K2.04-z变换性质- z域尺度特性、微分
信号与系统的分析方法有时域,变换域两种
§2-3 Z反变换
一.定义：
已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。
记作：x(n) Z [ X ( z )]
1
z变换公式：
正：X ( z )
n
x ( n) z n ,
R x z Rx
1 反：x(n) X ( z ) z n 1dz, c ( Rx , Rx ) 2j c
j Im[ z ]
z 收敛域： a
0
a
z
Re[ z ]
*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。
[例2-3]求序列 x(n) b u(n 1) 变换及收敛域。
n
x ( n)
n
b nu (n 1) z n
b 1 z (b 1 z ) 2 (b 1 z ) n
§2-1 引言
信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。
二.变换域分析法
1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。
2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。
§2-2 Z变换的定义及收敛域
一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下：
X ( z ) Z [ x(n)]
n
x ( n) z
n
*实际上，将x(n)展为z-1的幂级数。
ze ze
jT ST
[例2-5]利用部分分式法，求X ( z) 1 (1 2 z 1 ) (1 0.5z 1 ) , 的z反变换。 解：
积分的z变换
积分的z变换积分的z变换是一种在信号处理和控制系统中常用的数学工具。
它可以将离散时间信号转换为z域中的复变量函数，从而方便地进行分析和处理。
本文将介绍积分的z变换的基本概念、性质和应用。
一、基本概念积分的z变换是z变换的一种特殊形式，其数学定义为：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n]z^(-n)其中，x[n]是离散时间信号，X(z)是其z变换。
二、性质积分的z变换具有以下几个重要的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，有Z{a*x[n] + b*y[n]} = a*X(z) + b*Y(z)。
2. 位移性质：对于信号x[n-k]，有Z{x[n-k]} = z^(-k)*X(z)。
3. 改变尺度性质：对于信号x[kn]，有Z{x[kn]} = X(z^k)。
4. 差分性质：对于差分信号x[n] - x[n-1]，有Z{x[n] - x[n-1]} = (1 - z^(-1))*X(z)。
三、应用积分的z变换在信号处理和控制系统中具有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 系统分析：通过对信号进行积分的z变换，可以得到系统的频率响应和稳定性等特性。
这对于系统的设计和优化非常重要。
2. 信号滤波：积分的z变换可以用于滤波器的设计和实现。
通过对信号进行变换，可以滤除不需要的频率成分，从而实现信号的去噪和增强。
3. 时域分析：通过对信号进行积分的z变换，可以将离散时间信号转换为复变量函数，从而方便地进行时域分析，如求解差分方程和研究系统的稳定性。
4. 控制系统设计：积分的z变换可以帮助设计和分析控制系统。
通过将系统的传输函数进行z变换，可以得到系统的离散时间模型，从而进行控制算法的设计和系统性能的评估。
5. 信号重构：通过积分的z变换，可以将离散时间信号从z域中反变换回时域，从而实现信号的重构和恢复。
积分的z变换是一种重要的数学工具，在信号处理和控制系统中具有广泛的应用。
第8章z变换、离散时间系统的z变换分析概论
(n) 1
收敛域 为Z平面
2. 单位阶跃序列u(n)
u(n)
1 0
(n 0) (n 0)
Z[u(n)]
u( n)z - n
n0
z-n
n0
1 1 z-1
z z 1
收敛域 为 z >1
3. 斜变序列
间接求 解方法
已知 两边对(z -1)求导
两边乘(z -1)
∴
同理，两边再求导，得 …
即
其中 反变换为
分子，当j≥2，从最后一项(n-j+2)一直递增乘到n
例 s = 2，
例题 解
求x(n) = ?
