中考数学全面突破：第十二讲锐角三角函数及其实际应用

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锐角三角函数有哪些实际应用场景

锐角三角函数有哪些实际应用场景锐角三角函数在咱们的日常生活中那可是有着超级多的实际应用场景呢，简直无处不在！先来说说建筑领域吧。

你知道吗，建筑工人在盖房子的时候，可离不开锐角三角函数的知识。

比如说，要建造一个有特定倾斜角度的屋顶，这就需要计算出屋顶的角度以及所需材料的长度和数量。

想象一下，工人们站在高高的脚手架上，拿着测量工具，认真地计算着角度和长度。

他们的眼神专注，手中的工具就像是神奇的魔法棒，通过锐角三角函数，把一堆堆的建筑材料变成了坚固又美观的房子。

再讲讲导航和地图。

当我们使用手机导航去一个陌生的地方时，导航软件会根据我们的位置和目的地，计算出最佳的路线。

这背后可就有锐角三角函数的功劳啦！它帮助确定我们与目的地之间的直线距离和实际行走的路程。

就像有一次我自己出门旅行，在一个完全陌生的城市里，靠着导航找到了一家特别棒的小吃店。

那个时候我就在想，要是没有这些数学知识的支撑，我可能还在街头瞎转悠，找不到美食的方向呢。

还有测量山峰的高度。

测量人员没办法直接爬到山顶去测量，那怎么办呢？这时候就轮到锐角三角函数登场啦！他们在山脚下选好测量点，测量出观测点与山顶的角度，再结合测量点与山底的距离，就能算出山峰的高度。

这就像是解开了一个神秘的谜题，让人充满了成就感。

在航海中，锐角三角函数也发挥着重要作用。

船员们需要根据星星的位置和角度来确定船只的方向和位置。

想象一下，在浩瀚的大海上，满天繁星闪烁，船员们依靠着锐角三角函数的知识，勇敢地驶向目的地，是不是特别酷？在日常生活中，我们装修房子的时候，如果想要在墙上挂一幅画，而且要保证画是水平的，那就得用到锐角三角函数来测量和计算。

又比如，我们要搭建一个秋千，要确定秋千的绳子长度和角度，让秋千荡起来既安全又有趣，这也需要锐角三角函数的帮忙。

甚至在体育比赛中也有它的身影。

比如滑雪运动员在从山坡上滑下来的时候，他们需要根据山坡的角度和自己的速度来调整姿势和控制方向，以确保安全和取得好成绩。

锐角三角函数及应用

锐角三角函数及应用
锐角三角函数是指在直角三角形中，角度小于90度的三角函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

正弦函数是指一个角的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。

在三角函数中，正弦函数是最基本的函数之一，它在三角形的计算中有着重要的作用。

例如，在测量高度时，可以利用正弦函数计算出物体的高度。

余弦函数是指一个角的邻边与斜边的比值，即cosθ=邻边/斜边。

余弦函数也是三角函数中的基本函数之一，它在计算角度时有着重要的作用。

例如，在计算机图形学中，可以利用余弦函数计算出两个向量之间的夹角。

正切函数是指一个角的对边与邻边的比值，即tanθ=对边/邻边。

正切函数在三角形的计算中也有着重要的作用。

例如，在测量斜率时，可以利用正切函数计算出斜率的大小。

除了在三角形的计算中，锐角三角函数还有着广泛的应用。

在物理学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述波的运动，例如声波和光波。

在工程学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述交流电的变化，例如电压和电流的变化。

在计算机科学中，正切函数可以用来计算图像的旋转和缩放。

锐角三角函数是数学中的重要概念，它们在各个领域中都有着广泛的应用。

掌握锐角三角函数的概念和应用，对于学习数学、物理、工程和计算机科学等领域都有着重要的意义。

锐角三角形函数及应用

锐角三角形函数及应用锐角三角形是指三个内角都小于90的三角形。

在锐角三角形中，我们可以应用一些函数来求解各种问题。

以下是一些锐角三角形函数及其应用的例子：1. 正弦函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则正弦函数可以定义为sin A = BC / AC。

我们可以利用正弦函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。

例如，已知角度A和边长BC，可以通过sin A = BC / AC来求解边长AC。

2. 余弦函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则余弦函数可以定义为cos A = AC / BC。

我们可以利用余弦函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。

例如，已知角度A和边长AC，可以通过cos A = AC / BC来求解边长BC。

3. 正切函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则正切函数可以定义为tan A = BC / AC。

我们可以利用正切函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。

例如，已知角度A和边长BC，可以通过tan A = BC / AC来求解边长AC。

4. 余切函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则余切函数可以定义为cot A = AC / BC。

