弹性力学读书报告剖析

弹塑性力学学习报告
指导老师：王建伟
学生：李佳伟
学号;20159200
弹塑性力学学习报告
绪论：经过几月的学习我对弹性力学有了一个初步的认识，对它研究的对象
也有了一个概括性的认识。

弹性力学是高等的材料力学，不同于材料力学只能
解决形状非常固定的细长杆件，它可以解决任意形状的材料性能计算问题。

对
于很多情况都可以分析出力学模型，然后得到方程组，但是大部分情况下解方
程组却是非常困难的。

下面给出一个典型的模型对弹性力学做一个形象的表示：
这个模型就是最普通的一个计算模型，它有分布力，集中力，约束，重力等作用。

在这些条件下我们可以根据受力平衡列出方程组，从而求出各处的位移和
形变。

报告正文
一、弹性力学的发展及基本假设
弹性力学是伴随着工程问题不断发展起来的，它是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移的一门学科。

最早可以追溯到伽利略研究梁的弯曲问题、胡克的胡克定律。

之后牛顿三定律的形成以及数学的不断发展，后经纳维、柯西、圣维南、艾瑞、基尔、里茨、
迦辽金等人的不断努力。

使得弹性力学具有了严密的理论体系并且能都求解各种复杂的问题，能够解决强度、刚度和稳定性等问题。

目前弹性力学的相关理论在土木工程、水文地质工程、石油工程、航空航天工程、矿业工程、环境工程以及农业工程等诸多领域得到了广泛的应用。

弹性力学的几个基本假设。

1 、连续体假设：假设无题是连续的，没有任何空隙。

因此，物体内的应力、应变、位移一般都是逐点变化的，它们都是坐标的单值连续函数。

2、弹性假设：假设物体是完全弹性的。

在温度不变时，物体任一瞬间的形状完全取决于在该瞬间时所受的外力。

而与它过去的受力状况无关。

当外力消除后，它能够恢复原来的形状。

弹性假设就是假设物体服从虎克定律，应力与应变成正比关系。

3、均匀性假设：假设物体是均匀的，各部分都具有相同的物理性质，其弹性模量和泊松系数是一常数。

4、各向同性假设：假设物体内每一点各个方向的物理和机械性质都相同。

5、小变形假设：假设物体的变形是微小的，即物体受力后，所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，应变都很小。

这样，在考虑物体变形后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。

二、三维方程
2.1三维应力状态下的平衡微分方程
物体处在平衡状态，其内部的每一点都处于平衡状态。

使用一个微六面体代表物体内的一点，则作用在该微六面体上的所有力应满足平衡条件，由此可以导出平衡微分方程。

如图一所示，取直角坐标系的坐标轴和边重合，各边的长度分别为dx，dy，dz。

在微六面体x=0面上，应力是σxτxyτxz；在x=dx面上的应力，
图一
根据应力函数的连续性并按泰勒级数对x=0的面展开，略去高阶项，可得
,,xy x xz x xy xz dx dx dx x x x
τστσττ∂∂∂+ + +∂∂∂ 同理，可由y=0，z=0面上的应力表示y=dy ，z=dz 面上的应力。

最后，所有各面上的应力如图一示。

当弹性体平衡时，P 点的平衡就以微元体平衡表示。

这样，就有6个平衡方程
0,0,0
0,0,0
x y z x y z F F F M M M ∑= ∑= ∑=∑= ∑= ∑=
考虑微单元体沿x 方向的平衡，可得 ()()()0yx x x x yx zx yx zx zx dx dydz dydz dy dxdz x y dxdz dz dxdy dxdy Xdxdydz z
τσσστττττ∂∂+-++∂∂∂-++-+=∂ 整理上式并除以微单元体的体积dxdydz ，得
0yx x zx X x y z
τστ∂∂∂+++=∂∂∂（2-1.1）
同理，建立y 、z 方向的平衡条件，可得
00xy
y
zy yz xz z Y x y
z Z x y z
τστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂（2-1.2） 这就是弹性力学的平衡微分方程，其中X ，Y ，Z 是单位体积里的体积力沿x ，y ，z 方向上的分量。