∴
∴ 见P60~61，表8-2、8-3、8-4（逆z变换表） 作业：P103，8-5 （1）（2）
8.5 z变换的基本性质
一、线性
若 x(n) ←→ X(z) y(n) ←→ Y(z)
z变换 X(z)
z = e jω 有条件
序列的傅里叶变换X(e jω)
利用z变换求解离散系统的响应 利用离散系统函数H(z)分析系统 分析序列的频率特性 分析离散系统的频率响应特性
二、 抽样信号xs(t)的拉氏变换→z变换
理想抽样：
单边x(t) = x(t)u(t)
抽样间隔
对上式取双边拉氏变换，得到
∴ z = e ( + jΩ)T = e T + jΩT = e T e jΩT 令 |z| = e T ， ΩT = ω，则有z = |z| e jω 其中：Ω模拟角频率, ω数字频率, T抽样间隔
二、 典型序列的z变换
1. 单位样值序列δ(n)
(n)
1 0
(n 0) (n 0)
§6.2 z变换性质
k =∞
∑a
∞
k
f (k)z
k
z = ∑ f (k) a k =∞
∞
k
z = F( ) a
←→
z z a
例2:cos(βk)ε(k) ←→? : β cos(βk)ε(k)=0.5(ej βk+ β e-j βk)ε(k) ←→
0.5z z e
▲
j β
+
0.5z z e
■
j β
第 6页
四,卷积定理
∞
m
= ∑ f (k m)z k + z m F(z)
k =0
m1
特例: 为因果序列, 特例:若f(k)为因果序列,则f(k – m) ←→ z-mF(z) 为因果序列
▲ ■ 第 4页
例1:求周期为N的有始周期性单位序列 :求周期为 的有始周期性单位序列
m=0
∑δ (k mN)
∞ mN
∞
变换. 的z变换. 变换 解
f (M) = lim z mF(z)
z→∞
▲
■
第 13 页
终值定理: 终值定理:
终值定理适用于右边序列, 终值定理适用于右边序列,用于由象函数直接求得序 列的终值,而不必求得原序列. 列的终值,而不必求得原序列. 如果序列在k<M时,f(k)=0,它与象函数的关系为 时 如果序列在 , f(k) ←→ F(z) ,α<z< ∞且0≤α ≤α<1 ≤α 则序列的终值
若 f1(k) ←→F1(z) α1<z<β1, β f2(k) ←→ F2(z) α2<z<β2 β 则 f1(k)*f2(k) ←→ F1(z)F2(z)
对单边z变换,要求 f1(k), f2(k)为因果 序列
z变换的基本知识
z变换基本知识1z变换定义连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。
一个连续信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)是复变量s的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为s的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。
因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。
计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z变换。
连续信号f(t)通过采样周期为T的理想采样开关采样后，采样信号f*(t)的表达式为OOf*(t)=1，f(kT)、(t-kT)=f(0)、(t)f(T)、(t-T)•f(2T)、(t-2T)k Of(3T)5(t-3T)+|||(1)对式(1)作拉普拉斯变换F*(s)=L[f*(t)]=f(0)f(T)e^f(2T)e'sT f(3T)e4T lMod=£f(kT)e3r(2)k0从式(2)可以看出，F*(s)是s的超越函数，含有较为复杂的非线性关系,因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。
为此，引入了另一个复变量“z”，令z=e sT(3)代入式(2)并令F*(x)i=F(z),得s平lnzF(z)=F(0)+f(T)z,+f(2T)zN+|||=：ff(kT)z-(4)k 0式(4)定义为采样信号£*("的2变换，它是变量z 的幕级数形式，从而有利于问题的简化求解。
通常以F(z)=L[f*(t)]表示。
由以上推导可知，z 变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信 号作z=e sT 的变量置换。
f*(t)的z 变换的符号写法有多种，如Z[f*(t)],Z[f(t)],Z[f(k)],Z[F*(s)],F(z)等,不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式，具概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z 变 换。
第二节Z变换的性质
收敛域不变：∣Z∣>a Z k F ( Z ) ,Z f ( k ) a 例4：已知 (a为实数）的单边Z变换为 Z a
a
k 2 k 2 求： f1 (k ) a , f 2 (k ) a 的单边Z变换 2 解：F1 ( Z ) Z 2 F ( Z ) f (2) f (1) Z 1 a Z , Z a
例2：求单边余弦cos(βk)ε(k)和单边正弦sin (βk)ε(k)的Z变换 1 1 解： cos(k ) (e jk e jk ), sin(k ) (e jk e jk )
2 2j Z [cos(k ) (k )] 1 1 Z [e jk (k )] Z [e jk (k )] 2 2
五：序列乘k(Z域微分） 注意：f(k)为离散的，而Z域为连续的; 若： f (k ) F (Z ), Z 则：kf (k ) Z d F ( Z )
dZ k m f (k ) [ Z d m ] F (Z ) dZ
例9：求序列 k 2 (k ), k (k 1) (k ), k (k 1) (k )的Z变换 2 Z 2 d Z Z ( Z 1) 2 ( k ) , Z 1 k (k ) Z [ ] ,Z 2 解：（1） Z 1 dZ ( Z 1) ( Z 1)3 （2）利用左移特性：
ba (k 1)a k (k ), a b
当a=b=1时，则 (k ) (k ) (k 1) (k ) 又因为： (k )
Z Z , a k (k ) Z 1 Z a Z Z Z 2 (k 1) (k ) (k ) (k ) ( ) , Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 2 (k 1)a k (k ) a k (k ) a k (k ) ( ) ,Z a Z a
第六节 Z 变 换
Z xn 1 z X ( z) x(1)
1
Z xn 2 z X ( z) z x(1) x(2)
2 1
三、频移性质（Ｚ域尺度变换）：
If x ( n ) X(z )
j0 n
ROC : R
then 1. e
x n X e
j0z k源自 z 1 j 0 j 0
1 e z e z cosk 0 k j 0 j 0 e z 1 e z 1 2 z z cos 0 2 z 2 z cos 0 1
2
z z cos 0 k cosk 0 k 2 z z 2 cos 0 1
2
a 1 b 1 z a b z a b a z b
1 k 1 k 1 x ( k ) * h( k ) a b k a b
七、序列除(k+m)（Z域积分）
If f ( n) F ( z )
z 2. F2 z 2 . z z 3 1
f 2 k ?
