数学-初三-圆的相关概念与垂径定理

数学-初三-圆的相关概念与垂径定理
精锐教育1对1辅导讲义
学员姓名： 学科教师： 年级： 辅导科目：
主题：圆基本概念与垂径定
理
授课时间：
学习目标
1、掌握圆的相关基本概念
2、运用垂径定理解决问题
教学内容
1、 圆是如何确定的？大小怎么判定？
2、 圆中有哪些概念？
3、 垂径定理如何应用？
【知识梳理1】圆的确定
定理 同圆或等圆中半径相等
1.点与圆的位置关系
圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。

圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。

点P 与圆心的距离为d ，则点P 在直线外⇔r d >；点P 在直线上⇔r d =；点P 在直线内⇔r d <。

【例题精讲】
例1.如图，圆O 的半径为15，O 到直线l 的距离OH =9，P 、Q 、R 为l 上的三点.PH =9，QH =12，RH =15，
请分别说明点P 、Q 、R 与圆O 的位置关系.
【试一试】
1.矩形ABCD 中，AB ＝8，35BC =，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．
(A) 点B 、C 均在圆P 外； (B) 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内； (C) 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外； (D) 点B 、C 均在圆P 内．
2.如图所示，已知ABC ∆，90ACB ∠=，12AC =，13AB =，CD AB ⊥于点D ，以C 为圆心，5为半径作圆C （ ）
A .点D 在圆内，
B A 、在圆外 B .点D 在圆内，点B 在圆上，点A 在圆外
C .点B 、
D 在圆内，A 在圆外 D .点D 、B A 、都在圆外
2.过三点的圆
1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

例2.如图，作出AB所在圆的圆心，并补全整个圆.
【试一试】
1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商定去的一块玻璃片应该是（）
A.第①快
B.第②快
C.第③快
D.第④快
2.三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
【知识梳理2】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1.圆心角：顶点在圆心的角。

2.弧：圆上任意两点之间的部分。

大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，能够重合的弧叫等弧。

3.弦：联结圆上任意两点的线段。

直径是一条特殊的弦，并且是圆中最大的弦。

4.弦心距：从圆心到弦的距离。

定理1在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
【例题精讲】
例1.已知，如图，ABCD是⊙O的直径，弦AE∥CD，联结CEBC.
求证：BC=DE.
定理2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
例2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC，∠AOB=∠BOC，探究△ABC的形状，并说明理由.
【巩固练习】
=,OE⊥AB，OF⊥CD，∠OEF=25°，求∠EOF的度数.
1.如图，AB CD
2.如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点AB，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD. 求证：（1）PO平分∠BPD
=
（2）AE EC
例3.如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的3倍，C为AB的中点，AB、OC相交于P.
求证：四边形OACB为菱形.
【巩固练习】
1.如图，弦AB 和CD 相交于圆O 内一点P ，且∠OPB=∠OPD ，求证；AB CD =
【知识梳理3】垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧
推论1一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣
弧；⑤平分弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质．
推论2圆的平行弦所夹的弧相等 【例题精讲】
例1. 已知ABC ∆中，AD BC ⊥，垂足为D ，且4AD =，以AD 为直径作圆O ，交AB 边于点G ，交AC 边于点F ，如果点F 恰好是AD 的中点．
A
N
M H
D
C F
E O
1
【试一试】
1.如图，CD为⊙O的弦，EF在直径AB上，EC⊥CD，DF⊥CD.
求证：AE=DF
1.下列命题中假命题是（）
（A）平分弦的半径垂直于弦；
（B）垂直平分弦的直线必经过圆心；
（C）垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧；
（D）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．
2.如图，EF是⊙O的直径，CD交⊙O于M、N，H为MN的中点，EC CD
⊥于点C，FD CD
⊥于点D，则下列结论错误的是（）
A．CM DN
=；
B．CH HD
=；
C．OH CD
⊥；
D．EC OH OH FD
=．
3.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图4，在Rt △ABC 和Rt △ACD 中，
︒=∠=∠90ACD ACB ，点D 在边BC 的延长线上，如果3==DC BC ，那么△ABC 和△ACD 的外心距是 ．
4.如图，已知在O 中，弦CD 垂直于直径AB ，垂足为点E ，如果30BAD ∠=︒，2OE =，那么
CD = ．
5. 点P 为⊙O 内一点，过点P 的最长的弦长为10cm ，最短的弦长为8cm ，那么OP 的长等于
cm . 6.如图，CD 为⊙O 的直径，以D 为圆心，DO 长为半径作弧，交⊙O 于AB 两点， 求证：=AC BC BA =
A
B
C D
O
E。