考虑图一中微单元体的力矩平衡。

对通过点C 平衡于x 方向的轴取力矩平衡得
()()02222
yx
zx yx yx zy zy dy dy dz dz dy dxdz dxdz dy dxdy dxdy y z ττττττ∂∂++-+-=∂∂ 于是力矩平衡方程在略去高阶项之后只剩两项
022
yx zy dy dz dxdz
dxdy ττ= 由此可得 yx zy ττ=
同理可得
,xz zx xy yx ττττ= =
这既是剪应力互等定理。

它表明：在两个互相垂直的平面上，与两个平面的交线垂直的剪应力分量的大小相等，方向指向或者背离这条交线。

根据剪应力互等定理，式（1-1）中包含的九个应力分量中只有6个是独立的，这6个应力描述了物体内部的任意一点的应力状态。

2.2三维应力状态下的几何方程
{}x y z xy yz zx u x v y w z u v y x v w z y w u x z εεεεγγγ∂⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪⎧⎫∂⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬∂∂⎪⎪⎪⎪+∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭+⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪+⎪⎪∂∂⎩⎭
2.3三维应力状态下的物理方程
()()()111x x y z x x y z z z x y E
E
E εσμσμσεσμσμσεσμσμσ=
--=--=-- 物理方程的矩阵形式
{}()()[]{}100010001000000000000000000122112122122x x y x x z xy xy yz yz zx zx E D μμμμμμσεμμμσεεσγτγτγτμσεμμμμ---⎡⎤⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥===⎨⎬⎨⎬+-⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其中矩阵[D]称为三维应力状态下的弹性矩阵
{}()()()[]{}1000100010000002100000021000000211x x y x x z xy xy yz yz zx zx E σμμεσμμεμμεσγμτγμτμγτεσ------+++⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥===ψ⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭
三、在极坐标系下的基本方程
3.1应力坐标变换
我们知道，直角坐标系和极坐标系变量之间的关系为
222
cos sin arctan r x y x r y y r x θθθ⎧=+=⎧⎪ ⎨⎨==⎩⎪⎩
弹性体在一定的应力状态下，可以在已知直角坐标系中求解应力分量，也可以在极坐标中求解。

因而应力分量在两种坐标系中的表达式就有一定的联系，称为应力的坐标变化。

在直角坐标系中求出三角微元体的应力分量为
cos 2sin 222cos 2sin 222sin 2cos 22x x x r x x y r r xy r θθθθθθθθσσσσσθτθσσσσσθτθσστθτθ+-⎧=+-⎪⎪+-⎪=-+⎨⎪-⎪=+⎪⎩
在直角坐标系下的应力分量表示可在极坐标系下表示，变换后可得方程
cos 2sin 222cos 2sin 222sin 2cos 22x y x y r xy x y x y y r x y r xy θθσσσσσθτθσσσσσθτθσστθτθ+-⎧=++⎪⎪+-⎪=--⎨⎪-⎪=+⎪⎩
3.2极坐标下的平衡方程
020r r r r r r K r r r K r r r θθθθθθτσσσθσττθ
∂-∂⎧+++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+++=⎪∂∂⎩ 3.3极坐标下的几何方程为
r r r r r u r u u r r u u u r r r r θθθθθεεθθ∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=+⎨∂⎪∂∂⎪=+-⎪∂∂⎩
四、弹性力学解题的主要方法
4.1位移解法
位移解法是以位移分量作为基本未知量的解法。

