非负矩阵分解_1
非负矩阵分解算法
非负矩阵分解算法
1 非负矩阵分解
非负矩阵分解（Non-Negative Matrix Factorization，NMF）是
一种特殊的矩阵分解，它采用的分解维度包含非负的值。
NMF的定义是这样的：给定一个m阶n列非负矩阵A，有k非负数，将其分解成两个
m阶n列非负矩阵W和H，使得：A = WH.NMF可以应用于许多不同领域，包括信号处理、数据挖掘、图像处理、信息检索、自然语言处理等领域。
2 优点
非负矩阵分解具有许多优点：首先，非负矩阵分解有着很明显的
几何解释，可以用于多维数据挖掘，聚类和可视化。
其次，它的算法
本身不需要依赖于边界条件和/或初始条件，算法具有高度稳定性，用
于提取潜在信息特征，例如隐藏结构、主题、技能、现象等。
此外，
非负矩阵分解可以用较少的计算消耗从较大的数据集中提取有用的特征，从而降低空间需求并提高运行效率。
3 应用
非负矩阵分解的应用较广泛，在数据挖掘领域可用于高维数据降维、高维数据可视化、文本挖掘、模式挖掘以及聚集分析等方面。
在
信号处理方面，NMF可以用来提取信号中的有效信息，从而获得必要信息。
此外，NMF也可以用于表示图像并对其进行分类。
在自然语言处
理（Natural Language Processing）领域，NMF可以把文本表示成主题，以帮助文本分类、信息检索和在线推荐等任务。
4 结论
可以看出，非负矩阵分解在数据挖掘和信号处理等多领域具有重要的应用价值，特别是其几何解释、算法稳定性以及计算代价等众多优势的共同作用。
然而，NMF的应用还有待更多的研究，才能令它登上数据挖掘技术的高峰，为社会带来更多的发展。
非负矩阵因子分解算法
非负矩阵因子分解算法非负矩阵因子分解（Non-negative Matrix Factorization, NMF）是一种常用的非负矩阵分解技术，它在许多领域中都得到广泛应用。
NMF的目的是将一个非负矩阵分解为两个非负的低秩矩阵，从而提取出矩阵的潜在特征。
在NMF中，给定一个非负矩阵V，我们希望找到两个非负矩阵W和H，使得V≈W×H，其中W是一个m×r的非负矩阵，H是一个r×n的非负矩阵，r是预先设定的秩。
W和H都是非负的这个约束使得NMF能够提取出不具有线性线性相关性的特征。
NMF的优化问题可以定义为最小化目标函数：min||V - WH||，其中||.||表示矩阵的F范数为了求解这个优化问题，可以使用迭代的方法逐步优化W和H。
具体来说，首先初始化W和H为非负矩阵，然后交替更新W和H，直到满足终止条件。
1.初始化W和H为非负矩阵，可以使用随机值或者根据先验知识给定的初值。
2.更新W：固定H，通过最小化目标函数得到最优的W。
2.1计算乘法更新规则：W = W * (VH^T) / (WHH^T)2.2对W进行非负约束处理，将所有小于0的元素置为0。
3.更新H：固定W，通过最小化目标函数得到最优的H。
3.1计算乘法更新规则：H = H * (W^TV) / (W^TWH)3.2对H进行非负约束处理，将所有小于0的元素置为0。
4.判断终止条件，可以设置迭代次数上限或者设定一个阈值，当目标函数下降到一定程度或者迭代次数达到上限时，停止迭代。
5.重复步骤2和3，直到满足终止条件。
NMF的优点是提取到的特征是非负的，因此可以应用于文本挖掘、图像处理和声音信号处理等领域。
此外，NMF还具有良好的可解释性，因为W和H可以看作是每个特征在样本中的贡献度和每个样本在特征上的表示。
然而，NMF也存在一些局限性。
首先，NMF是一个非凸优化问题，因此可能会陷入局部最优解。
其次，NMF对初始值较为敏感，不同的初始值可能会导致不同的结果。
非负矩阵分解
Wia ha , a 0 a
令
t Wia ha a t W h ib b b
得
