一些常见的Z变换
Z变换理论
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上 乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延 迟k个周期。
10 z 10 z F ( z) z 2 z 1
②
③
f * (t ) 10 2n 10 10(2n 1)
第七章线性离散系统的分析与校正
能源与动力学院
Z 变换
3.留数法 （反演积分法） 1 f (nT ) F ( Z ) Z n1dz Re s[ F ( Z ) Z n 1 ]z zi 2j c 函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数
n *
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为
z R1 lim ( s p1 ) F ( s) s p1 z e piT
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为
1 d q 1 z q R lim (s p1 ) F (s) s p1 dsq 1 (q 1)! z e piT
能源与动力学院
第七章线性离散系统的分析与校正
Z 变换
例 求 解:
cos t 的Z变换
s s F ( s) 2 2 s ( s j )(s j )
s z 1 z R1 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT s z 1 z R2 lim ( s j ) sT jT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e
一些常见的Z变换-互联网类
一些常见的Z变换－互联网类在咱们这个互联网时代，Z 变换这个东西听起来好像有点高大上，让人摸不着头脑。
但其实呀，它就像咱们生活里的小秘密，一旦揭开，也没那么神秘。
我先给您说说 Z 变换是啥。
简单来讲，Z 变换就像是给数字信号穿上了一件特别的衣服，让我们能更清楚地看到它的特点和规律。
比如说，我们在网上看视频的时候，那些视频的数据在传输过程中，就可以用 Z 变换来分析和处理。
就拿我之前遇到的一件事儿来说吧。
有一次，我正在家里看一部超级精彩的电影，正看到关键情节，突然画面卡住了。
我这心里那个急呀，就开始琢磨这到底是咋回事。
后来我才知道，原来是网络传输过程中的数据处理出了问题，这里面就涉及到了 Z 变换的知识。
那 Z 变换在互联网里都有哪些常见的应用呢？比如说在图像压缩里，Z 变换能帮助把大大的图像文件变小，这样传输起来就更快，咱们看图片的时候就能更快加载出来。
还有在音频处理中，Z 变换可以让声音更清晰，没有杂音。
再比如说，在网络控制系统中，Z 变换能对系统的稳定性进行分析。
就像我们建房子，得先看看地基稳不稳，Z 变换就是帮我们看看这个网络控制系统的“地基”怎么样。
还有啊，在数字滤波器的设计里，Z 变换也起着重要作用。
它能把不需要的信号过滤掉，留下我们想要的。
就好比我们在一堆水果里挑出好的，扔掉坏的。
说到这，您可能会想，这 Z 变换跟我有啥关系呢？其实关系大着呢！咱们每天用手机、电脑上网，背后都有 Z 变换在默默工作。
它让我们的网络体验更流畅，更高效。
总之，Z 变换虽然听起来有点复杂，但在互联网的世界里，它可是个不可或缺的小能手。
就像我那次看电影遇到的卡顿问题，要是能更好地运用 Z 变换相关的技术，也许这种情况就能少发生，咱们就能更愉快地畅游在互联网的海洋里啦！希望通过我的这番介绍，能让您对 Z 变换在互联网中的常见应用有个大概的了解。
虽然它可能不会直接出现在我们的眼前，但它一直在背后为我们的互联网生活保驾护航呢！。
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
常用序列的z变换
常用序列的z 变换1. 引言在信号与系统以及数学领域中，z 变换是一种重要的数学工具，用于分析离散时间序列的频域特性。
它被广泛应用于数字信号处理、控制系统、图像处理等领域。
本文将深入探讨常用序列的z 变换，包括定义、性质、求解方法以及应用。
2. 定义2.1 离散时间序列离散时间序列是指在一系列离散时刻上取值的序列，用数学表达式表示为{xn}。
其中，n 为整数，代表时刻。
2.2 z 变换z 变换是一种将离散时间序列转换到复平面上的数学工具。
它的定义如下：X (z )=∑x ∞n=−∞(n )z−n 其中，X(z)为z 变换的结果。
它是一个复数函数，与复变量z 相关。
x(n)为离散时间序列的取值。
3. 性质z 变换具有许多重要的性质，下面列举几个常用的性质：3.1 线性性质对于任意常数a 和b ，以及离散时间序列x(n)和y(n)，有以下关系： X (z )=aX 1(z )+bX 2(z )其中，X(z)为x(n)的z 变换结果，X1(z)为x1(n)的z 变换结果，X2(z)为x2(n)的z 变换结果。
3.2 移位性质离散时间序列的移位操作在z变换中可以用乘法来表示。
