“助力2020高考”特别奉献备考(纯WORD)资料——(13)22020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)

《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD ）资料—（13）

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}B x y lg x ==-，则()(R A B =?e ) A ．[1-，2)

B ．[2，)+∞

C ．(1-，1]

D ．[1-，)+∞

2．棣莫弗公式(cos sin )cos sin (n x i x nx i nx i +=+为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗(16671754)-发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cos

sin )55

i π

+在复平面内所对应的点位

于( ) A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．7a <-或24a > B ．7a = 或24a =

C ．247a -<<

D ．724a -<<

4．已知1()3,1,

()2

,1,x a x a x f x a x ?

是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．1

?(0,)?2

C ．1[6，1)?2

D ．1

，1?)

A ．0.13

B ．0.52

C ．0.39

D ．0.64

6．在ABC ?中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥

，BC =u u u

r u u r

，||1AD =u u u r ，则(AC AD =u u u r u u u r g )

A ．

B C

7．sin163sin223sin253sin313??+??等于( ) A ．12

B ．

C ．

D 8．已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为

的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )

A ．

B ．83

D ．9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：

①AC BD ⊥②//AC 截面PQMN

③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45? 其中所有正确结论的编号是( )

A ．①③

B ．①②④

C ．③④

D ．②③④

10．已知函数()sin()(0f x x ω?ω=+>，||)2

的最小正周期是π，

若其图象向右平移3

个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是( )

A ．函数()f x 的图象关于直线23x π

=对称

B ．函数()f x 的图象关于点11(12

，0)对称

C ．函数()f x 在区间[,]212ππ

--上单调递减

D ．函数()f x 在3[,]42

ππ

上有3个零点

11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，当02x 剟时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为( ) A ．1.5

B ．8.5

C ．0.5-

D ．0.5

12．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点

P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，

N ，若12||2||PF PF =，且2120MF N ∠=?，则双曲线的离心率为( )

A 22

B 7

C 3

D 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知x 轴为曲线3()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为． 14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54S S -= ．

15．在ABC ?中，若1cos 3

A =，则2sin cos22

B C

A ++的值为．

16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．（12分）已知数列{}n a 的首项12

a =，*112(0,)n n n n n a a a a a n N +++=≠∈．（1）证明：数列1

{

1}n

a -是等比数列；（2）数列{}n

a 的前n 项和n S ．

18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100150)x 剟表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；

（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．

19．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=?，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点．

（1）求证：//AM 平面SCD ；（2）求点B 到平面SCD 的距离．

20．（12分）已知椭圆2

2:14

C y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．

（1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；

（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11

(,)23

k ∈--，

求直线BM 的斜率的取值范围．

21．（12分）已知函数()(1)(x a

f x e e x

=+为自然对数的底数），其中0a >．

（1）在区间(,]2

-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说

明理由．

（2）若函数()f x 的两个极值点为1x ，212()x x x <，证明：

2121()()2

lnf x lnf x x x a ->+

-+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1cos :(sin x t l t y t αα

=??

=?为参数，0)2π

α<<，曲线12cos :(42sin x C y βββ=??=+?

为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为

极轴建立极坐标系．

（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线2:()6

l R π

θρ=

∈

与圆22:cos 20C ρθ-+=交于B ，C 两点，

记AOB ?的面积为1S ，2COC ?的面积为2S ，求12

S S S S +的值． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知()|2|f x x a =-．

（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；

（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2

()||1

f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围．

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}B x y lg x ==-，则()(R A B =?e ) A ．[1-，2)

B ．[2，)+∞

C ．(1-，1]

D ．[1-，)+∞

【思路分析】求函数的定义域得集合B ，再根据补集与交集的定义运算即可．【解析】：集合{|12}A x x =-<<，

{|(1)}{|10}{|1}B x y lg x x x x x ==-=->=>， {|1}R B x x ∴=?e，

(){|12}(1R A B x x ∴=-<=-I ?e，2]．

故选：C ．

【归纳与总结】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．

2．棣莫弗公式(cos sin )cos sin (n x i x nx i nx i +=+为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗(16671754)-发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cos

sin )55

i π

+在复平面内所对应的点位

于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【思路分析】由题意可得666(cos sin )cos sin cos sin 555555

i i i ππππππ

+=+=--，再由三角函

数的符号得答案．

【解析】：由(cos sin )cos sin n x i x nx i nx +=+，

得666(cos sin )cos sin cos sin 555555

i i i ππππππ+=+=--，

∴复数6(cos

sin )55i ππ+在复平面内所对应的点的坐标为(cos 5π-，sin )5

-，位于第三象限．

故选：C ．

【归纳与总结】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题．

3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．7a <-或24a > B ．7a = 或24a = C ．247a -<< D ．724a -<<

