用Matlab解决静电场中的问题

用M a t l a b 解决静电场中的问题

【摘要】：Matlab 是一种用于算法开发，数据可视化，数值分析及数值图形生成

的高级工具语言,它主要被应用于信号和图像处理,通讯,控制系统设计，测试和

测量等广泛领域。在本文中，我用Matlab 的功能使静电场里的某些模型（电场

强度电势、电场线、等势线、等势面)可视化，方便了我们对有关静电场的知识

的学习，提高了我们对知识的理解和运用能力，本文主要是从图像处理功能方

面介绍了Matlab 语言在静电场一些问题中的应用。

【关键字】：Mtalab 电场强度 电势 电场线 等势线 等势面

一、引言

Matlab 是美国Mathworks 公司开发1984年推出的一套高性能的数值计算和

可视化软件。它是一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言，其应用范围涵盖

了当今几乎所有的工业应用与科学研究领域,，集数值分析、矩阵运算、信号处

理和图形显示于一体。.此外，Matlab 更强大的功能还表现在其有大量的工具箱

(Toolbox)，如：控制系统、数值模拟、信号处理及偏微分方程等工具箱。因此，

Matlab 已成为美国和其它发达国家大学教育和科学研究中必不可少的工具。

静电场中的电场线，等势线，等势面等图形是一种抽象的模型，在现实世

界不具可视化的空间场的物体。所以，形象的模拟出以上问题的图形，对于更

进一步学习与研究电场知识有很大的意义。静电场的问题学习与理解起来具有

一定的特殊性：它既有理论数值的计算，又有图形图像的辅助处理与理解。例

如：形象的模拟出电场线，等势线，等势面，这能在教学中解决教师的授课难

题，又能解决学生的理解上的困难。近年来，一直有人在不断的探索这方面的

问题，并且取得一定的成绩。但还存在一定的缺陷，而Matlab 恰好解决了这些

问题！这使得这些抽象问题能有一门精确的工具软件来处理完成。这正是Matlab

在图像方面问题处理的应用。

二、Matlab 在静电场中的应用

问题一：等量同号点电荷的电场线的绘制

根据库仑定律：在真空中，两个静止的点电荷之间的作用力与这两个电荷的

电量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向在两个电荷的

连线上，两电荷同号维斥力，异号为吸力，他们之间的力F 满足：

122

Q Q F k R = （1） 由电场强度E 的定义可知： 2Q E k R

= （2） 对于点电荷，根据场论基础中的定义，有势场E 的势函数为： Q U k

R = （3） E U

=-∇ （4）

在matlab 中，由以上公式算出各点的电势U ，电场强度E 后，可以用matlab

自带的库函数绘出一对点电荷的电场线和等势线，其matlab 程序如下： clear

q=0.5;

xm=2.5;

ym=2;

x=linspace(-xm,xm); %横坐标向量

y=linspace(-ym,ym); %纵坐标向量

[X,Y]=meshgrid(x,y);%产生自变量网络坐标

R1=sqrt((X+1).^2+Y.^2); %第一个正电荷到场点的距离

R2=sqrt((X-1).^2+Y.^2); %第二个正电荷到场点的距离

U=1./R1+q./R2; %计算电势

u=1:0.5:4; %等势线的电场向量

figure

contour(X,Y,U,u) %画等势线

grid on %有网格

hold on %设置图形保持状态

plot([-xm;xm],[0;0]) %画水平线

plot([0;0],[-ym;ym]) %画竖直线

plot(-1,0,'o','MarkerSize',12)

plot(1,0,'o','MarkerSize',12)

[Ex,Ey]=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1)); %用等势梯度求场强的两个分量

dth1=20;

th1=(dth1:dth1:180-dth1)*pi/180; %电场线的起始角度

r0=0.1;

x1=r0*cos(th1)-1; %电场线的起点横坐标

y1=r0*sin(th1); %电场线的起点纵坐标

streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1) %画左上电场线

streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x1,-y1)%画左下电场线

dth2=dth1/q;%右边电场线角度间隔

th2=(180-dth2:-dth2:dth2)*pi/180;

x2=r0*cos(th2)+1; %电场线的起点横坐标

y2=r0*sin(th2); %电场线的起点纵坐标

streamline(X,Y,Ex,Ey,x2,y2) %画右下电场线

streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x2,-y2) %画右下电场线

axis equal tight %纵横坐标轴采用等长刻度

xlabel('x','fontsize',16) %X 轴说明

ylabel('y','fontsize',16) %Y 轴说明

图1 同号点电荷的电场线和电势线

小结1：由图1可以清楚的看出同号电荷相互排斥的现象，各电荷的等

势线呈圈状围在电荷周围，且越靠近电荷电场线分布越密集。

问题二：等量异种电荷的电势，电场的分布

1. 物理理论：平面上在x=2, y=0处有一正电荷，x=-2, y=0处有一负电荷根据： U 04επ***=

r q （5）

其中

（6）

为两点间的距离。