九年级上学期圆的定义及垂径定理

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浙教版九年级上册《圆的基本性质圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结

《圆的基本性质:圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结1.圆的定义;在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。

固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”2、与圆有关的概念（1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径）（2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用⌒和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用⌒和两个字母表示）。

（3）等弧：能够互相重合的两段弧（4）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆）（5）点和圆的位置关系：如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则：（1）d<r → 圆内（2）d=r → 圆上（3）d>r → 圆外（6）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

过不在同一条直线上的三点做圆，能找出圆的圆心（7）三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

三角形的外心到各顶点距离相等。

一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。

3、图形的旋转：原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。

图形经过旋转所得到的图形和原图形全等。

对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。

旋转作图基本步骤：1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）；2、找出关键点；3、找出关键点的对应点；4、作出新图形；5、写出结论。

4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

九年级_圆_全章知识点总结

九年级_圆_全章知识点总结1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的叫做圆，定点O 叫做，线段OP 叫做圆的，以点O 为圆心的圆记作，读作圆O 。

2、弦和直径：连接圆上任意叫做弦，其中经过圆心的弦叫做，是圆中最长的弦。

3、弧：圆上任意叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做。

小于半圆的弧叫做，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。

4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆。

5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则：点P 在⊙O 外；点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内。

6、线段垂直平分线上的点距离相等；到线段两端点距离相等的点在上 7、过一点可作个圆。

过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。

8、过的三点确定一个圆。

9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的。

三角形的外心是三角形三条边的例1、有下列七个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧；⑤三角形的三个顶点在同一个圆上；⑥ 三角形的外心在三角形的内部；⑦过圆心的线段叫做圆的直径。

其中正确的有（填序号）。

例2、⊙O 的半径为5，圆心O 在坐标原点上，点P 的坐标为（4，2），则点P 与⊙O 的位置关系是（） A ．点P 在⊙O 内 B ．点P 在⊙O 上 C ．点P 在⊙O 外例3、已知矩形ABCD 的边AB=3cm ，AD=4cm ，若以A 点为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是 . 例4、如果⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为7，最小距离为1，那么此圆的半径为 1、圆是轴对称图形，都是它的对称轴2、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分3、垂径定理的推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分例5、如图1，直径CE 垂直于弦AB ，CD=1，且AB+CD=CE ，求圆的半径。

人教版-数学-九年级上册-知识归纳：圆

知识归纳：圆本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，则有d>r点P在⊙O 外；d＝r点P在⊙O 上；d<r点P在⊙O 内．3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d<R．9．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．10．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．重点、热点垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理. 运用圆内接四边形的性质解有关计算和证明题.。

