第7章_内压薄壁容器的应力分析

一、基本概念与基本假设
❖ 1.基本概念
▪ ⑴回转壳体：壳体的中间面是直线或平面曲线绕其同平 面内的固定轴线旋转3600而成的壳体。
▪ ⑵轴对称：壳体的几何形状、约束条件和所受外力都是 对称于回转轴的。
一、基本概念与基本假设
❖ 1.基本概念
▪ ⑶ 中间面：中间面是与壳体内外表面等距离的中曲面， 内外表面间的法向距离即为壳体壁厚。
x2 y2
R1
1
y' 2 3 2 y''
❖ 由椭圆曲线方程
a2 b2 1
y'
-
b2x a2 y
a
bx a 2-x 2
y''
-
b a2
4
y
3
a
ab a2-x 2 3
❖ 椭圆上某点的第一曲率半径为：
R1
1 a4b
a4-x2 a2-b2
32
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
❖ 2. 第二曲率半径R2
▪ 如果S/Di≤0.1或K=DO/Di≤1.2则为薄壁容器； ▪ 如果S/Di>0.1或K=DO/Di>1.2则为厚壁容器。
❖ 注：S为容器壁厚，DO、Di分别容器的外直径与内直径
一、薄壁容器及其应力特点
❖ 2.薄壁容器的应力特点
❖ 薄膜应力：容器的圆筒中段①处， 可以忽略薄壁圆筒变形前后圆周方 向曲率半径变大所引起的弯曲应力。 用无力矩理论来计算。
R2
x2 l2
x2
x tgθ
2
❖ 为圆锥面的半顶角，它
在数值上等于椭圆在同一 点的切线与x轴的夹角。
tgθ dy y' dx
❖ 椭圆上某点的第二曲率半径为：
2
R2
x2
x y'
1 a4-x2 a2-b2 b
12
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
❖ 3. 应力计算公式
❖ 经向应力 ❖ 环向应力
m
p 2Sb
a4-x2 a2-b2
p 2Sb
a4-x2
a2-b2
a4
2
-
a4-x2
a2-b2
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
❖ 4.椭圆形封头上的应力分布
❖ 椭圆壳体的中心位置x=0处：
m
pa (a ) 2S b
❖ 椭圆壳体的赤道位置x=a处：
m
pa 2S
pa (2 2S
一、受气体内压的圆筒形壳体
❖ 区域平衡方程式
m
pR 2 2S
❖ 微体平衡方程
σm σθ p R1 R2 S
❖ 圆筒形壳体有：R1＝ ，R2＝D/2
❖ 圆筒形壳体薄膜应力公式
m
pD 4S
pD 2S
二、受气体内压的球形壳体
p
t
R
❖ 球壳的几何特点是中心对称，应力分布特点：一是各处的 应力均相等；二是经向应力与环向应力相等。 R1＝R2=D/2
▪ ⑶ 不挤压假设
❖ 壳体各层纤维变形前后相互不挤压。壳壁法向（半径 方向）的应力与壳壁其他应力分量比较是可以忽略的 微小量，其结果就变为平面问题。
二、经向应力计算公式－区域平衡方程
❖ 1.取分离体
▪ 求经向应力时，采用的假想截面不是垂直于轴线的横截面， 而是与壳体正交的圆锥面。为了求得任一纬线上的经向应 力，必须以该纬线为锥底作一圆锥面，其顶点在壳体轴线 上，圆锥面的母线长度即是由转壳体曲面在该纬线上的第 二曲率半径R2，如图所示。圆锥面将壳体分成两部分，现 取其下部分作分离体。
❖ 经向应力的合力在法线方向上的分量Nmn为：
Nmn
2 mSdl2
sin
d1
2
❖ 环向应力的合力在法线方向的分量Nθn为：
N n
2 Sdl1
sin
d2
2
三、环向应力计算－微体平衡方程
❖ 3.微元体的静力平衡方程
❖ 由法线n方向力的平衡条件 Fn 0 ，即：Pn-Nmn-Nθn=0
pdl1
dl2-2σmSdl2
三、环向应力计算－微体平衡方程
❖ 4.薄膜理论
▪ 上述推导和分析的前提是应力沿壁厚方向均匀分布，这 种情况只有当器壁较薄以及边缘区域稍远才是正确的。 这种应力与承受内压的薄膜非常相似，又称之为薄膜理 论或无力矩理论。
四、轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围
薄膜理论除满足薄壁壳体外，还应满足：
❖ ①回转壳体曲面在几何上是轴对称的，壳壁厚度无突变；曲率半径是 连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能(主要是E和µ)应当是相 同的。
sin(
d1
2
)
-
2σ
Sdl1
sin(
d2
2
)
0
❖ 【注意简化】：因dθ1及dθ2都很小，所以有：
sin(d1 ) d1 1 dl1
2
2 2 R1
sin( d2 ) d2 1 dl2
2
2 2 R2
