大学物理4.5 分子热运动的速率统计分布规律.

v
8kT
8RT RT 1.60 p pM M
3kT 3RT RT 1.73 M M
方均根速率：
1 2 3 v kT 2 2
2
v
2
（或由 v v 2 f (v )dv ）
0

最可几速率：
vp
2kT
2 RT RT 1.41 M M
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
含义？ dV 速率间隔的分子数 含义？ V1~V2 速率间隔的分子数
dN
V2
N Nf (V )dV 0
o
V1
dV
V2
V
0

f (V ) dV 1
归一化条件
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
4.5 分子热运动的速率统计分布规律
归一化条件说明 f(v)-v 曲线下的面积等于1
f(v)
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
4.5 分子热运动的速率统计分布规律
2. 速率分布曲线
f (V )
m 3 f (V ) 4π( )2 e 2πkT m 2 V 2 kT
V2
T1
T2 T1
f (V )与T 、m 有关
o
V p1 V p2
V
T -峰右移
V p : 最可几速率 The most probable speed 注: 大量分子 平衡态 统计规律
F(v ,v ,v )dvdv dv 1
x y z x y z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ---
Ae

2 2 2 -a(vx +vy +vz )
dvxdvydvz 1
3
2 -a v x A e dv x 1 -

-
e
-a x 2
dx
p
a
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
v v f (v)dv
2 2 0

vo
0
1 2 Cv dv vo 3
2
3 v vo 3
2
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
4.5 分子热运动的速率统计分布规律
麦克斯韦证明：处于平衡态的理 想气体系统
F (V , V , V ) Ae -aV
x y z
2
利用系统的各向同性性，
4.5 分子热运动的速率统计分布规律
F ( v x , v y , v z ) F (v 2 )
Vz
dVx dVy dVz
三个速度分量的相互独立性
2 2 F (v 2 ) g (v x ) g (v y ) g (v z2 )
o
Vx
r V Vy
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
4.5 分子热运动的速率统计分布规律
F (v v
4.5 分子热运动的速率统计分布规律
3 2
π A a

-
v
2 x
-
ve
2 x -
2 -a v x
dv x
e
2 -a v x
dv x
kT m
m a 2kT
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
4.5 分子热运动的速率统计分布规律
二 麦克斯韦速率分布律和分布曲线 1. 麦克斯韦速率分布律 处于平衡态的理想气体系统，速率满足下列分布规律
2
) g (v
2
2 x
) g (v
2 y
2 y
) g (v
2 z
)
v
2 x
2 x
+ v
+ v
2 z
g (v ) e
2 -av x
F (V , V , V ) Ae -aV
x y z
2
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
4.5 分子热运动的速率统计分布规律
常数的确定：

---
f (v )
C
4. 求粒子的方均根速率。 o
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
vo
v
4.5 分子热运动的速率统计分布规律
解：


0
f (v)dv Cdv Cvo 1
0
vo
1 C vo
v vf (v)dv
0

vo
0
vo 1 v vo 2 2
2 o
2 vo Cvdv C 2
v
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
4.5 分子热运动的速率统计分布规律
3. 用速率分布函数表示平均值
V
V
i 1
N
i
N
如何用f(V)表示？
dN Nf (V ) dV
V V + V
在dV区间 : Vi VdN
i
V
VdN
N


0
Vf (V )dV
同理：
V
2


第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
4.5 分子热运动的速率统计分布规律
3. 平衡态下三个分子速率的统计平均值
平均速率： v vf (v )dv 4p ( ) 2p kT 0


v2 3/ 2 3 2 kT 0

ve
dv
1 3 -bv 2 v e dv 2 2b 0
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
几率
代表速率V 附近单位速率区间内分子数占总数比率.
4.5 分子热运动的速率统计分布规律
2. 速率分布函数的归一化条件
dN f (V )dV N
dV 速率间隔的分子数占 含义？ 总分子数的比率
Nf (V )dV dN
N Nf (V )dV V
1
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
4.5 分子热运动的速率统计分布规律
1. 速率分布函数定义： V V + V内分子数 : N N :占总数比率 N N N N V有关 与 NV 几率
1 dN f (V ) N dV
o
V
V +V
V
一般与V 成正比
N dN f (V ) lim V 0 N V NdV
4.5 分子热运动的速率统计分布规律
一 分子的速率分布函数
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子 的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来 说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子 整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统 计规律——气体速率分布律。 速率分布函数：按统计假设分子速率通过碰撞不断改变， 不好说正处于哪个速率的分子数多少，但用某一速率区间 内分子数占总分子数的比例为多少的概念比较合适，这就 是分子按速率的分布。

0
V
2
f (V ) dV
g gf (V )dV
0 第9章 平衡态与分子热运动的统计规律

4.5 分子热运动的速率统计分布规律
例 设有N 个粒子，其速率分布函数为: C ( vo> v > 0) 0 ( v > vo ) 1. 作速率分布曲线。
f (v ) =
2. 由vo求常数C。
3. 求粒子的平均速率。