九年级圆垂径定理知识点

九年级圆垂径定理知识点圆垂径定理是数学中的一个重要定理，它是研究圆的性质和应用的基础。

本文将详细介绍九年级圆垂径定理的相关知识点，帮助你更好地理解和应用这一定理。

一、圆垂径定理的概述圆垂径定理是指：在一个圆中，如果一条直径垂直于另一条弦，那么它一定是这条弦的垂直平分线。

二、圆垂径定理的证明为了证明圆垂径定理，我们可以采用几何证明和代数证明两种方法。

1. 几何证明假设圆的中心为O，半径为r，直径AB垂直于弦CD。

我们需要证明AO = BO。

首先，连接AC和BC，并设AC = x，BC = y。

根据圆的性质，我们知道AO = r，BO = r，AC = BC = r。

又因为AO垂直于CD，所以∠ACO = ∠BCO = 90°。

由三角形的性质可知，AO² = AC² - CO²，BO² = BC² - CO²。

代入已知条件，我们可以得到r² = x² - CO²，r² = y² - CO²。

通过这两个等式，我们可以得到x² - CO² = y² - CO²，即x² = y²。

进而，我们可以得知x = y，即AC = BC。

所以，根据直角三角形的特性，AO = BO，也就是说AO = BO = r。

因此，根据圆的定义，我们可以得出圆垂径定理的结论。

2. 代数证明我们也可以采用代数方法证明圆垂径定理。

设圆的方程为x² + y² = r²（其中，O为坐标原点）。

直径AB垂直于弦CD，且AB的斜率k存在。

根据直线的斜率公式，可以得到直线AB的方程为y = kx。

将直线AB的方程代入圆的方程中，我们可以得到x² + (kx)² =r²。

简化这个方程，可以得到x² + k²x² = r²。

人教版初中数学九年级上册第24章知识复习第一部分圆的有关概念和性质

在上图中，
D
若∠COD=∠AOB,则 CD=AB，CD=AB ；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB，.
CAD=ACB.
(二)圆的有关性质 3、垂径定理：
•
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：①平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦，
(二)圆的有关性质 Q
A•
O•
•B
P
C
4、②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。
如图:∠BOC=2∠BAC=2∠BPC=2∠BQC.
(二)圆的有关性质
PQ
O •
D
A C
B
如图:若AB=CD，则∠AOB=∠COD=2∠APB=2∠CQD.
反之，若∠APB=∠CQD，则AB=CD.
【及时巩固】
d P
P
d
O
•
r
d
P
1、设⊙O的半径为r，点P到圆心的而距离为d，
则 ①点P在⊙O上 d = r；
②点P在⊙O内 d＜ r；
③点P在⊙O外 d ＞r.
【及时巩固】
2、“经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆. 外接圆的圆心叫做三角形的外心(即三角形三边中垂线的交点),这个三角形叫圆的内接三角形.” 先分别作出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的外接圆，再观察图形，填空：
并且平分弦所对的弧； ②平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；...
(二)圆的有关性质
•
垂径定理及推论可归纳为：一条直线若具有“①经过圆心； ②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧”这五个性质中的两个,这条直线就具有其余三个性质. 注意：①③组合有限制.

第23课垂径定理(教师版) 九年级数学上册精品讲义(人教)

【答案】50° 【解析】试题分析：连接 CD， ∵∠A=25°， ∴∠B=65°， ∵CB=CD， ∴∠B=∠CDB=65°， ∴∠BCD=50°， ∴ 的度数为 50° 考点：1.圆心角、弧、弦的关系；2.三角形内角和定理；3.直角三角形的性质
11
2．如图，P 为⊙O 的弦 AB 上的点，PA=6，PB=2，⊙O 的半径为 5，则 OP=______．
2
2
2
∴ 在 Rt△BOM 中， OB BM 2 OM 2 5 5 ． 2
【即学即练 2】如图，⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦 CD 长．
【答案与解析】解：过 O 作 OF⊥CD，交 CD 于点 F，连接 OD，
∴F 为 CD 的中点，即 CF=DF， ∵AE=2，EB=6， ∴AB=AE+EB=2+6=8，
【答案】8 【解析】如图：连接 OA .
9
CE 2cm,DE 8cm, CD CE DE 10cm, OA OC 5cm ， OE OC EC 5 2 3cm. AB CD, ∴ E 为 AB 的中点，即 AE BE. 在 Rt△AOE 中,根据勾股定理得： AE OA2 OE2 4cm. AB 2AE 8cm. 故答案为： 8. 8．如图，如 AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C，AB=8cm，CD=2cm，则 BE= ．
【答案】4cm
10
【详解】
解：连接
OA，∵OC⊥AB，∴AC=
1 2
AB=3cm，∴OC=
OA2 AC2 =4（cm）．
故答案为 4cm．
【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．

