第16讲——线性分组码代数基础

最小距离与纠检错能力
分组码能纠 t 个错误，并能发现 l 个错误 (l>t) 的 充要条件是码的最小距离为dmin≥t+l+1
l t
V
U
dmin
图6.2.5 dmin=5,t=1,l=3时码距和检错能力关系示意图
最小距离与纠检错能力
dmin l dmin t dmin t l
图6.2.6 最小码距与检纠错能力
ห้องสมุดไป่ตู้
5 6 0 1 2
6 0 1 2 3
0 1 2 3 4
1 2 3 4 5
. 0 1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 0
2 3 4 5 6
4 6 1 3 5
6 2 5 1 4
1 5 2 6 3
3 1 6 4 2
5 4 3 2 1
域上的矢量空间
令V是一个矢量集合，在其上定义加法运算。令F是 一个域，在域中的元素和V中的元素之间定义乘法运算. 如果集合V满足下列条件，称其为域F上的矢量空间（线 性空间）。 1）V是加法交换群； 2）F中的任意元素a和V中的元素vi的乘积avi∈V； 3）满足分配律：a,b∈F; vi,vj∈V;
【有限域定义】 域中元素个数m称为阶，有限个元素的域称为有 限域或伽罗华域（GF-Galois Field），记为GF(m)。
例如：集合{0,1}在模二加法和乘法下构成一个二 元有限域GF(2)。一个域中最少包含加法单位元和 乘法单位元两个元素，否则不能构成域。
【素域定义】 如果p为一个素数，则正整数集合{0,1,2,…p-1}， 在模p加法和乘法下构成阶数为p的域，称为素域，记 为GF(p)。
域(Field)
【域的定义】 如果一个元素集合F，在其中定义加法和乘法两种运算， 若满足下列条件则称为一个域(Feild)。 1）在加法下为一个交换群，即满足封闭性，交换律， 结合律，单位元为0，逆元。
2）在乘法下为一个交换群，满足非零元素封闭性，交 换律，结合律，单位元为1，逆元。
3）在加法、乘法下满足分配律。
d=0表明为全同码，d=N表明为全异码。它用来定量 的描述码字之间的“相似”程度。
例 题
消息序列 00 01 10 11 码字 10101=c1 10010=c2 01110=c3 11111=c4
分组码基本概念
若X为一个长度为N的二元码组，令α和β为码组X中 的两个不同码字， α=(a0,a1,……aN-1) β=(b0,b1,……bN-1) 则α与β的汉明距离为：
【例】GF(7)为一个素域，其运算如下： 模7加法 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 模7乘法 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6
+ 0 1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6
3 4 5 6 0
4 5 6 0 1
这样下去，直至 G中的所有元素都由子群H中的元素表示 出来。
H H+1 H+2 陪集1 陪集2 陪集3 0 1+0=1 2+0=2
0 1 2 3 1+3=4 2+3=5
3 4 5 -3 -2 -1
6 7 8 6 7 8 -6 -5 -4 … … …
注： 陪集首可以任意选择 陪集要么不相交，要么相等 陪集数目＝群元素数目/子群元素数目
例 题
【例】重复码 重复码是一种最简单的纠错码。在实际系统重有较 广泛的应用。例如将0编为000，1编为111。 它的最小码距为3，可以纠1个错，或者检2个错; 编码效率相当于k=1,n=3，η=k/n=1/3。
群(Group)
【定义】 如果一个元素集合G，在其中定义一种运算“*”， 若满足下列条件则称为一个群。若a,b,c,e,a-1∈G， 1）封闭性，c=a*b 2）结合律，a*(b*c)=(a*b)*c 3）单位元，a*e=a 4）逆元， a*a-1=e 如果还满足交换律，a*b=b*a, 则称为交换群。 有限元素的群称为有限群，群中元素的个数称为阶 （m阶有限群）。
最小距离与纠检错能力
分组码能够发现 l 个错误的充要条件是码的最小 距离为 dmin≥l+1
l
V
U
dmin 图6.2.4 dmin=4,码距和检错能力关系示意图
最小距离与纠检错能力
分组码能够纠正t个错误的充要条件是码的最小 距离为 dmin≥2t+1
t
V
U
dmin
图6.2.3 dmin=5,码距和纠错能力关系示意图
子空间
如果V是F上的矢量空间，V的一个子集S也是F上 的一个矢量空间，则称S为V的一个子空间。