【思路分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可

求解．

【解析】：Q 点(3,1)与(4,6)B -，在直线320x y a -+=的两侧，

∴两点对应式子32x y a -+的符号相反，

即(92)(1212)0a a -+--+<，即(7)(24)0a a +-<，解得724a -<<，故选：D ．

【归纳与总结】题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键．

4．已知1()3,1,

()2

,1,x a x a x f x a x ?

是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．1

?(0,)?2

C ．1[6，1)?2

D ．1[6，1?)

【思路分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论．

【解析】：1()3,1,

()2

,1,x a x a x f x a x ?

是(,)-∞+∞上的减函数， ∴满足01102132a a a a a ?

-+??…，

即011216a a a ?

解得1162a

故选：C ．

【归纳与总结】本题主要考查函数的单调性的应用，根据复合函数单调性的性质是解决本题的关键．

A ．0.13

B ．0.52

C ．0.39

D ．0.64

【思路分析】由频率分布表计算样本数据落在(10，40]上的频率值．【解析】：由频率分布表知，样本数据落在(10，40]上的频率为： 132415

0.52100

++=．

故选：B ．

【归纳与总结】本题考查了利用频率分布表计算样本数据的频率问题，是基础题．

6．在ABC ?中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，BC =u u u r u u r

，||1AD =u u u r ，则(AC AD =u u u r u u u r g

)

A ．23

B ．3

C ．3

D ．3

【思路分析】将AC AD u u u r u u u r g 转化成()AB BC AD +u u u r u u u r u u u r ，化简后得BC AD u u u r u u u r

g ，然后转化成33()BD AD AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

g g ，再进行化简可得结论．

【解析】：Q 在ABC ?中，AD AB ⊥， ∴0AB AD =u u u r u u u r

g ()AC AD AB BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g AB AD BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r g g BC AD =u u u r u u u r g

3BD AD =u u u r u u u r g

3()AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r g

33AD AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r u u u r g g 3=

故选：D ．

【归纳与总结】本题主要考查了向量在几何中的应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．

7．sin163sin223sin253sin313??+??等于( )

A ．12-

B ．1

C ．3

D 3 【思路分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．【解析】：原式sin163sin223cos163cos223=??+??g cos(163223)=?-? cos(60)=-? 12

=．故选：B ．

【归纳与总结】本题主要考查了正弦函数的两角和与差．要熟练掌握三角函数中的两角和公式．

8．已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为

的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )

A ．

B ．83

C 163

D ．3【思路分析】先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程2320120x x -+=，利用韦达定

理，可求弦BC 的中点坐标，求出弦BC 的中垂线的方程，可得P 的坐标，即可得出结论．【解析】：由题意，直线l 方程为：3(2)y x =-，代入抛物线28y x =整理得：2312128x x x -+=，

2320120x x ∴-+=，

设1(B x ，1)y 、2(C x ，2)y ，

12203

x x ∴+=， ∴弦BC 的中点坐标为10(3

，43

)，

∴弦BC 的中垂线的方程为43310

()3

y x -=--，

令0y =，可得22

x =，

P ∴，0)，

(2,0)A Q ，

||3

AP ∴=．

故选：A ．

【归纳与总结】本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，利用韦达定理．

9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论： ①AC BD ⊥②//AC 截面PQMN

③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45? 其中所有正确结论的编号是( )

A ．①③

B ．①②④

C ．③④

D ．②③④

【思路分析】在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，由//AC MN ，可得：//AC 截面PQMN ．由//AC PQ ，//BD QM ，PQ QM ⊥，可得AC BD ⊥．进而判断出结论．

【解析】：在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，由//AC MN ，可得：//AC 截面PQMN ．

