叶变换
1） 二维连续函数傅立叶变换（2DFT）
定义: 若f(x,y)是连续图像函数
正变换: F (u, v) f (x, y) exp j2 (ux vy)dxdy
反变换: f (x, y) F (u, v) exp j2 (ux vy)dudv
变换对: f (x, y) F(u, v)
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幅度谱、相位谱、能量谱
一般F(u,v)是复函数,即:
F(u,v) R(u,v) jI(u,v) F(u,v) e j(u,v)
幅度谱: F(u, v) R2 (u, v) I 2 (u, v)
MN x0 y0
反变换:
M 1 N 1
f (x, y) F (u, v) exp[ j2ux / M vy / N ] u0 v0
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8.3 二维傅立叶变换的性质
1） 可分离性：正反变换都具有分离性
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1） 可分离性：正反变换都具有分离性
利用二维傅立叶变换的可分离性，可将二维DFT转化 成一维DFT计算。即，先在x（或y）方向进行一维DFT， 再在y（或x）方向进行一维DFT
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8.1 一维傅立叶变换
1） 一维连续函数的傅立叶变换（FT）
定义：若函数满足狄里赫利(Dirichlet)条件： 1）具有有限个间断点； 2）具有有限个极值点； 3）绝对可积，
则下列变换成立：
傅立叶正变换： F (u)
f (x) exp j2uxdx
傅立叶反变换：
f ( x) F (u) exp j2uxdu
图像处理之傅里叶变换matlab实现
傅里叶变换一．实验内容：1、傅里叶变换二．实验目的：1、理解傅里叶变换的原理2、掌握傅里叶变换的性质三．实验步骤：1．首先构造一幅黑白二值图像，在128×128的黑色背景中心产生一个4×4的白色方块，对其进行傅里叶变换；(Matlab 中用fft2实现2D 傅里叶变换)2．把低频分量移到图象中心，而把高频分量移到四个角上；（方法有两种：其一，在FT 以前对测试图象逐点加权(-1)^(i+j);其二，利用FFTSHIFT 函数）；3．利用图象增强中动态范围压缩的方法增强2DFT ；（Y ＝C*log （1＋abs （X))）；4．构造一幅黑白二值图像，在128×128的黑色背景中令第32行至36行、第32列至第36列的值为1（即产生一个4×4的白色方块），对其进行傅里叶变换；5．将上图旋转300，再进行傅里叶变换 (imrotate )6．构造二幅黑白二值图像，在128×128的黑色背景中分别令第60行至68行、第60列至第68列的值为1，第64行至65行、第64列至第65列的值为1产生两幅图像，分别对这两幅图像进行傅里叶变换四、原理分析、技术讨论、回答问题1、对于第二幅图像（第一步与第四步图像的比较）,说明FOURIER 变换具有以下性质：)//(20000),(),(N vy M ux j e v u F y y x x f +-⇔--π2、对于第三幅图像（第一步与第五步图像的比较）,说明FOURIER 变换具有以下性质：θcos r x = θs i n r y = αωc o s =u αωs i n =v),(),(00θαωθθ+⇔+F r f3、对于第四幅图像（第一步与第六步图像的比较）,说明FOURIER 变换具有以下性质：)/,/(||1),(b v a u F ab by ax f =五、结果如下六、M文件如下：a=zeros(128,128);a(63:66,63:66)=1;A=fft2(a);b=fftshift(A);for i=1:128for j=1:128B(i,j)=log(1+abs(A(i,j)));endendh=zeros(128,128);h(32:36,32:36)=1;H=fft2(h);h1=imrotate(h,30);H1=fft2(h1);i=zeros(128,128);i(60:68,60:68)=1;I=fft2(i);j=zeros(128);j(64:65,64:65)=1;J=fft2(j);figure;subplot(221),imshow(a);title('原图');subplot(222),imshow(A);title('FT');subplot(223),imshow(b);title('低中高角FT'); subplot(224),imshow(B);title('增强2DFT');figure;subplot(221);imshow(a);title('Step 1原图'); subplot(222);imshow(A);title('Step 1FT'); subplot(223);imshow(h);title('Step 4原图'); subplot(224);imshow(H);title('Step 4FT');figure;subplot(221),imshow(a);title('Step 1原图'); subplot(222),imshow(A);title('Step 1FT'); subplot(223),imshow(h1);title('Step 5原图'); subplot(224),imshow(H1);title('Step 5FT');figure;subplot(321);imshow(a);title('Step 1原图'); subplot(322);imshow(A);title('Step 1FT'); subplot(323),imshow(i);title('Step 6原图1'); subplot(324),imshow(I);title('Step 6原图1FT'); subplot(325),imshow(j);title('Step 6原图2'); subplot(326),imshow(J);title('Step 6原图2FT');。
matlab怎么做傅里叶变换
matlab怎么做傅里叶变换在信号处理中，傅里叶变换是一种基本的数学工具，它将时域信号转化为频域信号，以便进一步分析和处理。
MATLAB是一种功能强大的软件工具，通常被用来进行复杂的信号处理和分析。
这里将为您介绍如何在MATLAB中进行傅里叶变换。
第一步：导入信号数据首先，我们需要将信号数据加载到MATLAB中进行后续处理。
可以通过多种方式将信号数据导入MATLAB。
我们可以手动输入数据，将数据从文件中读入，或者从其他支持文件格式的工具中导入数据。
以下是一个读取音频信号数据的例子：[y, Fs] = audioread('myaudiofile.wav');其中，y是信号数据，Fs是采样率。
可以根据需要修改文件名和文件路径。
第二步：执行傅里叶变换现在我们将信号数据导入到MATLAB中后，可以通过内置函数fft()进行傅里叶变换。
该函数返回一个复值数组，包含该信号在频域上的幅度和相位信息。
以下是一个傅里叶变换的示例：Y = fft(y);这里，Y是频域信号数据。
为了清晰起见，可以对Y进行幅度谱操作，以便可视化表示。
幅度谱意味着我们只考虑频率分量的幅值，而忽略相位信息。
可以使用MATLAB内置函数abs()来计算幅度谱。
以下是一个展示如何计算幅度谱的例子：P2 = abs(Y/length(y));P1 = P2(1:length(y)/2+1);P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);在上述代码中，P1包含Y的前一半，由于我们对称，可以完全表示频域的信息。
