人教A版高中数学必修四 平面向量 复习
2014年人教A版必修四课件 本章小结 (平面向量)
OB OA 0, | OC |2 | OA |2 . CA CB 0. 即 CA CB. ∴∠ACB 是直角.
例2. 如图, AD、BE、CF 是△ABC 的三条高. 求证: AD、BE、CF 相交于一点. 思路: (1) 先定两条高交于一点, 如 BE 与 CF 交于点 H. (2) 如果 AH⊥BC, 即得三条
本章内容
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 平面向量的实际背景及基本概念 平面向量的线性运算 平面向量的基本定理及坐标表示 平面向量的数量积 平面向量应用举例 第二章 小结
本章小结
知识要点 例题选讲 复习参考题
自我检测题
1. 向量的基本概念 向量用有向线段表示. 字母表示有三种方法: ① 用端点的大写字母表示, 如 向量 AB. ② 用印刷黑体小写字母表示, 如 a、b、c. ③ 用书写体加箭头表示, 如 a、 b 、 c. B 向量的大小叫做向量的模, A 用有向线段的长度表示, 3 如: | AB | 3.
8. 数量积的运算定律 (1) a· bb· a: (2) (la)· bl(a· b)a· (lb) (l为实数); (3) (ab)· ca· cb· c; (4) a2|a|2.
(a·b)·c≠a·(b·c).
9. 向量共线与垂直 a b a b 0. a⊥b x1x2y1y20. a//b bla(lR). a//b x1y2x2y10
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1. 向量的基本概念 ◆模为零的向量称为零向量. 零向量记作 0 ( 0 ). 零向量的方向是任意的. ◆模为一个单位的向量称为单位向量. ◆长度相等, 方向相同的向量叫做相等向量.
2. 向量加减法 (1) 几何运算 加法的平行四边形法则、三角形法则.
高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.
高中数学人教A必修4课件：2.3.3平面向量的坐标运算
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的和
a+b=(x1+x2,y 1+y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两
个向量相应坐标的差
a-b=(x1-x2,y 1-y2)
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这
个实数乘原来向量的相应坐标
λa=(λx1,λy1)
向量
坐标
一个向量的坐标等于表示此向量
即ACDB,ACBD,ADCB.而错解中只考虑了ACDB一种情形,而遗漏
了另两种情况.
-16-
2.3.3
题型一
平面向量的坐标运算
题型二
题型三
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
正解:设第四个顶点坐标为 D(x,y).
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 2】 (1)已知 a=(10,-4),b=(3,1),c=(-2,3),试用 b,c 表
示 a.
(2)已知 A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2,3),以 ,
的有向线段的终点的坐标减去始
公式
点的坐标
已知 A(x1,y 1),B(x2,y 2),则
= (2 − 1,
2 − 1)
-3-
2.3.3
平面向量的坐标运算
M 目标导航
UBIAODAOHANG
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
新课标人教A版数学必修4全部课件：平面向量的数量积及运算律
(× )
( ×)
(× ) (√ ) (× )
五.小结
(1)向量的数量积的定义及几何意义.
(2)数量积的5条性质. 六.作业
习题5.6 3,6
谢谢莅临指导！
再 见
Байду номын сангаас
四.课堂练习
判断下列各题是否正确
(1)若a=0,则对任意向量b,有a· 0------ (√) b=
(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a· b≠0-(3)若a≠0,且a· b=0,则b=0 ------------------(4)若a· b=0,则a=0或b=0 --------------------(5)对任意向量a有a2=│a│2 ---------------(6)若a≠0且a· c,则b=c ------------------b=a·
三.根据定义思考下列各题:
设a,b是非零向量，e是与b方向相同的 单位向量，θ是 a与 e的夹角，则 （1）a· e与e· a的关系是:__________ （2）命题p：a b,命题q:a· 0则p与q的关 b= 系是:__________ (3)当a与b同向时,a· b=__________ 当a与b反向时,a· b=__________ (4)cosθ=_______ │a·b│___│a│·│b│
平面向量的数量积是一个数量，而差向量、和 向量分别是一个向量。 思考2： 如图，作出│b│cosθ，并说出它的几何 意义；│a│cosθ的几何意义有是什么？
B b θ ┐ O a B1 A
（1）
B b θ B1 O
┐
B b
θ a ┓ a A O(B1)
（3）
A
（2）
│b│cosθ叫做向量b在向量a上的投影， │a│cosθ叫做向量a在向量b上的投影. a· b的几何意义： 向量a与b的数量积a· b等于a的长度│a│ 与b在a的方向上的投影│b│cosθ的积.
