偏序关系
偏序关系
偏序关系：同时具有自反、反对称和传递性
4.6 偏序关系
定义4.21
设R为非空集合A 上的一个二元关系，如果R是自反的、反对 称的和传递的，则称R为A 上的偏序关系，记作≤。设≤是 偏序关系，若<x, y>≤，则记作x≤y，读作x“小于或等 于”y。集合A 与A 上的偏序关系≤一起组成的有序对<A, ≤> 叫做偏序集。 如以下关系都是偏序关系： 1 非空集合A 上的恒等关系IA。 2 实数集R上的“”、“”关系。
4.6 偏序关系
定义4.24
设<A, ≤ > 为偏序集，对于任意的x, yA，如果x < y并且不存在z∈A使得 x<z<y，则称y盖住x。作为集合A 上的一个二元关系，盖住关系C O V A 可表示 为：
C O V A={<x, y> |x, y∈A y盖住x} 根据定义4.24，<x, y>，
<x, y > ∈ C O V A y盖住x x ≤y <x, y>∈ ≤ 所以C O V A ≤ 。
4.6 偏序关系
对于偏序集<A, ≤ >，它的盖住关系C O V A 是唯一的，所以可以利用盖住关系 作图，表示该偏序集<A, ≤ > 。这个图叫作哈斯图。 偏序集<A, ≤>的哈斯图的画法如下： 1 用“”表示A 中的每一个元素； 2 x, yA，若x<y，则把x画在y的下面； 3 x, yA，若y盖住x ，则用一条线段连接x和y。
例 33
已知偏序集<A, R > 的哈斯图如下 解： 图,试求出集合A 和关系R的 表达式.
A = {a, b, c,d, e, f,g, h }
偏序
x(( x B) a((a A) (a x))) ，则称 a 为 B 的下界。
(3) 设 C={yy 是 B 的上界} A，C 的最小元称为 B 的最小上界（上确界）。 (4) 设 C={yy 是 B 的下界} A，C 的最大元称为 B 的最大下界（下确界）。
注意：上、下界不唯一，但上、下确界是唯一的。
解答
极小元：a,b,c,g 极大元：a,f,h。
没有最小元与最大元
说 明
哈斯图中的孤立顶点既是极小元也是极大元。
18
上界与下界举例
24 36
12 6 2 3
B
上界
无
12,24,36
下界
无
2,3,6 无 2,3,6
上确界
无
12 6 6
下确界
无
6 无 6
{2,3,6,1
2,24,36}
{6,12}
{2,3,6} 6,12,24,36
{6}
6,12,24,36
考虑右图中的偏序集。令B＝{b ，c，d}，则B的下界和最大下界 都不存在，上界有d和f，最小上 界为d。
19
1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
6
4
图 5.5.1 关系示意图 显然，偏序关系“”具有自反、反对称和传递性，因此<A，>是偏序集。
4
16
偏序集中的特殊元素
24
36 12 6
B
最大 元
最小 元 无 6 无 6
极大 元 24,26 12 6 6
极小 元 2,3 6 2,3 6
离散数学39偏序关系
偏序关系一、偏序关系和哈斯图1、定义3-12.1 若集合A上的二元关系R是自反的、反对称的和传递的，则称R是A的偏序关系，记作≼.设≼为偏序关系，如果<x,y>∈≼，则记作x≼y，读作“小于或等于”。
.序偶<A, ≼>称为偏序集合.（Partially Ordered Relations）注意：这里的“小于或等于”不是指数的大小，而是在偏序关系中的顺序性.x“小于或等于”y的含义是：依照这个序，x排在y的前边或者x就是y.根据不同偏序的定义，对序有着不同的解释.例如整除关系是偏序关系， 3 ≼ 6的含义是3整除6.大于或等于关系也是偏序关系，针对这个关系写5≼4是说大于或等于4,关系≼中5排在4的前边，也就是5比4大.注：和空关系都是A上的偏序关系， 1. 集合A上的恒等关系IA但全域关系E一般不是A上的偏序关系.A2. 实数域上的小于等于关系（大于等于关系），自然数域上的整除关系，集合的包含关系等都是偏序关系.定义设R为非空集合A上的偏序关系，定义(1) ∀x, y∈A, x ≺ y当且仅当 x ≼ y且x≠y;(2) ∀x, y∈A, x 与 y 可比当且仅当 x ≼ y 或 y ≼ x.注：在具有偏序关系的集合A中任二元素 x 和 y 之间必有下列四种情形之一：x ≺ y ，y ≺ x ，x=y ，x 与 y 不可比.例设A={1, 2, 3}(1) ≼是A上的整除关系，则：1 ≺ 2, 1 ≺ 3, 1＝1, 2＝2, 3＝3，2 和3 不可比；(2) ≼是 A 上的大于等于关系，则: 2 ≺ 1, 3 ≺ 1, 3 ≺ 2,1＝1, 2＝2，3＝3.2、定义3-12.2 在偏序集<A , ≼ >中，如果x,y∈A ， x ≼y，x ≠ y，且没有其他元素z满足x≼ z、z ≼y，则称元素y盖住元素 x.并且把所有具备盖住性质的续偶集合记作COV A，COV A={<x,y>| y盖住x }.例1A为正整数m＝12的因子的集合，并设≼为整除关系，求COV A.二、哈斯图（偏序集合图，Hasse Diagram）1、对于给定的偏序集<A，≼ > ，它的盖住关系是唯一的，所以可以用哈斯图表示偏序集合图.哈斯图作图规则：(1)用小圆圈代表元素.(2) 如果 X ≼ Y，且X ≠ Y，则将代表Y的小圆圈画在代表X的小圆圈之上.(3) 如果<X,Y> ∈COV A,则在X与Y之间用直线连接.2、哈斯图举例例2 画出偏序集A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}，≼为整除关系的哈斯图.例3 A={a,b,c}， 画出 <ρ(A), ⊆> 的哈斯图。