第三步：绘制信号波形和频域谱图绘制信号波形和频域谱图将有助于了解信号的特性。
MATLAB提供了多种可视化工具来展示信号和信号变换后的频谱图。
以下是一个展示如何绘制信号波形和幅度谱的例子：% 暂时将时间设为文本标签x轴t = (0:length(y)-1)/Fs;plot(t,y)title('Original Signal')xlabel('Time (s)')ylabel('Amplitude')% 设置频域坐标轴，计算频谱图f = Fs*(0:(length(y)/2))/length(y);plot(f,P1)title('Single-Sided Amplitude Spectrum of Original Signal') xlabel('f (Hz)')ylabel('|P1(f)|')这些代码将生成在同一窗口中生成时间域波形和频域幅度谱。
matlab如何做傅里叶变换
matlab如何做傅里叶变换# MATLAB中的傅里叶变换## 引言傅里叶变换是一种在信号处理和频谱分析中广泛使用的数学工具，能够将一个信号从时域转换为频域。
MATLAB作为一个强大的数值计算工具，提供了丰富的函数和工具箱，使得进行傅里叶变换变得相对简单。
本文将介绍MATLAB中如何执行傅里叶变换，包括基本概念、使用的函数以及示例应用。
## 傅里叶变换的基本概念傅里叶变换通过将一个时域信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的组合，从而提供了在频域中分析信号的能力。
在MATLAB中，傅里叶变换主要有两种类型：离散傅里叶变换（DFT）和连续傅里叶变换（FFT）。
DFT适用于离散信号，而FFT是一种更快的算法，通常用于实际计算。
## MATLAB中的傅里叶变换函数### 1. 离散傅里叶变换（DFT）在MATLAB中，`fft`函数用于计算离散傅里叶变换。
下面是一个简单的例子，演示如何使用该函数：```matlab% 定义信号t = 0:0.01:1; % 时间向量f = 5; % 信号频率signal = sin(2*pi*f*t);% 计算离散傅里叶变换fft_result = fft(signal);% 绘制原始信号和频谱subplot(2,1,1);plot(t, signal);title('原始信号');subplot(2,1,2);plot(abs(fft_result));title('频谱');```上述代码创建了一个简单的正弦信号，并使用`fft`函数计算了其频谱。
通过绘制原始信号和频谱，我们可以直观地理解信号在频域中的表示。
### 2. 连续傅里叶变换（FFT）MATLAB中的`fft`函数也可以用于执行连续傅里叶变换。
以下是一个示例，展示了如何应用FFT来分析一个包含多个频率成分的信号：```matlab% 定义包含多个频率成分的信号t = 0:0.01:2;f1 = 3;f2 = 8;signal = sin(2*pi*f1*t) + 0.5*cos(2*pi*f2*t);% 计算连续傅里叶变换fft_result = fft(signal);% 绘制原始信号和频谱subplot(2,1,1);plot(t, signal);title('原始信号');plot(abs(fft_result));title('频谱');```通过这个例子，我们可以看到如何利用FFT来分析包含多个频率成分的信号，从而更全面地了解信号的频谱特性。
MATLAB数字图像处理几何变换傅里叶变换
Matlab数字图像处理实验指导实验目的：通过实验，深入理解和掌握图像处理的基本技术，提高动手实践能力。
实验环境：Matlab变成实验一图像的几何变换实验内容：设计一个程序，能够实现图像的各种几何变换。
实验要求：读入图像，打开图像，实现图像的平移变换、比例缩放、转置变换、镜像变换、旋转变换等操作。
实验原理：图像几何变换又称为图像空间变换，它将一幅图像中的坐标位置映射到另一幅图像中的新坐标位置。
学习几何变换的关键就是要确定这种空间映射关系，以及映射过程中的变化参数。
几何变换不改变图像的像素值，只是在图像平面上进行像素的重新安排。
一个几何变换需要两部分运算：首先是空间变换所需的运算，如平移、镜像和旋转等，需要用它来表示输出图像与输入图像之间的（像素）映射关系；此外，还需要使用灰度插值算法，因为按照这种变换关系进行计算，输出图像的像素可能被映射到输入图像的非整数坐标上。
设原图像f(x0,y0)经过几何变换产生的目标图像为g(x1,y1),则该空间变换（映射）关系可表示为：x1=s(x0,y0)y1=t(x0,y0)其中，s(x0,y0)和t(x0,y0)为由f(x0,y0)到g(x1,y1)的坐标换变换函数。
一、图像平移图像平移就是将图像中所有的点按照指定的平移量水平或者垂直移动。
二、图像镜像镜像变换又分为水平镜像和垂直镜像。
水平镜像即将图像左半部分和右半部分以图像竖直中轴线为中心轴进行对换；而竖直镜像则是将图像上半部分和下半部分以图像水平中轴线为中心轴进行对换。
三、图像转置图像转置是将图像像素的x坐标和y坐标呼唤。
图像的大小会随之改变——高度和宽度将呼唤。
四、图像的缩放图像缩放是指将图像大小按照指定的比率放大或者缩小。
图像缩放函数imresize();调用格式如下：B=imresize(A,Scale,method);参数A为要进行缩放的原始图像。
Scale为统一的缩放比例。
如果希望在x和y方向上以不同比例进行缩放，可用如下调用形式。
matlab实现傅里叶变换
一、傅立叶变化的原理；（1）原理正交级数的展开是其理论基础！将一个在时域收敛的函数展开成一系列不同频率谐波的叠加，从而达到解决周期函数问题的目的。
在此基础上进行推广，从而可以对一个非周期函数进行时频变换。
从分析的角度看，他是用简单的函数去逼近（或代替）复杂函数，从几何的角度看，它是以一族正交函数为基向量，将函数空间进行正交分解，相应的系数即为坐标。
从变幻的角度的看，他建立了周期函数与序列之间的对应关系；而从物理意义上看，他将信号分解为一些列的简谐波的复合，从而建立了频谱理论。
当然Fourier积分建立在傅氏积分基础上，一个函数除了要满足狄氏条件外，一般来说还要在积分域上绝对可积，才有古典意义下的傅氏变换。
引入衰减因子e^(-st)，从而有了Laplace变换。
（好像走远了）。
（2）计算方法连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。
连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。
一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
二、傅立叶变换的应用；DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。
需要指出的是，所有DFT的实际应用都依赖于计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法，即快速傅里叶变换（快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法。
）。
（1）、频谱分析DFT 是连续傅里叶变换的近似。
因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。
前面还提到DFT 应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。
