第四章 直梁的弯曲

例一，如图： 受集中载荷简支梁。 试画出弯矩图。
P m A a
C D
B a
m = Pa
a
解：①解除约束，求约束反力
RAy· 3a – P·2a + m = 0 R Ax
RAy + RBy – P = 0
P RA y
RBy
P RAy 3
2P RBy 3
RAx 0
②分段求各段弯矩
AC段，在AC段任取一截面
x
ql B截面右侧 MB右= 8
2
②BC段 在BC之间任取一截面
q
M BC
qx ql 2 2
2
2
l l x 2 2
x
l B截面左侧，x 2
C点 x=l， MC =0
3 MB左 ql 2 8
3 ql2 8
(+)
C
B
8
(-) ql2
A
例三、有一梁受力如图，试画出弯矩图。
q D
两端施加外力偶，使梁产生纯弯曲
变形如图
m
m o b a
n b a o
m
n m 出现现象如下： 1、变形后，m—m，n—n仍为直线，但转 一定角度，仍与梁轴相垂直。 2、纵向线bb，aa及轴线由直线变为圆弧， bb缩短，aa伸长。 3、梁横截面长度不变。
由观察现象作两点假设：
1、平面假设——梁横截面弯曲变形后均为 平面，仍垂直于轴线。横 截面只绕某轴转个角度。 2、互不挤压假设——假设梁由很多层纤维 组成，变形时各层纤 维只受轴向拉伸或压 缩，各层纤维 互不 挤压。
由假设可得 梁弯曲本质是拉伸与压缩 hook定律：
E E
y

上式显示： 梁截面上任一点应力与该点到中性轴距离成 正比，y=0的中性面上 应力σ为0，上、下 边缘正应力最大。
四、静力学关系
寻找正应力σ与弯矩M之间关系 如图：纯弯曲梁横截面应力分布 中性轴两侧 一边受拉 一边受压 可构成力偶

max
②当截面对称于中性面，最大拉、压应力相等。
③当中性面与上下边缘距离不等时，要分别计算拉 应力与压应力。 令
My max IZ
IZ WZ y max
WZ ——横截面对中性轴Z的 抗弯截面模量。
五：弯曲正应力公式适用范围
弯曲正应力计算公式是在纯弯曲下导出——梁截 面只有弯距没有剪力。 工程中实际梁受到横向力作用——梁截面既有弯 矩又有剪力。 横截面存在剪力 互不挤压假设不成立，梁发 生翘曲。根据精确理论和实验分析，当梁跨 度l与横截面高度h之比 l / h＞5时，存在剪应 力梁的正应力分布与纯弯曲很接近。 公式适用范围： ①梁跨度l与横截面高度h之比 l / h＞5，可使 用梁正应力计算公式。
a
A
a
qa C
a
B
解: (1) 解除约束， 求约束反力
q D A RAy C
qa B R Bx R By
RBx = 0 RBy + RAy – qa– qa = 0
RAy = 1.75 qa 5 RAy 2a qa a qa a 0 RBy = 0.25 qa
2
(2) 分段求各段弯矩，分DA,AC,CB三段。
2 Pa 3 Pa 3
③Байду номын сангаас弯矩图
A
(+ )
( +) ( -)
C
D
Pa 3
B
q 例二、有一悬臂梁 长l， C 其上分布载荷q和集 中力偶矩m. l/2 试画出弯矩图。 解：悬臂梁可不必求约束反力 直接分段 AB与BC段
m=
ql 2 2
B
A
l/2
①AB段 在AB之间任取一截面 2 l 弯矩 M qx x qx 0≤x＜ AB 2 2 2
②梁正应力计算公式由矩形截面梁导出，但未 使用矩形的几何特性。 所以公式适用于右纵向对称面的其它截面梁。 如 工字钢、槽钢及梯形截面梁等。
纵向 对 称 面 工字 钢 纵 向对 称 面
槽钢 纵向 对称 面 不 存在 纵向 对称 面 不 可用
纵向对称面
不存在 纵向对称面 不可用
③梁材料必须服从虎克定律，在弹性范围 内，且材料的拉伸与压缩弹性模量相同， 公式才适用。
hb Wy 6
2
h b
y
dy
z
对中性轴与截面形心不重合 如图梯形截面
2dA = ∫ IZ = ∫yA
y1 y2dA -y2
IZ WZ 1 y1 IZ WZ 2 y2
中性轴
y1 y2
z
WZ1与WZ2不相等，正应力计算时采用较小 抗弯模量进行计算。
2、圆形及圆环形截面
①对实心圆截面 对圆截面，通过形心任一轴的惯性矩相等。
§4.6 截面的轴惯性矩和抗弯截面模量 1、矩形截面（中性轴与截面形心重合） y 轴惯性矩 IZ
2dA dA=b﹒dy IZ =∫yA 3 h/2 bh 2 IZ = ∫ -h/2 y bdy = 12
h
b
z
y
Iy = ∫
b/2
-b/2
y2hdy
=
hb 12
2
3
抗弯截面模量WZ
IZ bh WZ h/2 6
M EI Z 1
1
IZ——横截面对中性轴的 轴惯性矩。 EIZ——抗弯刚度