我们可以利用余切函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。

例如，已知角度A和边长AC，可以通过cot A = AC / BC来求解边长BC。

通过这些函数，我们可以在求解锐角三角形问题时进行角度和边长之间的转换。

例如，已知一个锐角三角形的两边和一个角度，我们可以利用正弦、余弦、正切函数来求解其余的角度和边长。

此外，锐角三角形函数还可以应用于实际生活中的一些问题。

例如，在建筑设计中，我们需要计算一座斜塔的高度。

我们可以通过测量角度和斜塔与地面的距离，利用正切函数来求解其高度。

同样，在地理测量中，我们可以利用正弦、余弦、正切函数来计算两地之间的距离和方位角。

总之，锐角三角形函数是求解锐角三角形问题的重要工具，其应用广泛且实用。

中考数学频考点突破--锐角三角函数

中考数学频考点突破--锐角三角函数1．教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B 处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：√3，AB=10米，AE=21米（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由.2．如图，AD是△ABC的中线，tanB= 13，cosC= √22，AC= √2．求：（1）BC的长；（2）sin△ADC的值．3．如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）4．如图，AB是△O的直径，PA切△O于点A，PO交△O于点C，连接BC，△P=△B．（1）求△P的度数；（2）连接PB，若△O的半径为a，写出求△PBC面积的思路．5．如图，是住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC= 30m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况．（1）当太阳光与水平线的夹角为30°角时，求甲楼的影子在乙楼上有多高（答案可用根号表示）；（2）若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，此时太阳与水平线的夹角为多少度？6．化简：（1）√9 ﹣（ 12 ）0+2sin30°（2）x+1x−1﹣ xx+1 ．7．如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌（CD ），放置在教学楼的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿坡面AB 向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°．已知山坡AB 的坡度为i=1： √3 ，AB=10米，AE=15米．（i=1： √3 是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH 的比）（1）求点B 距水平而AE 的高度BH ；（2）求宣传牌CD 的高度．（结果精确到0.1米．参考数据： √2 ≈1.414， √3 ≈1.732）8．如图， AB 为 ⊙O 直径，D 为 ⊙O 上一点， BC ⊥CD 于点C ，交 ⊙O 于点E ， CD 与 BA 的延长线交于点F ， BD 平分 ∠ABC .（1）求证： CD 是 ⊙O 的切线；（2）若 AB =10，CE =1 ，求 CD 和 DF 的长.9．如图，已知△O 是以AB 为直径的△ABC 的外接圆，过点A 作△O 的切线交OC 的延长线于点D ，交BC 的延长线于点E.（1）求证：△DAC=△DCE；（2）若AB=2，sin△D= 13，求AE的长.10．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使△CAD=30 °，△CBD=60 °．（1）求AB的长(精确到0.1米，参考数据：√3≈1.73，√2≈1.41)；（2）已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．11．如图，PA，PB是△O的两条切线，切点分别为A，B，OP交AB于点C，OP=13，sin△APC= 513．（1）求△O的半径；（2）求弦AB的长．12．根据题意解答（1）计算：|﹣√2|+（π﹣3）0+（12）﹣1﹣2cos45°（2）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，求方程的另一个根．13．如图，四边形ABCD内接于△O，点O在AB上，BC＝CD，过点C作△O的切线，分别交AB，AD的延长线于点E，F.（1）求证：AF△EF；（2）若cos△DAB＝34，BE＝1，则线段AD的长是.14．如图，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=8，sin A= 3 5（1）求AB的长;（2）若点E在Rt△ABC的直角边上，点F在斜边AB上，当△CFE△△ABC时，求CE的长.15．如图海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁，海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东58°方向上，航行40分钟到达B处，测得灯塔P 在北偏东26°方向上．（1）求灯塔P到点B的距离；（2）如果海轮不改变航线由B继续向东航行，通过计算估计海轮有没有触礁的危险？16．“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，FD△AE于点D，座杆CE=15cm，且△EAB=75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）答案解析部分1．【答案】（1）解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE于H，Rt△ABH中，i=tan∠BAH=√3，∴∠BAH=30°，∴BH=12AB=5米∴点B距水平地面AE的距离为5米.（2）解：由（1）得：BH=5，AH=5√3，∵BG⊥DE于G，BH⊥AE于H，△AED＝90°，∴四边形BHEG是矩形，∴BG＝HE即BG=AH+AE=5√3+21，在Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5√3+21.在Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=21，∴DE=AEtan53°=43AE=43×21=28.∴CD=CG+GE−DE=26+5√3−28≈6.7m<7m.答：广告牌CD高符合要求.【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）过B作BG△DE于G，BH△AE于H，根据坡度可得△BAH=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质就可得到BH；（2）由（1）得BH=5，AH=5√3，易得四边形BHEG是矩形，则BG＝HE，求出BG，进而得到CG，在Rt△ADE中，应用三角函数的概念可得DE，进而可求得CD. 2．【答案】（1）解：过点A作AE△BC于点E，∵cosC= √22，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB= 13，即AEBE=13，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4（2）解：∵AD是△ABC的中线，∴CD= 12BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE△BC，DE=AE，∴△ADC=45°，∴sin△ADC= √22．【知识点】解直角三角形【解析】【分析】（1）过点A作AE△BC于点E，根据cosC= √22，求出△C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB= 13，求出BE的长即可；（2）根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．3．【答案】（1）解：延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE△海岸线l于点E，过点A作AF△l于F，如图所示．∵△BEC=△AFC=90°，△EBC=60°，△CAF=30°，∴△ECB=30°，△ACF=60°，∴△BCA=90°，∵BC=12，AB=36× 4060=24，∴AB=2BC，∴△BAC=30°，△ABC=60°，∵△ABC=△BDC+△BCD=60°，∴△BDC=△BCD=30°，∴BD=BC=12，∴时间t= 1236=13小时=20分钟，∴轮船照此速度与航向航向，上午11：00到达海岸线（2）∵BD=BC，BE△CD，在Rt△BEC中，∵BC=12，△BCE=30°，∴BE=6，EC=6 √3≈10.2，∴CD=20.4，∵20＜20.4＜21.5，∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【分析】（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE△海岸线l于点E，过点A作AF△l于F，首先证明△ABC是直角三角形，再证明△BAC=30°，再求出BD的长即可角问题．