圆的基本概念和垂径定理

【练】某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为 7.2 米，拱顶高出水面 2.4 米。现有一艘宽 3 米、船舱顶部为方形并高出水面 2 米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？ M C N
A
3
E
D
B F
【作业】 1、一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径 OB=10，截面圆圆心 O 到水面的距离 OC 是 6，则水面宽 AB 是（） A、16 B、10 C、8 D、6 2、如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB= 6，则⊙O 的半径为（ A、 2 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，且 AE=BF，请你找出线段 OE 与 OF 的数量关系，并给予证明．
【练】如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA=20cm，∠AOB=120° ，求△AOB 的面积．
【例 4】如图所示，⊙O 表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，并且 MB:MA＝1:4，求工件的半径的长。
A
中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD ∴弧 AC 弧 BD
C O A B
C B
D
O E D
【例题解析】【例 1】如图所示， P 为弦 AB 上一点， CP⊥OP 交⊙O 于点 C， AB＝8， AP:PB＝1:3，求 PC 的长。 P O B
4
10、如图， ⊙O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 E， AE=5， BE=1， CD=4 2，则∠AED=
_________ ．
11、如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA=6cm，∠AOB=120° ，则 AB= _________ cm．

九年级数学上册讲义第十讲——圆的性质垂径定理,圆心角

第十讲第二十四章圆24.1.1圆的性质1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点O 为圆心的圆记作“☉O”，读作“圆O”.2.确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小.3.连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ；4.经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB ；5.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作AC ”，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示ABC 叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC 或BC 叫做劣弧．6. 在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧.24.1.2 垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD证明过程已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：AM=BM ，AC BC =，AD BD =.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中OA OBOM OM =⎧⎨=⎩∴Rt △OAM ≌Rt △OBM∴AM=BM∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合． ∴AC BC =，AD BD =24.1.3 弧、弦、圆心角1.顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数与他所对的弧的度数相等.2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等. 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD推导过程如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？DAB =''A B ，AB=A ′B ′理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合∴AB =''A B ，AB=A ′B ′例1、如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？练一练一、填选1、如图1，M 是⊙O 内一点，已知过点M 的⊙O 最长的弦为10 cm ，最短的弦长为8 cm ，则OM =_____ cm.2、如图2，⊙O 的直径AC =2，∠BAD =75°，∠ACD =45°，则四边形ABCD 的周长为_____(结果取准确值).3、如图3，⊙O 的直径为10，弦AB =8，P 是弦AB 上一动点，那么OP 长的取值范围是_____.课后作业1、在半径为5cm 圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（）。

九年级数学上册专题第14讲圆的有关性质重点、考点知识总结及练习

第14讲圆的有关性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩垂径定理弧、弦、圆心角的关系圆的有关性质圆周角定理及推论圆内接四边形的性质知识点1垂径定理①弦和直径：(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。

直径等于半径的两倍。

②弧：(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B 为端点的的弧记作AB ⌒,读作弧AB.(2)半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如 ACB .小于半圆的弧叫做劣弧，如AB 。

（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。

③弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。

四者有一个相等，则其他三个都相等。

圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

④圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。

⑤垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．⑥同心圆与等圆（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。

如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。

（图一）（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。

初三数学圆——圆的认识及垂径定理(教案)

圆的认识及垂径定理【知识导图】知识梳理知识点一圆的认识（弦，弧）1、什么叫弦？直径与弦的关系？弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径.2、什么叫弧？什么叫优弧？什么叫劣弧？什么是等弧？弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧，能够完全重合的两条弧叫等弧.3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？圆即是轴对称图形也是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.知识点二垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：，⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD.分析：要证，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、BM AM=BM AM =OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB在和中∴∴∴点A 和点B 关于CD 对称∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，⌒AC 与⌒BC 重合，⌒AD 与⌒BD 重合．∴⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理推论：1、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论扩展推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

2、垂径定理及其推论可概括为OAM Rt ∆OBM Rt ∆⎩⎨⎧==OM OM OB OA OBM Rt OAM Rt ∆≅∆BM AM=考点解析类型一圆的认识（弦、弧）【例题1】下列五个命题：（1）平分弦的直径必垂直于弦（2）圆是轴对称图形，对称轴是直径（3）圆中两点之间的部分叫做弧（4）长度相等的两条弧叫等弧（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】（1）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，故原命题是假命题，（2）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题是假命题，（3）圆上两点之间的部分叫做弧，故原命题是假命题，（4）能够完全重合的两条弧叫等弧，故原命题是假命题，（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，原命题是真命题，其中真命题有1个．故选；A．【总结与反思】本题考查圆的相关概念及垂径定理，理解概念及定理即可解决，要求学生掌握圆的相关概念及垂径定理内容。