由//AC PQ ，//BD QM ，PQ QM ⊥，AC BD ∴⊥．

PQ BP AC AB =，AP PN

AB BD =

，1BP AP +=，PN PQ =，可得：111AC BD PQ +=，AC 与BD 不一定相等．

//BD QM Q ，PM 与QM 所成的角为45?，∴异面直线PM 与BD 所成的角为45?．

其中所有正确结论的编号是①②④．故选：B ．

【归纳与总结】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．已知函数()sin()(0f x x ω?ω=+>，||)2

的最小正周期是π，

若其图象向右平移3

个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是( )

A ．函数()f x 的图象关于直线23x π

=对称

B ．函数()f x 的图象关于点11(12

，0)对称

C ．函数()f x 在区间[,]212ππ

--上单调递减

D ．函数()f x 在3[,]42ππ

上有3个零点

【思路分析】函数()sin()(0f x x ω?ω=+>，||)2

的最小正周期是π，

2π

πω

=，解得

2ω=．()sin(2)f x x ?=+，若其图象向右平移

个单位后得到的函数()g x 为奇函数，2()sin(2)3g x x π?=-

+，可得2(0)sin()03

g π?=-+=，可得?，()f x ．利用三角函数的图象与性质即可判断出结论．

【解析】：函数()sin()(0f x x ω?ω=+>，||)2

?<的最小正周期是π，∴2ππω=，解得2ω=． ()sin(2)f x x ?∴=+，

若其图象向右平移3π

个单位后得到的函数()g x 为奇函数，

2()sin(2)3g x x π?∴=-+，可得2(0)sin()03

g π

?=-+=，

23k π?π∴-+=，k Z ∈，取1k =-，可得3

π?=-．

()sin(2)3

f x x π

∴=-，

验证：2()03

f π

=，11()112f π=-，因此AB 不正确．

若[,]212x ππ∈--，则4(2)[33x ππ-∈-，]2π-，因此函数()f x 在区间[,]212

ππ

--上单调递减，

正确．

若3[,]42x ππ∈，则(2)[36x ππ-∈，8]3π，因此函数()f x 在区间3[,]42

x ππ

∈上只有两个零点，

不正确．

故选：C ．

【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，

当02x 剟

时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为( ) A ．1.5

B ．8.5

C ．0.5-

D ．0.5

【思路分析】根据函数()y f x =是R 上的奇函数，并且()(2)f x g x =+，得到

(2)(2)g x g x -+=-+．结合()g x 是R 上的偶函数，得到(2)(2)g x g x +=--，进而推出函数

的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．

【解析】：由题意可得：因为函数()y f x =是R 上的奇函数，并且()(2)f x g x =+，所以()()f x f x -=-，即(2)(2)g x g x -+=-+．又因为函数()y g x =是R 上的偶函数，所以(2)(2)g x g x +=--，所以()(4)g x g x =--，

所以(4)(8)g x g x -=--，所以()(8)g x g x =-，所以函数()g x 是周期函数，并且周期为8．所以(10.5)(2.5)(1.5)(1.5)0.5g g g g ==--=-=．故选：D ．

【归纳与总结】解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即奇偶性，单调性，周期性等性质．

12．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点

P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，

N ，若12||2||PF PF =，且2120MF N ∠=?，则双曲线的离心率为( )

B C D 【思路分析】由题意，12||2||PF PF =，12||||2PF PF a -=，可得1||4PF a =，2||2PF a =，由

2120MF N ∠=?，

可得12120F PF ∠=?，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-?g g g ，即可求出双曲线C 的离心率．【解析】：由题意，12||2||PF PF =，由双曲线的定义可得，12||||2PF PF a -=，可得1||4PF a =，2||2PF a = 由四边形12PF MF 为平行四边形，又2120MF N ∠=?，可得12120F PF ∠=?，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得 2224164242cos120c a a a a =+-?g g g ，

即有2224208c a a =+，即227c a =，可得c =，

即c

e a

==．

故选：B ．

【归纳与总结】本题考查双曲线C 的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知x 轴为曲线3()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为

．【思路分析】先对()f x 求导，然后设切点为0(x ，0)，由切线斜率和切点在曲线上得到关于

0x 和a 的方程，再求出a 的值．

【解析】：由3()44(1)1f x x a x =+-+，得2()124(1)f x x a '=+-，

x Q 轴为曲线()f x 的切线，()f x ∴的切线方程为0y =，

设切点为0(x ，0)，则2

()124(1)0f x x a '=+-=①，又3

0()44(1)10f x x a x =+-+=②，由①②，得012x =，1

4a =，

a ∴的值为1

4．

故答案为：1

．

【归纳与总结】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．

14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54S S -= 32 ．【思路分析】根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论．【解析】：因为n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，① 则111222a a a =-?=；则1122n n S a --=-，②

