弹性力学读书报告剖析

弹塑性力学学习报告指导老师：王建伟学生：李佳伟学号;20159200弹塑性力学学习报告绪论：经过几月的学习我对弹性力学有了一个初步的认识，对它研究的对象也有了一个概括性的认识。

弹性力学是高等的材料力学，不同于材料力学只能解决形状非常固定的细长杆件，它可以解决任意形状的材料性能计算问题。

对于很多情况都可以分析出力学模型，然后得到方程组，但是大部分情况下解方程组却是非常困难的。

下面给出一个典型的模型对弹性力学做一个形象的表示：这个模型就是最普通的一个计算模型，它有分布力，集中力，约束，重力等作用。

在这些条件下我们可以根据受力平衡列出方程组，从而求出各处的位移和形变。

报告正文一、弹性力学的发展及基本假设弹性力学是伴随着工程问题不断发展起来的，它是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移的一门学科。

最早可以追溯到伽利略研究梁的弯曲问题、胡克的胡克定律。

之后牛顿三定律的形成以及数学的不断发展，后经纳维、柯西、圣维南、艾瑞、基尔、里茨、迦辽金等人的不断努力。

使得弹性力学具有了严密的理论体系并且能都求解各种复杂的问题，能够解决强度、刚度和稳定性等问题。

目前弹性力学的相关理论在土木工程、水文地质工程、石油工程、航空航天工程、矿业工程、环境工程以及农业工程等诸多领域得到了广泛的应用。

弹性力学的几个基本假设。

1 、连续体假设：假设无题是连续的，没有任何空隙。

因此，物体内的应力、应变、位移一般都是逐点变化的，它们都是坐标的单值连续函数。

2、弹性假设：假设物体是完全弹性的。

在温度不变时，物体任一瞬间的形状完全取决于在该瞬间时所受的外力。

而与它过去的受力状况无关。

当外力消除后，它能够恢复原来的形状。

弹性假设就是假设物体服从虎克定律，应力与应变成正比关系。

3、均匀性假设：假设物体是均匀的，各部分都具有相同的物理性质，其弹性模量和泊松系数是一常数。

4、各向同性假设：假设物体内每一点各个方向的物理和机械性质都相同。

5、小变形假设：假设物体的变形是微小的，即物体受力后，所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，应变都很小。

这样，在考虑物体变形后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。

二、三维方程2.1三维应力状态下的平衡微分方程物体处在平衡状态，其内部的每一点都处于平衡状态。

使用一个微六面体代表物体内的一点，则作用在该微六面体上的所有力应满足平衡条件，由此可以导出平衡微分方程。

如图一所示，取直角坐标系的坐标轴和边重合，各边的长度分别为dx，dy，dz。

在微六面体x=0面上，应力是σxτxyτxz；在x=dx面上的应力，图一根据应力函数的连续性并按泰勒级数对x=0的面展开，略去高阶项，可得,,xy x xz x xy xz dx dx dx x x xτστσττ∂∂∂+ + +∂∂∂ 同理，可由y=0，z=0面上的应力表示y=dy ，z=dz 面上的应力。

最后，所有各面上的应力如图一示。

当弹性体平衡时，P 点的平衡就以微元体平衡表示。

这样，就有6个平衡方程0,0,00,0,0x y z x y z F F F M M M ∑= ∑= ∑=∑= ∑= ∑=考虑微单元体沿x 方向的平衡，可得 ()()()0yx x x x yx zx yx zx zx dx dydz dydz dy dxdz x y dxdz dz dxdy dxdy Xdxdydz zτσσστττττ∂∂+-++∂∂∂-++-+=∂ 整理上式并除以微单元体的体积dxdydz ，得0yx x zx X x y zτστ∂∂∂+++=∂∂∂（2-1.1）同理，建立y 、z 方向的平衡条件，可得00xyyzy yz xz z Y x yz Z x y zτστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂（2-1.2） 这就是弹性力学的平衡微分方程，其中X ，Y ，Z 是单位体积里的体积力沿x ，y ，z 方向上的分量。

考虑图一中微单元体的力矩平衡。

对通过点C 平衡于x 方向的轴取力矩平衡得()()02222yxzx yx yx zy zy dy dy dz dz dy dxdz dxdz dy dxdy dxdy y z ττττττ∂∂++-+-=∂∂ 于是力矩平衡方程在略去高阶项之后只剩两项022yx zy dy dz dxdzdxdy ττ= 由此可得 yx zy ττ=同理可得,xz zx xy yx ττττ= =这既是剪应力互等定理。

它表明：在两个互相垂直的平面上，与两个平面的交线垂直的剪应力分量的大小相等，方向指向或者背离这条交线。

根据剪应力互等定理，式（1-1）中包含的九个应力分量中只有6个是独立的，这6个应力描述了物体内部的任意一点的应力状态。

2.2三维应力状态下的几何方程{}x y z xy yz zx u x v y w z u v y x v w z y w u x z εεεεγγγ∂⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪⎧⎫∂⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬∂∂⎪⎪⎪⎪+∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭+⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪+⎪⎪∂∂⎩⎭2.3三维应力状态下的物理方程()()()111x x y z x x y z z z x y EEE εσμσμσεσμσμσεσμσμσ=--=--=-- 物理方程的矩阵形式{}()()[]{}100010001000000000000000000122112122122x x y x x z xy xy yz yz zx zx E D μμμμμμσεμμμσεεσγτγτγτμσεμμμμ---⎡⎤⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥===⎨⎬⎨⎬+-⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭-⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中矩阵[D]称为三维应力状态下的弹性矩阵{}()()()[]{}1000100010000002100000021000000211x x y x x z xy xy yz yz zx zx E σμμεσμμεμμεσγμτγμτμγτεσ------+++⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥===ψ⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭三、在极坐标系下的基本方程3.1应力坐标变换我们知道，直角坐标系和极坐标系变量之间的关系为222cos sin arctan r x y x r y y r x θθθ⎧=+=⎧⎪ ⎨⎨==⎩⎪⎩弹性体在一定的应力状态下，可以在已知直角坐标系中求解应力分量，也可以在极坐标中求解。