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.5.1平面几何中的向量方法
2.5.1
2．5.1
平面几何中的向量方法
本 课 时 栏 目 开 关
【学习要求】 1．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际 问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何问题的有力工具． 3．培养运算能力、分析和解决实际问题的能力． 【学法指导】 由于向量涉及共线、夹角、垂直、长度等基本问题，而这些问题 正是平面几何研究的对象，因此可以用向量来处理平面几何问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.5.1
探究点三
平面向量在几何中的应用
用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线 共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁 直观．其基本方法是：
当 v1⊥v2，即 v1· v2＝1＋k1k2＝0 时，l1⊥l2，夹角为直角；当 k1k2≠－1 时，v1· v2≠0，直线 l1 与 l2 的夹角为 θ(0° <θ<90° )．不 难推导利用 k1、k2 表示 cos θ 的夹角公式： |1＋k1k2| |v1· v2 | cos θ＝ ＝ 2 2. |v1||v2| 1＋k1· 1＋k2
填一填·知识要点、记下疑难点
2.5.1
1．向量方法在几何中的应用
本 课 时 栏 目 开 关
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 (共
a＝λb ⇔ x1y2－x2y1＝0 线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔_____
.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
2019-2020学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：复习课(三) 平面向量 Word版含答案.doc
复习课(三) 平面向量1．题型为选择题和填空题．主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理及数量积运算交汇命题．2．向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加减法满足交换律、结合律，数乘运算满足结合律、分配律．实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用．[典例] (北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ＝2MC ，BN ＝NC .若MN ＝x AB ＋y AC ，则x ＝________；y ＝________.[解析] ∵AM ＝2MC ，∴AM ＝23AC .∵BN ＝NC ，∴AN ＝12(AB ＋AC )，∴MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－23AC＝12AB －16AC . 又MN ＝x AB ＋y AC ， ∴x ＝12，y ＝－16.[答案]12 －16[类题通法]向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．[题组训练]1．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)． ∵AB ∥AC ， ∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外， |BC |2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选C 由|BC |2＝16，得|BC |＝4. ∵|AB ＋AC |＝|AB －AC |＝|BC |＝4， |AB ＋AC |＝2|AM |， ∴|AM |＝2.3．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP ＝3OA －OB2，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：选B 由于2OP ＝3OA －OB ， ∴2OP －2OA ＝OA －OB ，即2AP ＝BA ， ∴AP ＝12BA ，则点P 在线段AB 的反向延长线上．1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查数量积运算、向量的垂直等问题，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题．2．解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法：一是根据数量积的定义，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，二是利用坐标运算，即a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法．[典例] (1)(福建高考)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32B ．－53C.53D.32(2)(四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB |＝6，|AD |＝4.若点M ，N 满足BM＝3MC ，DN ＝2NC ，则AM ·NM ＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6[解析] (1)c ＝a ＋kb ＝(1＋k,2＋k ), 又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得 k ＝－32.(2)如图所示，由题设知：AM ＝AB ＋BM ＝AB ＋34AD ， NM ＝NC －MC ＝13AB －14AD ，∴AM ·NM ＝⎝⎛⎭⎫AB ＋34 AD ·⎝⎛⎭⎫13 AB －14 AD ＝13|AB |2－316|AD |2＋14AB ·AD －14AB ·AD ＝13×36－316×16＝9. [答案] (1)A (2)C [类题通法](1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义； (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知向量的模和夹角进行 计算．[题组训练]1．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对解析：选C ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )， ∴c 2＝(a ＋b )2，即|c |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 〈a ，b 〉， ∴19＝4＋9＋12cos 〈a ，b 〉， ∴cos 〈a ，b 〉＝12.又∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝60°.2．在△ABC 中，AB ＝4，∠ABC ＝30°，D 是边BC 上的一点，且AD ·AB ＝AD ·AC ，则AD ·AB 的值为( )A ．0B ．－4C ．8D ．4解析：选D 由AD ·AB ＝AD ·AC ，得AD ·(AB －AC )＝0，即AD ·CB ＝0，所以AD ⊥CB ，即AD ⊥CB .又AB ＝4，∠ABC ＝30°，所以AD ＝AB sin 30°＝2，∠BAD ＝60°，所以AD ·AB ＝AD ·AB ·cos ∠BAD ＝2×4×12＝4.3．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 方向上的投影是________．解析：∵|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，∴b 在a 方向上的投影是|b |cos 60°＝1. 答案：14．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1，则AB 的长为________．解析：设|AB |＝x ，x ＞0，则AB ·AD ＝12x .又AC ·BE ＝(AD ＋AB )·⎝⎛⎭⎫AD －12 AB ＝1－12x 2＋14x ＝1，解得x ＝12，即AB 的长为12. 答案：121．题目以解答题为主．主要包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及向量的知识往往是数量积的运算，所研究的问题主要是讨论三角函数的图象与性质．2．解决此类问题，首先要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角函数问题，然后利用三角公式进行恒等变换，转化为题目中所要求的问题．[典例] (广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．[解] (1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.[类题通法]在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．[题组训练]1．设a ＝(sin x,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos x ，且a ∥b ，则锐角x 为( ) A.π3 B.π4 C.π6D.π12解析：选B 因为a ∥b ，所以sin x cos x －12＝0，所以sin 2x ＝1，又x 为锐角，所以0<2x <π， 所以2x ＝π2，x ＝π4，故选B.2．设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数ƒ(x )＝a ·(a ＋b )． (1)求函数ƒ(x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式ƒ(x )≥32成立的x 的取值范围．解：(1)∵ƒ(x )＝a ·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝32＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴ƒ(x )的最大值为32＋22，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知ƒ(x )≥32⇔32＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥32⇔sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≥0⇔2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π⇔k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )． ∴使ƒ(x )≥32成立的x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .1．设P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA ＝a ，OB ＝b ，则OP ＋OQ ＝( ) A ．a ＋b B ．a －b C ．2(a ＋b ) D.13(a ＋b ) 解析：选A 如图，OP ＝OA ＋AP ，OQ ＝OB ＋BQ ，∵AP ＝－BQ ，∴OP ＋OQ ＝OA ＋OB ＝a ＋b .2．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D. 5解析：选D 因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋22＝5，所以|a －b |＝5，故选D. 3．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( ) A ．(3，－6) B ．(－3,6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：选A 由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)．4．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.2π3解析：选B ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝a 2，∵|a |＝1，|b |＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 2|a ||b |＝22，∴向量a 与向量b 的夹角为π4，故选B.5．在△ABC 中，(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C 由(BC ＋BA )·AC ＝|AC |2，得AC ·(BC ＋BA －AC )＝0，即AC ·(BC ＋BA ＋CA )＝0，∴2AC ·BA ＝0，∴AC ⊥BA ，∴A ＝90°.