等价关系和偏序关系
等价关系和偏序关系等价关系和偏序关系是数学中常见的两种关系，它们在数学领域和其他学科中都具有重要的应用价值。
本文将从定义、性质和应用等方面，对等价关系和偏序关系进行详细介绍，并希望能够给读者提供一些指导意义。
首先，我们来介绍等价关系。
等价关系是指集合中的元素之间存在一种对等的关系，它可以将集合划分成若干个等价类。
在等价关系中，具有相同特征或性质的元素被划分到同一个等价类中，而具有不同特征或性质的元素则被划分到不同的等价类中。
换句话说，等价关系将集合中的元素划分为互不相交的子集，每个子集都代表一个等价类。
等价关系具有以下性质：1. 自反性：对于任意元素 a，a 和 a 相关。
2. 对称性：如果 a 和 b 相关，则 b 和 a 相关。
3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。
等价关系在数学中有广泛的应用，例如在代数、几何和数论等领域。
在代数中，等价关系可以帮助我们定义等价类，进而对集合进行分类和研究。
在几何中，等价关系可以帮助我们研究和描述图形的对称性质。
在数论中，等价关系可以帮助我们解决一些重要的数学问题，如素数分布等。
接下来，我们来介绍偏序关系。
偏序关系是指集合中的元素之间存在一种偏序的关系，它可以将集合中的元素按照某种方式进行排序。
在偏序关系中，元素的排列顺序可能是不确定的，即两个元素之间可能不存在比较关系。
与等价关系不同，偏序关系不能将集合划分为互不相交的子集，而是通过排序来比较元素之间的关系。
偏序关系具有以下性质：1. 反自反性：对于任意元素 a，a 和 a 不相关。
2. 反对称性：如果 a 和 b 相关且 b 和 a 相关，则 a 和 b 是相同的元素。
3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。
偏序关系在数学中也有广泛的应用，特别是在集合论、拓扑学、优化理论和离散数学等领域。
在集合论中，偏序关系可以帮助我们定义集合的包含关系和子集关系。
9.6偏序关系
9.6偏序关系9.6偏序关系(Partial Order)偏序(Partial Order)定义:偏序(Partial order)：定义在A上的集合R是偏序关系iff(当且仅当)其具有以下性质:1. ⾃反性(reflexive)2. 反对称性(antisymmetric)3. 传递性(transtive)NOTE: R记作≼，注意这⾥的≼不必是指⼀般意义上的“⼩于或等于”,若有x≼y，我们也说x排在y前⾯（x precedes y).偏序集(Partially ordered set)/(或简写为poset): 集合A及定义在其上的偏序关系R⼀起称为偏序集，记作(A, R)，A中的元素也称为偏序集中的元素.线序/全序(Linear Order)如果(A, ≤)是⼀个偏序集(poset)，那么对于其中的元素a和b,1. a≤b 或者 b≤a,那么称为可⽐的(Comparable)2. 即不存在a≤b，也不存在b≤a,那么称为不可⽐的(Imcomparable)如果偏序集A中每对元素(every pair of elements)都是可⽐的，那么我们就称A是线序集合(linearly ordered set)或全序集合(totally ordered set),称偏序关系R为线序或全序关系(linear order). 我们也称A为链(chain).良序集(Well-ordered set)定义:设集合(S,≤)为⼀全序集，≤是其全序关系，若对任意的S的⾮空⼦集，在其序下都有最⼩元素，则称≤为良序关系，(S,≤)为良序集。
拟序(Quasiorder)定义:定义在A上的关系R是拟序关系iff其具有以下关系1. 反⾃反性(irreflexive)2. 传递性(transitive)NOTE:满⾜反对称性的拟序关系就称为偏序关系乘积偏序(Product Partial Order)如果(A, ≤)和(B, ≤)都是偏序集，那么他们的笛卡尔积也是个偏序集，其偏序关系≤被定义为:如果在A中有a ≤ a'，在B中有b ≤ b'，那么(a, b) ≤ (a', b')词典顺序(Lexicographic Order)对于⼀个乘积偏序，(a, b) ＜ (a', b')在a ＜ a'(或a == a'并且b ＜ b')时成⽴那么我们称其为词典顺序(Lexicographic Order)或字典序(“dictionary” order)哈斯图(Hasse Diagram)哈斯图是有限集A上的偏序图，并且:删除了所有的⾃环(self-cycles)消除了由传递性⽣成的边⾃底向上的制图设(S, ≤)是⼀个poset. 若x＜y且不存在元素z∈S，使得x＜z＜y，则称y∈S覆盖x∈S.