（2）求出CD的长度，和CN、CM比较即可解决问题．本题考查方向角、解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，由数量关系推出△BAC=30°，属于中考常考题型．4．【答案】（1）解：∵PA切△O于点A，∴PA△AB，∴△P+△POA=90°．∵△POA=△B+△OCB，∴△P+△B+△OCB=90°，∵OB=OC，∴△B=△OCB．又∵△P=△B，∴△P=△B=△OCB．∴△P=30°；（2）解：∵在Rt△PAO中，△APO=30°，OA=a，∴PA= √3AO=√3a，∴△PBC面积是12PA×AB= 12× √3a×（a+a）= √3a2【知识点】切线的性质；解直角三角形【解析】【分析】（1）根据切线的性质求出△PAB=90°，求出△P=△B=△OCB，即可得出答案；（2）解直角三角形求出AP，根据三角形面积公式求出即可．5．【答案】（1）解：如图，延长OB交DC于E，作EF⊥AB，交AB于F，在 RtΔBEF 中，∵EF =AC =30m ， ∠FEB =30∘ ， ∴BE =2BF设 BF =x ，则 BE =2x ，根据勾股定理知， BE 2=BF 2+EF 2 , ∴(2x)2=x 2+302 ，∴x =±10√3 ，（负值舍去）， x =10√3 因此， EC =30−10√3(m)（2）解：当甲幢楼的影子刚好落在点 C 处时， ΔABC 为等腰三角形，因此，当太阳光与水平线夹角为 45∘ 时，甲楼的影子刚才不落在乙楼的墙上【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）如图所示作出辅助线，在 RtΔBEF 中运用勾股定理列出方程解答即可；（2）当甲幢楼的影子刚好落在点 C 处时，可得 ΔABC 为等腰三角形，从而得出太阳光与水平线夹角．6．【答案】（1）解：原式=3﹣1+2× 12=3﹣1+1 =3（2）解：原式= (x+1)2(x+1)(x−1) ﹣ x(x−1)(x+1)(x−1) = x 2+2x+1−x 2+x (x+1)(x−1)= 3x+1(x+1)(x−1)【知识点】实数的运算；分式的加减法；0指数幂的运算性质；特殊角的三角函数值【解析】【分析】（1）由二次根式的化简、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值，即可将原式化简，继而求得答案；（2）首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简．7．【答案】（1）解：在Rt△ABH 中， ∵tan△BAH= BH AH =i= 1√3 = √33． ∴△BAH=30°，∴BH=AB ．sin△BAH=10．sin30°=10× 12=5．答：点B 距水平面AE 的高度BH 是5米；（2）解：在Rt△ABH中，AH=AB．cos△BAH=10．cos30°=5 √3，在Rt△ADE中，tan△DAE= DE AE，即tan60°= DE15，∴DE=15 √3，如图，过点B作BF△CE，垂足为F，∴BF=AH+AE=5 √3+15，DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15 √3﹣5，在Rt△BCF中，△C=90°﹣△CBF=90°﹣45°=45°，∴△C=△CBF=45°，∴CF=BF=5 √3+15，∴CD=CF﹣DF=5 √3+15﹣（15 √3﹣5）=20﹣10 √3≈20﹣10×1.732≈2.7（米），答：广告牌CD的高度约为2.7米．【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】（1）在Rt△ABH中，由tan△BAH= BHAH=i=1√3= √33．得到△BAH=30°，于是得到结果BH=AB．sin△BAH=10．sin30°=10× 12=5；（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos△BAH=10．cos30°=5 √3，在Rt△ADE中，tan△DAE=DEAE，即tan60°= DE15，得到DE=15 √3，如图，过点B作BF△CE，垂足为F，求出BF=AH+AE=5 √3+15，于是得到DF=DE﹣EF=DE﹣BH=15 √3﹣5，在Rt△BCF 中，△C=90°﹣△CBF=90°﹣45°=45°，求得△C=△CBF=45°，得出CF=BF=5 √3+15，即可求得结果．8．【答案】（1）证明：如图，连接OD，则OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD//BC，∵BC⊥CD，∴OD⊥CD，又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OD，OE，DE，过点D作DG⊥OE于点G，∵AB=10，∴OD=OE=12AB=5，∴∠ODE=∠OED，∵OD//BC，∴∠ODE=∠CED，∴∠OED=∠CED，∵DG⊥OE，BC⊥CD，∴CD=GD（角平分线的性质），在Rt△DEG和Rt△DEC中，{GD=CDDE=DE，∴Rt△DEG≅Rt△DEC(HL)，∴GE=CE=1，∴OG=OE−GE=4，在Rt△ODG中，GD=√OD2−OG2=√52−42=3，∴CD=GD=3，由圆周角定理得：∠FOE=2∠ABC，即∠FOD+∠DOE=2∠ABC，∵OD//BC，∴∠FOD=∠ABC，∴∠FOD+∠DOE=2∠FOD，解得∠FOD=∠DOE，在Rt△ODG中，tan∠DOE=GDOG=34，∴tan∠FOD=tan∠DOE=34，在Rt△DOF中，DF=OD⋅tan∠FOD=5×34=154.【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可得∠ODB=∠CBD，可证OD//BC，利用平行线的性质可得OD⊥CD，根据切线的判定定理即证；（2）连接OD，OE，DE，过点D作DG⊥OE于点G，先求出OD=OE=12AB=5，证明Rt△DEG≅Rt△DEC(HL)，可得GE=CE=1，从而求出OG=OE−GE=4，在Rt△ODG中利用勾股定理求出GD=3，由角平分线的性质可得CD=GD=3，由圆周角定理及平行线的性质可求出∠FOD=∠DOE，从而可得tan∠FOD=tan∠DOE=GD OG=34，利用DF=OD⋅tan∠FOD求出结论即可.9．【答案】（1）解：∵AD是圆O的切线，∴△DAB=90°. ∵AB是圆O的直径，∴△ACB=90°.∵△DAC+△CAB=90°，△CAB+△ABC=90°，∴△DAC=△B.∵OC=OB，∴△B=△OCB.又∵△DCE=△OCB，∴△DAC=△DCE.（2）解：∵AB=2，∴AO=1.∵sin△D= 13，∴OD=3，DC=2.在Rt△DAO中，由勾股定理得AD= √OD2−OA2= 2√2.∵△DAC=△DCE，△D=△D，∴△DEC△△DCA，∴DCAD=DEDC，即2√2=ED2.解得：DE= √2，∴AE=AD﹣DE= √2.【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由切线的性质可知△DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知△ACB=90°，根据同角的余角相等可知△DAC=△B，然后由等腰三角形的性质可知△B=△OCB，由对顶角的性质可知△DCE=△OCB，故此可知△DAC=△DCE；（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD= 2√2，由△DAC=△DCE，△D=△D 可知△DEC△△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE= √2，于是可求得AE= √2.10．【答案】（1）解：由题意得，在Rt△ADC中，AD=CDtan30°=√33=21√3，在Rt△BDC中，BD=CDtan60°=√3=7√3，∴AB=AD－BD= 21√3−7√3=14√3≈14×1.73=24.22≈24.2（米）．（2）解：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1米/秒=43.56千米/小时，∴该车速度为43.56千米/小时．∵43.56千米/小时大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）分别再Rt△ADC和Rt△BDC中，利用正切函数，即可求出AD 与BD的长，从而求出AB的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆车的速度，比较与40千米每小时的大小即可确定是否超速。