2 2 2
解：
1 z z z 1. F1 z 1 2 2 z 1 z 1
cos 0;
2
k f1 k k cos 2
k
z 2. F2 z 2 z z 3 1
3 2
z 1
解：
F ( z) 2 6 8 13 2 z z z z 1 z 0.5
k
f (k ) 2 k 1 6 k (8 130.5 ) k
数字信号处理(第三版)第2章习题答案
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
2.3
求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频 率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、 零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频 特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5 章）等。
X e (e j ) FT[xr (n)]
Hale Waihona Puke 1 1 ej2 1 e j2 1 (1 cos 2)
24
4
2
因为 所以
Xe
(e j
)
1 2
[X
(e j
)
X
(e j
)]
X(ejω)=0π≤ω≤2π
X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=0 0≤ω≤π
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
当0≤ω≤π时，
用留数定理求其逆变换， 或者将z=ejω代入X(ejω)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收 敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取 单位圆。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为
X
(e
j
)
1
1 ae
j
a 1
1 求其反变换x(n)。 将z=ejω代入X(ejω)中， 得到 X (z) 1 az 1
三种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统 的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推 广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
§2.4 Z变换的基本性质
X z
z z2 z z 1 z z 1 z z 0.5
ROC
z 2 z 1 z 1 z 0.5
X
2 1
n
无
有，1
n
n
1
无 有，0
0.5
n
第
九．有限项累加
z 则Z [ x( m )] X ( z ), z max[ Rx ,1] z 1 m 0
1 1 x ( n)h( n) x ( ) H ( ) 1d。 2j c n
2. 当围线取单位圆 1时， v 1 / v e j , 则 v 1 x(n)h (n) 2 n
X (e j ) H (e j )d。
x ( n) z
* * n *
n
*
n *
[ x(n)( z )
* n *
]
[ x( n)( z ) ] X ( z ) ，Rx z Rx ;
n
X
六．翻褶序列
如果 Z [ x( n)] X ( z ) , R z R 则 x x
n
19 页
Rx z Rx Rh z Rh
1 * 1 1 x ( n )h ( n ) c X (v ) H ( v * )v dv 2j
*
其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略）
X
第
几点说明
1.
20 页
当h( n)为实序列时，则
RX Z RX
RX z RX ， m为整数
收敛域：只会影响 0, z 处 z
(优选)z变换的基本性质和定理
X (z)H(z)
两者交集 序列的卷积和
1
2j
c
X
(v)H ( z v
)v 1dv
上下限对应相乘
序列相乘
x(n)为因果序列
且X(z)的极点落在单 位圆内部，最多在
z=1处有一极点
初值定理 终值定理
ax(n) by(n) aX (z) bY(z)
x(n m)
zm X (z)
两者交集 不变
线性性质 移位性质
an x(n)
X (z a) 上下限放大|a| 乘以指数序列
序列
nx(n) x* (n)
Z变换 z d X (z)
dz
X *(z*)
收敛域 不变 不变
说明 线性加权
共轭
x(n)
X (1 z)
部分分式的系数Ak，Ck分别为（留数定理求出）：
Ck
(r
1 d rk
k
)!