垂径定理九年级数学知识点

垂径定理九年级数学知识点垂径定理是九年级数学中的一个重要知识点，它涉及到平面几何的基本概念和性质。

在学习垂径定理之前，我们先来了解一下什么是垂径。

一、垂径的定义和性质垂径是在平面上与一条直线垂直相交的线段。

根据垂径的定义，我们可以得到以下性质：1. 一个点到直线的垂径只有一个。

2. 直径的两个垂径互相垂直。

3. 如果两条直径互相垂直，那么它们一定相交于圆的圆心上。

了解了垂径的定义和性质，我们就可以进一步探讨垂径定理了。

二、垂径定理的表述垂径定理是指：如果一条直径和一条垂径相交于圆上的一个点，那么这条垂径所对的弧就是直径所对的弧的一半。

换句话说，直径和垂径所对的弧互为一半。

三、垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过利用圆的基本性质和几何知识来完成。

下面我们通过具体的例子来进行证明。

假设在圆O中，AB是直径，CD是与AB垂直相交于点E的垂径。

我们要证明的是：弧CD是弧AB的一半。

首先，连接OA和OB。

根据垂径的性质，我们知道OA和CD互相垂直，所以OA和CD构成一对垂直线段。

同样地，OB和CD也构成一对垂直线段。

由于OA和OB是圆的直径，所以它们穿过圆心O，并且与圆相交于圆上的两个点A和B。

根据圆的性质，直径的两条垂径与圆相交的弧互为一半。

因此，我们可以得出结论：弧CA等于弧CB的一半。

根据弧度的性质，我们知道弧度等于圆心角的度数。

所以弧度CA等于角CBA的度数。

同理，弧度CB等于角CAB的度数。

既然我们已经知道角CBA和角CAB是互补角，而且它们的两条弧互为一半。

所以我们可以得出结论：弧CD等于弧AB的一半。

四、垂径定理的应用垂径定理的应用非常广泛，不仅在九年级的几何学中常常被使用，而且在实际生活中也可以见到它的应用。

例如，在建筑设计中，我们经常会使用垂径定理来确定建筑物的位置和相对位置。

通过利用垂径定理，我们可以确定建筑物的中心位置，从而达到平衡和美观的效果。

此外，在航空和导航领域，垂径定理也被广泛运用。

九年级圆的垂径定理知识点

九年级圆的垂径定理知识点在九年级的数学学习中，圆的垂径定理是一个非常重要的概念，也是学习圆形的几何性质的关键之一。

在这篇文章中，我们将深入探讨圆的垂径定理的知识点，了解其背后的原理和应用。

一、圆的定义和性质首先，我们需要回顾一下圆的定义和基本性质。

在数学中，圆是由平面上所有到一个固定点的距离相等的点的集合组成。

而这个固定点被称为圆心，半径则是圆心到圆上任意一点的距离。

圆具有很多重要性质，例如任意两点到圆心的距离相等，直径是圆的特殊弦，且它的长度是半径的两倍，而弧则是圆上的一段曲线，它与圆心对应的角叫做圆心角。

二、垂径定理的表述圆的垂径定理是指，如果一个直径和一个弦垂直相交，那么它就是弦的垂径，且它把弦分为两个相等的部分。

或者反过来说，如果一个弦被圆心角所分为两个相等的部分，那么它就与直径垂直相交。

这个定理的表述可能有点晦涩难懂，但是我们可以通过几何图形来直观地理解。

三、垂径定理的证明圆的垂径定理是可以通过简单的几何推导证明的。

假设有一个圆，圆心为O，直径为AB，弦为CD垂直于直径AB于点E。

我们需要证明CE = DE。

首先，连接AC和BD，并假设它们交于点F。

由于CD垂直于AB，所以CDE是一个直角三角形。

而由于圆心角的性质，角COD的度数是弦CD对应的角，即∠COE。

由于COE和COD是同位角，所以它们的度数相等，即∠COE = ∠COD。

而∠COD是一个直角，所以∠COE也是一个直角。

因此，我们可以得出结论，CE与DE相等，即CE = DE，证明了定理。

四、垂径定理的应用垂径定理在实际学习和应用中非常有用。

例如，在解决证明问题时，我们可以利用垂径定理来简化问题和推导证明过程。

此外，垂径定理还与圆的切线有着密切的关系。

当一个直径与一个切线相交时，由于切线与半径垂直，我们可以通过垂径定理得出切线与直径相交的两点的性质。

最后，垂径定理也与三角形的性质相关。

当我们在一个三角形内有一个圆时，利用垂径定理可以推导得出一些重要的三角形性质，如内切圆和外接圆的性质等。

九年级上册数学圆概念公式