matlab如何做傅里叶变换
matlab如何做傅里叶变换
Matlab是一种流行的数学计算软件，也可以用来完成许多信号处理工作。
傅立叶变换是信号处理中最重要的技术之一，它将时域信号转换为频域信号，便于对信号进行特征分析和操作。
使用matlab可以方便快捷地计算傅立叶变换。
Matlab中使用傅里叶变换的步骤如下：
第一步：准备输入信号，这通常是一个数组，表示时域信号的波形。
第二步：使用matlab的fft(x)函数对时域信号进行变换，其中x 表示时域信号的数组，对其执行傅立叶变换，生成频域信号的函数。
第三步：将信号进行归一化处理，可以使用matlab中的normalize(x)函数，将时域和频域信号归一化到[-1,1]之间。
第四步：使用matlab中的plot()函数画出频域信号的图形，以便可以更好地分析和操作它。
以上就是使用Matlab完成傅立叶变换的简单步骤了。
使用Matlab 可以轻松有效地进行傅里叶变换，节省大量时间。
此外，Matlab还提供了众多控制参数，可以根据用户的实际需求进行调整，从而更轻松地处理信号。
matlab《数字图像处理》第8章 傅立叶变换
下图给出了一维傅立叶变换原频谱 |F(u)| 图 形 和 D(u) 图 形 的 差 别 。 原 |F(u)|图形只有中间几个峰可见，图(b) 为处理后D(u)的图形。
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2)频谱的频域移中 常用的傅里叶正反变换公式都是以零点为中心 的公式，其结果中心最亮点却在图像的左上角， 作为周期性函数其中心最亮点将分布在四角， 这和我们正常的习惯不同，因此，需要把这个 图像的零点移到显示的中心。例如把F(u,v)的 原零点从左上角移到显示屏的中心。
正变换:
反变换:
f ( x, y) F (u, v) exp[ j 2ux / M vy / N ]
u 0 v 0
M 1 N 1
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8.3 二维傅立叶变换的性质
1） 可分离性：正反变换都具有分离性
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1） 可分离性：正反变换都具有分离性
利用二维傅立叶变换的可分离性，可将二维DFT转化 成一维DFT计算。即，先在x（或y）方向进行一维DFT， 再在y（或x）方向进行一维DFT
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简单函数的傅里叶谱M 点离散函数及其傅里叶频 谱(M=1024, A=1, K=8)； 对应的傅里叶频谱
曲线下面积：当x 域 加倍时，频率谱的高度 也加倍；当函数长度加 倍时，相同间隔下频谱 中零点的数量也加倍。
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8.2 二维傅立叶变换
1） 二维连续函数傅立叶变换（2DFT）
定义: 若f(x,y)是连续图像函数
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相关性匹配举例
延拓图像f(x,y)
相关函数图像
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离散傅立叶变换应用中的问题 1) 频谱的图像显示 谱图像就是把 |F(u,v)| 作为亮度显示在屏幕 上。 由于在傅立叶变换中 F(u,v) 随 u ， v 衰减太快， 直接显示高频项只能看到一两个峰，其余都 不清楚。为了符合图像处理中常用图像来显 示结果的惯例，通常用D(u,v) 来代替，以弥 补只显示|F(u,v)|不够清楚这一缺陷。D(u,v) D(u, v) log(1 | F (u, v) |) 定义为：
数字图像处理及MATLAB实现实验四——图像变换
数字图像处理及MATLAB实现实验四——图像变换1.图像的傅⾥叶变换⼀（平移性质）傅⾥叶变换的平移性质表明了函数与⼀个指数项相乘等于将变换后的空域中⼼移到新的位置，并且平移不改变频谱的幅值。
I=imread('1.bmp');figure(1)imshow(real(I));I=I(:,:,3);fftI=fft2(I);sfftI=fftshift(fftI); %求离散傅⾥叶频谱%对原始图像进⾏⼆维离散傅⾥叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置RRfdp1=real(sfftI);IIfdp1=imag(sfftI);a=sqrt(RRfdp1.^2+IIfdp1.^2);a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;figure(2)imshow(real(a));I=imread('2.bmp');figure(1)imshow(real(I));I=I(:,:,3);fftI=fft2(I);sfftI=fftshift(fftI); %求离散傅⾥叶频谱%对原始图像进⾏⼆维离散傅⾥叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置RRfdp1=real(sfftI);IIfdp1=imag(sfftI);a=sqrt(RRfdp1.^2+IIfdp1.^2);a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;figure(2)imshow(real(a));I=imread('3.bmp');figure(1)imshow(real(I));I=I(:,:,3);fftI=fft2(I);sfftI=fftshift(fftI); %求离散傅⾥叶频谱%对原始图像进⾏⼆维离散傅⾥叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置RRfdp1=real(sfftI);IIfdp1=imag(sfftI);a=sqrt(RRfdp1.^2+IIfdp1.^2);a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;figure(2)imshow(real(a));实验结果符合傅⾥叶变换平移性质2.图像的傅⾥叶变换⼆（旋转性质）%构造原始图像I=zeros(256,256);I(88:168,124:132)=1; %图像范围是256*256，前⼀值是纵向⽐，后⼀值是横向⽐imshow(I)%求原始图像的傅⾥叶频谱J=fft2(I);F=abs(J);J1=fftshift(F);figureimshow(J1,[550])%对原始图像进⾏旋转J=imrotate(I,90,'bilinear','crop');figureimshow(J)%求旋转后图像的傅⾥叶频谱J=fft2(I);F=abs(J);J2=fftshift(F);figureimshow(J2,[550])3.图像的离散余弦变换⼀%对cameraman.tif⽂件计算⼆维DCT变换RGB=imread('cameraman.tif');figure(1)imshow(RGB)I=rgb2gray(RGB);%真彩⾊图像转换成灰度图像J=dct2(I);%计算⼆维DCT变换figure(2)imshow(log(abs(J)),[])%图像⼤部分能量集中在左上⾓处figure(3);J(abs(J)<10)=0;%把变换矩阵中⼩于10的值置换为0，然后⽤idct2重构图像K=idct2(J)/255;imshow(K)4.