⽽y覆盖x的有序对(x, y)的集合也称为(S, ≤)的覆盖关系.可以看出，(S, ≤)的哈斯图的边与其覆盖关系是⼀⼀对应的.同构(Isomorphism)对应原理(Principle of Correspondence)两个有限同构偏序集必定具有相同的Hasse图.拓扑排序(Topological Sorting)极⼤元(maximal element)和极⼩元(minimal element)定义:偏序集中的⼀个元素称为极⼤(⼩)元，当它不⼩(⼤)于这个偏序集中的任何其他元素, 利⽤哈斯图很容易判别它们就是图中的"顶"("底")元素极⼤(⼩)元⼀定存在，且可能是不唯⼀的最⼤元(greatest element)和最⼩元(least element)定义:如果在偏序集中存在⼀个元素⼤(⼩)于任何其他的元素，那么称这样的元素为最⼤(⼩)元最⼤(⼩)元可能不存在，若存在则唯⼀最⼩上界(least upper bound)和最⼤上界(greatest lower bound)定义:如果存在⼀个元素u(l)∈S，使得对于偏序集(S, ≤)的⼦集A中的所有元素a，有a≼u(l≼a)，那么称u(l)为A的⼀个上(下)界，如果u(l)是所有上(下)界中最⼩(⼤)的，就叫最⼩上界(LUB)(最⼤下界(GLB))上界的最⼩元就叫最⼩上界；下界的最⼤元叫最⼤下界(Topological Sorting)定义:对⼀个有向⽆环图DAG(Directed Acyclic Graph)G进⾏拓扑排序，是将G中所有顶点排成⼀个线性序列，使得图中任意⼀对顶点u 和v，若边<u,v>∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。
36偏序关系
3.6.2字典序 字典序 A1×A2×…×An上的字典序： n个偏序集（A1，≤），（A2，≤），…，（An，≤） 在A1×A2×…×An上定义偏序关系： (a1,a2,…,an)<(b1,b2,…,bn)⇔∃i，1≤i≤n-1，使 a1=b1,a2=b2,…,ai=bi,且ai+1<bi+1 串上的字典序： 偏序集（S，≤），a1a2…am、b1b2…bn是S上的串， t=min(m,n) a1a2…am<b1b2…bn⇔(a1,a2,…,at)<(b1,b2,…,bt)或 (a1,a2,…,at)=(b1,b2,…,bt),且m<n
图3-11 三个偏序集 的哈斯图
例 21 偏序集(Z+,|)是格吗？ 解 设a和b是两个正整数。这两个整数的最小下界和最 大下界分别是他们的最小公倍数和最大公约数，读者应能 验证这一点。因此这个偏序集是格。 例 22 确定偏序集({1,2,3,4,5},|)和({1,2,4,8,16},|)是否为格. 解 因为2和3在({1,2,3,4,5},|)中没有上界，它们当然没 有最小上界，因此第一个偏序集不是格。 第二个偏序集的每两个元素都有最小上界和最大下界。 在这个偏序集中两个元素的最小上界是他们中间较大的元 素，而两个元素的最大下界是它们间较小的元素，读者 应能验证这一点。因此第二个偏序集是格。 例 确定(P(S), ⊆)是否是格，其中S是集合。 解 设A和B是S的两个子集。A和B的最小上界和最大下界分 别是A∪B和A∩B，因此(P(S), ⊆)是格。
上界： 上界：A⊆S，a∈S ， 若∀x∈A，x≤a，则称a是A的上界 下界： 下界：A⊆S，a∈S ， 若∀x∈A，a≤x，则称a是A的下界 例 17 找出在图3-10所示哈斯图的偏序集的子集 ｛a,b,c｝,{j,h}和｛a,c,d,f｝的下界和上界。 解 ｛a,b,c｝的上界是e,f,j和h，它的唯一的下界是a。{j,h} 没有上界，它的下界是a,b,c,d,e和f。{a,c,d,f}的上界是f， h和j，它的下界是a。
偏序关系的定义
偏序关系的定义
偏序关系是指在一个集合中，存在一种关系，使得其中的某些元素可以被比较大小，而另一些元素则不能。
这种关系被称为偏序关系，也叫部分序关系。
偏序关系的性质
偏序关系具有以下性质：
1. 反自反性：对于任意元素a，a不与自己存在偏序关系。
2. 反对称性：如果a与b存在偏序关系，且b与a也存在偏序关系，则a=b。
3. 传递性：如果a与b存在偏序关系，b与c也存在偏序关系，则a与c也存在偏序关系。
4. 非对称性：如果a与b存在偏序关系，那么b与a不存在偏序关系。
偏序关系的应用
偏序关系在实际生活中有很多应用，例如：
1. 排序：偏序关系可以用来对一组数据进行排序，例如对学生成绩进行排名。
2. 选择：偏序关系可以用来进行选择，例如在购物时选择商品。
3. 比较：偏序关系可以用来比较两个事物的大小，例如比较两个人的身高。
4. 筛选：偏序关系可以用来筛选出符合条件的元素，例如筛选出符合要求的员工。
总结
偏序关系是一种重要的数学概念，在实际生活中有很多应用。
了解偏序关系的定义和性质，可以帮助我们更好地理解和应用它。
集合论--第9讲偏序关系
离散数学偏序关系第9讲定义9.1设R为非空集合A上的关系, 如果R是自反的、反对称的和传递的, 则称R为A上的偏序关系。
简称偏序, 记作≼。
设≼为偏序关系。
