第8章 全通滤波器

第8章 全通滤波器
1、如果滤波器的幅频特性对所有频率均等于常数或1，
|()|1,02j H e ωωπ=≤≤
全通滤波器的频率响应函数可表示成 ()
()j j H e e ω
ϕω=
全通滤波器的系统函数的一般形式：
12012012120
(),11N
N k
N N N k k N N
N
k
N k k a z
z a z a z a H z a a z a z a z
a z
-+--+-+=----=+++⋅⋅⋅+=
==+++∑∑ 二阶滤波器级联形式为：211221
121()1L
i i
i i i
z a z a H z a z a z ----=++=++∏ 证明：10
00
()
()()
N
N
N k
k
k k
N
N
k k N
N
k
k
k k k k a z
a z
D z H z z
z
D z a z a z
-+---==--===
==∑∑∑∑ 0
()N
k k k D z a z -==∑
由于系数k a 是实数， 所以 1
()
()
()()()1()
j j j j j j z e D e D z D e
D e H e D e ω
ωω
ω
ω
ω
*--*
=====，
如果将零点k z 和极点k p *组成一对， 将零点*
k z 与极点k p 组成一对，那么全通滤波器的极点
与零点便以共轭倒易关系出现， 即如果1k z -为全通滤波器的零点， 则k z *
必然是全通滤波器
的极点。

全通滤波器系统函数11
1()1N
k
k k z z H z z z
-*-=-=-∏ 2、一个因果稳定的时域离散线性非移变系统()H z ，其所有极点必须在单位圆内，但其零点可在z 平面上任意位置，只要频响特性满足要求即可。

如果因果稳定系统()H z 的所有零点都在单位圆内，则称之为“最小相位系统”，记为min ()H z ；反之，如果所有零点都在单位圆外，则称之为“最大相位系统”，记为max ()H z ，若单位圆内、外都有零点，则称之为“混合相位系统”。

最小相位系统在工程理论中较为重要，下面给出最小相位系统的几个重要特点：
(1) 任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统min ()H z 和一个全通
系统()p H z 级联而成， 即min ()()()ap H z H z H z =
(2) 在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中， 最小相位系统的相位延迟(负的相位值)
最小。

(3) 最小相位系统保证其逆系统存在。

给定一个因果稳定系统()
()()
B z H z A z =
， 定义其逆系统为1()
()()()
INV A z H z H z B z == 8.2 格型滤波器
1、全零点格型滤波器：一个M 阶的FIR 滤波器的系统函数()H z 可写成如下形式
()0
1
()()1M
M
i
i i
i M i i H z B z b z b z --=====+∑∑
其中，()
i M b 表示M 阶FIR 滤波器的第i 个系数，并假设首项系数01b =，()H z 对应的格型结构如图所示。

()()H z B z =的系数{}i b 求出格型结构网络系数{}i k 的逆推公式。

基本格型单元的输入、 输出关系如下式：
-1-1-1-100()()(-1)()()(-1) ()()()
()()
m m m m m m m m m e n e n r n k r n r n k r n e n r n x n y n e n =+=+===
m k 与滤波器系数()
m m b 之间的递推关系为
()()()()()1
12()()()
11
,,1m i m i m m m i m m m m m m i i m i m m m m m b k b k b k b b k b b k b ------⎧=-⎪==⎨-=+⎪⎩ 例：FIR 滤波器由如下差分方程给定
1351
()()(1)(2)(3)2483
y n x n x n x n x n =+
-+-+- 求其格型结构系数， 并画出格型结构图 解 对差分方程两边进行Z 变换的3()()H z B z =
3
()123
331
(1)(2)(3)333(3)331351()()112483
1351
,,2483
1
3
i i H z B z b z z z b b b k b ---===+=+
++=
====
∑
(1)(2)(1)3
33223
(2)(1)(2)
33322
3(2)
22(1)(1)(1)
222122(1)11135324248189
112
1
2114
14
b k b b k b k b b k k b b k b b k k b --==
=--==-==
-==
-==
3、全极点(IIR)格型滤波器：IIR 滤波器的格型结构受限于全极点系统函数，可以根据FIR 格型结构开发。

()11
1
()()
1M
i i
M i H z A z a z -==
=
+∑
3
12
()31
(1)(2)(3)333135()()112481351
3,,,2483
i i
M M i B z A z z z b z M b b b ---===++=+====
∑
求FIR 格型结构网络系数：123111
,,423
k k k =
==。