第七章弯曲应力(新模板)解析

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7.2.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
现象：梁上的纵向线（包 括轴线）都弯曲成圆弧曲线， 靠近凹侧一边的纵向线缩短， 而靠近凸侧一边的纵向线伸长； 梁上的横线仍为直线，各横线 m 间发生相对转动，不再相互平 行，但仍与梁弯曲后的轴线垂 直。在梁的纵线伸长区，梁的 宽度减小；而在梁的纵线缩短 区，梁的宽度增大。
从纵向纤维伸长区到 缩短区，梁内必有一层纤 维既不伸长，又不缩短。 这一纤维层，称为中性层。 中性层与横截面的交线， 称为中性轴 。
中性轴
中性层
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介值定理：
设f x 在a, b连续，且f a 与f b异号，则在a, b 内必有 一点，使 f 0。
第七章
弯曲应力
(Bending Stress)
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7.1 概述
7.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
7.4 横力弯曲时的正应力、正应力强度条件
7.5 弯曲剪应力及其强度条件
7.7 提高弯曲强度的措施
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7.1 概述
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弯曲时梁的横截面上一般同时存在着两种内力— —剪力Q和弯矩M，这些内力皆是该截面内力系合成的 结果。由于剪力Q是和横截面相切的内力，所以它是 与横截面相切的剪应力t 的合力；而弯矩M作用面则是 与横截面垂直的力偶矩，故它是由与横截面上垂直的 正应力s 合成的结果。总之，由于梁的横截面上一般 同时存在弯矩和剪力，所以，梁的横截面上一般即有 正应力s ，又有剪应力t 。本章将分别讨论正应力s 和 剪应力t 在横截面上的分布规律及其计算。
s c max
M
y1
x
z
s t max
My1 Iz
s t max
最大压应力为：
s c max
My 2 Iz
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7.4 横力弯曲时的正应力、正应力强度条件
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7.4.1 横力弯曲时的正应力
横力弯曲时，由于横截面上存在剪应力而且并非均 匀分布，所以，弯曲时横截面将发生翘曲，这势必使横 截面再不能保持为平面(平面假设不适用)。特别是当剪 力随截面位置变化时，相邻两截面的翘曲程度也不一样。 这时，截面上除有因弯矩而产生的正应力外，还将产生 附加正应力(纵向纤维无挤压假设不满足)。另外，分布 载荷作用下的横力弯曲，纵向纤维之间也是存在正应力 wk.baidu.com。
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(a)
m
(b)
平面假设
假设梁的横截面在纯弯曲变形后仍保 持平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截 面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一 个角度。这就是弯曲变形的平面假设。
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假设梁的纵向纤维 间无挤压，只是发生了 简单的轴向拉伸或压缩 。
横截面对称轴 纵向对称面
直径为d的圆形截面
Iz d 4 Wz 64 ymax d d 3 2 32
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若梁的横截面对中性轴不 对称，则其截面上的最大拉应 力和最大压应力并不相等，如 右图示中的T形截面。这时， 应把y1和y2分别代入公式，计 算截面上的最大正应力，最大 拉应力为
y
y2
7.2.3 梁横截面上的最大正应力
s max
My max M Iz Wz
M
z
其中
Wz I z ymax
y
是构件横截面的几何性质，称为抗弯截面模量（或截 面系数），量纲为[长度]3。
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对于高为h，宽为b的矩形截面，抗弯截面模量为
Iz bh3 Wz ymax 12 h bh 2 2 6
M
z
N s dA 0
A
y
N s dA
A
E
A

ydA
E

A
ydA
E

Sz 0
可见z为过形心的轴。
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同样考虑M y z
A
Ey

dA
E

I yz 0，则有I yz 0
说明y、z为主惯性轴，从而它们为形心主惯性轴。
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7.2 纯弯曲时梁横
截面上的正应力
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7.2.1 纯弯曲(pure bending) 下图CD段称为纯弯曲
a
A
P
C
P
D
a
B
Q
P
x
P
x
a
A
P
C
P
D
a
M
B x
Pa
x
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在CD段
Q0 M constant
其它段(如AC、DB)剪力不为零，则称为剪切弯曲 或横力弯曲。
N s dA 0, M y zs dA 0
A A
z
o
y
M z ys dA M
A
x sdA
首先，M z ys dA M，有
A
M y
A
E

ydA
E
A
y dA
2
E

Iz
y
z
M s E y Iz
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横截面上点的应力与该点 到中性轴的距离y成正比。其 分布图如右示。 考虑
对给定截面曲率半径 为常数，所以y∝ y ，也就是说截面上 某点的应变与该点到轴线的距离成正比。
（
y y
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dx
1
2 1
dq
2
dx

y
o1
o2
x
y
z
a
1
b
a o1 o2 b
y 1
(b)
2
(a )
2
2. 物理关系
s E
E

y
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3. 静力关系
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弹性理论表明，对于横力弯曲时的细长梁，即 截面高度远小于跨度的梁，横截面上的上述附加正 应力和纵向纤维间的正应力都是非常微小的。这时 可以采用纯弯曲时梁横截面上的正应力公式来近似
My s Iz
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7.4.2 弯曲正应力强度条件及其应用
s max
M s Wz
对于铸铁等这一类抗拉和抗压的能力不同脆性 材料，工程上常将此种梁的横截面做成如T字形等对 中性轴不对称的截面，其最大拉应力和最大压应力 的强度条件分别为
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1. 几何关系 图示dx微段，其中x轴为假设的中性轴(待确定)，所以O1O2 在变形前后长度不变，而变形后的弧段O1O2的转角为dq，考虑 线段ab在变形后的线应变，
ab ab y dq dx ydq y y dx dq ab