t t Wia ha Wia ha log Wia ha (log Wia ha log ) t t a a Wib hb Wib hb b b
此不等式亦为将(5)(6)代入G (h, h t ) F (h) 的结果，为真，故得证。
(5)
是如下函数的辅函数：
F (h) vi log(
i
vi ) vi Wia ha a Wia ha
a
(6)
证明：
显见，G(h, h)=F(h)，只需证G (h, h t ) F (h)
根据对数函数单调递增的性质，可得如下不等式
log Wia ha a log
(3)
是如下函数的辅函数
1 F (h) (vi Wia ha ) 2 2 i a
(4)
证明：
显见G(h, h)=F(h)，只需证 将F(h)使用泰勒级数展开
1 F (h) F (ht ) (h ht )T F (ht ) (h ht )T (W TW )(h ht ) 2 若假设成立，必然有G (h, h t )-F (h) 0 ，将(3) (5)代入
定理2证明：
对(5)求 ha导
t Wia ha dG (h, ht ) 1 vi Wia 0 t dha i Wib hb ha i
化简，得
b
h
t 1 a
t ha Wkb b
vi Wia t i Wib hb
b
转换W和H的角色，同理可得W的更新规则。
相关工作
0 (h ht )T [ K (ht ) W T W ](h ht )
多通道非负矩阵分解_概述及解释说明
多通道非负矩阵分解概述及解释说明1. 引言1.1 概述:本文旨在介绍多通道非负矩阵分解（Multiple Channel Nonnegative Matrix Factorization）的基本原理、应用领域以及算法优势。
非负矩阵分解作为一种重要的数据降维和特征提取方法，已经被广泛应用于图像处理、语音识别、推荐系统等领域。
多通道非负矩阵分解则是对传统单通道非负矩阵分解进行拓展，能够更好地处理多模态或多源数据。
1.2 文章结构：本文共分为五个部分：引言、多通道非负矩阵分解、解释说明一、解释说明二以及结论与展望。
引言部分主要介绍本文的背景和目的，同时概述了接下来各个章节的内容安排。
多通道非负矩阵分解部分将详细探讨该方法的基本原理、应用领域和算法优势。
解释说明一和解释说明二部分将介绍两种具体的方法，并对其进行实验结果的分析以及相关案例的讨论。
最后，在结论与展望中对全文进行总结，并提出未来可能的研究方向。
1.3 目的：本文旨在向读者介绍多通道非负矩阵分解方法及其在数据处理中的应用。
通过对多通道非负矩阵分解的详细讲解和实例说明，读者将能够全面了解该方法的基本原理、适用范围以及实际效果。
同时，通过对比多种方法在实验中的表现和相关案例的讨论，读者还可以深入了解不同情况下选择不同方法可能带来的影响和优势。
最终，我们希望本文能够为相关领域的研究者提供有价值的参考，同时激发更多关于多通道非负矩阵分解方法的深入探索。
2. 多通道非负矩阵分解2.1 基本原理多通道非负矩阵分解是一种常用的数据降维和特征提取方法。
其基本原理是将一个高维度的数据矩阵分解为两个低维度的非负矩阵的乘积，其中一个矩阵具有原始数据的结构信息，而另一个矩阵包含了数据的隐含特征。
在多通道非负矩阵分解中，我们假设原始数据包含多个通道或属性。
每个通道可以代表不同的数据来源或者不同方面的特征。
通过对这些通道进行分离和抽取其中重要的特征，并且将这些特征进行融合，可以提高对原始数据的理解和表示能力。
非负矩阵分解聚类
非负矩阵分解聚类摘要：一、非负矩阵分解聚类原理1.非负矩阵分解2.聚类方法3.非负矩阵分解聚类二、非负矩阵分解聚类应用优势1.数据降维2.图像处理3.生物信息学4.社交网络分析三、非负矩阵分解聚类局限性1.计算复杂度2.数据噪声敏感3.模型参数选择四、非负矩阵分解聚类未来发展趋势1.高维数据分析2.大规模数据处理3.结合深度学习方法正文：非负矩阵分解聚类（Non-negative Matrix Factorization Clustering,NMF-C）是一种将数据集分解成若干个非负矩阵的方法。