初三总复习知识点总结------圆(1)(2) (3)(4)(4)∵CD=AD=BD ∴ΔABC是RtΔ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例：∵ABCD是圆内接四边形∴∠CDE=∠ABC∠C+∠A=180°6．切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.(1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2)圆的切线垂直于经过切点的半径；※(3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；※(4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例：(1)∵OC是半径∵OC⊥AB∴AB是切线(2)∵OC是半径∵AB是切线∴OC⊥AB (3)……………7．切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例：∵PA、PB是切线∴PA=PB∵PO过圆心PABO11．关于两圆的性质定理:(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；(2)如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.(1)(2)几何表达式举例：(1)∵O 1，O 2是圆心∴O 1O 2垂直平分AB (2)∵⊙1、⊙2相切∴O 1、A 、O 2三点一线12．正多边形的有关计算:(1)中心角αn ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角βn ，边数n ；(2)有关计算在RtΔAOC 中进行.公式举例：(1)αn =n 360︒；(2)n1802n ︒=α几何B 级概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题)一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内(外)、公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.ABO1O2AO1O2αnβnABCDEOa r n nnR3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形.三公式：1．有关的计算：(1)圆的周长C=2πR ；(2)弧长L=180Rn π；(3)圆的面积S=πR 2.(4)扇形面积S 扇形=LR 21360R n 2=π；(5)弓形面积S 弓形=扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.(如图)2．圆柱与圆锥的侧面展开图：(1)圆柱的侧面积：S 圆柱侧=2πrh ；(r:底面半径；h:圆柱高)(2)圆锥的侧面积：S 圆锥侧=LR 21.(L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径)四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：(其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径)直线与圆相交⇔d ＜r ；直线与圆相切⇔d=r ；直线与圆相离⇔d ＞r.5．圆与圆的位置关系：(其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R≥r)两圆外离⇔d ＞R+r ；两圆外切⇔d=R+r ；两圆相交⇔R-r＜d ＜R+r ；两圆内切⇔d=R-r ；两圆内含⇔d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：。

九年级圆周角定理、垂径定理

辅导讲义年级：初三辅导科目：数学教学内容一、同步知识梳理知识点1：圆的定义圆的定义有以下两种：（1）在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个O旋转一周，另一个P所经过的封闭曲线叫做圆。

