材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)分析
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（1） [ ]t [ ]c （等截面）只须校核Mmax处 （2） [ ]t [ ]c （等截面）
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
例4-14 图示简支梁由56a号工字钢制成，已知
[例7-2]主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高
承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则
副梁的最佳长度a为多少？
a Pa
解：
C2
2D
A
B
l P 22
A
l 2
P2
B
主梁AB:
M max AB
P (l a) 4
(l a)/2 M
M maxAB P(l a) / 4
(l a)/2
1.正应力
My
IZ
2.横截面上的最大正应力
t
M y1 IZ
,
c
M y2 IZ
当中性轴是横截面的对称轴时：
若y1 y2 ymax
则 t c max
max
M ymax IZ
M
WZ
Wz
Iz y max
Wz 称为抗弯截面模量
1）沿y轴线性分布，同一 坐标y处，正应力相等。中 性轴上正应力为零。
A
E
ydA 0
A
A ydA Sz 0
中性轴Z必过截面形心
横截面对Z轴的静矩
M y
Awenku.baidu.com
zdA
0
A
zE
y
dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0 截面的惯性积（ y为对称轴）
A
M z y dA M
A
A
yE
y dA
M
y2dA Iz
截面对z轴的惯性矩
A
1 M
EI z
中性层的曲率公式
C
副梁CD:
Pa M max CD 4
M
由 (M m ax ) AB (M ) m ax CD
P (l a) P a
4
4
得 a l 2
P D
a
Pa (Mmax)CD 4
[例7-3]受均布载荷的外伸梁材料许用应力[ ] 160MPa 校核该梁的强度。
10kN / m
200
2m
4m
45 kN
2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。
3）最大正应力发生在距
y
中性轴最远处。
3.简单截面的抗弯模量
dy
(1)矩形：
Wz
Iz h/2
bh3 12
2 h
y
Wz
1 6
bh2
(2)圆：
Wz
D 4
64(D / 2)
D 3
32
(3)圆环
WZ
(D4 d 4 )
64(D / 2)
D3
32
(1 4 )
式中 d
M xy
二.梁弯曲正应力强度I条z 件
max [ ]
max
M max WZ
[ ]
利用上式可以进行三方面的强度计算：
①已知外力、截面尺寸、许用应力，校核梁的强度；
②已知外力、截面形状、许用应力，设计截面尺寸;
Wz
M max
[ ]
③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
[M ] Wz[ ]
三.算例
[例7-1]：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同， 但放置分别如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条 件确定两者许可载荷之比 P1／P2＝？
l
解： max1
M max1 Wz1
P1l bh2 / 6
max2
M max2 Wz2
P2l hb2 / 6
由 max 1 max 2 [ ] 得:
P1 h P2 b
一.几何方程
y
y
z d
dx
y
dx
dx
(
y)d d d
y
y
二. 物理关系
E E y
dx
dx
一点的正应力与它到中性层的距离成正比。
三.静力学方程
FN dA 0 A
M y
z dA 0
A
M z
y dA M
A
E y
设中性轴为z
M
y
z dA
FN
dA 0
A
E y dA 0
后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。
2.单向受力假设：
假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层
梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面
部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层.
中性层
中性轴
中性层与横截面的交线称为中性轴
M
FS
三个方面:
jastin4.swf
静力学关系 变形几何关系 物理关系
一.几何变形
M
(1)aa、bb弯成弧
线，aa缩短，bb伸 长
(2)mm、nn变形后仍
保持为直线，且仍与M
变为弧线的aa，bb正
交；
(3)部分纵向线段缩短 ，另一部分纵向线段 伸长。
mn
M
aa
bb mn
M
1.平面假设：
梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形
梁的强度。
9 kN 4 kN
52 C
zA
C
B D
88
1m 1m 1m
C截面
2.5kN
10.5kN
4
t
2.5 88 Iz
28.8MPa
＜ t
c
2.5 52 Iz
17MPa
＜ c
M
2.5
B截面
t
4 52 Iz
27MPa ＜ t
c
4 88 Iz
46MPa ＜ c
注：强度校核（选截面、荷载）
第七章 弯曲应力
§7-1纯弯曲时梁横截面上的正应力
一. 纯弯曲： 纯弯曲：
FS = 0，M = const
F
AC
Fa
l
F
Da B
F
FS
F
横力弯曲：
F
FS ≠0，M ≠0
M
Fa
CL8TU1
CL8TU2
M
dA M
FS
dA dA
dA FS
dA
在横截面上，只有法向内力元素σdA才能合成弯 矩M，只有切向内力元素τdA才能合成剪力FS
F=150kN。试求危险截面上的最大正应力max 和同 一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力a 。
12.5
F
A
FA
5m
C
10m
B z
FB
a
166
375 kN.m 21 560
M
Fl 解：1、作弯矩图如上， M max 4 375 kN m
2、查型钢表得
D
y
D
0
Z
y
x d D
§7-2 横力弯曲时的正应力及正应力强度条件
一.横力弯曲时的正应力
My
IZ
上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推 导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪 切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。理 论证明在L/h大于5时该式的精度能满足工程要求。
FS 25
15kN
20
15
20
M
11.25
100
解：由弯矩图可见
Mmax 20 kN m
t
M max Wz
20 103 0.1 0.22 /
6
t 30MPa< [ ]
该梁满足强度条件，安全