故选C.6．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ，b ，c 两两所成的角相等，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．6或 3B ．6或 2 C. 2D ．6解析：选A ∵a ，b ，c 两两所成的角相等， ∴这个角为0°或120°.当夹角为0°时，|a ＋b ＋c |＝|a |＋|b |＋|c |＝1＋2＋3＝6，排除C ；当夹角为120°时，a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，b ·c ＝|b ||c |·cos 120°＝2×3×⎝⎛⎭⎫－12＝－3，c ·a ＝|c ||a |cos 120°＝3×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， ∴|a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋22＋32＋2⎝⎛⎭⎫－1－3－32＝3， ∴|a ＋b ＋c |＝ 3. ∴|a ＋b ＋c |＝6或 3.7．已知向量a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，若(a －2b )⊥a ，则|b |＝________.解析：∵a ＝(－1,3)，b ＝(1，t )，∴a －2b ＝(－3,3－2t )．∵(a －2b )⊥a ，∴(a －2b )·a ＝0，即(－1)×(－3)＋3(3－2t )＝0，即t ＝2，∴b ＝(1,2)，∴|b |＝12＋22＝ 5.答案： 58．已知平面向量a 与b 的夹角等于2π3，如果|a |＝2，|b |＝3，那么|2a －3b |＝________.解析：|2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos 2π3＋9×32＝133，∴|2a －3b |＝133.答案：1339．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．解析：由于|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π3，π10．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4a 2－4a ·b －3b 2＝61， 即64－4a ·b －27＝61. ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.(2)|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－6)＋9＝13. 11．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R . (1)求|a ＋tb |的最小值及相应的t 值； (2)若a －tb 与c 共线，求实数t . 解：(1)∵a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，∴a ＋tb ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )， ∴|a ＋tb |＝(－3＋2t )2＋(2＋t )2 ＝5t 2－8t ＋13＝5⎝⎛⎭⎫t －452＋495≥495＝755， 当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋tb |的最小值为755，此时t ＝45.(2)∵a －tb ＝(－3,2)－t (2,1)＝(－3－2t,2－t )， 又a －tb 与c 共线，c ＝(3，－1)， ∴(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0. 解得t ＝35.12．已知向量m ＝(1,1)，向量n 与向量m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1.(1)求向量n ；(2)设向量a ＝(1,0)，向量b ＝(cos x ，sin x )，其中x ∈R ，若n ·a ＝0，试求|n ＋b |的取值 范围．解：(1)令n ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，2·x 2＋y 2cos 3π4＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴n ＝(－1,0)或n ＝(0，－1)． (2)∵a ＝(1,0)，n ·a ＝0，∴n ＝(0，－1)．∴n ＋b ＝(cos x ，sin x －1)．∴|n ＋b |＝cos 2x ＋(sin x －1 )2＝2－2sin x ＝2(1－sin x ). ∵－1≤sin x ≤1，∴0≤|n ＋b |≤2.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．tan 8π3的值为( ) A.33B ．－33C. 3D ．－ 3解析：选D tan8π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 2．下列函数中最值是12，周期是6π的三角函数的解析式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 解析：选A 由题意得，A ＝12，2πω＝6π，ω＝13，故选A.3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA ＋OB ＋OC ＋OD 等于 ( )A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM解析：选D 依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以OA ＋OC ＝2OM ，OB ＋OD ＝2OM ，所以OA ＋OC ＋OB ＋OD ＝4OM ，故选D.4．若点(sin α，sin 2α)在第四象限，则角α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B ∵点(sin α，sin 2α)在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＞0，sin 2α＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，2sin αcos α＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧sin α＞0，cos α＜0.∴α在第二象限． 5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )， ∴1×m －2×(－2)＝0， ∴m ＝－4.∴2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．6．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)的值为( ) A.225B ．－25 C.25D ．－225解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α) ＝22sin α＋22cos α＋22cos α ＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25. 7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选C a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又0°<θ<180°，所以θ＝120°.8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象经怎样的平移后所得的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0成中心对称( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：选C 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0，其中离⎝⎛⎭⎫－π12，0最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π6，0，故函数图象只需向右平移π12个单位长度即可． 9．函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ≥0)的部分图象如图2所示，则ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)的值等于( )A ．2B ．2＋ 2C ．2＋2 2D ．－2－2 2解析：选C 由图象可知，函数的振幅为2，初相为0，周期为8，则A ＝2，φ＝0，2πω＝8，从而ƒ(x )＝2sin π4x .∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(11)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＝2sin π4＋2sin π2＋2sin 3π4＝2＋2 2.10．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝( ) A ．0 B ．－35C.35D ．－45解析：选B 由3a ＋4b ＋5c ＝0，得向量3a,4b,5c 能组成三角形，又|a |＝|b |＝|c |＝1，所以三角形的三边长分别是3,4,5，故三角形为直角三角形，且a ⊥b ，所以a ·(b ＋c )＝a ·c ＝－35. 11．如图，在四边形ABCD 中，|AB |＋|BD |＋|DC |＝4，|AB |·|BD |＋|BD |·|DC |＝4，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0，则(AB ＋DC )·AC 的值为( )A ．4B ．2C ．4 2D ．2 2解析：选A ∵AC ＝AB ＋BD ＋DC ，AB ·BD ＝BD ·DC ＝0， ∴(AB ＋DC )·AC＝(AB ＋DC )·(AB ＋BD ＋DC )＝AB 2＋AB ·BD ＋AB ·DC ＋DC ·AB ＋DC ·BD ＋DC 2＝AB 2＋2AB ·DC ＋DC 2.∵AB ·BD ＝0，BD ·DC ＝0，∴AB ⊥BD ，DC ⊥BD ，∴AB ∥DC ，∴AB ·DC ＝|AB ||DC |， ∴原式＝(|AB |＋|DC |)2.设|AB |＋|DC |＝x ，则|BD |＝4－x ，|BD |·x ＝4， ∴x 2－4x ＋4＝0，∴x ＝2，∴原式＝4，故选A.12．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：选A ∵函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(ω＞0,0＜θ＜π)为偶函数，∴θ＝π2，∴y ＝2cos ωx ，排除C 、D ；y ＝2cos ωx ∈[－2,2]，结合题意可知T ＝π，∴2πω＝π，ω＝2，排除B ，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC ＝λAE ＋μAF ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋12b ，AE ＝12a ＋b ，AC ＝a ＋b ，代入条件得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.答案：4314．在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：∵∠ABO ＝90°，∴AB ⊥OB ，∴OB ·AB ＝0. 又AB ＝OB －OA ＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )，∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 答案：515．已知ƒ(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，则ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：因为cos α＝35⎝⎛⎭⎫0＜α＜π2，所以sin α＝45； ƒ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝22(sin α＋cos α)＝7210. 答案：721016．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12； ③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2在[0，π]上是增函数． 