线性代数综合练习题

线性代数综合练习题

时间：120分钟

一、选择题（每小题3分，共15分）:

1．设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（ ）。

（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010； （B ）⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010； （D ）⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡100001110。 2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。

（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。

3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。

（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量；

（C ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；

（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。

4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31

A 2）-1有一个特征值等于

（ ）。

（A ）34； （B ）43； （C ）21； （D ）41

。

5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。

（A ）合同； （B ）相似； （C ）等价； （D ）以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）

1．设矩阵A=⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA *=2BA *+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|= 。

2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+2123212

1a a ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。

3．若A=⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100021

021b a 为正交矩阵，则a = ，b = 。

4．设A 为n 阶矩阵，且|A|≠0，A *为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵。若A 有特征值λ，则（A *）2+E 必有特征值 。

5．若二次型f = 2x 12+x 22+x 32+2 x 1 x 2+t x 2 x 3是正定的，则t 的取值范围是

。

三、（15分）

设有齐次线性方程组：⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧=++++=+

+++=+

+++=+++

+0

)4(44403)3(33022)2(20)1(4

3214

32143214321x a x x x x x a x x x x x a x x x x x a 试问a 取何值时，该方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解。 四、（10分）

设R 3的两组基为：

T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ξξξ和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===ηηη，向量α=（2，3，3）T

（1）求基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵； （2）求α关于这两组基的坐标。

五、（15分）

设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1 = -2，λ2 = 1（2重），α1=（1，1，1）T 是属于λ1 = -2的特征向量。试求：

（1）属于λ2 = 1（2重）的特征向量； （2）A 的伴随矩阵A *。

六、（10分）

设二次型3231212

32221222x bx x x x ax x x x f +++++=

通过正交变换⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y P x x x 化为：2

3222y y f +=，求a 、b 。

七、（10分）

已知A ，B 为n 阶可逆方阵，且满足2A -1B=B-4E ，其中E 是n 阶单位矩阵，试证：A-2E 可逆。并求出（A-2E ）-1=？

八、（10分）

设A 为n 阶矩阵，且1,1)(2211=+⋯++-=nn A A A n A r ，其中ii A 是A 中元素

ii a 的代数余子式（i =1，2，…，n ）。试证：A 的伴随矩阵A *的特征值是0和1，

并说明各个特征值的重数。

线性代数综合练习参考答案

一、选择题：

1．（D ）；2（A ）；3．（A ）；4．（B ）；5．C ）； 二、填空题：

1．91；2．-1；3． ±21，μ21；4．1||2

+⎪⎭

⎫ ⎝⎛λA ；5．-22<

三、解：A=B a a a a a a a

a a a a =⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎣⎡---+−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++00400300211114444333322221111行 （1）当a =0时，r(A)=1<4，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：

x 1+x 2+x 3+ x 4=0由此得一基础解系为：

T

T T

y y y )1,0,0,1()0,1,0,1()0,0,1,1(321-=-=-=， 故全部解为：332211y C y C y C X ++= （其中321,,C C C 为任意常数）……（7分）

（2）当a ≠0时，⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎣⎡---+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡---+→1004

0103001200010

1004

01030012

1111a a B 当a =-10时，r （A ）=3<4，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=+-=+-=+-0

4030

24

13

121x x

x x x x ，解之，可得一个基础解系为： y=（1，2，3，4）T ，故全部解为：X=ky （其中k 为任意常数）……（15分）

备注：此题也可另解 ∵|A|=（a +10）a 3

∴当|A|=0时，即a =0或a =-10时，齐次线性方程组有无穷解。

四、解：（1）记B=（321,,ξξξ）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101110011，C=（321,,ηηη）=⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡121211111