[例7-4]图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa，许
用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
例4-14 图示简支梁由56a号工字钢制成，已知
[例7-2]主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高
承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则
副梁的最佳长度a为多少？
a Pa
解：
C2
2D
A
B
l P 22
A
l 2
P2
B
主梁AB:
M max AB
P (l a) 4
(l a)/2 M
M maxAB P(l a) / 4
(l a)/2
1.正应力
My
IZ
2.横截面上的最大正应力
t
M y1 IZ
,
c
M y2 IZ
当中性轴是横截面的对称轴时：
若y1 y2 ymax
则 t c max
max
M ymax IZ
M
WZ
Wz
Iz y max
Wz 称为抗弯截面模量
1）沿y轴线性分布，同一 坐标y处，正应力相等。中 性轴上正应力为零。
A
E
ydA 0
A
A ydA Sz 0
中性轴Z必过截面形心
横截面对Z轴的静矩
M y
Awenku.baidu.com
zdA
0
A
zE
y
dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0 截面的惯性积（ y为对称轴）
A
M z y dA M
A
A
yE
y dA
M
y2dA Iz
截面对z轴的惯性矩
A
1 M
EI z
中性层的曲率公式
C
副梁CD:
Pa M max CD 4
M
由 (M m ax ) AB (M ) m ax CD
P (l a) P a
4
4
得 a l 2
P D
a
Pa (Mmax)CD 4
[例7-3]受均布载荷的外伸梁材料许用应力[ ] 160MPa 校核该梁的强度。
10kN / m
200
2m
4m
45 kN
2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。
3）最大正应力发生在距
y
中性轴最远处。
3.简单截面的抗弯模量
dy
(1)矩形：
Wz
Iz h/2
bh3 12
2 h
y
Wz
1 6
bh2
(2)圆：
Wz
D 4
64(D / 2)
D 3
32
(3)圆环
WZ
(D4 d 4 )
64(D / 2)
D3
32
(1 4 )
式中 d
M xy
二.梁弯曲正应力强度I条z 件
max [ ]
max
M max WZ
[ ]
利用上式可以进行三方面的强度计算：
①已知外力、截面尺寸、许用应力，校核梁的强度；
②已知外力、截面形状、许用应力，设计截面尺寸;
Wz
M max
[ ]
③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
[M ] Wz[ ]
三.算例
[例7-1]：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同， 但放置分别如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条 件确定两者许可载荷之比 P1／P2＝？
l
解： max1
M max1 Wz1
P1l bh2 / 6
max2
M max2 Wz2
P2l hb2 / 6
由 max 1 max 2 [ ] 得:
P1 h P2 b
一.几何方程
y
y
z d
dx
y
dx
dx
(
y)d d d
y
y
二. 物理关系
E E y
dx
dx
一点的正应力与它到中性层的距离成正比。
三.静力学方程
FN dA 0 A
M y
z dA 0
A
M z
y dA M
A
E y
设中性轴为z
M
y
z dA
FN
dA 0
A
E y dA 0
后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。
2.单向受力假设：
假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层
梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面
部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层.
中性层
中性轴
中性层与横截面的交线称为中性轴
M
FS
三个方面:
jastin4.swf
静力学关系 变形几何关系 物理关系
一.几何变形
M
(1)aa、bb弯成弧
线，aa缩短，bb伸 长
(2)mm、nn变形后仍
保持为直线，且仍与M
变为弧线的aa，bb正
交；
(3)部分纵向线段缩短 ，另一部分纵向线段 伸长。
mn
M
aa
bb mn
M
1.平面假设：
梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形
梁的强度。
9 kN 4 kN
52 C
zA
C
B D
88
1m 1m 1m
C截面
2.5kN
10.5kN
4
t
2.5 88 Iz
28.8MPa
＜ t
c
2.5 52 Iz
17MPa
＜ c
M
2.5
B截面
t
4 52 Iz
27MPa ＜ t
c
4 88 Iz
46MPa ＜ c
注：强度校核（选截面、荷载）
第七章 弯曲应力
§7-1纯弯曲时梁横截面上的正应力
一. 纯弯曲： 纯弯曲：
FS = 0，M = const
F
AC
Fa
l
F
Da B
F
FS
F
横力弯曲：
F
FS ≠0，M ≠0
M
Fa
CL8TU1
CL8TU2
M
dA M
FS
dA dA
dA FS
dA
在横截面上，只有法向内力元素σdA才能合成弯 矩M，只有切向内力元素τdA才能合成剪力FS
F=150kN。试求危险截面上的最大正应力max 和同 一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力a 。
12.5
F
A
FA
5m
C
10m
B z
FB
a
166
375 kN.m 21 560
M
Fl 解：1、作弯矩图如上， M max 4 375 kN m
2、查型钢表得
D
y
D
0
Z
y
x d D
§7-2 横力弯曲时的正应力及正应力强度条件
一.横力弯曲时的正应力
My
IZ
上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推 导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪 切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。理 论证明在L/h大于5时该式的精度能满足工程要求。
FS 25
15kN
20
15
20
M
11.25
100
解：由弯矩图可见
Mmax 20 kN m
t
M max Wz
20 103 0.1 0.22 /
6
t 30MPa< [ ]
该梁满足强度条件，安全
[例7-4]图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa，许
用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此