中考数学锐角三角函数及其应用数学课件

已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的余切；求斜边，用锐角的正弦.
⑷已知a、b，则c=___a__2___b_2_.
⑸已知a、c，则b=___c_2___a__2 _ .
12/9/2021
〖练习一〗
在下列直角三角形中，不能解的是 ( B ) A 已知一直角边和所对的角 B 已知两个锐角
C 已知斜边和一个锐角
D 已知两直角边
12/9/2021
〖练习二〗
如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°，
∠B=45°，求△ABC的面积.
D
解：过点C作CD⊥AB于点D,
在△ABC中，∵∠C=75°，∠B=45°，
∴∠A=180°-∠C-∠B=60°，
B
45°
在Rt△ACD中，AC=6，∠A=60°，
∴AD=AC·cos∠A =3，CD=AC·sin∠A = 3 3 .
⑶ 边角之间的关系：
siA na ,cA o b s,ta A n a ,cA o b t;
c
c
ba
siB nb ,cB o a s,ta B n b ,cB o a t.
c
c
ab
12/9/2021
在Rt△ABC中，∠C=90°：
⑴已知∠A、 c, 则a=__c__s__i_nA___;b=_c__c___o_A_s_.
∵101.44＞100，
∴不用向外国船只发出警告.
12/9/2021
P
┓ C
60° B
在Rt△BCD中，BD=CD= 3 3 ,
∴AB=BD+AD=3+ 3 3 .
∴ S△ ABC
1 2
AB·CD = 9 3 27
2

初中锐角三角函数知识点总结

锐角三角函数及其应用榆林第六中学高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数 1、锐角三角函数的定义如图，在 Rt △ ABC 中，/ C 为直角，有(1) 图表记忆法三角\角函数、304560si na1 c亡222 cosa爲匹J222tana乜31(2) 规律记忆法：30 °、45 °、60°角的正弦值的分母都是 2,分子依次为1、. 2、3 ；30°、45°、60°角余弦值恰好是 60°、45°、 30°角的正弦值。

/ A 的正弦： sin A A 的对边a 斜边 c / A 的余弦： cos A A 的邻边b 斜边c / A 的正切： tan AA 的对边a A 的邻边b2、特殊角的三角函数值则/ A ABC 中的一锐角，则（3）口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦比二，切比三，分子根号不能删.”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27,分别是30°，45 °，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值.弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3.最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉.如tan60 °二旦 ,3，tan45 =— 1 .这种方法有趣、简单、3 3易记.考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的类型和解法如下表：考点二、锐角二角函数的实际应用（咼频考点）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。

坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角叫坡角,i tan Pl指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角.注意：东北方向指北偏东45方向，东南方向指南偏方向角东45 方向，西北方向指北偏西45方向，西南方向指南偏西45°方向.我们一般画图的方位为上北下南，左西右东.二、锐角三角函数常见考法（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、（2016?陕西）已知抛物线y二-x2-2x+3与x轴交于A B两点，将这条抛物线的顶点记为C,连接AG BC则tan / CAB的值为（）A.丄B . ■- C •」D ■ 2【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义.CD：【解析】先求出A B、C坐标，作CDL AB于D,根据tan / ACD=-即可计算.o【解答】解：令y=0,则-x —2x+3=0,解得x=—3或1,不妨设A （—3,0）,B (1, 0),2 2• y二—x - 2x+3=—( x+1) +4,「•顶点C (- 1, 4),如图所示，作CDL AB于D.故答案为D.（二）、锐角三角函数以填空题的形式出现例2、（2016?陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分.A. —个多边形的一个外角为45°,则这个正多边形的边数是8 .B. 运用科学计算器计算：3.「sin73 ° 52’〜11.9 .（结果精确到0.1 ）【考点】计算器一三角函数；近似数和有效数字；计算器一数的开方；多边形内角与外角.【解析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3. 7和sin73 ° 52 '的近似值，再相乘求得计算结果.【解答】解：（1）v正多边形的外角和为360° 二这个正多边形的边数为：360°宁45° =8(2) 3 i sin73 °52’ 〜12.369 x0.961 〜11.9故答案为：8, 11.9例3、（2015?陕西）如图，有一滑梯 AB,其水平宽度AC 为5.3米，铅直高度BC 为2.8米，则/ A 的度数约为 27.8（用科学计算器计算，结果精【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可. 【解答】解：T tan / A 」"1〜0.5283 ,AC 5. 3•••/ A=27.8°, 故答案为：27.8 ° .【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大.例4、（2014?陕西）用科学计算器计算：一一；+3tan56 °〜10.02 （结果精确到0.01 ）计算器一三角函数；计算器一数的开方.先用计算器求出tan56°的值，再计算加减运解：「丨〜5.5678 , tan56 °〜1.4826 , 则-1 +3tan56 °〜5.5678+3 X 1.4826 〜10.02故答案是：10.02 .【点评】本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到【考点】【分析】0.01.例5、（2014?陕西）如图，在正方形 ABC ［中, AD=1将厶ABD绕点B 顺时针旋转45 °得到△ A BD ，此时A D 与CD 交于【考点】旋转的性质【分析】利用正方形和旋转的性质得出 A D=A E ,进而利用勾股定理得出BD 的长，进而利用锐角三角函数关系得出 DE 的长即可.【解答】解：由题意可得出：/ BDC=45，/ DA E=90° , •••/ DEA =45°,••• A D=A E ,•••在正方形ABCD 中AD=1 • AB=A B=1, • BD=:':, • A D 二；:-1,•••在 Rt △ DA E 中,DE备=2-五故答案为：2-血.【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、2~41锐角三角函数关系等知识，得出 A D 的长是解题关键.(三) 、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、( 12分)(2015?陕西)如图，在每一个四边形 ABC 冲，均有AD// BC ；CDL BC / ABC=60 , AD=8 BC=12(1) 如图①，点M 是四边形ABCDi AD 上的一点，则厶BMC 勺面积为 24「；; (2) 如图②，点N 是四边形ABCD* AD 上的任意一点，请你求出△ BNC 周长的最小值；(3) 如图③，在四边形ABCD 勺边AD 上，是否存在一点P,使得cos / BPC 的值最小？若存在，求出此时cos / BPC 勺值；若不存在，请说明理由.【考点】四边形综合题.. 【专题】综合题.【解析】(1)如图①，过A 作AE ! BC 可得出四边形AECF 为矩形，得到EC=ADBE 二B G EC 在直角三角形 ABE 中，求出AE 的长，即为三角形 BMC 勺高，求出三角形BMC 面积即可；(2) 如图②，作点C 关于直线AD 的对称点C ,连接C N, C D, C B 交AD 于点 N ,连接 CN ，贝卩 BN+NC 二BN+NO BC =BN +CN ，可得出厶 BNC 周长的最小值BN C 的周长=BN +CN +BC 二BC+BC 求出即可；(3) 如图③所示，存在点P,使得cos /BPC 的值最小，作BC 的中垂线PQ 交BC 于点Q 交AD 于点P,连接BP CP 作厶BPC 的外接圆Q 圆O 与直线PQ 交于点N,则PB=PC 圆心0在PN 上，根据AD 与BC 平行，得到圆0与AD 相AD圈②图①ACc图③切，根据PQ=DC判断得到PQ大于BQ可得出圆心0在BC上方，在AD上任取一点P',连接P‘ B, P C, P‘ B交圆0于点M连接MC可得/ BPC= / BM OZ BP C,即/ BPC最小，cos/ BPC的值最小，连接0B求出即可.【解答】解：(1)如图①，过A作AE±BC二四边形AEC助矩形，••• EC=AD=8 BE二B G EC=12- 8=4,在Rt△ ABE中, / ABE=60 , BE=4•AB=2BE=8 AE=：・，二=4 二则S A BM千BC? AE=24 -;;故答案为：24. -；；(2)如图②，作点C关于直线AD的对称点C,连接C N, C D, C B交AD于点N,连接CN，贝卩BN+NC二BN+NO BC =BN +CN ,•△ BNC周长的最小值为△ BN C的周长=BN +CN +BC=BC +BCv AD// BC AE! BC / ABC=60 ,•过点A 作AE! BC 则CE=AD=8•BE=4 AE=B? tan60 ° 二酣1,•CC =2CD=2AE=8,v BC=12•BC=血/+防2=4阿,•△ BNC周长的最小值为4 1+12;(3)如图③所示，存在点P,使得cos/ BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q交AD于点P,连接BP, CR作厶BPC的外接精品文档圆Q 圆0与直线PQ交于点N,贝S PB=PC圆心0在PN上，v AD// BC•••圆0与AD相切于点P,v PQ=DC=4>6,•PQ> BQ•/BPG 90°，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P',连接P‘ B, P‘ C, P‘ B交圆0于点M连接MC•••/ BPC y BM OZ BP C,•/ BPC最大，cos / BPC的值最小，连接0B 贝卩/ BON=/BPN/ BPCv 0B=0P=4 - 0Q在Rt△ B0C中，根据勾股定理得：0Q+62二（砸-0Q 2,解得：0Q二:；，2•0B二：,2•cos / BPC二co/ B0Q==l,P厂则此时cos/ BPC的值为一.【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键.例7、(10分)(2014年陕西省)已知抛物线C: y二-x2+bx+c经过A (- 3, 0)和B (0, 3)两点，将这条抛物线的顶点记为M它的对称轴与x轴的交点记为N.(1)求抛物线C的表达式；(2)求点M的坐标；(3)将抛物线C平移到C,抛物线C的顶点记为M',它的对称轴与x轴的交点记为N'.如果以点M N M、N为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？新课标xk b1. c om【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质.菁优网版权所有【分析】(1)直接把A(- 3, 0)和B(0, 3)两点代入抛物线y二-x2+bx+c, 求出b, c 的值即可；(2)根据(1)中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；(3)根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示.需要分类讨论.【解答】解: (1)V抛物线y二-x2+bx+c经过A (- 3, 0)和B (0, 3)两占J \\、’解得仁2,故此抛物线的解析式为：y二-x2- 2x+3；(2)v由(1)知抛物线的解析式为：y二-x2- 2x+3,•••当x=- 一= - = - 1 时，y=4, xKb 1.C omSa 2X ( -1) ，‘，• M(- 1, 4).（3J由题意，以点MN、M、N为顶点的平行四边形的边MN勺对边只能是M‘ N, •MN/ M N 且MN二M N.•MN NN =16,•NN =4.i ）当M、N M、N为顶点的平行四边形是？ MNN M时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C ;ii ）当M N M、N为顶点的平行四边形是？ MNMN时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C . •上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C .【点评】本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点.第（3）问需要分类讨论，避免漏解.例8、(12分)(2014?陕西)问题探究(1)如图①，在矩形ABCD K AB=3 BC=4如果BC边上存在点巳使厶APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△ APD并求出此时BP 的长；(2)如图②，在△ ABC中，/ ABC=60 , BC=12 AD是BC边上的高，E、F分别为边AB AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q 使/ EQF=90，求此时BQ 的长；问题解决(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M安装监控装置，用来监视边AB现只要使/ AMB大约为60°, 就可以让监控装置的效果达到最佳，已知/ A二/ E=Z D=90°, AB=270m AE=400mED=285m CD=340m问在线段CD上是否存在点M 使/ AMB=60 ? 若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由.A D團①图②團③【考点】圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值.菁优网版权所有【专题】压轴题；存在型.【分析】（1）由于△ PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题.（2）以EF为直径作。