dz
r
k
[(z
zi )r
x(z zk
)
z
zi
,
k 1,2r
3、长除法 将X(z）分解成简单分式和的形式，每部分对应
一个因果序列或一个反因果序列。
对因果序列，分子、分母多项式按降幂排列相除；
对反因果序列，分子、分母多项式按升幂排列相除。
3、乘以指数序列（z域尺度变换） 如果 则有： 证明：根据z变换的定义证明
4、序列的线性加权（z域求导数） 如果 则有：
证明： （见下页，怎样证明？）从右至左证明。
5、共轭序列 如果 则有：
证明：
6、翻褶序列 如果 则有：
证明： （见下页）
证明：
7、初值定理 证明： （怎样证明？） 显然： lim X (z) x(0)
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
信号与系统复习总结
左边序列 ：
信号的三大变换
五
（三）z变换
3、典型序列的z变换
单位样值序列
单位阶跃序列
斜变序列
指数序列
信号的三大变换
五
（三）z变换
4、性质
线性
ROC为公共部分
位移性
（1）单边Z变换
信号的三大变换
五
（三）z变换
4、性质
（2）双边Z变换
位移性
z域微分特性
（一）傅立叶变换
五
3、非周期信号的傅立叶变换
（3）傅立叶变换的性质
尺度变换特性
时域压缩——频域展宽
时移特性
频移特性
为常数
微分特性
信号的三大变换
积分特性
（一）傅立叶变换
五
3、非周期信号的傅立叶变换
（3）傅立叶变换的性质
频域微分定理
时域卷积定理
频域卷积定理
信号的三大变换
五
（二）拉普拉斯变换
1、单边定义式
大连轻工业学院信息学院
信号与系统
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复习总结
演讲人姓名
信 号 信号与系统 系 统
信号的基本运算
信号
典型信号
信号的定义及分类
信号的三大变换
章节一
信号的特性
CHAPTER ONE
信号的定义及分类
一
1、信号的定义：随时间变化的物理量。
2、信号的分类：
确定性信号
同时域法
等效激励源法
等效激励源法
电感L：
电容C：
系统稳定性的判别
3、s域分析法
连续时间系统
（一）
Z变换定义与性质
z sin0
z2 2z cos0 1
尺度变换性质
如果： f (n) F (z)
则： a n f (n) F ( z )
a
若 a = -1： (1)n f (n) F (z)
a0
a可为实数或复数
例2
f (n) an (n)
(n) z
z 1
an (n)
z
a z 1
z za
a
尺度变换性质
Z变换的性质
线性性质 尺度变换性质 时移性质 z域微分特性 卷积和特性
线性性质
如果： f1(n) F1(z)
f2 (n) F2 (z)
则： af1(n) bf2 (n) aF1(z) bF2 (z)
例1：
Z sin(0n) (n)
1 2 j
z z e j0
z z e j0
故
F(z) z za
za
图1 右边序列的收敛域
右边序列的收敛域是Z平面以原点为圆心，
以 a 为半径的圆外区域。
z变换定义和收敛域
。
例2 已知 f (n) bn(n 1),求其双边Z变换及收敛域
解
1
F(z) bn zn (b1z)n 1 (b1z)n
n
n1
n0
1
lim
n
1 (b1z)n 1 b1z
n0
记为： F (z) Z f (n)
称为序列f (n) 的 双边z变换
称为序列f (n) 的 单边z变换
原函数
Z反变换的定义
Ñ f (n) 1
F (z)zn1dz
2π j c
z变换对： f (n) Z -1 F ( z)
简记为： f (n) F(z)
《z变换的性质》课件
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
840通信与信息系统专业综合考试大纲
840通信与信息系统专业综合考试大纲3．掌握LTI系统的冲激响应的概念与求解方程4．掌握LTI系统的阶跃响应的概念与求解方法（一）卷积积分1．了解卷积积分的概念及定义2．掌握卷积积分的图示求解法（二）卷积积分的性质1．了解卷积积分的代数运算性质2．掌握函数与冲激函数的卷积的求解方法3．掌握卷积的微分和积分的求解方法三、离散系统的时域分析 LTI离散系统的响应（一）了解差分与差分方程的概念及差分方程的建立方法1．掌握差分方程的经典解法2．掌握零输入响应和零状态响应的求解方法（二）单位序列和单位序列响应1．了解单位序列和单位阶跃序列的概念2．掌握单位序列响应和阶跃响应的求解方法（三）卷积和1．掌握卷积和的定义2．掌握卷积和的图示求解方法3．掌握卷积和的性质四、连续系统的频域分析（一）信号分解为正交函数1．了解正交函数集的概念2．掌握信号的正交分解方法（二）傅里叶级数1．掌握周期信号的分解方法2．掌握奇偶函数的傅里叶系数的求解方法3．掌握傅里叶级数的指数表示法（三）周期信号的频谱1．掌握求周期信号频谱的方法2．掌握周期性矩形脉冲的频谱的求解方法3．掌握周期信号功率的求解方法（四）非周期信号的频谱1．掌握求非周期信号傅里叶变换的方法2．掌握奇异函数的傅里叶变换的求解方法（五）傅里叶变换的性质1．掌握傅里叶变换的性质，包括线性性质、奇偶性、对称性、尺度变换、时移特性、频移特性等。