图像的离散余弦变换⼆% I=imread('1.bmp');% figure(1)% imshow(real(I));% I=I(:,:,3);% fftI=fft2(I);% sfftI=fftshift(fftI); %求离散傅⾥叶频谱% %对原始图像进⾏⼆维离散傅⾥叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置% RRfdp1=real(sfftI);% IIfdp1=imag(sfftI);% a=sqrt(RRfdp1.^2+IIfdp1.^2);% a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;% figure(2)% imshow(real(a));% I=imread('2.bmp');% figure(1)% imshow(real(I));% I=I(:,:,3);% fftI=fft2(I);% sfftI=fftshift(fftI); %求离散傅⾥叶频谱% %对原始图像进⾏⼆维离散傅⾥叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置% RRfdp1=real(sfftI);% IIfdp1=imag(sfftI);% a=sqrt(RRfdp1.^2+IIfdp1.^2);% a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;% figure(2)% imshow(real(a));% I=imread('3.bmp');% figure(1)% imshow(real(I));% I=I(:,:,3);% fftI=fft2(I);% sfftI=fftshift(fftI); %求离散傅⾥叶频谱% %对原始图像进⾏⼆维离散傅⾥叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置% RRfdp1=real(sfftI);% IIfdp1=imag(sfftI);% a=sqrt(RRfdp1.^2+IIfdp1.^2);% a=(a-min(min(a)))/(max(max(a))-min(min(a)))*225;% figure(2)% imshow(real(a));% %构造原始图像% I=zeros(256,256);% I(88:168,124:132)=1; %图像范围是256*256，前⼀值是纵向⽐，后⼀值是横向⽐% imshow(I)% %求原始图像的傅⾥叶频谱% J=fft2(I);% F=abs(J);% J1=fftshift(F);figure% imshow(J1,[550])% %对原始图像进⾏旋转% J=imrotate(I,90,'bilinear','crop');% figure% imshow(J)% %求旋转后图像的傅⾥叶频谱% J=fft2(I);% F=abs(J);% J2=fftshift(F);figure% imshow(J2,[550])% %对cameraman.tif⽂件计算⼆维DCT变换% RGB=imread('cameraman.tif');% figure(1)% imshow(RGB)% I=rgb2gray(RGB);% %真彩⾊图像转换成灰度图像% J=dct2(I);% %计算⼆维DCT变换% figure(2)% imshow(log(abs(J)),[])% %图像⼤部分能量集中在左上⾓处% figure(3);% J(abs(J)<10)=0;% %把变换矩阵中⼩于10的值置换为0，然后⽤idct2重构图像% K=idct2(J)/255;% imshow(K)RGB=imread('cameraman.tif');I=rgb2gray(RGB);I=im2double(I); %转换图像矩阵为双精度型T=dctmtx(8); %产⽣⼆维DCT变换矩阵%矩阵T及其转置T'是DCT函数P1*X*P2的参数B=blkproc(I,[88],'P1*x*P2',T,T');maxk1=[ 1111000011100000110000001000000000000000000000000000000000000000 ]; %⼆值掩模，⽤来压缩DCT系数B2=blkproc(B,[88],'P1.*x',mask1); %只保留DCT变换的10个系数I2=blkproc(B2,[88],'P1*x*P2',T',T); %重构图像figure,imshow(T);figure,imshow(B2);figure,imshow(I2);RGB=imread('cameraman.tif');I=rgb2gray(RGB);I=im2double(I); %转换图像矩阵为双精度型T=dctmtx(8); %产⽣⼆维DCT变换矩阵%矩阵T及其转置T'是DCT函数P1*X*P2的参数B=blkproc(I,[88],'P1*x*P2',T,T');maxk1=[ 1111000011100000100000000000000000000000000000000000000000000000 ]; %⼆值掩模，⽤来压缩DCT系数B2=blkproc(B,[88],'P1.*x',mask1); %只保留DCT变换的10个系数I2=blkproc(B2,[88],'P1*x*P2',T',T); %重构图像figure,imshow(T);figure,imshow(B2);figure,imshow(I2);5.图像的哈达玛变换cr=0.5;I=imread('cameraman.tif');I=im2double(I)/255; %将读⼊的unit8类型的RGB图像I转换为double类型的数据figure(1),imshow(I);%显⽰%求图像⼤⼩[m_I,n_I]=size(I); %提取矩阵I的⾏列数，m_I为I的⾏数，n_I为I的列数sizi=8;snum=64;%分块处理t=hadamard(sizi) %⽣成8*8的哈达码矩阵hdcoe=blkproc(I,[sizi sizi],'P1*x*P2',t,t');%将图⽚分成8*8像素块进⾏哈达码变换%重新排列系数CE=im2col(hdcoe,[sizi,sizi],'distinct');%将矩阵hdcode分为8*8互不重叠的⼦矩阵，再将每个⼦矩阵作为CE的⼀列[Y Ind]=sort(CE); %对CE进⾏升序排序%舍去⽅差较⼩的系数，保留原系数的⼆分之⼀，即32个系数[m,n]=size(CE);%提取矩阵CE的⾏列数，m为CE的⾏数，n为CE的列数snum=snum-snum*cr;for i=1:nCE(Ind(1:snum),i)=0;end%重建图像re_hdcoe=col2im(CE,[sizi,sizi],[m_I,n_I],'distinct');%将矩阵的列重新组织到块中re_I=blkproc(re_hdcoe,[sizi sizi],'P1*x*P2',t',t);%进⾏反哈达码变换，得到压缩后的图像re_I=double(re_I)/64; %转换为double类型的数据figure(2);imshow(re_I);%计算原始图像和压缩后图像的误差error=I.^2-re_I.^2;MSE=sum(error(:))/prod(size(re_I));。
matlab图像傅里叶变换
学号：111204510 姓名：邹龙1、对一幅图像进行平移，显示原始图像与处理后图像，分别对其进行傅里叶变换，显示变换后结果，分析原图的傅里叶谱与平移后傅里叶频谱的对应关系。