由定义，判断子空间只需要检验：集合是否构成交 换群；数乘是否封闭两个条件即可。 【例】：V5上的子集，{(00000),(00111),(11010),(11101)} 为一个子空间。
线性组合
令v1,v2,…vk是F上矢量空间V中的k个矢量，令a1,a2…ak 是F中的k个标量，则a1v1+a2v2+…+akvk称为v1,v2,…vk 的线性组合。 若除非a1=a2=…=ak=0,否则a1v1+a2v2+…+akvk≠0，则称 v1,v2,…vk是线性无关的； 若a1,a2…ak不都为0，而可使a1v1+a2v2+…+akvk=0，则 称v1,v2,…vk是线性相关的。 【例】(010)(100)(110)线性相关，因为1*(010) +1*(100)+ 1*(110) =(000)，而(010)(100)(010)线性无关。
【例1】：G={0,1}为一个模2加法群，因为0+0=0,0+1=1， 1+0=1,1+1=0，由此可知：0是单位元，本身是逆元，满足 结合律，交换律和封闭性，因而为一个加法交换群。 【例2】：当p为一个素数，则集合G={1,2,…p-1}在模p乘 法下为一个群。如p=5,G={1,2,3,4}为一个乘法群， * 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1
【例】集合G={0,1,2,…8}在模9加法下构成一个群，而 H={0,3,6}是它的一个子群，对此划分陪集？
H H+1 H+2
0 1 2
3 4 5
6 7 8
【例】整数加法群，而H={0, ±3,±6}是它的一个子群 陪集1 陪集2 陪集3 0 1+0=1 2+0=2 3 1+3=4 2+3=5 -3 -2 -1 6 7 8 -6 -5 -4 … … …
分组码基本概念
如果原始信源序列共有M=2L个，对其进行q元等长码的 信道编码，码长为N，信道码的所有码字有qN个。编码 器将在这qN个可用码字中选择M个码字分别代表原始信 源中的M个序列，这M个码字称为“许用码字”，而另 外的qN-M个码字称为“禁用码字”。 为了实现纠错编码，一定有 q N M 。这M个许用码字 也称为一个码组，或称为码。 R=L/N称为编码效率。
子群
【定义】 如果集合G在某种运算*下为一个群，集合H为G 中的一个非空子集。若H在运算*下也满足封闭性， 结合律，单位元和逆元，则称H为G的一个子群。 【例】偶数集合H:{2n}为整数加法群的一个子群。 【定理】
如果集合G在运算*下为一个群，H为一个子群， 则G中的所有元素都可以由子群H中的元素表示。
dmin=2
分组码基本概念
在一个码字集合中，任何两个码字之间的汉明距离组 成一个元素集合D(α,β),这个集合中的最小值称为这个 码的最小汉明距离，简称最小码距，记为dmin。
dmin=min{d(α,β) α,β∈X α≠β} 它是衡量码的性能的重要参数，dmin小，说明其中有 些码字受到干扰后容易变成另外一个码字，译码时就 会出错。因此选择码字时，尽量使码的最小汉明距离 大一些为好。
最小距离与纠检错能力
分组码的最小码距为dmin，则 发现l个错误，则要求dmin≥l+1; 纠正t个错误，则要求dmin≥2t+1; 纠正t个错误，同时发现l（l>t）个错误，则 dmin≥t+l+1; 【例如】 dmin=1： 无纠检错能力 dmin=2： 检1位错 dmin=3： 纠1位错（或检两位错） dmin=4： 纠1位，同时检2位（或纠1位，或检3位）
分元陪集划分方法 将子群H中的元素放在表的第一行，且单位元放在首位， 称为陪集首。 将H中没有的，但G中的元素1作为陪集首，放在表的第二 行的首位，将陪集首分别与第一行的元素做运算，组成的二 个陪集。 将第一行，第二行中没有的，但在群中有的元素2作为第三 个陪集的陪集首，构成第三个陪集。

雨
111雨
最小码距为3，在只有1位错码的情况下,可以判决哪位 是错码并予以纠正,可以检出2位或2位以下的错码。
最小距离与纠检错能力
分组码的最小码距为dmin，则 发现l个错误，则要求dmin≥l+1; 纠正t个错误，则要求dmin≥2t+1; 纠正t个错误，同时发现l（l>t）个错误，则 dmin≥t+l+1;
例 题
消息序列 00 01 10 11 码字 10101=c1 10010=c2 01110=c3 11111=c4
分组码基本概念
码字α中非零码元的个数称为α的汉明重量（简称重 量），记为W(α)。对于在二元码字集合中，码字的 汉明重量即为码字中“1”的个数。
在一个码组（码字集合）中，任意两个等长码字之 间对应位不相同的位数，即如果有d个相对应的码元 不同，则称d为这两个码字的汉明距离。
d ( , ) ai bi
i 0 N 1
ai∈{0,1} bi∈{0,1}