其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°>30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确； 函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π， 所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确； 由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确． 答案：④三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为θ. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a －b 与a 垂直，求θ.解：(1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝±2.(2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.18．(本小题满分12分)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．解：原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α ＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α )(sin α＋cos α ) ＝sin α＋cos αsin α－cos α ＝tan α＋1tan α－1，又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.19．(本小题满分12分)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈π2，π，a ·b ＝25，求52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2 α2.解：∵a ·b ＝cos 2α＋sin α(2sin α－1) ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α ＝1－sin α＝25，∴sin α＝35.∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，∴52sin 2α－4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＝52sin 2α－22(cos α－sin α)1＋cos α＝52×⎝⎛⎭⎫－2425－22⎝⎛⎭⎫－45－351－45＝－10 2.20．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求ƒ(x )的值域； (2)用五点法在下图中作出y ＝ƒ(x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图；解：ƒ(x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ƒ(x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：21．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin x ＋2sin π4＋x2·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2. (1)若f (α)＝22，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求α的值； (2)若sin x 2＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f (x )的值． 解：f (x )＝sin x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 2＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)由f (α)＝22，得2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4. ∴α＋π4＝π6，∴α＝－π12.(2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴x 2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 又∵sin x 2＝45，∴cos x 2＝35.∴sin x ＝2sin x 2cos x 2＝2425，cos x ＝－1－sin 2x ＝－725. ∴f (x )＝sin x ＋cos x ＝2425－725＝1725.22．(本小题满分12分)已知函数ƒ(x )＝A sin(ωx ＋φ)ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求ƒ(x )的解析式；(2)将函数y ＝ƒ(x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12时，求函数y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最值． 解：(1)由图得34T ＝11π6－π3＝9π6＝3π2，∴T ＝2π，∴ω＝2πT＝1. 又ƒ⎝⎛⎭⎫11π6＝0，得A sin ⎝⎛⎭⎫11π6＋φ＝0， ∴11π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，φ＝2k π－11π6，k ∈Z. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6.又由ƒ(0)＝2，得A sin π6＝2，∴A ＝4，∴ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)将ƒ(x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝ 4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (3)y ＝ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π12－2ƒ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－42sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝4⎝⎛⎭⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，5π12，x －π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－1，12， ∴函数的最小值为－4，最大值为2.。
高中数学人教A版必修四教师用书：第2章+2.3+2.3.1+平面向量基本定理
2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理学习目标：1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点)[自主预习·探新知]1．平面向量基本定理(2)平面向量的基底是唯一的吗？[提示](1)不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的．(2)不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．2．向量的夹角[0，π]a与b同向[基础自测]1．思考辨析(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( )(2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3)若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( )[解析] (1)错误．根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底．(2)正确．根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e 1，e 2线性表示．(3)错误．当e 1与e 2共线时，结论不一定成立． [答案] (1)× (2)√ (3)×2．若△ABC 是等边三角形，则AB →与BC →的夹角的大小为________． 120° [由向量夹角的定义知AB →与BC →的夹角与∠B 互补，大小为120°.] 3．如图2-3-1所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．图2-3-14e 1＋3e 2 [由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2.][合 作 探 究·攻 重 难](1)D ，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列结论：①AD →＝－12a －b ；②BE →＝a ＋12b ； ③CF →＝－12a ＋12b ；④EF →＝12a . 其中正确的结论的序号为________．(2)如图2-3-2，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a ，b 表示DC →，EF →，FC →.图2-3-2[思路探究] 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．(1)①②③ [(1)如图，AD →＝AC →＋CD →＝－b ＋12CB →＝－b －12a ，①正确；BE →＝BC →＋CE →＝a ＋12b ，②正确；AB →＝AC →＋CB →＝－b －a ，CF →＝CA →＋12AB →＝b ＋12(－b －a ) ＝12b －12a ，③正确；④EF →＝12CB →＝－12a ，④不正确．](2)因为DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， 所以FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b . EF →＝ED →＋DA →＋AF → ＝－12DC →－AD →＋12AB → ＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .[规律方法] 用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则； ②向量减法的几何意义； ③数乘向量的几何意义． (2)模型：[跟踪训练]1．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →等于( )【导学号：84352209】图2-3-3A ．－a ＋15b B ．a －15b C ．23a －13bD ．13a ＋23bA [∵AE →＝15AB →，∴BE →＝－45AB →. 又∵EF ∥BC ，∴EF →＝15BC →＝15(AC →－AB →)，∴BF →＝BE →＋EF →＝－45AB →＋15(AC →－AB →) ＝15AC →－AB →＝－a ＋15b .](1)b ，c ⊥a ，则a ，b的夹角等于________．(2)若a ≠0，b ≠0，且|a|＝|b|＝|a －b|，求a 与a ＋b 的夹角.【导学号：84352210】[思路探究] 可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决．(1)120° [作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(如图所示)， 则a ，b 夹角为180°－∠C . ∵|a|＝1，|b|＝2，c ⊥a ， ∴∠C ＝60°， ∴a ，b 的夹角为120°.](2)[解] 由向量运算的几何意义知a ＋b ，a －b 是以a ，b 为邻边的平行四边形两条对角线．如图，∵|a |＝|b |＝|a －b |， ∴∠BOA ＝60°.又∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA ， ∴a 与a ＋b 的夹角是30°.[规律方法] 两向量夹角的实质与求解方法：(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误.[跟踪训练]2．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝AC ，则AB →与BC →夹角的大小为________．150° [如图所示，因为∠A ＝120°，AB ＝AC ，所以∠B ＝30°，所以AB →与BC →的夹角为180°－∠B ＝150°.][探究问题]若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e 1，e 2，使向量a ＝λ1e 1＋λ2e 2，a ＝μ1e 1＋μ2e 2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？提示：由题意λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，即(λ1－μ1)e 1＝(μ2－λ2)e 2，由于e 1，e 2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2.