第七章弯曲应力(新模板)解析

N s dA 0, M y zs dA 0
A A
z
o
y
M z ys dA M
A
x sdA
首先，M z ys dA M，有
A
M y
A
E

ydA
E
A
y dA
2
E

Iz
y
z
M s E y Iz
湘潭大学土木工程与力学学院
横截面上点的应力与该点 到中性轴的距离y成正比。其 分布图如右示。 考虑
湘潭大学土木工程与力学学院
7.2.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
现象：梁上的纵向线（包 括轴线）都弯曲成圆弧曲线， 靠近凹侧一边的纵向线缩短， 而靠近凸侧一边的纵向线伸长； 梁上的横线仍为直线，各横线 m 间发生相对转动，不再相互平 行，但仍与梁弯曲后的轴线垂 直。在梁的纵线伸长区，梁的 宽度减小；而在梁的纵线缩短 区，梁的宽度增大。
对给定截面曲率半径 为常数，所以y∝ y ，也就是说截面上 某点的应变与该点到轴线的距离成正比。
（
y y
湘潭大学土木工程与力学学院
dx
1
2 1
dq
2
dx

y
o1
o2
x
y
z
a
1
b
a o1 o2 b
y 1
(b)
2
(a )
2
2. 物理关系
s E
E

y
湘潭大学土木工程与力学学院
3. 静力关系
湘潭大学土木工程与力学学院
7.2 纯弯曲时梁横
截面上的正应力
湘潭大学土木工程与力学学院
7.2.1 纯弯曲(pure bending) 下图CD段称为纯弯曲
a
A
P
C
P
D
a
B
Q
P
x
P
x
a
A
P
C
P
D
a
M
B x
Pa
x
湘潭大学土木工程与力学学院
在CD段
Q0 M constant
其它段(如AC、DB)剪力不为零，则称为剪切弯曲 或横力弯曲。
s c max
M
y1
x
z
s t max
My1 Iz
s t max
最大压应力为：
s c max
My 2 Iz
湘潭大学土木工程与力学学院
7.4 横力弯曲时的正应力、正应力强度条件
湘潭大学土木工程与力学学院
7.4.1 横力弯曲时的正应力
横力弯曲时，由于横截面上存在剪应力而且并非均 匀分布，所以，弯曲时横截面将发生翘曲，这势必使横 截面再不能保持为平面(平面假设不适用)。特别是当剪 力随截面位置变化时，相邻两截面的翘曲程度也不一样。 这时，截面上除有因弯矩而产生的正应力外，还将产生 附加正应力(纵向纤维无挤压假设不满足)。另外，分布 载荷作用下的横力弯曲，纵向纤维之间也是存在正应力 的。
从纵向纤维伸长区到 缩短区，梁内必有一层纤 维既不伸长，又不缩短。 这一纤维层，称为中性层。 中性层与横截面的交线， 称为中性轴 。
中性轴
中性层
湘潭大学土木工程与力学学院
介值定理：
设f x 在a, b连续，且f a 与f b异号，则在a, b 内必有 一点，使 f 0。
湘潭大学土木工程与力学学院
湘潭大学土木工程与力学学院
1. 几何关系 图示dx微段，其中x轴为假设的中性轴(待确定)，所以O1O2 在变形前后长度不变，而变形后的弧段O1O2的转角为dq，考虑 线段ab在变形后的线应变，
ab ab y dq dx ydq y y dx dq ab
7.2.3 梁横截面上的最大正应力
s max
My max M Iz Wz
M
z
其中
Wz I z ymax
y
是构件横截面的几何性质，称为抗弯截面模量（或截 面系数），量纲为[长度]3。
湘潭大学土木工程与力学学院
对于高为h，宽为b的矩形截面，抗弯截面模量为
Iz bh3 Wz ymax 12 h bh 2 2 6
湘潭大学土木工程与力学学院
弹性理论表明，对于横力弯曲时的细长梁，即 截面高度远小于跨度的梁，横截面上的上述附加正 应力和纵向纤维间的正应力都是非常微小的。这时 可以采用纯弯曲时梁横截面上的正应力公式来近似
My s Iz
湘潭大学土木工程与力学学院
7.4.2 弯曲正应力强度条件及其应用
s max
M s Wz
对于铸铁等这一类抗拉和抗压的能力不同脆性 材料，工程上常将此种梁的横截面做成如T字形等对 中性轴不对称的截面，其最大拉应力和最大压应力 的强度条件分别为
直径为d的圆形截面
Iz d 4 Wz 64 ymax d d 3 2 32
湘潭大学土木工程与力学学院
若梁的横截面对中性轴不 对称，则其截面上的最大拉应 力和最大压应力并不相等，如 右图示中的T形截面。这时， 应把y1和y2分别代入公式，计 算截面上的最大正应力，最大 拉应力为
y
y2
湘潭大学土木工程与力学学院
(a)
m
(b)
平面假设
假设梁的横截面在纯弯曲变形后仍保 持平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截 面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一 个角度。这就是弯曲变形的平面假设。
湘潭大学土木工程与力学学院
假设梁的纵向纤维 间无挤压，只是发生了 简单的轴向拉伸或压缩 。
横截面对称轴 纵向对称面
M
z
N s dA 0
A
y
N s dA
A
E
A

ydA
E

A
ydA
E

Sz 0
可见z为过形心的轴。
湘潭大学土木工程与力学学院
同样考虑M y z
A
Ey

dA
E

I yz 0，则有I yz 0
说明y、z为主惯性轴，从而它们为形心主惯性轴。
湘潭大学土木工程与力学学院
第七章
弯曲应力
(Bending Stress)
湘潭大学土木工程与力学学院 Nhomakorabea7.1 概述
7.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
7.4 横力弯曲时的正应力、正应力强度条件
7.5 弯曲剪应力及其强度条件
7.7 提高弯曲强度的措施
湘潭大学土木工程与力学学院
7.1 概述
湘潭大学土木工程与力学学院
弯曲时梁的横截面上一般同时存在着两种内力— —剪力Q和弯矩M，这些内力皆是该截面内力系合成的 结果。由于剪力Q是和横截面相切的内力，所以它是 与横截面相切的剪应力t 的合力；而弯矩M作用面则是 与横截面垂直的力偶矩，故它是由与横截面上垂直的 正应力s 合成的结果。总之，由于梁的横截面上一般 同时存在弯矩和剪力，所以，梁的横截面上一般即有 正应力s ，又有剪应力t 。本章将分别讨论正应力s 和 剪应力t 在横截面上的分布规律及其计算。