❖ 代入平衡方程式，并对各项都除以Sdl1dl2整理得：
❖ 微体平衡方程
σm σθ p R1 R2 S
一、基本概念与基本假设
❖ 1.基本概念
第一曲率半径与母线有关；
第二曲率半径与回转轴位置
有关；
母线
问题1.第一曲率半径与第二曲
率半径哪个大？
问题2.第一曲率半径与第二曲 率半径有什么关系？
回转轴
R1 O O1
A R2
❖ 典型回转壳体的第一、 第一曲率半径 第二曲率半径举例
第二曲率半径
一、基本概念与基本假设
❖ 1.基本概念
▪ ⑺纬线：如果作圆锥面与壳体中 间面正交，得到的交线叫做“纬 线”；过N点作垂直于回转铀的平 面与中间面相割形成的圆称为 “平行圆”，平行圆即是纬线。
▪ ⑻第一曲率半径：中间面上任一 点M处经线的曲率半径，Rl=MK1。
▪ ※※⑼ 第二曲率半径：过经线上 一点M的法线作垂直于经线的平面 与中间面相割形成的曲线ME，此 曲线在M点处的曲率半径称为该点 的第二曲率半径R2。第二曲率半径 的中心K2落在回转轴上，R2=MK2。
力Nz：
Nz DS m
由平衡条件 Fz 0 得：Pz－Nz＝0
→
4
D2
p
DS
m
m
pD 4S
【提示】在计算作用于封头上的总压力Pz时，严格地讲，应采用筒体
内径，但为了使公式简化，此处近似地采用平均直径D。
二、内压圆筒的应力计算公式
2.环向应力σθ的计算公式
分离体的取法：用一通过圆筒轴线的纵截面B-B将圆筒剖开，移走上半
二、经向应力计算公式－区域平衡方程
❖ 2.静力分析
❖
作用在分离体上外力在轴向的合力Pz为：
pz
4
D2
p
❖ 截面上应力的合力在Z轴上的投影Nz为： Nz m DS sin
❖
平衡条件 Fz 0 得：Pz－Nz＝0，即：
4
D2 p
- mDSsin
0
→ ❖
由几何关系知
R2
D
2sin
D 2R 2sin
▪ 内表面：内压p作用；
▪ 外表面不受力； ▪ 两个与纵截面相应的面：环向应力σθ。
三、环向应力计算－微体平衡方程
❖ 3.微元体的静力平衡方程
❖ 微元体在其法线方向的平衡，故所有的外载和内力的合力 都取沿微元体法线方向的分量。
❖ 内压p在微元体abcd面积沿法线n的合力Pn为： pn pdl1 dl2
a2 b2 )
❖ ⑴ 椭圆封头的中心位置x=0处，经向应力和环向应力相等即：σm=σθ；
❖ ⑵ 经向应力σm恒为正值，且最大值在x=0处，最小值在x=a处。
❖ ⑶ 环向应力σθ，在x=0处，σθ>0；在x=a处有三种情况：
❖
如果
2
-
a
2
0
b
，即 a b
2 ，
> 0；
❖
如果
2
-
a
2
3.内压薄壁圆筒的应力特点在工程中的应用
⑴在圆筒上开设椭圆形孔时，应使椭圆孔之短轴平行于筒体 的轴线，以尽量减小纵截面的削弱程度，从而使环向应力增 加少一些。 ⑵筒体承受内压时，筒壁内的应力与壁厚S成反比，与中径D 成正比。
第二节 回转壳体的薄膜理论
一、基本概念与基本假设 二、经向应力计算公式－区域平衡方程式 三、环向应力计算公式－微体平衡方程式 四、轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围
❖ ④壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界上无横剪力 和弯矩。
壳体是轴对称的，即几何形状、材料、载荷的对称性和连续性， 同时需保证壳体应具有自由边缘，
第三节 薄膜理论的应用
一、受气体内压的圆筒形壳体 二、受气体内压的球形壳体 三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头） 四、受气体内压的锥形壳体 五、受气体内压的碟形封头 六、承受液体内压作用的圆筒壳
❖ 区域平衡方程式
m
pR 2 2S
三、环向应力计算－微体平衡方程
❖ 1.微元体的取法
❖ 三对曲面截取微元体： ▪ 一是壳体的内外表面； ▪ 二是两个相邻的、通过壳体轴线的经线平面； ▪ 三是两个相邻的、与壳体正交的圆锥面。
三、环向应力计算－微体平衡方程
❖ 2.微元体的受力分析
▪ 微单元体的上下面：经向应力σm ；
❖ 弯曲应力：在凸形封头、平底盖与 筒体联接处②和③，则因封头与平 底的变形小于筒体部分的变形，边 缘连接处由于变形谐调形成一种机 械约束，从而导致在边缘附近产生 附加的弯曲应力。必须用复杂的有 力矩理论及变形谐调条件才能计算。
一、薄壁容器及其应力特点
❖ 环向（周向）应力：当其承受内压力P作用以后，其直径要 稍微增大，故筒壁内的“环向纤维”要伸长，因此在筒体的 纵向截面上必定有应力产生，此应力称为环向应力，以σθ 表示。由于筒壁很薄，可以认为环向应力沿壁厚均匀分布。