如图2-3-4所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，点M 是AB 上靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 上靠近A 的一个四等分点．若OM 与BN 相交于点P ，求OP →.【导学号：84352211】图2-3-4[思路探究] 可利用OP →＝tOM →及OP →＝ON →＋NP →＝ON →＋sNB →两种形式来表示OP →，并都转化为以a ，b 为基底的表达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得s ，t ，进而得OP →.[解] OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB → ＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13a ＋23b . 因为OP →与OM →共线， 故可设OP →＝tOM →＝t3a ＋2t 3b .又NP →与NB →共线，可设NP →＝sNB →，OP →＝ON →＋sNB →＝34OA →＋s (OB →－ON →)＝34(1－s )a ＋s b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧34(1－s )＝t 3，s ＝23t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝910，s ＝35，所以OP →＝310a ＋35b .母题探究：1.将本例中“M 是AB 上靠近B 的一个三等分点”改为“M 是AB 上靠近A 的一个三等分点”，“点N 是OA 上靠近A 的一个四分点”改为“N 为OA 的中点”，求BP ∶PN 的值．图2-3-5[解] BN →＝ON →－OB →＝12a －b ，OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13(OB →－OA →)＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b ， 因为O ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， 所以存在实数λ，μ使BP →＝λBN →＝λ2a －λb ， OP →＝μOM →＝2μ3a ＋μ3b ，所以OB →＝OP →＋PB →＝OP →－BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2μ3－λ2a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ3＋λb ， 又OB →＝b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2μ3－λ2＝0，μ3＋λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35，所以BP →＝45BN →，即BP ∶PN ＝4∶1.2．将本例中点M ，N 的位置改为“OM →＝12MB →，N 为OA 中点”，其他条件不变，试用a ，b 表示OP →.图2-3-6[解] AM →＝OM →－OA →＝13OB →－OA →＝13b －a ，BN →＝ON →－OB →＝12OA →－OB →＝12a －b ，因为A ，P ，M 三点共线，所以存在实数λ使得AP →＝λAM →＝λ3b －λa ， 所以OP →＝OA →＋AP →＝(1－λ)a ＋λ3b .因为B ，P ，N 三点共线，所以存在实数μ使得BP →＝μBN →＝μ2a －μb ， 所以OP →＝OB →＋BP →＝μ2a ＋(1－μ)b . 即⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝μ2，λ3＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝35，μ＝45，所以OP →＝25a ＋15b .[规律方法] 1.任意一向量基底表示的唯一性的理解：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e 1，e 2的线性组合λ1e 1＋λ2e 2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知平行四边形ABCD ，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )A.AB →，DC →B.AD →，BC →C.BC →，CB →D.AB →，DA →D [由于AB →，DA →不共线，所以是一组基底．]2．已知▱ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD →与CD →的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°D [AD →与CD →的夹角与∠DAB 互补，其大小为180°－30°＝150°.] 3．设D 为△ABC 所在平面内一点，若BC →＝3CD →，则( )【导学号：84352212】A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC → A [因为BC →＝3CD →，所以AC →－AB →＝3(AD →－AC →)＝3AD →－3AC →， 所以3AD →＝4AC →－AB →，所以AD →＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.]4．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．3 [因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ， 所以⎩⎨⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.]5．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AD →，AE →，AF →.【导学号：84352213】图2-3-7[解] AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC → ＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ； AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学人教A版必修4 平面向量专题复习PPT全文课件
途径二：“形”“数”相守 找坐标
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y A
B (O) C 2
x
图13
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练习1、【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1
AD=2，
APABAD
动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若
（五）等与不等寻定值
极化恒等式
2
2
4a b a b a b
绝对值三角不等式
因对任意实数 m,n，恒有 m n m n 成立
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（五）等与不等寻定值
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数缺形时少直观， 形少数时难入微； 数形结合百般好， 隔离分家万事休．
(2013 年浙江省数学竞赛)已知直线 AB 与抛物线 y2 4x 交于 A, B 两点, M 为 AB的
中点, C 为抛物线上一个动点,若C0 满足 C0AC0B min CACB ,则下列一定成立的是
()
A. C0M AB C. C0 A C0B
纵观近五年的高考试题，平面向量的考查主要体现在2 个方面：
人教版高中数学高一A版必修4 第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念
第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念1．丰富多彩的背景，引人入胜的内容．教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了平面向量的有关知识．学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示．向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．最后介绍了平面向量的应用．2．教学的最佳契机，全新的思维视角．向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的．反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系，向量应用的优越性也是非常明显的．全新的思维视角，恰当的教与学，使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机．3．本章充分体现出新教材特点．以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容，注重向量运算与数的运算的对比，特别注意知识的发生过程．对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论．这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法．解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题．对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力．向量的坐标实际上是把点与数联系起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题．4作者：赵勇，永安三中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖整体设计教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展．本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变．教学目标1．通过力的分析等实例，了解向量的实际背景；理解向量的概念．2．理解向量的几何表示；掌握零向量、单位向量、平行向量等概念；3．理解相等向量和共线向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量．教学重点、难点1．通过学生自主探究，并在教师的引导下，使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点．2．难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解．学情和教材分析《向量》是高中数学新教材必修四第二章第1节．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具．向量概念引入后，全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．所以，向量是高考必考的重点内容，又因为其抽象性，它还是学生在学习中的一个难学内容．本节内容是向量一章的第一节课，因此，是十分关键、重要的一节课．教学准备多媒体课件教学过程导入新课位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如图1，如何由点A确定点B的位置？图1一种常用的方法是，以A为参照点，用B点A点之间的方位和距离确定B点的位置．如，B点在A点东偏南45°，30千米处．这样，在A点与B点之间，我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置．有向线段AB就是A点与B点之间的位移．位移简明地表示了位置之间的相对关系．像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们本章要研究的向量．推进新课新知探究本章引言中，我们知道，位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？图2请大家阅读课本2.1.1向量的物理背景与概念；2.1.2向量的几何表示．并回答下面问题： (1)什么是向量？向量和数量有何不同？ (2)向量如何表示？(3)什么是零向量和单位向量？ (4)什么是平行向量？待学生阅读完后，老师总结并展示课件： 1．什么是向量？向量和数量有何不同？(数量：只有大小，没有方向的量) 在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？ 数量有：质量、身高、面积、体积 向量有：重力、速度、加速度提问：角度，海拔，温度是向量吗？ 2．向量如何表示？