如果<x,y > ∈ ≼, 则记作x≼y, 读作“x小于等于y”。
意即：依据这个序，x排在y的前面或x就是y。
定义9.2设R是非空集合A上的偏序关系，定义(1) ∀x,y∈ A, x与y可比⇔x ≼y ∨ y ≼x。
(2)∀x,y∈ A, x ≺y ⇔x ≼y ∧ x≠y。
其中x≺y读作“x小于y”。
由上面定义可知，在具有偏序关系≼的集合A中任取两个元素x和y，可能有下述几种情况发生：x与y不可比；x≺y；y≺x；x=y。
定义9.3集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集，记作<A, ≼>。
利用偏序关系的自反性，反对称性和传递性可以简化一个偏序关系的关系图，得到偏序集的哈斯图。
我们需要下面覆盖的定义。
定义9.4设<A, ≼> 是偏序集， x,y∈ A ，如果x≺y且不存在z ∈ A使得x≺z≺y ，则称y覆盖x。
例子例9.1<A,≼>是偏序集,其中A＝{1,2,3,4,5}, ≼是整除关系。
解: 对任意x∈A都有1≼x,所以1和1,2,3,4,5都是可比的,但是2不能整除3,3也不能整除2,所以2和3是不可比的。
对于1和2来说,1≺2,并且不存在z∈A使得1整除z并且z整除2,所以,2覆盖1。
同样,4覆盖2,但4不覆盖1,因为有1≺2≺4成立。
如果x与y不可比,则一定不会有x覆盖y或y覆盖x。
哈斯图——关系图的简化哈斯图的画法1在关系图中去掉所有的自环。
2若y覆盖x，则保留从x到y的边，其它的边全去掉。
3若y覆盖x，将x放在下方，y放在上方，去掉边上的方向。
这一点是能做到的，因为偏序关系的关系图中无有向圈。
例子画出<{1,2,…,12},R 整除>和<P({a,b,c}), R >的哈斯图.例9.2179361211510248<{1,2,…,12},R 整除>{a}{b}{c}{b,c}{a,c}{a,b,c}{a,b}∅<P({a,b,c}), R >⊆⊆基本概念定义9.5设<A,≼>为偏序集,B ⊆A .①y∈B, y是B 的最小元: 若∀x(x∈B→y ≼x)成立。
《离散数学课件》7偏序关系
例 找出极大、极小元与最大、最小元
极小：1 极大：5，6，7，8，9 最小：1 最大：无
极小：φ
极大：{a，b，c}
最小：φ
最大：{a，b，c}
3、上界、下界
设(A，≺)是一个偏序集， BA, yA。
若x(x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为B的上界 若x(x∈B→y≼x) 成立, 则称 y 为B的下界
d c
e b
a
特点： 每个结点没有环， 两个连通的结点之间的有序关系通
过结点位置的高低表示，位置低的元素 的顺序在前，具有覆盖关系的两个结点 之间连边。
哈斯图实例
例 <{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, R整除> <P({a, b, c}), R>
例 试画出哈斯图
设A={ {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,5}, {3,6},
d c b
a
({ a, b, c, d }, ≺) 链
({ a, d, e }, ≺) 链
e ({ b, e }, ≺)
反链
({ c, e }, ≺) 反链
全序集
设(A，≺)是一个偏序集， 如果它本身就是一条链， 那么称之为全序集，并称≺ 为全序关系。
例 A={ a, b, c, d, e} d c e b
R={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4),
(1,2), (1,3), (1,4), (2,4)}
R是A上一个偏序关系。
例2 (p109)
设Z+={n∊Z│n>0}，即Z+是正整数的集合。 在Z+上定义一个二元关系R如下: 对于任意的x,y∊Z+，
偏序关系
一、偏序关系
（2） 偏序集 ＜A, R 意指在一个集合 A 中给定于一 个序列关系。若 x, y A且xy ，我们就说 y 在 x 的 后面或 x 在 y 的前面或 x 包含在 y 中。 例 1：说明实数集 R 上的小于等于关系是偏序 关系，即 R, ；任意集合 S 的幂集上的包含 关系是偏序关系,即 P(S ),
一、偏序关系 定义 4-24 设偏序集<A, >，如果对于 A 中任意
两个元素 a, b A ,必有 a b 或 b a ，则称 是 A
上的全序关系。称 A, 为全序集。 例如，实数集 R 上的小于等于关系就是全序关 系。但是，整数集 Z 上的整除关系就不是全序 关系。
一、偏序关系
例 4-2 设 A {2,3,4,5,6,12,24,30} ， R 是 A 上 的整除关系， R { x, y x y} ，证明 R 是偏序 关系。 定义 4-23 对于集合 A 上的偏序关系 R ，如果 A 中两个 a ， b ，有 aRb ,则称 a 与 b 是可比较 的。
二、哈斯图
偏序集 A, 可以通过哈斯图表示，它是对关系图的
