第五章第2讲圆周运动的规律及其应用

为60 kg，做“双臂大回环”，用双手抓住单杠，伸展身体，
以单杠为轴做圆周运动．此过程中，运动员到达最低点时 手臂受的总拉力至少约为(忽略空气阻力，g＝10 m/s2)
(
A．600 N C．3 000 N B．2 400 N D．3 600 N
)．
图5－2－8
关键点：运动员以单杠为轴做圆周运动
属于竖直面内圆周运动的杆模型 牛顿第二定律和机械能守恒定律
＜ gr，在到达最高 点前小球已经脱离 了圆轨道
建模指导 1．解题时先分清是绳模型还是杆模型，抓住绳模型中最高 点 v≥ gR及杆模型中 v≥0 这两个条件， 然后利用牛顿 第二定律求解． 2．注意题目中“恰好通过”等关键词语．
典例
(单选)如图5－2－8所示， 2012年8月7日伦敦奥运会体操 男子单杆决赛，荷兰选手宗德兰德荣获冠军．若他的质量
图5－2－6
(
)．
解析 对人和车进行受力分析如图所 示． 根据直角三角形的边角关系和向心 力公式可列方程： v2 FNcos θ ＝mg，mgtan θ＝m ， r mg 解得 v＝ grtan θ，FN＝ . cos θ
答案
AC
借题发挥
从动力学角度解决圆周运动问题 1．解题思想：凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心 力．而物体所受外力的合力充当向心力，这是处理该类 问题的理论基础． 2．解题步骤：
)．
D．a点和d点的向心加速度大小相等
解析 皮带不打滑表示轮子边缘在某段时间内转过的弧 长总是跟皮带移动的距离相等， a、c 两点的线速度大小 即 相等，选项 A 错、C 对；b、c、d 三点同轴转动，角速度 大小相等，故 ωc＝ωb，又 va＝vc，rc＝2ra，且 v＝rω，故 ωa＝2ωc， ωa＝2ωb， 故 选项 B 错； a 点线速度大小为 v， 设 v2 c 点线速度也为 v，而 d 点线速度则为 2v，所以 aa＝ ， r （2v）2 v2 ad＝ ＝ ，选项 D 对． 4r r
图5－2－3
2．摩擦传动：如图5－2－4甲所示，两轮边缘接触，接触点 无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
图5－2－4
3．同轴传动：如图5－2－4乙所示，两轮固定在一起绕同一
转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB.
考点二
匀速圆周运动的实例分析
【典例2】 (多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯
2
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，FN 为支 持力，沿半径背离圆心 (2)当 0＜v＜ gr时，－FN＋mg v2 ＝m ，FN 背离圆心，随 v 的增 r 大而减小 (3)当 v＝ gr时，FN＝0 v2 (4)当 v＞ gr时，FN＋mg＝m ， r FN 指向圆心并随 v 的增大而增大
讨 论 分 析
图5－2－5
(
)．
解析 因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力 带动转动，所以从动轮逆时针转动，A 错误、B 正确；由 于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的速度大小相等， nr1 所以由 2πnr1＝2πn2r2，得从动轮的转速为 n2＝ ，C r2 正确、D 错误．
答案
BC
借题发挥
常见的三种传动方式及特点 1．皮带传动：如图5－2－3甲、乙所示，皮带与两轮之间无 相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
考点一
描述圆周运动的各物理量间的关系
线速度 v 与角速度 ω、周期 T、转速 n 的关系：v＝rω 2π ＝ r＝2π nr T 由上式和向心加速度公式 a＝v2/r 可推出：a＝ω2r＝ωv 2π 2 ＝ r＝4π 2n2r T 由上面的公式和向心力公式 F＝ma 可推出：F＝mv2/r 2π 2 2 ＝mω r＝m r＝4mπ 2n2r. T
2．向心力
(1)作用效果：向心力产生向心加速度， 方向 只改变速度的_____，不改变速度的
_____大小 ．
v2 4π2r mω2r (2)大小：F＝m ＝______＝m 2 ＝ r T mωv＝4π2mf2r.