s=imread('d:\1.jpg');%读入原图像i=rgb2gray(s)i=double(i)j=fft2(i); %傅里叶变换k=fftshift(j); % 直流分量移到频谱中心l=log(abs(k)); %对数变换m=fftshift(j); %直流分量移到频谱中心RR=real(m); %取傅里叶变换的实部II=imag(m); %取傅里叶变换的虚部A=sqrt(RR.^2+II.^2); %计算频谱府幅值A=(A-min(min(A)))/(max(max(A)))*255; % 归一化b=circshift(s,[800 450]); %对图像矩阵im中的数据进行移位操作b=rgb2gray(b)b=double(b)c=fft2(b); %傅里叶变换e=fftshift(c); % 直流分量移到频谱中心l=log(abs(e)); %对数变换f=fftshift(c); %直流分量移到频谱中心WW=real(f); %取傅里叶变换的实部BZZ=imag(f); %取傅里叶变换的虚部B=sqrt(WW.^2+ZZ.^2); %计算频谱府幅值B=(B-min(min(B)))/(max(max(B)))*255; % 归一化subplot(2,2,1);imshow(s);title('原图像')subplot(2,2,2);imshow(uint8(b));;title('平移图像')subplot(2,2,3);imshow(A);title('离散傅里叶频谱');subplot(2,2,4);imshow(B);title('平移图像离散傅里叶频谱')2、对图像进行除法运算moon=imread('moon.tif');subplot(1,2,1);imshow(moon);I=double(moon);J=I*0.43+80; moon2=uint8(J); Ip=imdivide(moon,moon2); subplot(1,2,2);imshow(Ip,[]);。
matlab编程实现傅里叶变换
傅里叶变换是信号处理和图像处理中的重要数学工具，可以将一个信号或图像从时域转换到频域。
MATLAB作为一款强大的数学软件，可以方便地实现傅里叶变换并进行相应的分析和处理。
本文将介绍如何使用MATLAB编程实现傅里叶变换，并探讨其在信号处理和图像处理中的应用。
一、MATLAB中的傅里叶变换函数在MATLAB中，可以使用fft函数来进行一维离散傅里叶变换（DFT）的计算，使用fft2函数进行二维离散傅里叶变换（DFT）的计算。
这两个函数的基本语法如下：1. 一维离散傅里叶变换Y = fft(X)其中，X是输入的一维信号（向量），Y是输出的一维频谱（向量）。
2. 二维离散傅里叶变换Y = fft2(X)其中，X是输入的二维图像（矩阵），Y是输出的二维频谱（矩阵）。
除了fft和fft2函数外，MATLAB还提供了ifft和ifft2函数用于进行离散傅里叶逆变换。
通过这些函数，我们可以方便地实现傅里叶变换和逆变换的计算。
二、MATLAB中的傅里叶变换实例为了更好地理解MATLAB中的傅里叶变换实现，我们可以通过一个具体的实例来进行演示。
假设我们有一个包含两个正弦波的信号，我们首先可以使用MATLAB生成这个信号，并对其进行傅里叶变换。
生成信号fs = 1000; 采样频率为1000Hzt = 0:1/fs:1-1/fs; 时间范围为1秒f1 = 50; 第一个正弦波的频率为50Hzf2 = 120; 第二个正弦波的频率为120Hzx = 0.7*sin(2*pi*f1*t) + sin(2*pi*f2*t); 生成包含两个正弦波的信号进行傅里叶变换N = length(x); 信号的长度X = fft(x)/N; 进行离散傅里叶变换，并进行归一化处理f = (0:N-1)*(fs/N); 计算频率轴figure;subplot(2,1,1);plot(f,abs(X)); 绘制频谱幅度title('单边频谱');xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度');subplot(2,1,2);plot(f,angle(X)); 绘制频谱相位title('频谱相位');xlabel('频率/Hz');ylabel('相位');通过上面的实例，我们可以看到，MATLAB可以很方便地实现最常见的傅里叶变换，并且提供了丰富的绘图功能来呈现变换结果。
MATLAB数字图像处理几何变换傅里叶变换.docx
Matlab数字图像处理实验指导实验目的：通过实验，深入理解和掌握图像处理的基本技术，提高动手实践能力。
实验环境：Matlab变成实验一图像的几何变换实验内容：设计一个程序，能够实现图像的各种几何变换。
实验要求：读入图像，打开图像，实现图像的平移变换、比例缩放、转宜变换、镜像变换、旋转变换等操作。
实验原理：图像儿何变换乂称为图像空间变换，它将一幅图像中的朋标位置映射到另一•幅图像中的新处标位査。
学习儿何变换的关键就是要确定这种空间映射关系，以及映射过程小的变化参数。
几何变换不改变图像的像素值，只是在图像平面上进行像素的重新安排。
一个几何变换需要两部分运算：首先是空间变换所盂的运算，如平移、镜像和旋转等，需要川它來表示输出图像与输入图像Z间的(像素)映射关系；此外，述需耍使用灰度插值算法，因为按照这种变换关系进行计算，输出图像的像索可能被映射到输入图像的非整数坐标上。
设原图像f(xO,yO)经过几何变换产生的口标图像为g(xlYL),则该空间变换(映射)关系可表示为：xl=s(xO,yO)yl=t(xO,yO)其中,s(xO,yO)和t(xO,yO)为由f(xO,yO)到g(xl,yl)的坐标换变换函数。
一、图像平移图像平移就是将图像屮所有-的点按照指定的平移最水平或者垂肓移动。
二、 图像镜像镜像变换又分为水平镜像和垂肓镜像。
水平镜像即将图像左半部分和右半部分以图像竖 直中轴线为中心轴进行对换；而竖直镜像则是将图像上半部分和下半部分以图像水平中轴线 为中心轴进行对换。
三、 图像转置图像转置是将图像像索的x 坐标和y 坐标呼唤。
图像的大小会随Z 改变——高度和宽度 将呼唤。
原图像 10015020025050100 150 200 250 50100 150 200 250 图像平移50 100 150 200 250原图像 水平镜像原图像图像转蛊四、 图像的缩放图像缩放是指将图像大小按照指定的比率放大或者缩小。
matlab傅里叶变化
matlab傅里叶变化傅里叶变换是信号处理中的重要工具之一，它可以将时域信号转换为频域信号，让我们能够了解信号在不同频率上的成分。
Matlab是一款强大的数学软件，它可以方便地进行傅里叶变换。
下面，我们来分步骤阐述如何使用Matlab进行傅里叶变换：第一步：准备数据在Matlab中，可以通过三种方式载入数据：手动输入数据、读取文件或者生成随机数。
例如，我们可以用如下语句生成一个正弦波：t = 0:0.1:10;f = 1;y = sin(2*pi*f*t);其中，t表示时间序列，f表示正弦波的频率，y表示正弦波。
第二步：计算傅里叶变换在Matlab中，可以使用fft函数来计算傅里叶变换。
例如，我们可以使用如下语句计算y的傅里叶变换：Y = fft(y);实际上，Matlab的fft函数可以处理多维数组，我们也可以对矩阵进行傅里叶变换。
第三步：绘制频域图像通过傅里叶变换，我们可以得到信号在频域上的成分。
在Matlab 中，我们可以使用plot函数绘制频域图像。