简化。 （1）由于偏序关系是自反的，即对每个元素 a ，都有 aRa ，因此在图上省去自环。 （2）由于偏序关系是传递的，即若有 aRb 和 bRc ，则 必有 aRc ，因此在图中省去 a 与 c 之间的连线。 （3）对于 aRb ，规定 b 在 a 的上方，则可省去箭头。 这样的图称为哈斯图。
4.上确界和下确界
注：一个子集 B 的上界和下界未必存在，也未必唯一，上 确界和下确界也未必存在。若上（下）确界存在，则必是 唯一的，上（下）确界的符号分别是 sup 与inf 。 例 设 集 合 A {1,2,3,4,5} ， A 上 的 二 元 关 系 R 为
偏序关系
最大元, 最小元举例
例: <A,|>, A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} B1={1,2,3}, B2={3,5,15}, B3=A. B1的最大元是{}, B1的最小元是{1} B2的最大元是{15}, B2的最小元是{} {15}, {} B3的最大元是{}, B3的最小元是{1}
最小上界,最大下界举例
例16(1): <A,|>, A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} B1={1,2,3}, B2={3,5,15}, B3=A. B1的最小上界是{6}, B1的最大下界是{1} B2的最小上界是{15}, B2的最大下界是{1} {15}, {1} B3的最小上界是{}, B3的最大下界是{1}
说明: 说明: 如果存在最大( 如果存在最大(小)元,则必是唯一的. 则必是唯一的. 极大( 极大(小)元是一种局部性质,这个元素可能并不 元是一种局部性质, 是与每个元素都有关系, 是与每个元素都有关系,只要没有与它可比的元素 存在;而最大( 是一种"全局"性质, 存在;而最大(小)是一种"全局"性质,它必须 与相应集合成中每个元素都有关系. 与相应集合成中每个元素都有关系. 对于非空有穷偏序集来说,一定存在着极大( 对于非空有穷偏序集来说,一定存在着极大(小) 但最大( 元可能存在也可能不存在. 元,但最大(小)元可能存在也可能不存在. 如果存在着唯一的极大( 如果存在着唯一的极大(小)元,则这个极大(小) 则这个极大( 元必是最大( 元必是最大(小)元.
9 4 2 6 3 1 15 5 10 4 2 6 3 1 9 15 5 10
链(chain), 反链(antichain)
设<A,>为偏序集, BA, 链(chain): B是A中的链 xy( x∈B∧y∈B → x与y可比 ) |B|称为链的长度 反链(antichain): B是A中的反链 xy( x∈B∧y∈B∧x≠y → x与y不可比 ) |B|称为反链的长度
4.6偏序关系
24
36
2
3
12
6
6
12
2
3 24
36
例：集合A={a,b,c} , P(A)上有子集关系 , 画出哈斯图。 {a,b,c}
{a,b}
{a,c}
{b,c}
{a}
{b}
{c}
{}
例：根据哈斯图， 写出偏序关系。
8
4
6
Hale Waihona Puke 2解：A = {2,4,6,8} R = {<2,2>,<4,2>,
<4,4>,<6,6>, <6,2>, <8,4>, <8,6,>, <8,8>} A上的整倍数关系
④ 令 C = { y | y是B的上界 }， 则称 C的最小元 是B的上确界
例：{ 2,3,6,12,24,36 } 上的整除关系， 求 { 2,3,6,12 } 的界、确界。
24
36 下界：无
12
上界：12, 24, 36
6
下确界：无
上确界：12
2
3
说明： ① B的界、确界在 A 的范围中，
三、全序关系
定义：设 <A,≤> 为偏序集 , 若对任 意的 x,y∈A，x与y 都是可比 的，则称 ≤ 为 A 上的全序关 系，称 <A,≤> 为全序集。
全序关系一定是偏序关系，偏序关系 不一定是全序关系。
例：{2,4,6,8} 上的整除关系不是全序 关系，小于等于关系是全序关系。
8
8
4
6
6
4
二、哈斯图 有穷偏序集的关系图， 可以简化为哈斯图。
严格偏序关系和偏序关系
严格偏序关系和偏序关系嘿，朋友们！今天咱来聊聊严格偏序关系和偏序关系。
这俩概念啊，就好像是生活中的两种不同情况。
你看啊，严格偏序关系就像是一场比赛，每个人都在争个高下，而且不存在平局！比如说跑步比赛，第一名就是第一名，第二名就是第二名，不存在两个人同时是第一名的情况。
这就好比是严格偏序关系，它具有反对称性和传递性。
啥意思呢？就是说如果 A 比 B 强，那 B 就不可能比 A 强，而且如果 A 比 B 强，B 又比 C 强，那肯定 A 就比 C 强。
这不是挺明显的嘛！再说说偏序关系，这就像是一个班级里的同学关系。
有的同学学习好，有的同学体育好，有的同学画画好，大家各有各的长处，没有绝对的第一。
这就是偏序关系啦，它也有自反性和传递性。
也就是说自己和自己比那肯定是相等的呀，就像你总不能说自己比自己差吧。
而且就像前面说的那种情况，如果 A 比 B 强，B 又比 C 强，那 A 还是比 C 强。
那这两个关系在生活中有啥用呢？那用处可大了去了！比如说在工作中，咱要评估员工的绩效，这时候就可以用严格偏序关系来明确谁是最优秀的，谁需要改进。