②曲率与EIZ成反比。
E
y


M Ey EI Z
1

My IZ
此式为纯弯矩梁横截面上任一点正应力公式。 y→横截面上任一点距中性轴距离。
注意： ①弯曲正应力σ与M成正比，与距离y成反比， 最大应力存在于梁边缘处
q
P
m
③分布载荷：载荷分布在较长范 围内，以单位长度受力 q 表示。 q 单位 N / m 如图：
§4.3 梁弯曲时的内力
4.3.1 内力计算
内力计算方法如下： 第一步——解除支座约束，计算约束反力。
第二步——用截面法将梁分成两部分。 第三步——由平衡条件计算截面处内力。
如图：简支梁，试计算 m — n 截面内力。 A 解: (1) 解除约束， 求约束反力
4.4 弯矩图
由截面法计算出横截面弯矩随轴线 x 变化规律 M = M(x) →称为梁弯矩方程 将弯矩大小与正负表示在图上——弯矩图 画弯矩图的基本方法： (1) 对双支点梁解除约束，求支座反力，悬臂 梁不必求支座反力,从悬臂端开始计算弯 矩。 (2) 在有集中力或集中力偶处分段，求出每一 段弯矩方程。 (3) 选适当比例，以横截面位置x为横坐标，弯 矩M为纵坐标作弯矩图。
由假设作如下推论：由观察得知，横截面只相对偏 转了一个角度，纵向纤维受到轴向拉伸或压缩。 1、纯弯曲梁变形本质是拉伸或压缩变形，不是剪 切变形。 2、横截面只有正应力，无剪应力。凹侧受压，有 压缩应力，凸侧受拉，存在拉应力。 3、中间存在一层既不受拉也不受压的中性层，其 上应力为0。
二、应变与几何尺寸之间关系 从受纯弯曲梁取一段dx长。 dx微段的两横截 面变形后夹角dθ ,中性层曲率半径为ρ dx o 变形 前 变形后
2
C
B
2
§4.5 弯曲时的正应力和强度计算
纯弯曲——只有弯矩 而无剪力的梁，此时弯曲为纯弯曲。 纯弯曲梁——梁横截面上只有弯矩而无剪力。
CD段是典型纯弯曲梁，分析纯弯曲梁横截面正应 力方法分四步：
一、实验观察与假设推论 如图一矩形截面梁，在侧面 分别画上与梁轴线相垂直的线 m—m，n—n，及与梁轴线平行线bb，aa m—m，n—n 代表横向截面bb，aa代表 纵向截面
即 Iz = I y = ∫
=∫
y2dA
A
y
(Rsina)2
·dA
y
α
z
dA=2Rcosa· dy , y=Rsina dy=Rcosa· da Iz = Iy= 2∫2R4 sin2 a·cos2 a·da=
列平衡方程
a m n
b B
RxA RyA
Pa R yB ab
P RyB
RxA = 0 RyA + RyB = P RyB· l – Pa = 0
Pb R yA ab
RxA 0
(2) 用截面法求内力
x
Ay
M
Fs M o
P
剪面处存在的内力： R Fs R ①阻止 RyA 作用下绕 O 转动，截面必存在附加 内力矩 M，阻止转动。 ②平衡 RyA力，截面上必有向下力 Fs 附加内力矩M——称为截面弯矩。 截面内力Fs——称为剪力，与外力平行，有使 梁沿 m—n 截面剪断趋势。 Pb 分离体处于平衡，由平衡条件得： Fs ab ∑y=0 RAy – Fs = 0 Pb M x ∑M = 0 M – RAy· x=0
规定如下： 所求弯矩的截面附近能形成上凹下凸的弯曲 变形，该截面弯矩为正；反之为负。 m — n 截面附近弯曲形状，如图，弯矩M为正。
M
m n
M
反之 发生如下图弯曲形状，弯矩为负。
m
M
n
M
由此得“左顺右逆”弯矩为正 规定：
截面左侧——所有对截面形心之矩为顺时针 的外力及顺时针的力偶，它们 在截面处产生弯矩为正，反之 为负。 截面右侧——所有对截面形心之矩为逆时针 的外力及逆时针的力偶，它们 在截面处产生弯矩为正，反之 为负。
DA段，在之间任取一截面
q
x
M AD
qx 2
2
0≤x≤a
AC段，在之间任取一截面
M AC a RAy ( x a ) qa ( x ) 2
q
D
A
x
0.75qax 1.25qa
2
BC段，在之间任取一截面
M BC
(3) 画弯矩图
x
RBy
A D
(-) qa2
0.25qa (+)
解除约束 受力图
Rx
m
Ry
Rx ≠ 0 x=0 力的边界条件 Ry ≠ 0 位移边界条件 m≠0 w=0 各支座反力 可根据平衡条件求出。 如果未知力数与所列出的独立方程数 相同，则可求出未知力——称为静定 问题，属于静定梁； 反之为静不定，称为不静定梁。
作用于梁上载荷有三种形式：
①集中力：作用力作用在很小 面积上，可近似一点。如图： ②集中力偶：力偶两力分布在 很短一段梁上，可简化为作 用在梁的某一截面上。如图：
中性层
如图 在梁横截面上取微面dA，距中性轴距离y dA上内力dF dF = σdA Z dF对中性轴之矩dM dA dM = σ· y· dA y y E M= ∫AdM =∫Aσ ydA, E 2 M= ∫A y dA