2．掌握傅里叶变换的卷积定理。
3．掌握傅里叶变换的时域微分和积分性质及频域的微分和积分性质。
4．掌握非周期信号的能量谱和功率谱的求解方法（六）周期信号的傅里叶变换1．掌握正、余弦函数的傅里叶变换的方法2．掌握一般周期函数的傅里叶变换方法3．掌握傅里叶系数与傅里叶变换的关系（七）LTI系统的频域分析1．掌握频率响应的求解方法2．掌握无失真传输的概念、了解实现无失真传输的要求3．掌握理想低通滤波器的响应的求解方法（八）取样定理1．了解信号取样的概念2．掌握时域取样定理3．掌握频域取样定理五、连续系统的复频域分析（一）拉普拉斯变换1．了解如何从傅里叶变换推出拉普拉斯变换2．了解拉普拉斯变换的收敛域3．掌握拉普拉斯变换的求解方法（二）拉普拉斯变换的性质1．掌握拉普拉斯变换的性质，包括线性性质、尺度变换、时移特性、复频移特性等。
Z变换的基本性质
z 2 X z x 2 z 1 x 1 X
11
第
证明左移位性质 页
根据单边z变换的定义，可得
Zxkm k xkm zk k0
zm xkmzkm k0
令 nkmzm xnzn nm
zmxnznm 1xnzn
n0
n0
zmXzm n01xnzn
X
12
第
(2)右移位性质 页
xkm ,xkm 只是位置 xk的 变长 化度 ，
X
9
第
(1)左移位性质
页
若 x (k )(k ) X (z) z
则 x ( k m )( k ) z m X (z ) m 1 x ( k )z k z
k 0
其中m为正整数
x k 1 ( k ) z z X z 0 x
11页页线性性质移序性质序列乘k性质序列线性加权z域尺度变换性质序列指数加权初值定理终值定理时域卷积定理z域卷积定理自学反映离散信号在时域特性和z域特性之间的关系以上性质无特别说明既适用于单边也适用于双边
1
第二节 Z变换的性质
第 页
反映离散信号在时域特性和z域特性之间的关系 线性性质 移序性质 序列乘K性质（序列线性加权） Z域尺度变换性质（序列指数加权） 时域卷积定理
z域卷积定理（自学）
初值定理
以上性质无特别说明既适用于单边也适用于双边.
X
2
一．线性 (叠加性和齐次性）
第
页
若Zx1(k)X1(z)
zRx1
Zx2(k)X2(z)
zRx2
则Za1x (k)b2x(k)a1 X (z)bX 2(z)
a,b为任意常数。
ROC：一般情况下，取二者的重叠部分
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z变换性质－ z域尺度特性、微分
2、序列乘k（z域微分）
设
f (k) F(z), | z |
则
kf (k ) (z) d F (z)
dz
k 2 f (k) (z) d [(z) d F(z)] dz dz
k m f (k) (z) d ((z) d ((z) d F (z))) , | z | 04
z变换性质－ z域尺度特性、微分
主要内容：
z变换的z域尺度特性、微分的性质
基本要求：
熟练运用z变换的性质
1
z变换性质－ z域尺度特性、微分 K2.04 z变换的性质-z域尺度特性、微分 1、z域尺度变换：序列乘 ak , a 0
设 f (k) F(z), | z | ,且有常数a 则 ak f (k) F ( z ), | a | | z || a |
例3：求 ak (k 1) 的 z 变换。
解：
ak1 (k 1) z1z 1 , | z | a
za za
a k 1 (k
1)
1 z1 a
,
| z | 1 a
利用齐次性，k域和z域同时乘以 a 得：
ak (k
1)
a z1 a
,
| z | 1 a
5
z变换性质－ z域尺度特性、微分 例4：求 f(k)= kε(k) 的z变换F(z)。
6
<解法1>
(k) z
z 1
k (k)
z
d dz
z
z 1
z
(z 1) z (z 1)2
(z
z 1)2
,
| z | 1
<解法2>
f (k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k) f (k) (k)
两边取z变换： zF (z) zf (0) F (z) z
z 1
kf (k) F (z) z (z 1)2
dzdz dz
m次
3
z变换性质－ z域尺度特性、微分
例1： ak (k) ?
解:
(k) z
z 1
z
ak (k) a z
z 1 z a a
例2：cos( k) (k) ?
解:
cos( k) (k)
1 (e jk 2
e jk )
0.5z z e j
0.5z z e j
4
z变换性质－ z域尺度特性、微分