初中锐角三角函数及应用

初中锐角三角函数及应用锐角三角函数是指角度小于90度的三角函数，包括正弦、余弦和正切。

这些函数在数学和物理学中有着广泛的应用。

首先，我们来介绍一下锐角三角函数的定义和性质。

在一个直角坐标系中，对于一个锐角ABC（角A小于90度）, 我们可以定义正弦函数sinA 为点B的纵坐标除以斜边AC的长度，余弦函数cosA 为点B的横坐标除以斜边AC的长度，正切函数tanA 为点B的纵坐标除以横坐标。

其中，sinA、cosA和tanA都是角A的函数。

这些函数有许多重要的性质。

首先，它们的定义域都是锐角的正数集合，即(0,90)。

其次，它们的值域都是(-1,1)，即在定义域内，这些函数的值都在-1到1之间变化。

此外，正弦函数和余弦函数还具有周期性，周期为360度或2π弧度。

也就是说，对于一个锐角A，sin(A+360k) = sinA，cos(A+360k) = cosA，其中k 为整数。

在应用方面，锐角三角函数有着广泛的作用。

首先，它们被广泛应用于三角计算。

例如，我们可以利用正弦定理或余弦定理，通过已知边和角来求解三角形的其他未知边和角。

这在测量、建筑、工程等领域都有着重要的应用。

其次，锐角三角函数在物理学中也有着重要的应用。

例如，对于一个斜抛运动的物体，我们可以利用正弦函数和余弦函数来分析其垂直和水平方向上的运动。

它们可以帮助我们计算物体的落点、飞行时间、最大高度等。

另外，锐角三角函数还与周期函数和图像有着密切的关系。

它们的图像可以通过函数的周期性来得到。

例如，正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，具有对称性和单调性，而余弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，也具有对称性和反单调性。

此外，锐角三角函数还与三角恒等式有着重要的联系。

三角恒等式是指对于锐角A和B，成立的恒等关系。

利用三角恒等式，我们可以化简复杂的三角函数表达式，简化计算过程。

总的来说，锐角三角函数是数学中一类重要的函数，具有广泛的应用。

它们不仅在三角计算和几何题目中有着重要作用，还与物理学、周期函数和三角恒等式等有着紧密的联系。

初三数学锐角三角函数的简单应用知识点

初三数学锐角三角函数的简单应用知识点
初三数学锐角三角函数的简单应用知识点
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接下来小编为大家精心准备了锐角三角函数的简单应用知识点，希望大家喜欢!
学习重点难点：
重点：进一步用解直角三角形的.知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.
难点：灵活运用三角函数解决实际问题.
【温故知新】
1.如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B 点、C点的仰角分别为60°和45°，则广告牌的高度BC为_____________米(结果保留根号).
2.如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度?
变式如图，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB 的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案，要求：
(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出);
(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.。

中考数学专题复习——锐角三角函数地实际应用.doc

课题：锐角三角函数的实际应用【基础知识回顾】知识点1：锐角三角函数的概念（正弦、余弦、正切、余切）技巧点拨：①弦——分母都是斜边 ②正弦——分子是正对的边（谐音“正邪”) ③切——垂直的意思，只与直角边有关 ④正切——分子是正对的边 ⑤余——剩余的意思余弦——分子是剩下的直角边（即邻边）余切——分子是剩下的直角边（即邻边）简记为：正弦——对比斜(或正比斜）正切——对比邻余弦——邻比斜知识点2：常见的锐角三角函数值三角函数 30°45°60°技巧点拨sin α21 22 23 分母都是2，分子分别是√13 cos α23 22 21 分母都是2，分子分别是3 1tan α 33 13分母都是3，分子分别是3、1、3【新课知识讲解】知识点3：解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（三角形内角和）（3）边角之间的关系：（锐角三角函数）baB a b B c a B c b B a b A b a A c b A c a A ========cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin 知识点4:直击中考——解直角三角形的实际应用：测距、测高、测长等例1、如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方点P 处，此时飞机离地面的高度PO ＝450 m ，且A ，B ，O 三点在一条直线上，测得∠α＝30°，∠β＝45°，求大桥AB 的长(结果保留根号)．【分析】第一步：确定相关直角三角形本题中∠α、∠β 分别在Rt ΔAOP 、Rt ΔBOP 中（由平行线内错角相等转化已知角）第二步：分别在直角三角形中列出已知角的锐角三角函数值第三步：代入已知条件求值，并简答【答案】由题意得，ΔAOP 、ΔBOP 均为直角三角形，∠PAO=∠α＝30°，∠PBO=∠β＝45°，PO=450m 在Rt ΔAOP 中，tan ∠PAO=PO/AO 在Rt ΔBOP 中，tan ∠PBO=PO/BO 代入数值，计算得 tan ∠PAO=PO/AO=tan ∠α=33所以AO=3PO tan ∠PBO=PO/BO=tan ∠β=1 所以BO=PO AB=AO-BO=(3-1）PO=450(3-1）m答：AB 长为450(3-1）m例2、如图，已知两座高度相等的建筑物AB 、CD 的水平距离BC ＝60米，在建筑物CD 上有一铁塔PD ，在塔顶P 处观察建筑物的底部B 和顶部A ，分别测行俯角0030,45==βα，求建筑物AB 的高。