①-②得：11222n n n n n a a a a a --=-?=?数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列；故2n n a =；

554232S S ∴-==．故答案为：32．

【归纳与总结】本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式，属于基础题目．

15．在ABC ?中，若1cos 3

A =

，则2sin cos22B C A ++的值为 19- ．

【思路分析】在ABC ?中，若1

cos 3

A =，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为

21cos 2cos 12

A ++-，运算求得结果．【解析】：在ABC ?中，若1

cos 3

A =，

则

22221cos 221sin cos2cos2cos cos22cos 112222399B C A A A A sin A A A π+-++=+=+=+-=+-=-

，

故答案为1

-．

【归纳与总结】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式、二倍角公式的应

用，属于基础题．

16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为

r π 【思路分析】由题意画出截面图，设圆锥的高为h ，圆锥的底面半径为R ，利用三角形相似

可得R ，h ，r 的关系，写出圆锥的体积公式，再由导数求最值．【解析】：作出截面图如图，

设圆锥的高为h ，圆锥的底面半径为R ，OC OD r ==， 90SCB SDO ∠=∠=?，又OSD BSC ∠=∠， SOD SBC ∴??∽，

∴BC SC

OD SD =，即22()R r h r r =--， 2

()2R h r r

h hr

∴=

---．

∴圆锥体积222

133(2)r h V R h h r ππ==-，22

(4)3(2)r h h r V h r π-'=-g

．令()0h r '=，得4h r =． ∴38

(4)3min V v r r π==．

故答案为：38

r π．

【归纳与总结】本题考查球外接圆锥体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是中档题．

17．（12分）已知数列{}n a 的首项12

a =，*112(0,)n n n n n a a a a a n N +++=≠∈．（1）证明：数列1

{

1}n

a -是等比数列；（2）数列{}n

a 的前n 项和n S ．

【思路分析】（1）由112n n n n a a a a +++=，变形为1121n n a a ++=，可得1111

1(1)2n n

a a +-=-，即可

证明；

（2）由（1）可得：

111111()()222n n n a --=?=，2n n n n n a =+．设231232222

n n n

T =+++?+，

利用“错位相减法”可得n T ，即可得出数列{}n n a 的前n 项和(1)

n n n n S T +=+．

【解答】（1）证明：112n n n n a a a a +++=Q ，

∴1

121n n a a ++=

， ∴

1111

1(1)2n n

a a +-=-，又12

3a =

，∴11112a -=．

∴数列1

{1}n

a -为等比数列；

（2）解：由（1）可得：

111111()()222n n n a --=?=，化为11

1()2

n n a =+， ∴

n n n n

n a =+．设231232222n n n

T =

+++?+， 234111*********

n n n n n

T +-=+++?++， ∴2311111(1)

1111122

2112222222212

n n n n n n n n n T +++-+=+++?+-=-=--， 222

n n n

T +∴=-，

∴数列{}n n

a 的前n 项和2(1)22222

n n n n n n n n S T +++=+=+-．

【归纳与总结】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减

法”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．

【思路分析】（1）计算[100x ∈，130)和[130x ∈，150]时T 的值，用分段函数表示T 的解析式；

（2）计算利润T 不少于57万元时x 的取值范围，求出对应的频率值即可；（3）利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数，根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．

【解析】：（1）当[100x ∈，130)时，0.839T x =-；?（1分）当[130x ∈，150]时，0.513065T =?=，?（2分）所以，0.839,10013065,130150x x T x -

?剟 ?（3分）

（2）根据频率分布直方图及（Ⅰ）知，

当[100x ∈，130)时，由0.83957T x =-…，得120130x

所以，利润T 不少于57万元当且仅当120150x 剟，

于是由频率分布直方图可知市场需求量[120x ∈，150]的频率为 (0.0300.0250.015)100.7++?=，

所以下一个销售季度内的利润T 不少于57万元的概率的估计值为0.7； ?（7分）（3）估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数为