(1)几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．图3 注：以A 为起点，B 为终点的有向线段记为AB →，线段AB 的长度记作|AB →|(读为模)； (2)也可以表示为a ，b ，c ，…，大小记作：|a|、|b|、|c |、…说明一：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置．所以数学中的向量也叫自由向量．如图4：它们都表示同一个向量．图4练习：向量AB →和BA →是同一个向量吗？为什么？ 不是，方向不同．探究：向量就是有向线段吗？有向线段就是向量吗？ 说明二：有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向．向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向．图5有向线段AB →、CD →是不同的．图6向量AB →、CD →是同一个向量． 3．什么是零向量和单位向量？零向量：长度为0的向量，记为0； 单位向量：长度为1的向量．注：零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的． 向量之间的关系： 4．什么是平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量． 注：1.若是两个平行向量，则记为a ∥b .2．我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a . 练习：判断下列各组向量是否平行？图7向量的平行与线段的平行有什么区别？ 练习：已知下列命题：(1)向量AB →和向量BA →长度相等；(2)方向不同的两个向量一定不平行；(3)向量就是有向线段；(4)向量0＝0；(5)向量AB →大于向量CD →.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B例1试根据图8中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地至B 、C 两地的位移，并求出A 地至B 、C 两地的实际距离(精确到1 km)．图8请同学们阅读课本2.1.3相等向量与共线向量，并回答问题：什么是相等向量和共线向量？待学生回答后，老师总结并展示课件： 5．什么是相等向量和共线向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量．a ＝b ＝c A 1B 1→＝A 2B 2→＝A 3B 3→＝A 4B 4→图9注：1.若向量a ，b 相等，则记为a ＝b ；2．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．平行向量也叫共线向量．注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上． 练习：判断下列命题是否正确：(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；(2)若|a|＝|b |，则a ＝b ；(3)若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；(4)平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；(5)若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ；(6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C练习：下列说法正确的是( ) A ．若|a|>|b|，则a>b B ．若|a |＝0，则a ＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ∥b ，则a ＝bE ．若a ＝b ，则|a|＝|b |F ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量G ．若a ＝0，则－a ＝0 答案：EG例2如图10，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与OA →、OB →、OC →相等的向量．图10解：OA →＝CB →＝DO →， OB →＝DC →＝EO →， OC →＝AB →＝ED →＝FO →.练习：如图11，EF 是△ABC 的中位线，AD 是BC 边上的中线，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：图11(1)与向量CD →共线的向量有________个，分别是________________________________；(2)与向量DF →的模一定相等的向量有________个，分别是______________________；(3)与向量DE →相等的向量有________个，分别是__________．答案：(1)7 DC →、DB →、BD →、FE →、EF →、CB →、BC → (2)5 FD →、EB →、BE →、EA →、AE →(3)2 CF →、FA →课堂小结 通过本节课的学习，要求大家能够理解向量的概念；掌握向量的几何表示；理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用．作业习题2.1A 组2,5设计思路1．首先先对本节课教材内容进行分析2．教材内容的安排和处理根据我所教学生的特点，我对教材进行了如下处理，先由物理中的位置关系导入新课，然后提出问题，并要求学生带着问题去阅读课本，最后由老师总结，并对概念进行概念辨析，以加大学生的思维的深度，拓宽了学生的视野，实现本节课难点的突破，整堂课充分发挥学生的主导作用．3．教法“问题是数学的灵魂，也是学好数学的必然手段”，本节课总体上以问题串的形式，设计为七问五练．着重抓四个知识点，突出学生的“主导地位”．并通过多媒体课件的演示，直观展示向量的有关内容，激发学生的兴趣．4．学法指导以问题为载体，通过提问、阅读、归纳，练习的过程，掌握思考、讨论、交流的学习方法，并体验探究和发现的乐趣．。
人教版高中数学必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.3含答案
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．1．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________.2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)2．已知a －12b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2)C ．(－2,2)D ．(2，－2)3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,24．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭⎫1，32 C.⎝⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( )A ．(－7,0)B ．(7,6)C ．(6,7)D ．(7，－6)题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →的坐标是________． 8．已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________.9．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3，2)，则x ＝________.10．函数y ＝x 2＋2x ＋2按向量a 平移所得图象的解析式为y ＝x 2，则向量a 的坐标是________．三、解答题11．已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .12．已知平面上三个点坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．能力提升13．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A ．{(1,1)}B ．{(－1,1)}C ．{(1,0)}D ．{(0,1)}14．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2的图象F 按向量a 平移到F ′，F ′的函数解析式为y ＝f (x )，当y ＝f (x )为奇函数时，向量a 可以等于( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，－2B.⎝⎛⎭⎫－π6，2 C.⎝⎛⎭⎫π6，－2 D.⎝⎛⎭⎫π6，21．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2．3.3 平面向量的坐标运算答案知识梳理1．(1)互相垂直 (2)单位向量 x i ＋y j 有序数对(x ，y ) a ＝(x ，y ) (3)(x ，y ) (x 2－x 1，y 2－y 1)2．(1)(x 1＋x 2，y 1＋y 2) (2)(x 1－x 2，y 1－y 2) (3)(λx ，λy )作业设计1．D 2.D3．D [由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.] 4．C [设P (x ，y )，由(x －3，y ＋2)＝12×(－8,1)， ∴x ＝－1，y ＝－32.] 5．B [∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)．]6．D [设D (x ，y )，由AD →＝BC →，∴(x －5，y ＋1)＝(2，－5)．∴x ＝7，y ＝－6.]7．(－3,6)8.112解析 ∵AC →＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，BD →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4,2y －6)＝(－1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112. 9．－1解析 ∵A (1,2)，B (3,2)，∴AB →＝(2,0)．又∵a ＝AB →，它们的坐标一定相等．∴(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0， ∴x ＝－1.10．(1，－1)解析 函数y ＝x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y ＝x 2的顶点坐标为(0,0)，则a ＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．11．解 设c ＝x a ＋y b ，则(10，－4)＝x (－2,3)＋y (3,1)＝(－2x ＋3y,3x ＋y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 10＝－2x ＋3y ，－4＝3x ＋y ， 解得x ＝－2，y ＝2，∴c ＝－2a ＋2b .12．解 (1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，设点D 的坐标为(x ，y )．∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1. ∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，仿(1)可得D (2，－3)；(3)当平行四边形为ADBC 时，仿(1)可得D (6,15)．综上可知点D 可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．13．A [设a ＝(x ，y )，则P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝m ， ∴集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{(x ，y )|x ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x ＋y －2＝0}．∴P ∩Q ＝{(1,1)}．故选A.]14．B [函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2按向量a ＝(m ，n )平移后得到y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π6＋n －2.若平移后的函数为奇函数，则n ＝2，π6－2m ＝k π＋π2(k ∈Z )，故m ＝－π6时适合．]附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
人教A版数学必修四第二章平面向量单元复习课件ppt
D
A
M
MN
C N
B
1 3
MC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例4
在Rt△ABC中，已知斜边BC=2，
线段PQ以A为中点，且PQ=4，向量 B C 与
P Q 的夹角为60°，求 BP CQ .