圆心 (3)方向：始终沿半径方向指向_____ ，时刻在改变，即向心 力是一个变力． 3．来源 合力 向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的_____提供， 分力 还可以由一个力的_____提供．
径的范围是：0.5 m≤r≤0.75 m.
答案 0.5Baidu Nhomakorabeam≤r≤0.75 m
【变式跟踪3】 对于典例3，若木块转动的半径保持r＝0.5 m 不变，则转盘转动的角速度范围是多少？
答案
4 rad/s≤ω≤2 rad/s
借题发挥
求解水平面内圆周运动的临界问题的一般思路 1．判断临界状态：认真审题，找出临界状态． 2．确定临界条件． 3．选择物理规律：临界状态是一个“分水岭”，“岭”的两边 连接着物理过程的不同阶段，各阶段物体的运动形式以 及遵循的物理规律往往不同． 4．列方程求解．
mv2 FN－mg＝ R （牛顿第二定律方程） 1 2 mg· 2R＝ mv （机械能守恒方程） 2
自己试一试哟！
解析 设运动员在最低点受的拉力至少为 FN，此时运动 员的重心的速度为 v，设运动员的重心到手的距离为 R， v2 由牛顿第二定律得：FN－mg＝m R 1 2 又由机械能守恒定律得：mg· 2R＝ mv 2 由以上两式代入数据得：FN＝5mg，运动员的重力约为 G ＝mg＝600 N，所以 FN＝3 000 N，应选 C.
答案
AD
【变式跟踪2】 (多选)“飞车走壁”是一种传统
的杂技艺术，演员骑车在倾角很大的桶面 上做圆周运动而不掉下来． 如图5－2－6所示，已知桶壁的倾角为θ， 车和人的总质量为m，做圆周运动的半径
为r.若使演员骑车做圆周运动时不受桶壁
的摩擦力，下列说法正确的是
A．人和车的速度为 grtan θ B．人和车的速度为 grsin θ mg C．桶面对车的弹力为 cos θ mg D．桶面对车的弹力为 sin θ
第2讲 圆周运动的规律及其应用
圆周运动、角速度、线速度、向心加速度 (考纲要求) 【思维驱动】
(单选)关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是 v2 A．由 a＝ 知，a 与 r 成反比 r B．由 a＝ω2r 知，a 与 r 成正比 v C．由 ω＝ 知，ω 与 r 成反比 r D．由 ω＝2π n 知，ω 与转速 n 成正比
道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r 有关．还与火车在弯道上的行驶速度v有关．下列说法正确的 是 ( )．
A．速率v一定时，r越小，要求h越大
B．速率v一定时，r越大，要求h越大 C．半径r一定时，v越小，要求h越大
D．半径r一定时，v越大，要求h越大
解析 火车转弯时， 圆周平面在水平面 内，火车以设计速率行驶时，向心力刚 好由重力 G 与轨道支持力 FN 的合力来 mv2 提供， 如图所示， 则有 mgtan θ＝ ， r h 且 tan θ≈sin θ ＝ ， L 2 h mv 其中 L 为轨间距，是定值，有 mg ＝ ， L r 通过分析可知 A、D 正确．
答案
C
【应用1】 (单选)在离心浇铸装置中，
电动机带动两个支承轮同向转动， 管状模型放在这两个轮上靠摩擦转
动，如图5－2－9所示，铁水注入
之后，由于离心作用，铁水紧紧靠 在模型的内壁上，从而可得到密实 图5－2－9 的铸件，浇铸时转速不能过低，否则，铁水会脱离模型 内壁，产生次品．已知管状模型内壁半径R，则管状模 型转动的最小角速度ω为
物理建模6
“竖直平面内圆周运动的绳、杆”模型
模型特点 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的 受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道 的“过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与 杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”． 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，
向心力
Ⅱ(考纲要求)
(单选)如图5－2－1所示，水平转台上放着一枚硬币，当
转台匀速转动时，硬币没有滑动，关于这种情况下硬币的 受力情况，下列说法正确的是 ( )．
图5－2－1
A．受重力和台面的支持力 B．受重力、台面的支持力和向心力 C．受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力
D．受重力、台面的支持力和静摩擦力
考点三
水平面内圆周运动的临界问题