1050.11150.21250.31350.251450.15126.5x =?+?+?+?+?=（吨)；?（9分）

由频率分布直方图易知，由于[100x ∈，120)时，对应的频率为(0.010.02)100.30.5+?=<，

而[100x ∈，130)时，对应的频率为(0.010.020.03)100.60.5++?=>，?（10分）

因此一个销售季度内市场需求量x 的中位数应属于区间[120，130)，于是估计中位数应为120(0.50.10.2)0.03126.7+--÷≈（吨)．?（12分）

【归纳与总结】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目． 19．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=?，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点．

（1）求证：//AM 平面SCD ；（2）求点B 到平面SCD 的距离．

【思路分析】（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，可证明得到四边形AMND 是平行四边形，进而//AM 平面SCD ；

（2）先证明得到AM ⊥平面SBC ，进而得到平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离【解析】：（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，

M Q 为SB 的中点，

//MN BC ∴，且1

MN BC =

， 90ABC BAD ∠=∠=?Q ，1AD =，2BC =，

//AD BC ∴，且1

AD BC =，

AD ∴平行且等于MN ， ∴四边形AMND 是平行四边形，

//AM DN ∴，

AM ?/Q 平面SCD ，DN ?平面SCD ，

//AM ∴平面SCD ．

（2）1AB AS ==Q ，M 为SB 中点， AM SB ∴⊥，

SA ⊥Q 平面ABCD ，SA BC ∴⊥， 90ABC BAD ∠=∠=?Q ， BC AB ∴⊥， BC ∴⊥平面SAB ， BC AM ∴⊥，

AM ∴⊥平面SBC ，

由（1）可知//AM DN ，

DN ∴⊥平面SBC ， DN ?Q 平面SCD ，

∴平面SCD ⊥平面SBC ，

作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，

在直角三角形SBC 中，11

SB BC SC BE =g g ，

2223

6SB BC BE SC ∴===g ，

即点B 到平面SCD 的距离为

．

【归纳与总结】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题

20．（12分）已知椭圆22:14

x C y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的

动点．

（1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；

（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11

(,)23

k ∈--，

求直线BM 的斜率的取值范围．

【思路分析】（1）由题意可知12||||4MF MF +=，在△12F MF 中，利用余弦定理可得：

12122cos 1||||F MF MF MF ∠=-g ，再利用基本不等式得到121

cos 2F MF ∠-…，当且仅当

12||||MF MF =时等号成立，再结合120F MF π<∠< 以及余弦函数的图象，即可得到12F MF ∠的最大值；

（2）设直线BM 的斜率为k '，0(M x ，0)y ，则1

k k '=-g ，再根据k 的范围即可得到k '的

范围．

【解析】：（1）由椭圆的定义可知：12||||4MF MF +=，在△12F MF 中，由余弦定理可得：

22212121212||||||cos 2||||MF MF F F F MF MF MF +-∠=

2212121212(||||)||2||||2||||

MF MF F F MF MF MF MF +--=g g

12122||||

||||

MF MF MF MF -=

g g

21212221

11||||||||2()