例如，我们可以使用如下语句绘制y的频域图像：Fs = 1/(t(2)-t(1));f = Fs*(0:(length(y)/2))/length(y);P = abs(Y/length(y)).^2;plot(f,P(1:length(y)/2+1));其中，Fs表示采样频率，f表示频率序列，P表示功率谱密度。
我们还可以对频率谱进行调整，例如使用log函数将其转换为对数坐标。
第四步：计算逆傅里叶变换如果我们需要将频域信号转换为时域信号，可以使用ifft函数进行逆傅里叶变换。
例如，我们可以使用如下语句计算y的逆傅里叶变换：y2 = ifft(Y);在计算逆傅里叶变换时，由于傅里叶变换是复数运算，所以得到的时域信号也是复数形式。
如果需要得到实数形式的信号，可以使用real函数。
综上所述，我们可以通过以上步骤使用Matlab进行傅里叶变换。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、音乐制作等领域，有助于我们更好地理解信号的特性。
matlab 图像的傅立叶变换
实验三图像的傅立叶变换熟悉傅里叶变换的基本性质；掌握FFT方法及应用；通过实验了解二维频谱的分布特点；掌握利用MATLAB实现数字图像的傅立叶变换及滤波锐化的处理；了解理想、巴特沃兹、高斯等不同滤波器的结构及滤波效果。
实验步骤1．启动MATLAB程序，读入一幅图像；对图像做FFT。
使用’subplot’命令，同时显示原始图像其频谱图；IenaImg=imread('lena.jpg'); %读入原图像文件fftI=fft2(double(IenaImg)); %二维离散傅立叶变换sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心RR=real(sfftI); %取傅立叶变换的实部fftImg = log(RR);subplot(1,2,1)imshow(IenaImg); %显示原图像subplot(1,2,2)imshow(fftImg, [8,10]); %显示原图像的频谱2．读入一幅图像，分别为图像添加椒盐、高斯噪声，做FFT变换。
使用’subplot’命令，将原始图像、原始图像频谱图、添加噪声后的图像，以及噪声图像的频谱图同时显示出来。
lenaImg=imread('lena.jpg'); %读入原图像文件fftI=fft2(double(lenaImg)); %二维离散傅立叶变换sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心RR=real(sfftI); %取傅立叶变换的实部fftLenaImg = log(RR);加入椒盐躁声saltImg=imnoise(lenaImg,'salt & pepper',0.02); %加入椒盐躁声fftI=fft2(double(saltImg)); %二维离散傅立叶变换sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心RR=real(sfftI); %取傅立叶变换的实部fftSaltImg = log(RR);subplot(2,2,1);imshow(lenaImg);subplot(2,2,2);imshow(fftLenaImg , [8,10]);subplot(2,2,3);imshow(saltImg);subplot(2,2,4);imshow(fftSaltImg , [8,10]);加入椒盐躁声加入高斯躁声gaussianImg =imnoise(lenaImg,'gaussian',0.02); %加入高斯躁声fftI=fft2(double(gaussianImg)); %二维离散傅立叶变换sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心RR=real(sfftI); %取傅立叶变换的实部fftGaussianImg = log(RR);subplot(2,2,1);imshow(lenaImg);subplot(2,2,2);imshow(fftLenaImg , [8,10]);subplot(2,2,3);imshow(gaussianImg);subplot(2,2,4);imshow(fftGaussianImg , [8,10]);加入高斯躁声3．读入一幅图像，对图像分别进行高斯低通、巴特沃兹低通、高斯高通和巴特沃兹高通频域滤波，比较其锐化和平滑效果；%高斯低通滤波器I = imread('lena.jpg');imshow(I);s=fftshift(fft2(I));[M,N]=size(s);n=2;d0=30; %GLPF滤波，d0=5，15，30（程序中以d0=30为例）n1=floor(M/2);n2=floor(N/2);for i=1:Mfor j=1:Nd=sqrt((i-n1)^2+(j-n2)^2);h=1*exp(-1/2*(d^2/d0^2));s(i,j)=h*s(i,j);endends=ifftshift(s);gImg=uint8(real(ifft2(s)));figure;imshow(gImg);%巴特沃思低通滤波器l = imread('test.jpg');s=fftshift(fft2(l));[M,N]=size(s);%5级巴特沃思n=5;d0=30; %BLPF滤波，d0=5，15，30（程序中以d0=30为例）n1=floor(M/2);n2=floor(N/2);for i=1:Mfor j=1:Nd=sqrt((i-n1)^2+(j-n2)^2);h=1/(1+(d/d0)^(2*n));s(i,j)=h*s(i,j);endends=ifftshift(s);b5Img=uint8(real(ifft2(s)));%15级巴特沃思n=15;s=fftshift(fft2(l));[M,N]=size(s);d0=30; %BLPF滤波，d0=5，15，30（程序中以d0=30为例）n1=floor(M/2);n2=floor(N/2);for i=1:Mfor j=1:Nd=sqrt((i-n1)^2+(j-n2)^2);h=1/(1+(d/d0)^(2*n));s(i,j)=h*s(i,j);endends=ifftshift(s);b15Img=uint8(real(ifft2(s)));%20级巴特沃思n=20;s=fftshift(fft2(l));[M,N]=size(s);d0=30; %BLPF滤波，d0=5，15，30（程序中以d0=30为例）n1=floor(M/2);n2=floor(N/2);for i=1:Mfor j=1:Nd=sqrt((i-n1)^2+(j-n2)^2);h=1/(1+(d/d0)^(2*n));s(i,j)=h*s(i,j);endends=ifftshift(s);b20Img=uint8(real(ifft2(s)));subplot(1,4,1);imshow(l);title('原图');subplot(1,4,2);imshow(b5Img);title('阶数n=5');subplot(1,4,3);imshow(b15Img);title('阶数n=15');subplot(1,4,4);imshow(b20Img);title('阶数n=20');如上图所示，巴特沃思低通滤波器在阶数n=5以上时会出现明显振铃（附件中的BLPF.PNG文件），高斯低通滤波器没有振铃。
沃尔什变换matlab,用MATLAB实现图像的傅里叶变换-数字图像处理.PPT