而在团队合作中，大家各有所长，这就是偏序关系，每个人都能发挥自己的优势，共同完成任务。
再比如在选班长的时候，大家投票，可能每个人都有自己的优点和不足，这就是偏序关系呀。
但如果是比赛跑步选冠军，那就是严格偏序关系啦。
你说这是不是很有意思？就像我们的生活一样，有时候要争个高低，有时候又要相互合作，各展所长。
那我们在面对不同的情况时，就得搞清楚到底是严格偏序关系还是偏序关系，这样才能做出正确的选择和行动。
想想看，如果把生活中的各种关系都弄清楚了，那我们不是能更好地处理事情，和别人相处得更融洽吗？这就好比我们知道了游戏规则，才能玩得更开心，更尽兴呀！所以啊，大家可别小瞧了这严格偏序关系和偏序关系，它们可藏着大学问呢！它们就像是生活中的指南针，能帮我们找到正确的方向。
总之，严格偏序关系和偏序关系是我们生活中不可或缺的一部分，它们让我们的生活变得更加有序，更加丰富多彩。
第3章 10偏序关系
3.10.4 两种特殊的偏序集
1.全序
设“≤”是集合A上的一个偏序关系，对于任意a,b∈A， 当a≠b时，a≤b和b≤a至多一个成立，这意味着允许a≤b 和b≤a可以都不成立。 例如 在例3的整除关系中，3≤4，4≤3均不成立。
在例4的包含关系中
{b} {a, c},{a, c} {b}
显然
cov A 。
哈斯(Hasse)根据盖住的概念给出了偏序关
系图的一种画法,这种画法画出的图称为哈 斯图,作图规则如下：
(1)用小圆圈代表元素;
(2)若元素a≠b且a≤b时，则结点a 画在结点b的下方。 (3) 若b盖住 a ，则在 a 与b 之间用 直线连接 . 由于所有边的箭头向 上,故省去箭头。例3中的关系 的哈斯图如右图.
（4）若a是B的下界，且对B的任意下界 ，均有 a
则称a为B的最大下界（下确界），记作GLB(B)。
通过以上例子可以看出界有以下性质： （1）一个集合可能没有上界或下界，若有，则不一 定唯一，并且它们可能在B中，也可能在B外；
（2）一个集合若有上下确界，必定是唯一的，并且 若是B的最大（小）元素，则它必是B的上（下）确界。
例如 ρ 1 = ｛〈 0,1 〉，〈 1,2 〉，〈 3,3 〉，〈 3,4 〉｝， ρ 1· ρ 2=｛〈1,3〉，〈1,4〉，〈3,3〉｝，
1
2
则ρ 2=｛〈2,3〉，〈2,4〉，〈4,3〉｝或
ρ 2=｛〈2,3〉，〈2,4〉，〈3,3〉｝都可以。
3 .有人说，集合A上的关系
，如果是对称的且可
对任意 S , S 2U ，若 S S 且 S S ，则 Si S j i j j i i j 所以“ ” 是反对称的。 对任意 S , S , S 2U，若 S S ，S S ，则Si S k 所以“ ”是可传递的。
第8节 偏序关系
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集合论 与图论
哈斯(Hasse)图
首先偏序关系≤是自反的，所以偏序关系的关系图 中每个顶点都有一个环，因此可以省略每个顶点的环。 其次由于偏序关系是传递的，那么只要在前驱与 后继间联线即可。 最后由于反对称性，若x<y，xy，则点y画在x 的上方，这样就不必用矢线了，按上述方法画出的图 称为(X,≤)的哈斯图。
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集合论 与图论
实 例
例2：自然数集合N上的整除关系“”是不是偏序关 系? 自然数集合N上的整除关系“”是偏序关系。
(N,)是一个偏序集。
设≤是X上的偏序关系，则≤的逆≤-1也是X上的偏 序关系，以后用“≥”表示≤的逆关系，并读成“大 于或等于”。 若x≥y且xy，则简记为x>y。
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集合论 与图论
毕业舞会问题
方法一：若存在 Di∩Dj=，则问题得证。 若不存在 Di∩Dj=，则…… 方法二：问题转化为 i≠j, i, j{1, 2, …, m}, Di\Dj≠且Dj\Di≠。
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集合论 与图论
毕业舞会问题
毕业舞会上，小伙子与姑娘跳舞，已知每个小伙子 至少与一个姑娘跳过舞，但未能与所有姑娘跳过。 同样地，每个姑娘也至少与一个小伙子跳舞，但也 未能与所有的小伙子跳过舞。 证明：在所有参加舞会的小伙与姑娘中，必可找到 两个小伙子和两个姑娘，这两个小伙子中的每一个 只与这两个姑娘中的一个跳过舞，而这两个姑娘中 的每一个也只与这两个小伙中的一个跳过舞。
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集合论 与图论
毕业舞会问题
不失一般性，不妨设有m个小伙，n个姑娘，分 别用集合B、G表示: B={b1, b2, …, bm}， G={g1, g2, …, gn}. 令 Di={gk |与小伙子bi 跳过舞的姑娘gk, k=1, 2, …, n}， i=1, 2, …, m. 则有 已知每个小伙子至少与一个姑娘跳过舞，但未能与 所有姑娘跳过，所以 Di≠，1≤| Di | ≤ n-1，i=1, 2, …, m. 同样地，每个姑娘也至少与一个小伙子跳舞，但也 未能与所有的小伙子跳过舞，所以 D1∩D2∩… ∩Dm=. 19/20
