材料力学第5章弯曲应力

( y)d d y
d
bb dx OO O'O' d
应变分布规律：
直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.
三、物理关系
Hooke’s Law σ Eε M
z
所以 σ E y
?
O
x
应力分布规律：
?
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴
的距离成正比.
待解决问题
拉应力为 [t] = 30MPa ，许用压应力为[c] =160MPa. 已知截面
对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的强度.
20
F1=9kN
F2=4kN
80
y1
A C
z
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
y2
y1
FRA A
z
F1=9kN FRB F2=4kN 解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
B
C
2a
a
Fa
Iz
(3cm)(2cm)3 12
(1.4cm)(2cm)3 12
1.07cm4
Wz
Iz ymax
1.07cm4 1cm
1.07cm3
（3）求许可载荷
Fa Wz[σ]
Mmax Wz[σ]
F Wz[σ] 3kN a
+
φ14 φ30
20
例题2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用
（4）切应力沿截面高度的变化规律
沿截面高度的变化由静矩 Sz 与y之间的关系确定.
Sz A1 y1dA
h/2 y
y1bdy1
b 2
h2 (
4
y2)
FS Sz
FS
h2 (
y2)
Izb 2Iz 4
z
y1 y
O A1 B1
dy 1 m1
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.
y
y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0
矩形截面 W Iz bh3 / 12 bh2 h/2 h/2 6
空心圆截面 W πD3 (1 4 )
32
α d D
h
d
z y
b
z y
D d
z y
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
ycmax和 ytmax 直接代入公式
σ My Iz
σc max
[σt]
例 3 ( 书例5.2)
已知： []=100 MPa， P = 25.3 kN。
求：校核心 轴的强度。
解：
计算简图如图。
(1) 求弯矩图
支反力
RA 23.6 kN, RB 27 kN
22
(1)求弯矩图
(2) 确定危险截面 I截面 II截面 III截面
23
(3) 强度校核
I截面
M I M max 4.72 kN m
WI
d13
32
(95103)3 84.1106 m3
32
I
MI WI
56.1 MPa [
]
24
II截面
MII 3.42 kN m
WII
d
3 2
32
(85103)3 60.3106 m3
32
II
M II WII
56.7
MPa [
]
III截面
MIII 4.64 kN m
假设切应力的分布规律，然后根据平衡条件求出切 应力。
按截面形状，分别讨论。
1.矩形截面梁
（1）两个假设
（a）切应力与剪力平行； （b）切应力沿截面宽度均匀分布 （距中性轴等距离处切应力相等）.
F1
F2
q(x)
（2）分析方法 （a）用横截面m-m , n-n从梁中截取 dx一段.两横截面上的弯矩不等. 所 以两截面同一y处的正应力也不等； （b）假想地从梁段上截出体积元素 mB1，在两端面mA1，nB1上两个法向 内力不等.
A
E y2dA M
A
1 M
E Iz
I yz
yzdA 0
A
E
Iz
M
将
1M
EIz
代入
σE y
得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
σ My Iz
M为梁横截面上的弯矩；
y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；
Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.
讨论
（1）应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情
dFS = dA 才能合成剪力；
只有与正应力有关的法向内力元素
dFN = dA 才能合成弯矩.
所以，在梁的横截面上一般既有正应力， 又有切应力.
mM
m FS
m
m FS m M
m
二、分析方法
平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)
平面弯曲时横截面
横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)
要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力
σtmax [σt] σcmax [σc ]
例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板
材料的弯曲许用应力[]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允
许压紧力F.
FRA
FRB
F
解：（1）作出弯矩图的最大弯
A
矩为Fa； （2）求惯性矩，抗弯截面系数
yc max yt max
M
z
y
σtmax
σt max Myt max Iz
σcmax Mycmax Iz
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
§5-3 横力弯曲时的正应力
变形后仍保持为平面且垂直于变形 后的梁轴线； （b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤 压，只受单向拉压.
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
d
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
O’
x
O’
b’
b’
z
y 图（c）
bb ( y)d
F
F
三、纯弯曲
A
若梁在某段内各横截面的弯矩为
C
B
D
常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就
a
a
称为纯弯曲.
F
+
简支梁CD段任一横截面上，剪 力等于零，而弯矩为常量，所以该段
+
F Fa
梁的弯曲就是纯弯曲.
+
§5-2 纯弯曲时的正应力
deformation geometric relationship
physical relationship
y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
max
FS h2 8I z
FS h2 8 bh3 12
3 2
FS bh
max
3FS 2A
式中，A=bh为矩形截面的面积.
x
AB
m
n
τmax
z
截面静矩的计算方法
Sz
ydA Ay
A
z
A为截面面积
y为截面的形心坐标
y
A1
2.工字形截面梁
研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为
WIII
d33
32
(88103)3 66.9106 m3
32
III
M III WIII
69.4 MPa
[
]
结论
满足强度要求。
注意
最大正应力并非发生在弯矩最大的截面。
§5-4 梁的切应力及强度条件
一、梁横截面上的切应力
➢横力弯曲时, 横截面上既有正应力, 又有切应力。 ➢推导切应力公式的方法：
FS
bh
max min
FS S*z
Izb
b
x
Hh z o
假设求应力的点到中性轴的距离为y.
