初三数学垂径定理讲义

学科教师辅导讲义

体系搭建

一、知识梳理

二、知识概念

垂径定理

1、内容：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

2、逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧

3、推论：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

4、使用条件：一条直线,在下列4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论

（1）平分弦所对的弧

（2）平分弦 (不是直径)

（3）垂直于弦

（4）经过圆心

考点一：垂径定理及其推论

例1、下列说法不正确的是（）

A．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴

B．圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边C．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等

D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧

例2、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影

部分的面积为（）

A．B．π

C．2πD．4π

例3、如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A

的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标

是（）

A．（0，0）B．（﹣1，1）

C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣1）

例4、如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点

D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（）

A．6B．9﹣

C．D．25﹣3

例5、如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点

有（）个．

A．1B．2C．3D．0

考点二：应用垂径定理解决实际问题

例1、李明到某影剧城游玩，看见一圆弧形门如图所示，李明想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=40cm，BD=320cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助李明计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？

例2、用工件槽（如图1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图，求这种铁球的直径．

实战演练

➢课堂狙击

1、下列说法中，不成立的是（）

A．弦的垂直平分线必过圆心

B．弧的中点与圆心的连线垂直平分这条弧所对的弦

C．垂直于弦的直线经过圆心，且平分这条弦所对的弧

D．垂直于弦的直径平分这条弦

2、⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=（）

A．5B．7C．9D．11

3、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=30°，CD=6，则圆的半径长

为（）

A．2B．2

C．4D．

4、如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，

若AB=4，BC=1，则下列整数与圆环面积最接近的是（）

A．10B．13

C．16D．19

5、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=2，AE=3，

则△ACB的面积为（）

A．3B．5C．6D．8

6、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？

7、如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24

（1）求CD的长；

（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会

刚刚被灌满？

➢课后反击

1、下列说法正确的是（）

A．长度相等的两条弧是等弧B．平分弦的直径垂直于弦

C．直径是同一个圆中最长的弦D．过三点能确定一个圆

2、下列说法正确的是（）

A．平分弦的直径垂直于弦

B．把（a﹣2）根号外的因式移到根号内后，其结果是﹣

C．相等的圆心角所对的弧相等

D．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

3、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE=8，BE=2，则CD=（）

A．5B．8C．2D．4

4、如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB=8cm，

AC=6cm，则⊙O的半径OA的长为（）

A．7cm B．6cm

C．5cm D．4cm

5、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接BC，BD，AC，则下列

结论中不一定正确的是（）

A．∠ACB=90°B．DE=CE

C．OE=BE D．∠ACE=∠ABC

6、如图，⊙O的直径AB=10，C是AB上一点，矩形ACND交⊙O于M，N两点，若DN=8，则AD的值为（）

A．4B．6

C．2D．3

7、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施？（=1.414）

8、赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦）长为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，请求出赵州桥的主桥拱半径（结果保留小数点后一位）．

直击中考

1、【2016•牡丹江】如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，

则OP的长为（）

A．3B．2.5 C．4D．3.5

2、【2016•三明】如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为

5，AB=8，则CD的长是（）

A．2B．3C．4D．5