第四章 6偏序关系
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4.9 偏序关系
总结： 极大元，极小元，最大元，最小元需要在子集B中找。
上界，下界在整个集合A中找。 上确界在上界中找。 下确界在下界中找。 极大元，极小元不要求可比。 最大元，最小元，上（下）界，上（下）确界都要求可比。
不可比，它们处在哈斯图中的同一个层次。
最大(小)元必是极大(小)元，反之不然。 最大(小)元不一定存在，若存在，则必是唯一的。
定理4.9.1 设〈A, ≼〉是偏序集，B是A的非空子集，如果B有最小元
（最大元），则最小元（最大元）是唯一的。
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4.9 偏序关系
定义4.9.6（上界，下界，上确界，下确界）
集合 A B C
上界
无 无
6,12,24,36
下界
无 2,3,6,12
无
上确界 下确界
无
无
无
12
6
无
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36
12 6
2
3 20
4.9 偏序关系
上(下)界和上(下)确界的性质： 一个集合B，其上(下)界不一定存在；若存在，则不一定是唯一
的，并且它们可能在B中，也可能在B外。
一个集合B若有上(下)界，其上(下)确界也不一定存在；若上 (下)确界存在，则必定是唯一的。
离散数学 (Discrete Mathematics)
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4.9 偏序关系
❖ 偏序关系的定义 ❖ 偏序关系的哈斯图 ❖ 偏序集中的特殊元素 ❖ 几种特殊的偏序集 ❖ 小结
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4.9 偏序关系
一、偏序关系的定义
偏序关系的个数
偏序关系的个数偏序关系的个数是指给定一个集合，求出所有可能的偏序关系的个数。
在数学领域，偏序关系是一种对集合元素之间的排序关系，但不要求所有元素都可比较。
在这篇文章中，我们将探讨如何计算偏序关系的个数。
偏序关系的个数与集合的元素个数有关。
假设集合包含n个元素，我们可以考虑从中选择两个元素进行比较。
对于每对元素，有三种可能的结果：它们之间存在一个偏序关系（如A ≤ B），它们之间不存在偏序关系（不可比较），或者它们是相等的。
首先，我们来考虑两个元素是相等的情况。
对于每一个元素，它可以与自身构成一个偏序关系，因此有n种情况。
接下来，我们来考虑两个元素是不可比较的情况。
对于每一对不可比较的元素，它们不会产生偏序关系。
因此，我们需要确定两个元素并将它们划分为一个不可比较的组。
这可以通过分配两个元素到不同的等价类中来实现。
由于等价类的数量可以从1到n都有，所以存在2的n次方个不可比较的组。
最后，我们来考虑两个元素之间存在偏序关系的情况。
对于每一对可比较的元素，它们可以构成一个偏序关系或不存在关系。
因此，对于每一对可比较的元素，有两种可能的结果。
由于有C(n, 2)种选择两个可比较的元素的方式，所以存在2的C(n, 2)种不同的偏序关系。
综上所述，偏序关系的个数等于n + 2的n次方 + 2的C(n, 2)次方。
在解决实际问题时，可以使用组合数学的知识和技巧来计算这个值。
总结起来，偏序关系的个数取决于集合的元素个数，它表示了集合中可能的排序方式的数量。
通过考虑相等、不可比较和可比较的元素，我们可以计算出偏序关系的个数，这对于研究和解决一些实际问题非常有用。
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注：覆盖P的链数 P中任一反链的元素个数.
等价结论:有限偏序集中存在一个链覆盖和一个反链，它们 大小相等
Dilworth定理的归纳证明
证明. 按照P中元素个数（|P|=1, 2 …）进行归纳证明. 设a为P中的一个极大元素, P’ =P-{a} 设(P’,≼)有一个大小为k的反链{a1, a2, …, ak}，并有一个规模 为k的链覆盖{C1, C2, …, Ck}. 对任意Ci , P’中大小为k的任一反链均有唯一的元素属于Ci， 这些元素有一个最大元，记为xi. A={x1, x2, …, xk}必是反链。否则，不妨假设A中有两个元素 xi≼ xj. 根据xj的定义，P’中必有一个大小为k的反链Aj, xj是Aj 和Cj的公共元素，假设y是Aj和Ci的公共元素，则y≼ xi. 从而 y≼ xj.与Aj是反链矛盾.
x1 x2且x1 ≼ x2, 或者x1 = x2且y1 ≼ y2
易证R是AA上的偏序关系
给定有限字符集合，若在上有一个偏序关系，类似上述 办法，可以对任意正整数 k, 定义 k( 由 中字符构成的长度 为 k的串的集合 ) 上的偏序关系。加以适当的技术处理，则 容易定义 +(由 中字符构成的长度为任意正整数的串的集 合)上的偏序关系：字典关系
b
c a1 a2
….