把平衡方程、本构方程和几何方程简化为三个用位移分量表示的平衡方程，从中解出位移分量。

然后再代回几何方程和本构方程，进而求出应变分量和应力分量。

4.2应力解法
应力解法是以应力分量作为基本的未知数的解法。

由协调方程、本构方程和平衡方程简化出六个用应力分量表示的协调方程，再加上平衡方程和力边界条件解出六个应力分量。

然后由本构方程求出应变分量，再对几何方程积分即可得到位移分量。

由于应力与应变间的胡克定律是代数方程，应变解法的求解难度不会比应力解法有实质性的改善，而边界条件用应力表示则方便很多，所以很少采用应变解法。

4.3应力函数解法
在位移解法中，引进三个单值连续的位移函数，使协调方程自动满足，问题被归结为求解三个用位移表示的位移方程。

应变分量可由位移偏导数的组合来确定。

与此类似，在应力解法中也有可以引进某些自动满足平衡方程的函数，称之为应力函数，把问题归结为求解用应力函数表示的协调方程。

应力分量可由应力函数偏导数的组合来确定。

应力函数解法既保留了应力解法的优点（能直接求出应力分量），又吸收了位移解法的思想（能自动满足平衡方程，基本未知数降为三个），所以是弹性力学理论中最常用的解法之一。

五、弹性力学的应用举例
例一：悬臂梁
（1） 确定应力函数的边界条件
图二
以A （0，h/2）为起始点，调整1ax by c φφ=+++中的任意常数使
00;0A A A
x y φ
φφ∂∂= ; =
=∂∂（a ）
选左手坐标系且M 以逆时针为正，应力函数在边界条件上满足
逆时钟向：;;y x M R R x y φφφΓΓΓΓ
∂∂= = =-∂∂（b ） 顺时钟向：;;y x M R R x y φ
φφΓΓΓΓ
∂∂=- =-
=∂∂（c ）
其中，г为流动边界点。

Rx ，Ry 和M г分别是从A 点起算的边界载荷对г点简化的主矢量和逆时钟向主距。

在下边界AB 上，载荷处处为零。

由（b ）式得：
00;0;0/2x l y h x y φφφΓΓΓ≤≤⎛⎫∂∂= = = ⎪=∂∂⎝⎭
（d ） 左边界AC 是放松边界，不必逐点给定υ及其偏导数值。

在边界CD 上，按顺时钟向公式（c ）得
20();();0/22x l qx M Px P qx y h x y φφφΓΓΓ≤≤⎛⎫∂∂=-++ =-+ = ⎪=-∂∂⎝⎭
（e ） （2）选择域内应力函数
由应力函数沿主要边界的分布规律可看出，υ沿x 方向按二次多项式规律变化，沿y 方向的规律未知，由此可选
2
012()()()2
x f y xf y f y φ=++（f ） 带入边界条件（d （e ）可以定出待定函数的边界条件
当y=h/2时，f 0=f 1= f 2=0
0120df df df dy dy dy
===（g ） 当y=－2时，f 0=－M ；f 1=－P ；f 2=－q
0120df df df dy dy dy
===（h ） （3）求待定函数
由边界条件（g ）可得出各待定常数：
33323;C ;2223;0;;22
23;0;102802q q q A D h h P P P E F G R h h M q M qh H K L h h h M N =-
B =0; = =-=- = = =-
=-- = =+
=-
（i ）
进而可得
3
133
23322
132(134)
2(134)24(134)(1)
280P y y f h h q y y f h h M y y qhy y f h h h
=--+=--+=--++-（j ）
最后带回到公式（f ）中得
3222
32114()(134)(1)2280y y qhy y M Px qx h h h
φ=-++-++-（k ）
（4）求应力
把（k ）式代入应力公式
22222x y xy V
y V x x y
φσφσφ
τ∂=+∂∂=+∂∂=-
∂∂
可以得到
223222
231213()(4)
252(1)(1)26()()
4
x y xy y y y M Px qx q h h h q y y h h h P qx y h σστ=-+++-=-+-=-+-（l ）
例二：圆环或圆筒受均布压力
图三
设一轴向长度很长的圆环或者圆筒的截面如图三示，起内外径分别为a ，b ，内径表面受内压力qa 和外压力qb 作用。