沃尔什变换matlab,⽤MATLAB实现图像的傅⾥叶变换-数字图像处理.PPT⽤MATLAB实现图像的傅⾥叶变换 - 数字图像处理3.1 ⼆维离散傅⾥叶变换(DFT) 3.1.1 ⼆维连续傅⾥叶变换 ⼆维连续函数 f (x, y)的傅⾥叶变换定义如下： 设 是独⽴变量 的函数，且在 上绝对可积，则定义积分 为⼆维连续函数 的付⾥叶变换，并定义 为 的反变换。
和 为傅⾥叶变换对。
3.1.2 ⼆维离散傅⾥叶变换 尺⼨为M×N的离散图像函数的DFT 反变换可以通过对F(u,v) 求IDFT获得 DFT变换进⾏图像处理时有如下特点： (1)直流成分为F(0,0)。
(2)幅度谱|F(u,v)|对称于原点。
(3)图像f (x, y)平移后，幅度谱不发⽣变化，仅有相位发⽣了变化。
3.1.3 ⼆维离散傅⾥叶变换的性质 1．周期性和共轭对称性 周期性和共轭对称性来了许多⽅便。
我们⾸先来看⼀维的情况。
设有⼀矩形函数为,求出它的傅⾥叶变换： 幅度谱： DFT取的区间是[0,N-1]，在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的 ，要显⽰⼀个完整的周期，必须将变换的原点移⾄u=N/2点。
根据定义，有 在进⾏DFT之前⽤(-1)x 乘以输⼊的信号 f (x) ，可以在⼀个周期的变换中(u＝0，1，2，…，N－1)，求得⼀个完整的频谱。
推⼴到⼆维情况。
在进⾏傅⾥叶变换之前⽤(-1)x+y 乘以输⼊的图像函数，则有： DFT的原点，即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。
(0,0)点的变换值为： 即 f (x,y) 的平均值。
如果是⼀幅图像，在原点的傅⾥叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。
2．可分性 离散傅⾥叶变换可以⽤可分离的形式表⽰ 这⾥ 对于每个x值，当v＝0，1，2，…，N－1时，该等式是完整的⼀维傅⾥叶变换。
3．离散卷积定理 设f(x,y)和g(x,y) 是⼤⼩分别为A×B和C×D的两个数组，则它们的离散卷积定义为 卷积定理 【例3.2】⽤MATLAB实现图像的傅⾥叶变换。
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功率谱
P(u) R (u) I (u)
2 2
13
f(x)是一门函数，如图所示，它表示为：
f ( x)
A 0
(0 x X ) x0
求其傅立叶变换F(u)
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解：
F (u )
0
X
M 1 x0
1 F (u ) M
f ( x)[cos2ux / M j sin 2ux / M ]
每个F(u) 由f(x)与对应频率的正弦和余弦乘积和组成； u 值决定了变换的频率成份，因此，F(u)覆盖的域 (u值) 称为频率域，其中每一项都被称为FT 的频率 分量。与f(x) 的“时间域”和“时间成份”相对应。
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相关性匹配举例
延拓图像f(x,y)
相关函数图像
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离散傅立叶变换应用中的问题 1) 频谱的图像显示 谱图像就是把 |F(u,v)| 作为亮度显示在屏幕 上。 由于在傅立叶变换中 F(u,v) 随 u ， v 衰减太快， 直接显示高频项只能看到一两个峰，其余都 不清楚。为了符合图像处理中常用图像来显 示结果的惯例，通常用D(u,v) 来代替，以弥 补只显示|F(u,v)|不够清楚这一缺陷。D(u,v) D(u, v) log(1 | F (u, v) |) 定义为：
F (u N / 2, v N / 2) f ( x, y)(1) x y
在作傅立叶变换时，先把原图像f(x,y)乘以 (-1)x+y，然后再进行傅立叶变换，其结果谱 就是移N／2的F(u,v)。其频谱图为|F(u,v)|。
41
移中性：变换后主要能量（低频分量）集中在频率 平面的中心。 原图像f（x，y） 未移中的变换：
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F=fft2(f); %二维傅立叶变换（fft算法） figure() mesh(fftshift(abs(F))); %绘制频谱图 F2=fftshift(log(1+abs(F))); figure() imshow(F2,[-1 5], 'InitialMagnification','fit'); %显示频谱图像，频谱的零频率系数被移到频谱中间 colormap(jet);colorbar
下图给出了一维傅立叶变换原频谱 |F(u)| 图 形 和 D(u) 图 形 的 差 别 。 原 |F(u)|图形只有中间几个峰可见，图(b) 为处理后D(u)的图形。
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2)频谱的频域移中 常用的傅里叶正反变换公式都是以零点为中心 的公式，其结果中心最亮点却在图像的左上角， 作为周期性函数其中心最亮点将分布在四角， 这和我们正常的习惯不同，因此，需要把这个 图像的零点移到显示的中心。例如把F(u,v)的 原零点从左上角移到显示屏的中心。
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为什么要在频率域研究图像增强
可以在频域指定滤波器，做反变换，然后在空 间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导 一旦通过频域试验选择了空间滤波，通常实施 都在空间域进行
一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间 域采用硬件实现它
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8.1 一维傅立叶变换
法国数学家傅立叶(生于1768年)在1822年出版的 《热分析理论》一书中指出:任何周期函数都可以表 达为不同频率的正弦和或余弦和的形式,即傅立叶级 数。 20世纪50年代后期,快速傅立叶变换算法出现,得到 了广泛的应用。
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简单函数的傅里叶谱M 点离散函数及其傅里叶频 谱(M=1024, A=1, K=8)； 对应的傅里叶频谱
曲线下面积：当x 域 加倍时，频率谱的高度 也加倍；当函数长度加 倍时，相同间隔下频谱 中零点的数量也加倍。
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8.2 二维傅立叶变换
1） 二维连续函数傅立叶变换（2DFT）
定义: 若f(x,y)是连续图像函数
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傅里叶变换将信号分成不同频率成份。类 似光学中的分色棱镜把白光按波长(频率) 分成不同颜色，称数学棱镜。
傅里叶变换的成份：直流分量和交流分量
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傅立叶变换在极坐标下表示: F (u) F (u) e j (u )
频率谱
F (u ) R 2 (u ) I 2 (u )
相位谱
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2） 平移性