因而应力分量在两种坐标系中的表达式就有一定的联系，称为应力的坐标变化。

在直角坐标系中求出三角微元体的应力分量为cos 2sin 222cos 2sin 222sin 2cos 22x x x r x x y r r xy r θθθθθθθθσσσσσθτθσσσσσθτθσστθτθ+-⎧=+-⎪⎪+-⎪=-+⎨⎪-⎪=+⎪⎩在直角坐标系下的应力分量表示可在极坐标系下表示，变换后可得方程cos 2sin 222cos 2sin 222sin 2cos 22x y x y r xy x y x y y r x y r xy θθσσσσσθτθσσσσσθτθσστθτθ+-⎧=++⎪⎪+-⎪=--⎨⎪-⎪=+⎪⎩3.2极坐标下的平衡方程020r r r r r r K r r r K r r r θθθθθθτσσσθσττθ∂-∂⎧+++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+++=⎪∂∂⎩ 3.3极坐标下的几何方程为r r r r r u r u u r r u u u r r r r θθθθθεεθθ∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=+⎨∂⎪∂∂⎪=+-⎪∂∂⎩四、弹性力学解题的主要方法4.1位移解法位移解法是以位移分量作为基本未知量的解法。

把平衡方程、本构方程和几何方程简化为三个用位移分量表示的平衡方程，从中解出位移分量。

然后再代回几何方程和本构方程，进而求出应变分量和应力分量。

4.2应力解法应力解法是以应力分量作为基本的未知数的解法。

由协调方程、本构方程和平衡方程简化出六个用应力分量表示的协调方程，再加上平衡方程和力边界条件解出六个应力分量。

然后由本构方程求出应变分量，再对几何方程积分即可得到位移分量。

由于应力与应变间的胡克定律是代数方程，应变解法的求解难度不会比应力解法有实质性的改善，而边界条件用应力表示则方便很多，所以很少采用应变解法。

4.3应力函数解法在位移解法中，引进三个单值连续的位移函数，使协调方程自动满足，问题被归结为求解三个用位移表示的位移方程。

应变分量可由位移偏导数的组合来确定。

与此类似，在应力解法中也有可以引进某些自动满足平衡方程的函数，称之为应力函数，把问题归结为求解用应力函数表示的协调方程。

应力分量可由应力函数偏导数的组合来确定。

应力函数解法既保留了应力解法的优点（能直接求出应力分量），又吸收了位移解法的思想（能自动满足平衡方程，基本未知数降为三个），所以是弹性力学理论中最常用的解法之一。

五、弹性力学的应用举例例一：悬臂梁（1） 确定应力函数的边界条件图二以A （0，h/2）为起始点，调整1ax by c φφ=+++中的任意常数使00;0A A Ax y φφφ∂∂= ; ==∂∂（a ）选左手坐标系且M 以逆时针为正，应力函数在边界条件上满足逆时钟向：;;y x M R R x y φφφΓΓΓΓ∂∂= = =-∂∂（b ） 顺时钟向：;;y x M R R x y φφφΓΓΓΓ∂∂=- =-=∂∂（c ）其中，г为流动边界点。

Rx ，Ry 和M г分别是从A 点起算的边界载荷对г点简化的主矢量和逆时钟向主距。

在下边界AB 上，载荷处处为零。

由（b ）式得：00;0;0/2x l y h x y φφφΓΓΓ≤≤⎛⎫∂∂= = = ⎪=∂∂⎝⎭（d ） 左边界AC 是放松边界，不必逐点给定υ及其偏导数值。

在边界CD 上，按顺时钟向公式（c ）得20();();0/22x l qx M Px P qx y h x y φφφΓΓΓ≤≤⎛⎫∂∂=-++ =-+ = ⎪=-∂∂⎝⎭（e ） （2）选择域内应力函数由应力函数沿主要边界的分布规律可看出，υ沿x 方向按二次多项式规律变化，沿y 方向的规律未知，由此可选2012()()()2x f y xf y f y φ=++（f ） 带入边界条件（d （e ）可以定出待定函数的边界条件当y=h/2时，f 0=f 1= f 2=00120df df df dy dy dy===（g ） 当y=－2时，f 0=－M ；f 1=－P ；f 2=－q0120df df df dy dy dy===（h ） （3）求待定函数由边界条件（g ）可得出各待定常数：33323;C ;2223;0;;2223;0;102802q q q A D h h P P P E F G R h h M q M qh H K L h h h M N =-B =0; = =-=- = = =-=-- = =+=-（i ）进而可得313323322132(134)2(134)24(134)(1)280P y y f h h q y y f h h M y y qhy y f h h h=--+=--+=--++-（j ）最后带回到公式（f ）中得322232114()(134)(1)2280y y qhy y M Px qx h h hφ=-++-++-（k ）（4）求应力把（k ）式代入应力公式22222x y xy Vy V x x yφσφσφτ∂=+∂∂=+∂∂=-∂∂可以得到223222231213()(4)252(1)(1)26()()4x y xy y y y M Px qx q h h h q y y h h h P qx y h σστ=-+++-=-+-=-+-（l ）例二：圆环或圆筒受均布压力图三设一轴向长度很长的圆环或者圆筒的截面如图三示，起内外径分别为a ，b ，内径表面受内压力qa 和外压力qb 作用。