具体表达式如下：X(z)=z0−n X0(z)其中，X0(z)为x(n)的z变换结果，X(z)为x(n−n0)的z变换结果。
3.3 缩放性质离散时间序列的缩放操作在z变换中可以用z变量的幂函数来表示。
具体表达式如下：X(z)=X0(z n)其中，X0(z)为x(n)的z变换结果，X(z)为x(n/n0)的z变换结果。
3.4 差分性质差分操作在z变换中可以用除法来表示。
具体表达式如下：X(z)=X0(z)−X1(z)1−z−1其中，X0(z)和X1(z)分别为x(n)和x(n−1)的z变换结果，X(z)为x(n−1)的z变换结果。
4. 求解方法4.1 直接求解法直接求解法是指根据z变换的定义，逐项计算离散时间序列的z变换结果。
这种方法适用于简单的离散时间序列。
常见信号的z变换
常见信号的z变换
什么是傅里叶变换？傅里叶变换（Fourier transform）是数学中
一种函数转换的工具，它可以将复杂的信号变换为较低复杂度的信号，从而更容易理解和分析。
z变换（Z-transform）是从傅里叶变换演化
而来的数学方法，它可用于在时域和频域之间互换信号，并且可用来
对多种常见信号进行深入分析。
z变换可用于分析常见信号的波形，比如正弦波、方波、三角波、
锯齿波等。
z变换可以根据这些波形的特性，求出傅里叶变换的系数，
这些系数就是描述该信号的能量谱的振幅的参数。
例如，正弦波具有
一个高频组成部分，而z变换可以求出这个波形的频率及其相应的振幅。
z变换还可以用来测量和滤波信号，它可以用来处理各种不同的信号，例如步进响应、单位冲击响应等，也可以通过修改系数来改变信
号的响应曲线。
由于z变换的抽象性和灵活性，因此它可以应用于很
多数字信号处理（DSP）领域中，如通信、调制解调、数据信号的处理、语音识别等。
另外，z变换还可以用于时变信号的处理，例如声音信号的处理，
这是因为z变换可以在时域和频域之间进行变换，并且可以通过它来
分析周期性和非周期性信号，从而更好地分析和处理接收到的信号。
总而言之，z变换可以用于对多种常见信号的深入分析，它使得对常见
信号的处理变得更加简单快捷。
常见序列单边z变换
k0
k0
(az 1 )k
1, 1 az
1
z a
aku[k]Z 1 z , 1 az1 z a
z a
同理可得：
kaku[k]Z
az1
az
1 az1
2
(z
a)2 ,
z a
Im(z)
RO C
0
Re(z)
常见序列单边z变换
4. 虚指数序列e jΩ0k u[k]的z变换
Z e j0k u[k ] e j0k u[k] z k
k0
(e j0 z1)k
1
,
k0
1 e j0 z1
z 1
e j0 z1
同理可得：
e( jΩ0 )k u[k]
Z
1 1 e( jΩ0 ) z1 ,
z e
Im(z)
RO C
0
Re(z)
常见序列单边z变换
5. 正弦类序列cos(Ω0k) u[k]和sin(Ω0k) u[k]的z变换
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
常见序列单边z变换
单位脉冲序列 单位阶跃序列 指数序列 虚指数序列 正弦类序列
常见序列单边z变换
1. 单位脉冲序列δ[k]的z变换
Z [k ] [k] zk 1
k 0
z 0
[k] Z 1， z 0
Im(z)
ROC
0
Re(z)
常见序列单边z变换
2. 单位阶跃序列u[k]的z变换
Z u[k] u[k] zk
k 0
zk 1
z ,
k0
1 z1 z 1
z1
u[k ] Z 1 z , 1 z1 z 1
同理可得：
Z变换
− T0 s
+ ⋯⋯ + x (nT0 )e
− T0 s
+ ⋯⋯
6
用 Z = eT0 s 代入上式
X (z ) = x(0) + x(T0 )z − +⋯⋯ x(nT0 )z −n +⋯⋯ = ∑ x(nT0 )z
n→0 ∞ −n
7
2 部分分式法 部分分式法的基本方法是将有理函数X(s) 展开成部分分式和的形式，通过逐项拉普拉 斯反变换，求得时间函数，根据所求的时间 函数，写出相应的Z变换。设连续时间函数 x(t)的拉普拉斯变换X(s)为有理函数，即
4
常用的拉普拉斯—z变换表
5
z变换方法
z变换方法很多，这里只介绍级数求和法 和部分求和法。 1 级数求和法 离散时间函数展开
x (t ) = x(0)δ (t ) + x(T0 )δ (t −T0 ) +⋯ + x(nT )δ (t − nT ) +⋯ ⋯ ⋯ 0 0
*
逐项拉氏变换
X (s ) = x (0 ) + x(T0 )e
Ai 由拉普拉斯反变换可知， + p s i Ai s + pi
的时间函数为 A i e
的z变换为 A
i
z z - e -p iT0
9
x(t)的Z变换可由X(s)求得，即
Ai z X(z ) = ∑ - p i T0 i =1 z - e =1
n
10
z变换性质
Z变换出自拉氏变换，所以它和拉氏变换相比有类似 的性质，这些性质确定了原函数采样脉冲序列与像函数 之间的关系。 1. 1.线性性质 z变换符合齐次性和叠加性。 若原函数f1(t)和f1(t)的像函数分别为F1(Z)和F2(Z),则下 式满足：