公式（1）：
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2） 平移性：
公式（2）：
2 f ( x x0 , y y0 ) F (u, v) exp j (ux0 vy0 ) N
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2）平移性：
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3）分配律：
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3） 尺度变换（缩放）：
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5）旋转性
则：
f ( , 0 ) F ( , 0 )
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幅度谱、相位谱、能量谱
一般F(u,v)是复函数,即:
j (u ,v )
F (u, v) R(u, v) jI (u, v) F (u, v) e
幅度谱: 相位谱:
F (u, v) R 2 (u, v) I 2 (u, v)
I (u, v) (u, v) tg R(u, v)
*卷积 • 乘积
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9） 相关定理
则：
f ( x, y) g ( x, y) F (u, v) G (u, v) f ( x, y) g ( x, y) F (u, v) G(u, v)
相关
*共轭
乘积
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卷积和相关理论总结： 卷积是空间域滤波和频率域滤波之间的纽带。
第8章 图像傅立叶 变换
学习重点
二维傅立叶变换的定义 二维傅立叶变换的性质 二维傅立叶变换matlab实现
2
学习内容
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 一维傅立叶变换 二维傅立叶变换 傅立叶变换的性质 matlab傅立叶变换的实现 傅立叶变换的应用简介
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为什么要在频率域研究图像增强
可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。 一些在空间域表达困难的增强任务，在频率域 中变得非常普通。 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤 波的某些性质 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题， 频率域处理对于试验、迅速而全面地控制滤波 器参数是一个理想工具
f ( x )e
j 2ux
dx
Ae
j 2ux
A j 2ux dx e j 2u
X
0
A e juX e juX e juX j 2u A sin(uX )e juX u
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对应的傅立叶谱为：
A F (u ) sin(uX ) e juX u sin(uX ) AX uX
Y=fftshift(X) 把fft函数、 fft2函数和fftn函数输出的结果的零频 率部分移到数组的中间。对于向量，把X的左右部分 交换，对于矩阵，把X的第一、三象限和二、四象限 交换
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8.5 傅立叶变换的应用简介
1） 图像的傅立叶分析 %已知一幅30*30大小的二值图像，在图像中间有 个长为5高为20的白色区域，其它区域为黑色 %对这幅图进行傅立叶变换分析（主要用用FFT算 法） clc clear all f=zeros(30,30); f(5:24,13:17)=1; %定义图像数组 figure() imshow(f,'InitialMagnification','fit');
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快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新的变 换，它是离散傅里叶变换(DFT)的一种算法。这 种方法是在分析离散傅里叶变换(DFT)中的多余 运算的基础上，进而消除这些重复工作的思想 指导下得到的，所以在运算中大大节省了工作 量，达到了快速的目的。
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N维傅立叶变换：Y=fftn(X)——返回X的多维离散 傅立叶变换，结果Y和X的大小一致。 把傅立叶变换的零频率部分移到频谱的中间，使用 fftshif函数，调用格式如下：
此式含义是：当原图像旋转某一角度时，FT后的图 像也旋转同一角度。
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旋转性举例：
原图像及其傅立叶幅度谱图像
原图像旋转45，其幅度谱图像也旋转45
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6) 周期性和共轭对称性
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6）周期性和共轭对称性
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7）平均值
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7）平均值
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8）卷积定理
则：
f ( x, y) g ( x, y) F (u, v) G(u, v) f ( x, y) g ( x, y) F (u, v) G(u, v)
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8.1 一维傅立叶变换
1） 一维连续函数的傅立叶变换（FT）
定义：若函数满足狄里赫利(Dirichlet)条件： 1）具有有限个间断点； 2）具有有限个极值点； 3）绝对可积， 则下列变换成立： 傅立叶正变换：
F (u Байду номын сангаас
f ( x) exp j 2uxdx
傅立叶反变换：
当周期为N时，应在频域移动N／2。利用傅 立叶的频域移动的性质： 当u0=v0=N/2时
F (u u0 , v v0 ) f ( x, y) exp[j 2 (u0 x v0 y) / N ]
exp[j 2 (u0 x v0 y) / N ] exp[j ( x y)] (1) x y
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%在上面的变换前的矩阵没有被填充，下面比较 填充矩阵后的情况 F=fft2(f,256,256); %在变换前f被用0填充成256*256的矩阵，变换 后的矩阵大小也是256*256 figure() imshow(fftshift(log(1+abs(F))),[-1 5]); colormap(jet);colorbar