（5）相等向量： 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量： 长度相等且方向相反的向量. （7）平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量. （8）向量的数量积： a·b=|a||b|cosθ.
例1设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，
c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，
2(a－c），d 的有向线段首尾相接能构 成四边形，求向量d 的坐标.
d＝(－2，－6)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Cபைடு நூலகம்
Q
BPCQ 2 A
B
P
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
知识梳理 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
(完整版)必修四平面向量复习基本知识点总结及基础训练
a b a b AB DC AB DC a (1,1), b 1), c c 按向量 ＝（－1、向量有关概念：平面向量复习基本知识点及经典结论总结（1） 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
例：已知 A （1,2），B （4,2），则把向量1,3）平移后得到的向量是 AB a。
（2） 零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，注意零向量的方向 ；（3） 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是：)；（4） 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有 ；（5） 平行向量（也叫）：方向 或的非零向量 a 、b 叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0 )；④三点 A 、、B C 共线⇔ AB 、AC 共线；（6） 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是。
例：命题：（1）若 =，则 =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若 = ，则 ABCD 是平行四边形。
（4）若 ABCD 是平行四边形，则 =。
（5）若 a = b ,b = c ，则 a = c 。
（6）若 a // b ,b // c ，则 a // c 。
其中正确的是 ； 2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b ， c 等；（3）坐标表示法：在 平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ， j 为基底，则平面内的任一向量 a 可表示为 a = xi + y j = (x , y )，称(x , y )为向量 a 的坐标， a ＝叫做向量 a 的坐标表示。
人教A版数学必修4 课件 平面向量
始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图
形是( B )
A．一条线段
B．一条直线
C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为 1 的圆
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
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3.判断下列各命题的真假：
（1）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
（2）向量 a 与向量b 平行，则 a 与 b 的方向相同或 相反；
A
D
F
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B
C E
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A
D
F
B
C E
解：(1) D E E F F C A F D A D B
FDCEEB
( 2 ) D E F C A F F D C E E B
(3)DE∥FC∥AF∥AC FD∥CE∥EB∥CB
A（起点）
(1)几何表示法：有向线段（起点、方向、长度 ）
(2)字母表示法： a , b , AB
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【即时训练】
下列说法正确的是（ D） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以 比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小.
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
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【易错点拨】 两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且 方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向 量之间只有相等关系，没有大小之分，对于向
高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积第2课时教学课件新人教A版必修4
(2)坐标表示下的运算．
若 a＝(x，y)，则 a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ x2＋y2.
【互动探究】 本例中将“a∥b”改为“a·b＝10”，求a的坐 标．解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得x＋x22＋y＝y2＝101，0，
1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10， 求：
(1)向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10.∴λ＝2.∴a＝ (2,4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
与向量模有关的问题
已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a 的坐标．
思路点拨：
解：设 a 的坐标为(x，y)，由题意得2xx－2＋y＝y2＝0，10， 解得
x＝2 y＝4
5， 5
或xy＝ ＝－ －24
5， 5，
所以 a＝(2 5，4 5)或 a＝(－2 5，－4 5)．
求向量的模的两种基本策略
思路点拨：(1)按求向量夹角的步骤求解； (2)利用两向量垂直数量积为零来证明．
(1)解：由题意知，|a|＝1，|b|＝1，a·b＝－12cos
α＋
3 2 sin
α.
则
cos
θ
＝ |aa|·|bb|
＝
－12cos α＋ 1×1
3 2＋
3 2 sin
α＝
cos(120°－α)． ∵0°≤α≤90°，∴30°≤120°－α≤120°.
(3)(a·b)·c. 思路点拨：首先求解相关向量的坐标，再代入 坐标运算表达式求解．
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义(一)
其中 θ 是 a 与 b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . (3)投影：设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b
|a|cos θ ， |b|cos θ 方向的投影是_______ 向量 b 在 a 方向上的投影是_______.
3．数量积的几何意义 a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方
|b|cos θ 的乘积． 向上的投影_______
研一研·问题探究、课堂更高效
2.4.1（一）
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
平面向量数量积的含义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所
∴a· b＝|a|· |b|cos 180° ＝4×5×(－1)＝－20. (2)当 a⊥b 时，θ＝90° ，∴a· b＝|a|· |b|cos 90° ＝0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30° 时，a· b＝|a|· |b|cos 30°
2.4.1（一）
【学法指导】 1．向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的 区别，两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量．学习 本 课 时必须透彻理解数量积概念的内涵． 时 栏 目 2．向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵更丰 开 关 富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数量积中 已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄．书写格式也要严 格区分，a· b 中的“· ”不能省略.