【典例3】 如图5－2－7所示，质量为m 的木块，用一轻绳拴着，置于很大的 水平转盘上，细绳穿过转盘中央的细
管，与质量也为m的小球相连，木块
与转盘间的最大静摩擦力为其重力的 μ倍(μ＝0.2)，当转盘以角速度ω＝4 半径的范围是多少？(g取10 m/s2) 图5－2－7
答案
CD
【变式跟踪1】 (多选)如图5－2－5所示为
某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，
从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时 针转动，转速为n，转动过程中皮带不 打滑．下列说法正确的是
A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动 r1 C．从动轮的转速为 n r2 r2 D．从动轮的转速为 n r1
公式、单位 2π r Δs T ①v＝ ＝_____ Δt ②单位：m/s
2π Δ θ T ①ω＝ ＝_____ Δt ②单位：rad/s
2π r ①T＝ v 单位：s ②n的单位：r/s、r/min，f 的单位：Hz v2 rω2 ①a＝ ＝___ r ②单位：m/s2
匀速圆周运动 【思维驱动】
该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，
现就两种模型分析比较如下：
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
过最高点的 临界条件
v2 由 mg＝m r 得 v 临＝ gr
由小球恰能做圆周运动 即得v临＝0
(1)过最高点时，v≥ gr，FN＋mg＝ v m ，绳、轨道对球 r 产生弹力 FN (2)不能过最高点 v
解析 重力与支持力平衡，静摩擦力提供向心力，方向指 向转轴．
答案
D
【知识存盘】 1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在 相等 相等的时间内通过的圆弧长_____，
就是匀速圆周运动． 不变 (2)特点：加速度大小_____ ，方向
圆心 始终指向_____ ，是变加速运动． (3)条件：合外力大小_____ 、方向 不变 速度 始终与_____方向垂直且指向圆心．
rad/s匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动
解析
由于转盘以角速度ω＝4 rad/s匀速转动，因此木块
做匀速圆周运动所需向心力为F＝mrω2.当木块做匀速圆周 运动的半径取最小值时，其所受最大静摩擦力与拉力方向 相反，则有mg－μmg＝mrminω2，解得rmin＝0.5 m；当木 块做匀速圆周运动的半径取最大值时，其所受最大静摩擦 力与拉力方向相同，则有mg＋μmg＝mrmaxω2，解得rmax＝ 0.75 m．因此，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半
2．描述圆周运动的物理量
描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频
率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表：
定义、意义 ①描述圆周运动的物体 快慢 运动_____的物理量(v) 线速度 ②是矢量，方向和半径 垂直，和圆周相切 转动 ①描述物体绕圆心_____ 快慢 角速度 _____的物理量(ω) ②中学不研究其方向 ①周期是物体沿圆周运 一周 动_____的时间(T) 周期和 ②转速是物体单位时间 转速 圈数 转过的_____ (n)，也叫 频率(f) 方向 ①描述速度_____变化 向心加 快慢 _____的物理量(a) 速度 ②方向指向圆心
【典例1】 (多选)如图5－2－2所示为皮带
传动装置，右轮的半径为r，a是它边
缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的 半径是4r，小轮的半径是2r，b点在小 轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若
图5－2－2
在传动过程中皮带不打滑，则( A．a点和b点的线速度大小相等
B．a点和b点的角速度大小相等 C．a点和c点的线速度大小相等
Ⅰ
(
)．
v2 解析 由 a＝ 知，只有在 v 一定时，a 才与 r 成反比， r 如果 v 不一定，则 a 与 r 不成反比，同理，只有当 ω 一 定时，a 才与 r 成正比；v 一定时，ω与 r 成反比；因 2 π是定值，故 ω 与 n 成正比．
答案
D
【知识存盘】
1．圆周运动
质点沿着圆周的运动称为圆周运动．其轨迹为一圆弧，故 圆周运动是曲线运动．