By
S
* z
B(
H 2
h) [h 1 (H 2 2 22
h)] 2
z
y
O
b( h y) [ y 1 ( h y)]
2
22
B
(H 2
h2)
b
h2 (
y2)
A*
y
8
24
则，距中性层 y处的切应力公式为:
Q
[
B
(H
横力弯曲正应力公式 My 公式适用范围
IZ
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲
•横截面惯性积 IYZ =0
•弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
max
M max ymax IZ
M max WZ
弯曲正应力强度条件
σmax
M
y max max Iz
M max
WZ
σ
1.等截面梁弯矩最大的截面上
2.离中性轴最远处
2
h2)
b
h2 (
y2 )]
Izb 8
24
切应力分布如图。
（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二 次抛物线规律变化；
（b）最大切应力也在中性轴上.这也是 整个横截面上的最大切应力.最小切应力
发生在 y=±h/2 处
τmax
z
o
y
max min
因为: (1)腹板切应力近似为均匀分布; (2)腹板负担了绝大部分剪力。
1dA
y
Fx 0 FN2 FN1 dFS' 0
dFS’
A
m’
m
x B1
B FN1
n
化简后得
dM
S
z
dx I z b
dM dx
FS
FS
S
z
Izb
FS Sz
Izb
Iz 整个横截面对中性轴的惯性矩.
y
z
b 矩型截面的宽度.
S
z
距中性轴为y的横线以外部分横
A*
截面面积对中性轴的静矩.
FN
My
y
dFN σdA
dM y z dA dMz y dA
将应力表达式代入（1）式，得
y
FN
E dA 0
A
E
A
ydA
0
Sz
ydA 0
A
中性轴通过横截面形心
将应力表达式代入（2）式，得
Miy
zE ydA 0
A
E yzdA 0
A
自然满足
将应力表达式代入(3)式，得
Miz
yE ydA M
静
力
关
Establish the formula
系
观察变形， 提出假设 变形的分布规律
应力的分布规律建立ຫໍສະໝຸດ 式一、实验1.变形现象
纵向线 各纵向线段弯成弧线， 且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长.
横向线 各横向线仍保持为直线， 相对转过了一个角度， 仍与变形后的纵向弧线垂直.
2.提出假设 （a）平面假设：变形前为平面的横截面
况直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应 力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力（ 为负号）；
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.
σmax M ymax Iz
引用记号 W Iz —抗弯截面系数 ymax
则公式改写为
σmax
M W
（1）当中性轴为对称轴时
实心圆截面 W Iz πd 4 / 64 πd 3 d / 2 d / 2 32
最大正弯矩在截面C上
C
BD
MC 2.5kN m
1m
1m
2.5kN
1m 最大负弯矩在截面B上
-
+
M B 4kN m
B截面
80
4kN
σt max
M B y1 Iz
27.2MPa
[σt]
20
σ c max
M B y2 Iz
46.2MPa
[σc]
C截面
120
20
σt max
MC y2 Iz
28.8MPa
static relationship
Examine the deformation， 变
then propose the hypothesis 形
几
何
关
Distribution regularity
系
of deformation
物
理
关
Distribution regularity
系
of stress
M Iz
Sz
FN2
A1 σ2dA
M
dM Iz
S
z
1dA
y
dFS’
A
m’
m
x B1
B FN2
n
式中： A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.
Sz A1 y1dA 为面积A1对中性轴的静矩.
FN1
M Iz
S
z
FN 2
M
dM Iz
Sz
dFs bdx
由平衡方程
z
y A1
FN2
? 中性轴的位置
中性层的曲率半径
四、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量.
M
内力与外力相平衡可得
FN
AdFN
σdA 0
A
（1）
Miy
AdM y
zσdA 0 （2）
A
Miz
AdMz
yσdA M（3）
A
Mz
z
O dA
x
y
σdA
根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相 等. 各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可 求出.
（3）公式推导
假设m-m，n-n上的弯矩为M和M+dM，z
两截面上距中性轴 y1 处的正应力为1 和2.
FN1 A1 σ1dA
y A1
My1dA M
I A1 z
Iz
A1 y1dA FN1
第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
§5-1 纯弯曲
一、弯曲构件横截面上的应力
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，
梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS.
内力 剪力FS 弯矩M
切应力 正应力
只有与切应力有关的切向内力元素
3.变截面梁要综合考虑 M 与 Iz
强度条件的应用
（1） 强度校核 Mmax [σ] （2）设计截面 W Mmax
W
[σ]
（3）确定许可载荷 Mmax W [σ]
对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 [σt ] [σc ]
且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的
σtmax σcmax（两者有时并不发生在同一横截面上）