定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径。

以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。

①这是圆的描述性定义，由定义也可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”。

（2）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点叫做圆心，定长叫做半径。

这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径r）；②到定点距离等于定长的点都在圆上。

思考：点与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，那么点P在圆内⇔；点P在圆上⇔；点P在圆外⇔.思考：同圆，等圆的概念题型1：圆的定义例1：半径相等如图，已知CD是⊙O的直径，∠EOD＝78°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．解析∠EOD＝78°与未知角∠A构成了内、外角关系，而∠E也是未知角，且AB＝OC这一已知条件不能直接用，故可考虑用“同圆半径相等”来解．解连接OB.∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB ＝OB.∴∠A ＝∠AOB. 又∵OB ＝OE ，∴∠E ＝∠OBE ＝∠A ＋∠AOB ＝2∠A. ∴∠DOE ＝∠E ＋∠A ＝3∠A ， ∴∠A ＝26°.点评利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形解题是本题得解的关键．检测题1：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C 为圆心、CB 为半径的圆交AB •于点D ，求∠ACD 的度数．例2：点和圆的位置关系已知线段AB 的长为4cm ，试用阴影表示到点A 不小于3cm ，且到点B 小于2cm 的点的集合．解根据题意作出图形，如图所示，其中阴影部分即为所求．点评解决这类问题的关键是正确掌握点和圆的位置关系．检测题2：如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝3cm ，AD ＝4cm.(1)以点A 为圆心，4cm 为半径作⊙A ，则点B 、C 、D 与⊙A 的位置关系如何？ (2)若以点A 为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是多少？解 (1)∵AB ＝3cm ＜4cm ，∴点B 在⊙A 内． ∵AD ＝4cm ，∴点D 在⊙A 上．又∵AC ＝32＋42＝5cm ＞4cm ，∴点C 在⊙A 外． (2)∵AB ＝3cm ，AD ＝4cm ，AC ＝5cm ，也就是说，B 点到圆心A 的距离3cm 是最短距离，C 点到圆心A 的距离5cm 是最长距离． ∴使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，⊙A 的半径r 的取值范围是3cm ＜r ＜5cm.点评 (1)点与圆的位置关系，与点到圆心的距离(d)，圆的半径(r)之间的大小关系有着紧密联系，是“数”与“形”的结合．(2)判断点和圆的位置关系，主要是把点到圆心的距离(d)与圆的半径(r)的大小进行比较．当d ＜r 时，点在圆内；当d ＝r 时，点在圆上；当d ＞r 时，点在圆外．知识点2：圆中的基本线段定义1：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．2：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．BA CD3：顶点在圆心的角叫做圆心角．4：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．能够互相重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．5：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等例1：下列说法中正确的是________．(填序号)①圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的两条弧也相等；③平分弦的直径垂直于这条弦；④垂直于弦的直径平分这条弦．解析①圆是轴对称图形，它的对称轴是经过圆心的每条直线而不是直径，所以①不正确；因为一条弦对两条弧，所以②也不正确；因为直径是弦，所以③也不正确．答案④点评对于概念辨析题，进行比较或举出反例是解决这一类题的关键．检测题1：下列说法中，正确的有________．(填序号)①弦是直径；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③半径相等的两个半圆是等弧；④直径是圆中最长的弦．解析∵直径经过圆心，∴弦不一定是直径，故①错误．②③④是正确的．答案②③④点评(1)注意易混淆概念的区别与联系，通过比较进行解题．(2)要注意运用数形结合思想，看到概念联想有关图形，看到图形联想有关概念．知识点3：1：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．2：圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．3:直径(或半圆)所对的圆周角是直角．90°的圆周角所对的弦是直径;例1：如图，已知⊙O中AB的度数是CD度数的2倍，则AB与2CD的关系是()A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定解析取AB的中点E，连接AE、BE，由题意知AE＝BE＝CD，∴AE＝BE＝CD.在△ABE中，AE＋BE＞AB，即2CD＞AB.答案 C点评同圆或等圆中，等弧对等弦．但不能把这一结论推广成弧与所对的弦成正比例关系．检测1：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A=30°，若BC=4cm ，则⊙O 的直径为（）A ． 6cmB ． 8cmC ． 10cmD ． 12cm例2：如图，已知O 的半径为R ，C D ，是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96︒，BD 的度数为36︒，动点P 在AB 上，求PC PD +的最小解：连接DC ′，根据题意以及垂径定理，得弧C ′D 的度数是120°，则∠C ′OD=120度．作OE ⊥C ′D 于E ，则∠DOE=60°，则DE=32R ，C ′D ＝3R测试题2 ：已知：如图，MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，P 是MN 上一动点，O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是_____________．例1：如图，AB 是半圆的直径，D 是AC 的中点，∠ABC ＝40°，求∠A 的度数．解连接BD.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝DC .∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝20°.∵AB 是半圆的直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵∠ABD ＝20°，∴∠A ＝180°－∠ABD －∠ADB ＝70°. 点评 (1)构造直径所对的90°圆周角是解决与圆相关问题的常用辅助线，这样为勾股定理的运用、相似三角形的产生创造了条件．(2)“90°的圆周角所对的弦是直径”是确定一个圆的圆心的重要方法．例2：已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠BOD=140°，则∠DCE= 070 .例3 ：已知：如图，AB 为O ⊙的直径，AB AC BC =，交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点45E BAC ∠=，°．（1）求EBC ∠的度数；（2）求证：BD CD =．例4：如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．BACE DO一、专题精讲半径相等例1：与勾股定理结合如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．例2：与中心对称图形结合如图，O 的直径AB=4，半径OC AB ⊥,D 为BC 上一点，,DE OC DF AB ⊥⊥ ,垂足分别为E,F ，求EF 的长。