中考数学-锐角三角函数应用方位角与方向角问题

中考数学锐角三角函数应用方位角与方向角问题复习引入本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．探究新知（一）方位角与方向角1．方向角教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD 与正南方向成45°角，通常称为西南方向．图28．2-1 图28．2-2 2．方位角教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．•如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）•之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．解题时一般有以下三个步骤：1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、•角）之间关系解有关的直角三角形．（三）例题讲解教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，•距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，•到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC•是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP•均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC•互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.8．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=PC PB，∴PB=72.872.8sin sin340.559PCB=≈︒≈130.23．因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，•要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h 时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．图28．2-9 图28．2-10与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sin α．图28．2-11在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．随堂练习课本第95页练习第1题、第2题．课时总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，•转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．教后反思:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 第4课时作业设计课本练习课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．双基与中考一、选择题．1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（）．A．南偏西35°B．东偏西35°C．南偏东55°D．南偏东35°(第1题) (第5题) (第8题) 2．•身高相同的三个小朋友甲、•乙、•丙放风筝，•他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（）．A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，•一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（）．A．5<h≤B．10≤h≤C．10<h<15 D．4．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（）．A．30°B．45°C．60°D．无法确定5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，•斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（）．A．42m B．（）m C．78m D．（）m6．△ABC中，+（2=0且AB=4，则△ABC的面积是（）．A．B．4 C．D．27．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（）．A．B．C．7 D．148．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，•使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（）．A．1.8tan80°m B．1.8cos80°mC．1.8sin80︒D．1.8cot80°m9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（）．A ．4sin54°B ．4cos63°C ．8sin27°D ．8cos27°10．如图，上午9时，一条船从A 处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，•11时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（）．A ．20海里B ．36海里C ．72海里D ．40海里北BA NC(第10题) (第11题)11．如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1•米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高，•请你计算电线杆AB 的高为（）．A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米二、填空题．12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，•该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆高度为______m ．（•用含根号的式子表示）13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，•再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．• • •14．•如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD ，•根据图示数据得下底宽AD=______米．(第14题) (第15题)15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=•30°，则顶点B的坐标是________．16．如图，•燕尾槽的外口宽AD=•90mm，•深为70mm，•燕尾角为60•°，•则里口宽为________．(第16题) (第17题)17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45•°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．三、解答题．18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C•处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？A B答案：一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D11．D 二、12．332 1333米 14．29.2 15．（3316．（90+33）mm 17．500（3）m三、18．由题意可知：OA=16．1×2=32.2（海里）．∠1=32°，∠2=58°．∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°-（32°+58°）=90°．由B 在A 的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．又∵在Rt △AOB 中，tanA=OBOA ，∴OB=OA ·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．∴v=2OB=19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．即：乙船的速度约为10.0海里/小时．19．过点C 作CD ⊥AB 于D ，3，这条公路不会穿过公园．。

初三数学《锐角三角函数》优秀教学课件

3 应用
锐角三角函数广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。
三角函数的定义及分类
定义பைடு நூலகம்
正弦、余弦、正切、正割和余割是根据三角形的边长关系定义的函数。
分类
三角函数可分为基本三角函数和带角的三角函数，每个函数都有不同的性质和应用。
图像
不同函数在坐标系上的图像展示了它们的周期性、对称性和变化规律。
角度制与弧度制的转换
1 角度制
2 弧度制
常用角度单位，用度数表示。
另一种角度单位，用弧长与半径的比值表示。
3 转换方法
角度制与弧度制之间可通过一定的换算公式进行转换。
正弦函数的图像及基本性质
图像
正弦函数在坐标系中呈现出一条连续变化的波浪线。
性质
正弦函数的定义域是全体实数，值域是[-1, 1]，具有周期性和对称性。
正切函数的图像及基本性质
1
图像
正切函数在坐标系中形成一系列连续交叉的直线。
2
性质
正切函数的定义域是所有切点的横坐标全体，值域是所有实数。
3
特性
无定义点、无界性和奇偶性是正切函数的特别性质。
正割函数、余割函数的图像及基本性质
1 正割函数
正割函数形成一组连续的曲线，与余弦函数图像对称。
2 余割函数
余割函数形成一组连续的曲线，与正弦函数图像对称。
3 性质
正割和余割函数分别是余弦和正弦函数的倒数。
三角函数的周期性质
周期
三角函数的图像在一定范围内呈现出重复的模式，这个范围称为函数的周期。
周期公式
不同三角函数的周期可通过一定的公式进行计算。
变化规律
周期性质决定了三角函数的重复模式和增减变化规律。

锐角三角函数的实际应用

锐角三角函数的实际应用一、仰角、俯角问题例1. 某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF 为公益广告牌，CD为公益广告牌的高，DM为楼房的高，且C、D、M三点共线．在楼房的侧面A处，测得点C与点D的仰角分别为45°和37.3°，BM＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高(CD的长)．(结果精确到0.1米，参考数据：sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618)例2.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果精确到0.01米，参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.537，tan57.5°≈1.570，3≈1.732，2≈1.414)二、坡度、坡角问题例3. 如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)例4. 如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i1＝1∶2，钢缆BC的坡度i2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)三、测量问题例5、为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)例6、如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于A B的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)四、方向角问题例7：某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．例8：如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？巩固练习：1、如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110)2. 张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角(即∠MAN＝30°)，在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内)，求这棵大树CD的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)3.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)4、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．5、如图，某军港有一雷达站，军舰停泊在雷达站的南偏东方向36海里处，另一艘军舰位于军舰的正西方向，与雷达站相距海里．求：（1）军舰在雷达站的什么方向？（2）两军舰的距离．（结果保留根号）6、（某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。

中考复习专题之-锐角三角函数实际应用

事故船位于巡逻艇的北偏东58°方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分
钟可以到达事故船A处．
（结果保留整数．参考数据： 3 1.73
cos53 3
， sin 53 4
， tan 53 54
，）
5
3
名校模拟
10．（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）如图，某数学兴趣小组为了测量塔AB的高度，他们先在水平地面上的
典例2．先化简，再求值
6a a2
9
1
2a 3 a3
其中 a 2sin30 3
典例3．如图，在△ABC中，C 90 , tan A 3 , ABC 的平分线BD交AC于点D，CD= 3.求AB的 3
长？
典例剖析
典例4．如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是1，0，0，3 且 ABC 90 A 30，求点A的坐标？
求观测点B到A船的距离（结果精确到0.1海里）．
参考数据：
sin 67.4 12 , cos 67.4 5 ,sin 67.6 0.925, cos 67.6 0.381, 2 1.4临沂·统考一模）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措，某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度，如图，已知测倾器的高度为 1.5米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC=33°，在与点A相距3米的测点D处安置测倾器，测得点M 的仰角∠MEC=45°(点A，D与N在一条直线上)．求电池板离地面的高度MN的长
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名校模拟
11．（2023·安徽亳州·统考一模）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB、CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB、CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为120m，此时观测到楼AB底部点A 处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行48m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确