高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4
向量的数量积
定义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量_|a_||_b_|c_o_s__θ叫作 a 与 b 的 数量积，记作_a_·_b_，即 a·b＝_|a_||_b_|c_o_s__θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．零 向量与任一向量的数量积为__0__.
几何意义
|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的 __投__影__．a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影|b|cos θ 的_乘__积___
为________，b 在 a 方向上的投影为________．
【解析】 (1)设B→A＝a，B→C＝b，则 a·b＝12，|a|＝|b|＝1.D→E＝12 A→C＝12(b－a)，D→F＝32D→E＝34(b－a)，A→F＝A→D＋D→F＝－12a＋34(b－a) ＝－54a＋34b，A→F·B→C＝－54a·b＋34b2＝－58＋34＝18.答Leabharlann ：(1)π3 (2)见解析性质
(1)a⊥b⇔___a_·_b___＝0； (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝_|a_|_|b_|；当 a 与 b 反向时，a·b＝__－__|a_||_b_|_； (3)a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a＝ a2；
a·b (4)cos θ＝__|_a_|·_|b_|__； (5)|a·b|≤|a||b|
考试标准
课标要点
学考要求 高考要求
平面向量数量积的概念及其物理意义
b
b
平面向量投影的概念
a
a
平面向量数量积的性质及运算律
b
b
知识导图
学法指导 1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表 示，难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应 用． 2．向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意 对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.
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a 1e1 2 e2
2020/2/7
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七.应用举例
1.a,b均不为零,则 a b a b 是a // b的( A )
( A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分又不必要条件
2.向量a,b 满足 a 8, b 12则 a b 的最大值
；
r b
cr
2020/2/7
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四、平面向量之间关系
向量r 平行r (r共线r)充要条r 件的r两种形式:
(1)a / /b(b 0) a b;
r rr
r
rr
(2)a / /b(a (x1, y1),b (x2, y2),b 0)
向量 垂直x1充y2要条x2件y1的两种形式:
于这两个向量相应 坐标的和与差。
a （x1
,
y1）
说明：实数与向量的积的坐标 等于用这个实数乘原来向量的
相应坐标。
ab
x1x2
y1 y2
说明：两个向量的数量积等 于它们对应坐标的乘积的和。
2020/2/7
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三.向量r 的r 数量积
设向量 a ，b 的夹角为 则 rr r r
ra br | a || b | cos
r
ห้องสมุดไป่ตู้
xr1x2
yr1
y2
r
a , b成锐角的充要条件是 a b 0且a不平行于b
rr
rr r
r
a , b成钝角的充要条件是 a b 0且a不平行于b
rr
rr
a,b rr
垂直的充要条件是
ab rr
0 r
x1
xr2
y1 y2
0
a , b 平行的充要条件是 | a b || a || b |
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平面向量数量积的运算律：
① ② ③交 对 分换 实 配律 数 律成 的 成立 结 立： 合 ：律arar成br br立brcr：arararcrbrbr
cr
ar cr
r b ar
arr b
r b
R
平面向量(复习课)
2020/2/7
上海市向东中学 姜玉文
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一、向量的初步
1.定义：
既有大小又有方向的量叫向量
2.向量的表示：
向量的几何表示 : 用有向线段表示 uuur r
向量的符号表示 : AB 或 a
3.特殊向量：零向量 : 单位向量: a0 a |a|
４.向量之间的关系：
平行向量（: 共线向量） 相反向量 : 相等向量：
x
y
x1 x2 1
y1 y2
( 1)
1
特殊的
x
1
y
x1 y1
2
x2 y2
2
定比分点坐标公式 中点坐标公式
2020/2/7
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六、平面向量的基本定理
如果e1, e2是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
a AB x1 x2 2 y1 y2 2
2020/2/7
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向量的坐标运算
设向量 a （x1，y1），b （x2，y2）则
a b (x1 x2, y1 y2 )
说明：两个向量和 与差的坐标分别等
a b (x1 x2, y1 y2 )
A(x1, y1)
2．已知 A(x1, y1)，B(x2, y2) 求 AB
y
B(x2, y2 )
AB (x2 x1, y2 y1)
O
x
2020/2/7
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向量的模（长度）
3. 设 a = ( x , y ), 则 a x2 y2
4. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
④乘法公式成立：
ar
r b
ar
r b
ar 2
r b2
ar
2
r b
2；
ar
r b
2
ar 2
2ar
r b
r b2
ar
2
2ar
r b
r2 b
特别注意：
（ （ （123） ） ）结 消ar 合 去br 律 律=0不 不成 成不立 立能：得ar 到arbrarbr=ar0rcrcr或br不=ar能0rbr得到cr
2020/2/7
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5.向量的加法：
b
a
(a b)
OB OA AB
6.向量的减法：
O
A
a
(a b)
A
D
a
(a b)
b
B
OD OA OB
O2020/2/7
b
B
BA OA OB
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[1] 加法：
a
b
c
b
c
特殊地：若 a‖ b分为同向和反向
a
（平行四边形法则）
b a b
c
|
c||
a|
|
b|
c
a
|
c|
|
a|
|
b|
|| a | | b ||| a b || a | | b |
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7、实数与向量 的积
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ| |a|；
(1)a b a • b 0
(2)a b a • b
向量相等的充要条件
x1 x2
y1 y2
0
ab
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x1
x2且y1
y上2页
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五、定比分点的坐标公式、
已知点
P1、P2的坐标分别是（
x1，y1）、（
x2，y
）
2
P是直线P1P2上一点,且P1P PP2，则点P的坐标
是 __2_0__，a b 的最小值是____4_____
2020/2/7
x1 y2 x2 y1 上页 下页 返回
rr
a在b方向上的投r 影r
r
| a | cos
arb
r2 a
|
r a
|2
rr
|b|
a , b 的夹角r 公r式
cos ra br
x1x2 y1 y2
| a || b |
x12 y12 x22 y22
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它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！
2020/2/7
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二、向量的坐标表示
y
1.以原点O为起点的 OA a ,
a
A(x, y)
a j
a xi y j 向量的正交分解O i
x
a (x, y)