弹性力学读书报告剖析

弹塑性力学学习报告

指导老师：王建伟

学生：李佳伟

学号;20159200

弹塑性力学学习报告

绪论：经过几月的学习我对弹性力学有了一个初步的认识，对它研究的对象

也有了一个概括性的认识。弹性力学是高等的材料力学，不同于材料力学只能

解决形状非常固定的细长杆件，它可以解决任意形状的材料性能计算问题。对

于很多情况都可以分析出力学模型，然后得到方程组，但是大部分情况下解方

程组却是非常困难的。下面给出一个典型的模型对弹性力学做一个形象的表示：

这个模型就是最普通的一个计算模型，它有分布力，集中力，约束，重力等作用。在这些条件下我们可以根据受力平衡列出方程组，从而求出各处的位移和

形变。

报告正文

一、弹性力学的发展及基本假设

弹性力学是伴随着工程问题不断发展起来的，它是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移的一门学科。最早可以追溯到伽利略研究梁的弯曲问题、胡克的胡克定律。之后牛顿三定律的形成以及数学的不断发展，后经纳维、柯西、圣维南、艾瑞、基尔、里茨、

迦辽金等人的不断努力。使得弹性力学具有了严密的理论体系并且能都求解各种复杂的问题，能够解决强度、刚度和稳定性等问题。目前弹性力学的相关理论在土木工程、水文地质工程、石油工程、航空航天工程、矿业工程、环境工程以及农业工程等诸多领域得到了广泛的应用。

弹性力学的几个基本假设。1 、连续体假设：假设无题是连续的，没有任何空隙。因此，物体内的应力、应变、位移一般都是逐点变化的，它们都是坐标的单值连续函数。2、弹性假设：假设物体是完全弹性的。在温度不变时，物体任一瞬间的形状完全取决于在该瞬间时所受的外力。而与它过去的受力状况无关。当外力消除后，它能够恢复原来的形状。弹性假设就是假设物体服从虎克定律，应力与应变成正比关系。3、均匀性假设：假设物体是均匀的，各部分都具有相同的物理性质，其弹性模量和泊松系数是一常数。4、各向同性假设：假设物体内每一点各个方向的物理和机械性质都相同。5、小变形假设：假设物体的变形是微小的，即物体受力后，所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，应变都很小。这样，在考虑物体变形后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。

二、三维方程

2.1三维应力状态下的平衡微分方程

物体处在平衡状态，其内部的每一点都处于平衡状态。使用一个微六面体代表物体内的一点，则作用在该微六面体上的所有力应满足平衡条件，由此可以导出平衡微分方程。

如图一所示，取直角坐标系的坐标轴和边重合，各边的长度分别为dx，dy，dz。在微六面体x=0面上，应力是σxτxyτxz；在x=dx面上的应力，

图一

根据应力函数的连续性并按泰勒级数对x=0的面展开，略去高阶项，可得

,,xy x xz x xy xz dx dx dx x x x

τστσττ∂∂∂+ + +∂∂∂ 同理，可由y=0，z=0面上的应力表示y=dy ，z=dz 面上的应力。最后，所有各面上的应力如图一示。

当弹性体平衡时，P 点的平衡就以微元体平衡表示。这样，就有6个平衡方程

0,0,0

0,0,0

x y z x y z F F F M M M ∑= ∑= ∑=∑= ∑= ∑=

考虑微单元体沿x 方向的平衡，可得 ()()()0yx x x x yx zx yx zx zx dx dydz dydz dy dxdz x y dxdz dz dxdy dxdy Xdxdydz z

τσσστττττ∂∂+-++∂∂∂-++-+=∂ 整理上式并除以微单元体的体积dxdydz ，得

0yx x zx X x y z

τστ∂∂∂+++=∂∂∂（2-1.1）

同理，建立y 、z 方向的平衡条件，可得

00xy

y

zy yz xz z Y x y

z Z x y z

τστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂（2-1.2） 这就是弹性力学的平衡微分方程，其中X ，Y ，Z 是单位体积里的体积力沿x ，y ，z 方向上的分量。

考虑图一中微单元体的力矩平衡。对通过点C 平衡于x 方向的轴取力矩平衡得

()()02222

yx

zx yx yx zy zy dy dy dz dz dy dxdz dxdz dy dxdy dxdy y z ττττττ∂∂++-+-=∂∂ 于是力矩平衡方程在略去高阶项之后只剩两项

022

yx zy dy dz dxdz

dxdy ττ= 由此可得 yx zy ττ=

同理可得

,xz zx xy yx ττττ= =

这既是剪应力互等定理。它表明：在两个互相垂直的平面上，与两个平面的交线垂直的剪应力分量的大小相等，方向指向或者背离这条交线。根据剪应力互等定理，式（1-1）中包含的九个应力分量中只有6个是独立的，这6个应力描述了物体内部的任意一点的应力状态。

2.2三维应力状态下的几何方程

{}x y z xy yz zx u x v y w z u v y x v w z y w u x z εεεεγγγ∂⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪⎧⎫∂⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬∂∂⎪⎪⎪⎪+∂∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭+⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪+⎪⎪∂∂⎩⎭

2.3三维应力状态下的物理方程

()()()111x x y z x x y z z z x y E

E

E εσμσμσεσμσμσεσμσμσ=

--=--=-- 物理方程的矩阵形式

{}()()[]{}100010001000000000000000000122112122122x x y x x z xy xy yz yz zx zx E D μμμμμμσεμμμσεεσγτγτγτμσεμμμμ---⎡⎤⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥===⎨⎬⎨⎬+-⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

其中矩阵[D]称为三维应力状态下的弹性矩阵