锐角三角函数的应用初中九年级数学教学课件PPT 人教版

锐角三角函数整合拓展提升课
问题解决探究
探究1.随着锐角A的度数不断增大，sinA有
怎样的变化趋势？cosA呢？tanA呢？
30° 45° 60°
sinα 1
2
cosα 3
2
3
2
2
2
1
2
2
2
tanα 3
1
3
3
问题解决探究
随着锐角A的度数不断增大 sinA逐渐增大
cosA逐渐减小 tanA逐渐增大
问题解决探究
< > >
问题解决探究
探究2.若∠A+∠B=90°,试探究sinA与cosB
的关系，并说明理由？ (提示：利用锐角三角函数的定义)
若 ∠A+∠B=90° 则 sinA=cosB
问题解决探究
问题解决探究
1
1
1?
问题解决探究
探究3.在Rt△ABC中，∠C＝90°
求证：sin 2 A cos2 A 1
1?拓展提升Fra bibliotek 拓展提升2.
课堂小结
1. 随着锐角A的度数不断增大 sinA逐渐增大 cosA逐渐减小 tanA逐渐增大
2.若 ∠A+∠B=90°则 sinA=cosB
3.sin 2 A cos2 A 1

应用锐角三角函数解实际问题

应用锐角三角函数解实际问题锐角三角函数是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们解决日常生活中的实际问题。

本文将从四个方面来讨论锐角三角函数在实际问题中的应用。

首先，锐角三角函数可以解决根据两条边求三角形面积的问题。

设有一个三角形ABC，其中AB=2，BC=3，则可以使用锐角三角函数求解这个三角形的面积。

首先，我们需要根据已知条件计算出三角形ABC的内角度数，即α=60°，可以由两条边求出其它边的长度AC=2.5。

然后，我们可以使用锐角三角函数中的S=1/2absinα公式，来求出三角形ABC的面积，即S=1/2*2*3*sin60°=3.464。

其次，锐角三角函数可以解决根据两个内角和外角求三角形面积的问题。

设有一个三角形ABC，其中A=60°，B=30°，C=90°，则可以使用锐角三角函数求解这个三角形的面积。

首先，我们需要根据已知条件计算出三角形ABC的边长，即AB=2，BC=2，可以由两个内角求出外角的长度AC=3。

然后，我们可以使用锐角三角函数中的S=1/2a bsinα公式，来求出三角形ABC的面积，即S=1/2*2*2*sin90°=2.000。

此外，锐角三角函数还可以用来解决求抛物线焦点距离中心点的问题。

假设有一个抛物线y=-1/4x^2，其中x为横坐标，y为纵坐标，则可以使用锐角三角函数求出抛物线的焦点距离中心点的距离为2。

首先，我们需要根据抛物线的模型求出抛物线的焦点坐标(0,1/2)，然后通过三角函数来求出焦点距离中心点的距离，即a=√(0-1/2)^2+(1/2)^2=√2。

最后，锐角三角函数还可以应用于光学中，用来求解折射率等问题。

假设有一个简单的透镜系统，镜片一边入射面和出射面之间有n条光线，可以使用锐角三角函数求出透镜系统的折射率。

这里，我们可以先分别求出入射面和出射面的角度α1、α2，再用反射率的定义，即n1sinα1=n2sinα2，求出折射率n2。

锐角三角函数在日常生活中有哪些用途

锐角三角函数在日常生活中有哪些用途锐角三角函数在日常生活中的用途那可真是不少！咱们先来说说建筑方面。

就拿盖房子来说吧，建筑工人师傅们在搭建脚手架的时候，可就得用到锐角三角函数的知识。

我之前亲眼见过一个建筑工人师傅，他站在地上，拿着测量工具，眼睛专注地盯着上面的架子，嘴里还念念有词。

我好奇凑过去一听，原来他在计算架子与地面形成的角度，用的就是锐角三角函数。

他跟我说，如果角度算不对，这脚手架搭得不稳当，那可就危险啦！再说说装修的时候，要安装一个斜着的窗户。

这时候就得算出窗户与墙面的夹角，才能保证窗户安装得既美观又实用。

工人师傅们会拿着尺子和量角器，在那比划来比划去，其实就是在运用锐角三角函数的原理呢。

还有测量山的高度。

有一次我去爬山，碰到一群搞测量的人。

他们站在山脚下，拿着各种仪器。

其中一个人拿着望远镜看向山顶，另外几个人在本子上记录着数据。

我好奇地问他们在干啥，他们说在测量这座山的高度。

原来他们是通过测量山脚下到山顶的角度，还有他们与山之间的距离，利用锐角三角函数来算出山的高度。

这可真神奇，我当时就在想，这小小的锐角三角函数居然有这么大的本事！在航海中，锐角三角函数也起着重要作用。

船长要确定船只的位置和航向，就得依靠对角度的测量和计算。

比如说，通过测量灯塔与船只的夹角，结合已知的距离，就能准确判断出船只的位置，避免触礁或者迷路。

在日常生活里，如果你想在墙上挂一幅画，要挂得正又好看，也得用到锐角三角函数。

你得先测量画框与墙面的角度，还有画框的长度和高度，这样才能确定钉子应该钉在哪个位置，画才能挂得稳稳当当，不会歪歪斜斜的。

还有啊，比如你想在院子里搭一个滑梯给小朋友玩。

滑梯的坡度太陡，小朋友滑下来速度太快不安全；坡度太缓，又滑得不痛快。

这时候就得通过锐角三角函数来计算出最合适的角度，让小朋友既能玩得开心又能保证安全。

甚至在拍照的时候，有时候为了拍出特别的效果，摄影师也会考虑角度的问题。

通过计算拍摄角度和距离，来达到想要的构图和视觉效果。