MF MF MF MF =

--=-+g …，

120F MF π<∠

12F MF ∴∠的最大值为23π

，此时12||||MF MF =，即点M 为椭圆C 的上、下顶点时12F MF ∠取最大值，其最大值为

π；（2）设直线BM 的斜率为k '，0(M x ，0)y ，则002y k x =+，0

y k x '=-，

∴2

0204

y k k x '=-g ，

又220014

x y +=，∴220044x y =-，

∴1

4k k '=-g ，

Q 11

(,)23k ∈--，

∴1324

k '<<，故直线BM 的斜率的取值范围为1(2，3

．

【归纳与总结】本题主要考查了椭圆的定义，考查了余弦定理和基本不等式的应用，是中档

题．

21．（12分）已知函数()(1)(x a

f x e e x

=+为自然对数的底数），其中0a >．

（1）在区间(,]2

-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说

明理由．

（2）若函数()f x 的两个极值点为1x ，212()x x x <，证明：2121()()2

lnf x lnf x x x a ->+

-+．【思路分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；

（2）由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函数，结合导数研究新函数的范围可证．

【解析】：（1）由条件可知，函数在(,0)-∞上有意义，

()x

x ax a f x e x

+-'=，0a >，令()0f x '=

可得，10x =

，20x =>， 1x x <时，()0f x '>，函数单调递增，当10x x <<时，()0f x '<，函数单调递减，

由()(1)x a

f x e x

=+，可得()0f a -=，当x a <-时，()0f x >，当0a x -<<时，()0f x <，

因为10a x a --=-+

=>，

所以10x a <-<，

又函数在1(x ，0)上单调递减且11

x a a <-<-<，

所以()f x 在1

(,]2

a -∞-上有最小值121()2a f a e --=-，

（2）由（1）可知0a >时，()f x 存在两个极值点为1x ，212()x x x <，

故1x ，2x 是20x ax a +-=的根，所以1212x x x x a +==-，且121x x <<，

因为11121()(1)(1)x x a

f x e x e x =+=-，

同理221()(1)x f x x e =-，

212()(1)lnf x ln x x ∴=-+，121()(1)lnf x ln x x =-+， ∴2112212121

()()(1)(1)lnf x lnf x ln x x ln x x x x x x --++--=

-- 1212(1)(1)1(1)(1)ln x ln x x x ---=+---，

又1212222

11122()(1)(1)

a x x x x +=+=+

+-+-+-，由（1）知，12110x x ->->，设11m x =-，21n x =-，

令2(1)

()1t h t lnt t -=-+，1t …，

则2

(1)()0(1)t h t t t -'=>+，

所以()h t 在(1,)+∞上单调递增，()h t h >（1）0=，

即2(1)

t lnt t ->+，

令m t n =则2lnm lnn m n m n ->

-+ 从而2121()()212

lnf x lnf x x x a ->+

-+．【归纳与总结】本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，还考查了考生的逻辑推理与运算的能力，属于中档题．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1cos :(sin x t l t y t αα

=??

=?为参数，0)2π

α<<，曲线12cos :(42sin x C y βββ=??=+?

为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为

极轴建立极坐标系．

（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标；（2）已知直线2:()6

l R π

θρ=

∈

与圆22:cos 20C ρθ-+=交于B ，C 两点，

记AOB ?的

面积为1S ，2COC ?的面积为2S ，求

S S S S +的值．【思路分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．

（2）利用三角形的面积公式的应用求出结果．

【解析】：（1）曲线12cos :(42sin x C y β

ββ=??=+?

为参数），转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．

将cos sin x y ρθρθ=??=?代入得到28sin 120ρρθ-+=．直线1cos :(sin x t l t y t αα

=??

=?为参数，0)2π

α<<，转换为极坐标方程为()R θαρ=∈．将θα=代入28sin 120ρρθ-+=得到28sin 120ρρα-+=，由于△2(8sin )4120α=-?=，解得3

α=，

故此时ρ=

所以点A

的极坐标为)3

．

（2

）由于圆22:cos 20C ρθ-+=

，转换为直角坐标方程为22(5x y -+=．

所以圆心坐标为．

设1(,)3B πρ，2(,)3C πρ，将6

θ=

代入2cos 20ρθ-+=，

得到2620ρρ-+=，所以126ρρ+=，122ρρ=．

由于1111sin()236A S ππρρ=-g g g

，22221||sin()236S OC ππρ=-=g g g ．

所以22

12121

212212112()2622

162

S S S S ρρρρρρρρρρ+--?+=+===．【归纳与总结】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知()|2|f x x a =-．

（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；

（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2

()||1

f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围．

【思路分析】（1）由绝对值的定义，讨论2x <，2x …

，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；

（2）运用绝对值不等式的性质可得2

()||1

f x x a ++-的最小值，由题意可得m 大于这个最小值，解不等式可得所求范围．

【解析】：（1）当1a =时，即解不等式|2|21x x ->+，

当2x …

时，原不等式等价为221x x ->+，所以3x <-，则原不等式的解集为?；

当2x <时，原不等式等价为221x x ->+，解得13

x <

，综上可得原不等式的解集为1

(,)3

-∞；

（2）222

()|||2||||2|111

f x x x a x a a a a ++=-+++---…，显然等号可取，

由1a >，故原问题等价为关于a 的不等式2

a m a +<-在(1,)+∞有解，

又因为222

22(1)222(1)26111

a a a a a a +=-++-+=---g …，

当且仅当2a =取得等号，即6m >，即m 的范围是(6,)+∞．

【归纳与总结】本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式有解的条件，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力、推理能力，属于中档题．

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