九年级上圆的知识点总结

九年级上圆的知识点总结圆是初中数学中的重要内容之一，在九年级上册的数学学习中，圆的相关知识占据了重要的地位。

以下是对九年级上圆的知识点的详细总结。

一、圆的基本概念1、圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

这个定点称为圆心，定长称为半径。

2、圆的表示方法通常用符号“⊙”表示圆，后面加上圆心的字母，如⊙O 表示以 O 为圆心的圆。

3、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。

4、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧分为优弧和劣弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

5、等圆与等弧能够重合的两个圆叫做等圆。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

二、圆的性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线；圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

3、圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

三、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：（1）点在圆外⇔ d ＞ r ；（2）点在圆上⇔ d ＝ r ；（3）点在圆内⇔ d ＜ r 。

2、直线与圆的位置关系设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有：（1）直线与圆相离⇔ d ＞ r ；（2）直线与圆相切⇔ d ＝ r ；（3）直线与圆相交⇔ d ＜ r 。

切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

九年级上册数学人教版垂径定理

垂径定理一、错题回顾1、已知抛物线过A（-4，m）和B（8，m），求对称轴的直线方程。

2、已知抛物线与x轴的一个交点为（-3，0），对称轴为直线x=1，求抛物线与x轴的另一个交点坐标。

3、某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少买10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x 元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。

（1）求与的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围。

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是多少元。

4、要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请队参加。

课题：垂径定理圆中相关概念的结构示意图圆()()⎩⎨⎧⇒⇒ 等圆大小半径同心圆位置圆心相关概念⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⇒圆周角圆心角等弧半圆、优弧、劣弧弧直径弦例1、如图，圆中弦的条数为（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条例2、判断题（1）直径是弦（）（2）弦是直径（）（3）半圆是弧（）（4）弧是半圆（）（5）长度相等的两段弧是等弧（）（6）等弧的长度相等（）知识点一：垂径定理圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。

垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。

）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。

）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543 符号语言：⎩⎨⎧⊥ AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BDAD BC AC BEAE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。

初中数学什么是垂径定理

初中数学什么是垂径定理
垂径定理是初中数学中的一个重要定理，它涉及到圆的直径和垂直关系。

下面我将详细介绍垂径定理的定义、性质和相关的概念。

1. 垂径定理的定义：
-垂径定理：如果一条线段垂直于一条直径，并且与直径的两个端点相交，那么这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦一定也是垂直于这条直径。

2. 垂径定理的性质：
-垂直关系：垂径定理表明，如果一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交，那么这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦一定也是垂直于这条直径。

-直径与垂直弦的关系：垂径定理还表明，直径与垂直于它的弦是垂直的。

3. 垂径定理的应用：
-判断垂直关系：根据垂径定理，可以通过判断一条线段是否垂直于圆的直径来判断这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦是否垂直于这条直径。

-求解问题：根据垂径定理，可以在已知一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交的情况下，得到与这条线段所得的弦垂直的弦。

垂径定理是圆的直径和垂直关系之间的重要定理，它可以帮助我们判断垂直关系和求解相关问题。

在应用垂径定理时，需要注意理解垂径定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。

希望以上内容能够满足你对垂径定理的了解。