考虑边界条件
00
r r r a r b r a r b r a r b q q θθττσσ====⎧=⎧=⎪⎪ ⎨
⎨=-=-⎪⎪⎩
⎩（a ） 将式
22
(12ln )2(32ln )20r r r A B r C r A B r C r θθθσσττ⎧=+++⎪⎪
⎪
=-+++⎨⎪
==⎪⎪⎩
（b ） 代入后得到
2
2
(12ln )2(12ln )2a
b
A
B a
C q a A B b C q
b ⎧+++=-⎪⎪⎨
⎪+++=-⎪⎩（c ）
式中有三个未知数，连个方程不能确定。

对于多连体问题，位移须满足位移单值条件，即
24sin cos n Br u Hr I K u E
θθπθ
θθ+=
+-+= 要使其单值，必须有B=0，由式（c ）得
2222
2222
(),2a b b a q a q b a b A q q C b a b a -=- =--
将其代回应力分量式（b ）得应力分量为
22
2
2
222
222
22222
2111111110
r a b a b r r
b a r r q q b a a b b a r r q q b a a b θθθσσττ⎧--⎪=-⎪⎪-⎪-⎪⎪++⎪=-⎨⎪-⎪-⎪==⎪⎪⎪⎪⎩
上述应力表达式中
（1） 若a=0，qa=0，圆筒受两向等压的情况则有,r b b q q θσσ=- =-。

（2） 若qb=0（而qa ≠0），则径向应力和环向应力分别为
22
22222211(0),(0)11
r a a b b r r q q b b a a θσσ-+=< =>-- 可见，r σ总是压应力，θσ总是拉应力。

（3） 若qa=0（qb ≠0），径向应力和环向应力分别为
2222
2222
11(0),(0)11r b b a a r r q q a a b b
θσσ-+=-< =-<-- 可见，r σ，θσ总是压应力。

（4）若(0)a b q →∞≠，则转化为具有圆形孔道的无限大弹性问题，则有
22
22,r a a a a q q r r
θσσ=- =
例三：矩形薄板的位移
图四
取坐标轴如图所示，把位移函数设为
123123()()
u x A A x A y v x B B x B y =++=++
所以
21232
123,,u x u x u xy v x v x v xy
= = == = =
不论各系数如何取值，上式都满足固定边的位移边界条件：
00()0,()0x x u v === =
按瑞利-里兹法求解。

板的应力边界条件为 板上边界：
(),()0y b y b X Y τ=== =
板下边界：
00(),()0y y X Y τ===- =
板右边界：
()0,()x a x a X Y τ=== =
将位移试函数代入式
m m m
s m
m m s U
Xu dxdy Xu dS
A U Yv dxdy Yv dS
B σσ∂⎧=+⎪∂⎪⎨
∂⎪=+⎪∂⎩
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰得 1001222002
23003()0
()01
()2a a s a a s a a s U
Xu dS xdx xdx A U
Xu dS x dx x dx A U Xu dS xadx xbdx a b A σ
σστττττττ∂==-+=∂∂==-+=∂∂==-+=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
10122202
2
3031
2
b s b s b s U
Yv dS ady ab
B U
Yv dS a dy a b B U Yv dS aydy ab B σ
σσττττττ∂===∂∂===∂∂===∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 将位移试函数代入应变势能表达式，通过积分运算，将结果代入上面六个方程可确定6个待定系数。

其结果是：
1231230
2(1),0
A A A
B B B E μτ===+=== 所得的位移分量为：2(1)
0,u v x E
μτ+==
结论： 弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外
界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。

在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。

材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状
构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。

弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。

它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。

弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。

绝对弹性体是不存在的。

物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。

弹性力学的发展大体分为四个时期。

人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。

当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。

发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。

这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。

第二个时期是理论基础的建立时期。

这个时期的主要成就是，从1822～1828年间，在A.-L·柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。

弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。

英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。

牛顿于1687年确立了力学三定律。

同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。

在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。

这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。

在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。

到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。

柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。

第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。

这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用
于解决工程问题。

同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。

1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。

在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力的证据。