….
ai ak
d
e
f
g
C
i 1
k
i
P(Ci互不相交）
Dilworth定理
链覆盖 是(P,≼)中一组互不相交的链, 它们一起包 含了P中的所有元素. Dilworth 定理 (1950) 在任意有限偏序集(P,≼)中, 覆盖P的最小链数等于 P中最长反链的长度（元素个数）.
自反性：对任意aA, {a}也必有最小元，即a≼a 传递性：假设a≼b, b≼c, {a, b, c}的最小元素只能是a, 因此a≼c 任何两个元素可比，上面已证明。
关于次序关系的进一步讨论
注意：良序结构上可以实施数学归纳法 全序是否一定是良序？ 当A是无穷集合时，全序不一定是良序
例如： (R， ), 任何开区间上没有最小元素
定义了偏序关系的集合称为偏序集，记作(A, ≼) 举例
集合包含关系 (2A, ), 其中A是集合
(Z+, |)，Z+是正整数集，“|”是整除关系
任意非空集合A上的恒等关系IA
既是偏序又是等价的关系
“字典顺序”
设≼是非空集合 A上的偏序关系，定义AA上的关系R如下：
(x1, y1) R (x2, y2) iff.
偏序集上的“小于”关系及覆盖
设(A, ≼)是偏序集
A上的“小于”关系≺定义如下：
x≺y iff x≼y xy 元素y覆盖x定义如下： x≺y ，且不存在zA使得 x ≺ z ≺ y
哈斯图
一般的关系图可以表示偏序关系
哈斯图(Hasse)：利用特定性质简化图示方法
利用自反性省略圈 利用反对称性省略箭头 利用传递性省略部分连线（覆盖）
良序 全序 偏序 偏序/全序/良序的逆关系是否仍为偏序/全序/良序？ 良序的逆关系不一定是良序
例如(N， )
链与反链
链与反链
设C是偏序集(P,≼)的一个子集
如果C中任何两个元素均可比，则C构成一个链 如果C中任何两个元素均不可比，则B构成一个反链
链与反链（示例）
a
元素个数最多的反链，含k个元素
b
c
cห้องสมุดไป่ตู้
b a
a
({a,b,c})上的包含关系
{a,b,c}
{a,c}
{a,b}
{b,c}
{a} {b}
{c}
{1,2,...,12}上的整除关系
9
12 8 10 11
7
6
4
5
3
2
1
{1,2,3,4,6,8,12,24}上的整除关系
24
8
12
4
6 3
2
1
偏序集中的特殊元素 ：极大(小)
x是偏序集(A,≼)中的极大元 iff.
注意：在通常的字典关系中，任何两个元素均可比。
全序：一种特殊的偏序关系
如果对a, bA，a≼b和b≼a中有一个成立，则a,b可比。
设 R是 A上的偏序关系，如果A中的任意两个元素都是 可比的，则称R是A上的全序关系（或线序关系） 举例（全序）
实数集上的“不大于” 关系、基于拉丁字母表的字典顺序
类似地可以定义下界、最大下界（ glb ），下确界。
有关上(下)界的讨论
不一定存在； 最小上界若存在，则必唯一。
从哈斯图看特殊元素
最大/极大 B的上界的集合 最小上界
子集B
极小
极小
拓扑排序（Topological sorting）
有向无环图上构造一种线性序 f g f e b
f
e b a d g c
对任意y∈A,若x≼y, 则x=y 对任意y∈A,若y≼x, 则x=y
没有比它更大 (小)的了！
x是偏序集(A,≼)中的极小元 iff.
有关极大元与极小元的讨论
不一定存在，但是，有穷集合一定有极大(小)元 不一定唯一
一个元素可能兼为极大(小)元
偏序集中的特殊元素 ：最大(小)
x是偏序集(A,≼)中的最大元 iff. 它比谁都要大 (小)！ 对任意y∈A, y≼x
c e d b a
d g
c a
良序
定义：给定集合 A上的偏序≼，若 A的任一非空子集均 存在最小元素，则该偏序为良序。 良序必为全序
对任意a,bA, {a,b}必有最小元，则a,b一定可比
实际上，“反对称性+任一非空子集存在最小元”就能 够保证全序性质（偏序性质+任何两个元素均可比）。
偏序关系
离散数学－关系
南京大学计算机科学与技术系
内容提要
偏序与全序
哈斯图
极大 (小)元、最大(小)元
上(下)界、上(下)确界
良序 链与反链（ Dilworth定理 ） 格及其性质
偏序关系的定义(Partial Order)
偏序关系：集合上的自反的、反对称的、传递的关系
通常记作 ≼
x是偏序集(A,≼)中的最小元 iff.
12
对任意y∈A, x≼y
6 4
有关最大元与最小元的讨论
可能不存在 若存在，必唯一。
3 2
偏序集中的特殊元素 ：上(下)确界
上界：对于偏序集(A,≼)和A的子集B，若存在yA， 对B中任意元素x, 均有x≼y,则y是B的上界。 最小上界：如果B的上界构成的偏序集有最小元， 则该最小元为B的最小上界（lub），上确界。