IZ = ∫A y2 dA
①曲率 与M成正比，M越大，梁弯曲越厉害。
变形特点——任两个截面绕垂直于梁轴线的 轴 相对转动，梁轴线由直线变曲线。
受力后
截面 轴 线
平面弯曲——所有外力或力偶作用在纵向对称 面内，梁轴线在对称面内弯曲成 平面曲线。 纵向对称面——在纵向可将梁分成对称两半。
常见有纵向对称面的梁
2、梁简化
对实际梁受力分析和强度计算，对梁进行简 化，以轴线表示梁。 梁简化成三种力学模型： （1）简支梁 如图： 一端固定简支，另一端可动铰支。 （2）外伸梁 如图： 梁一端或两端伸出支座外。 （3）悬臂梁 如图： 梁一端固定约束，另一端自由。
y
o1 c1
o2 d1
c1
o
dθ
1
dx
o
d1
2
OO1 = OO2 = ρ O1O2 = dx = ρdθ 中性层变形前后长度不变。 变形后 c1d1 =(ρ +y)d θ c1d1的应变 ( y )d dx ( y )d d y dx d
⌒
三、物理关系——虎克定律
第四章 直梁的弯曲
4.1 引言 4.2 平面弯曲概念 梁结构
1、梁弯曲 常见弯曲变形构件中 由房屋支承梁，工厂 中起重机横梁及化工中的卧式容器等。
结构如图：
起重机大梁
力学分析简 化模型
P
目录
镗刀杆
P
火车轮轴简化
弯曲梁受力特点——在通过梁某一纵向平面内，受 到垂直于轴线的外力或力偶作用。
受力如图：
RA y
x
P M
M AC
P RAy x x 0≤x≤a 3
DC段，在DC段任取一截面
M DC RAy x P( x a ) P 2P x Px Pa Pa x 3 3
R Ay
x
a≤x＜2a
BD段，在BD段任取一截面
M
x
RBy
M BD
2 RBy x Px 0≤x＜a 3
By
ab
结论： ①受弯曲梁任一截面内力有 弯矩与剪力。 ②剪力等于截面之左（或右）所有外力代数和。 ③弯矩等于截面之左（或右）所有外力（力偶） 对截面形心之矩代数和。
剪力与弯矩对梁强度影响： 由经典力学分析 弯矩对梁强度影响远大于 剪力对梁强度。 工程计算一般只考虑弯矩，忽略剪力。
4.3.2 弯矩符号规定
各支座处力与位移边界条件： ①固定铰支 支座处 梁左、右，上、下 均不可移动，但 可绕约束点转动。 解除约束 受力图
Rx
Ry
x=0
m= 0 力的边界条件 Rx ≠ 0 位移边界条件 Ry ≠ 0
w=0
②可动铰支 支座点左、右 可移动，上、下 不可动。
解除约束 受力图
Ry
x ≠0 Ry ≠ 0 力的边界条件 Rx = 0 位移边界条件 w=0 m =0 ③固定端 约束限制 固定端既不能转动，也不可移动。