非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization, NMF）是一种将一个非负矩阵分解成两个非负矩阵的乘积的方法，这两个矩阵分别表示数据的潜在结构和元素之间的关系。
聚类方法则是将数据集中的相似度较高的元素划分到同一个子集中。
非负矩阵分解聚类结合了这两种方法，可以将数据集中的相似度较高的元素划分到同一个子集中。
非负矩阵分解聚类在数据降维、图像处理、生物信息学和社交网络分析等领域具有广泛应用。
数据降维是非负矩阵分解聚类的常见应用之一，通过将高维数据映射到低维空间，可以减少数据规模，提高数据处理效率。
在图像处理领域，非负矩阵分解聚类可以用于图像分割和特征提取，提高图像识别的准确性。
在生物信息学领域，非负矩阵分解聚类可以用于基因表达数据的降维和聚类分析，发现具有相似功能的基因。
在社交网络分析领域，非负矩阵分解聚类可以用于社区发现，识别社交网络中的兴趣群体。
然而，非负矩阵分解聚类也存在一些局限性。
首先，非负矩阵分解聚类的计算复杂度较高，尤其是当数据规模较大时，计算时间会显著增加。
其次，非负矩阵分解聚类对数据噪声敏感，当数据中存在异常值或缺失值时，聚类结果可能受到影响。
此外，非负矩阵分解聚类中的模型参数选择也是一个挑战，不同的参数选择可能导致不同的聚类结果。
非负矩阵分解
非负矩阵分解非负矩阵分解（NonnegativeMatrixFactorization，NMF）是一种重要的数值分解技术，它可以将一个实对称矩阵分解成两个非负矩阵，其中元素都大于等于零。
它可以用来提取相关数据之间的关系，从而从模糊的数据中提取出有价值的信息，因此经常被应用于聚类、概念提取等机器学习的领域中。
首先，要理解NMF，我们需要介绍其基本概念，它是一种矩阵分解技术，一般可以将一个实对称矩阵分解为两个非负的矩阵，这些元素都大于等于零。
其中，一个矩阵称为基矩阵，用来描述数据之间的关系；另一个称为内积矩阵，用来描述数据之间的相关性。
NMF由布罗基-亨利林（Brock-Hennely）在1999年提出，是一种重要的半正则化方法，能够从给定的非负矩阵中恢复出潜在的内容主题，其计算结果可以看作是一种“直观的抽象”，可以给出一个“更容易理解”的表示。
NMF的思想是将一个非负实矩阵X分解成两个非负矩阵W和H，令X≈WH，这两个矩阵的元素均为非负值，分别叫做基矩阵W和内积矩阵H，其计算过程是令X，W，H分别尽可能接近W，H，X，使得W 和H的乘积最小。
W和H可以用来描述原始矩阵X中的数据之间的关系，而不是直接用原始矩阵来表示X。
NMF有很多应用，如用于聚类分析，文档检索，内容提取，图像处理等机器学习领域，其主要的优点是：(1)能够从模糊的数据中提取出有价值的信息，(2)可以自动化，减少神经网络算法中专家知识的应用，(3)可以用于实时处理大量数据，(4)可以用于视觉系统，提出新的视觉模型，从而对计算机视觉系统有很大帮助。
NMF在聚类分析中也有很好的应用，它可以自动发现原始数据中的隐藏信息，并把它们聚合成不同的类别。
它的聚类特性使得它可以用来处理复杂数据集，具有很多分类任务的优点。
例如，可以使用NMF来分析文本数据，将一些紧密相关的文本聚合到一起；可以用来分析视觉数据，将图像中的主要特征提取出来；还可以用来分析声音数据，将语音识别任务简化成一个重要的计算任务。
非负矩阵分解（NMF）原理及算法实现
⾮负矩阵分解（NMF）原理及算法实现⼀、矩阵分解回想矩阵分解是指将⼀个矩阵分解成两个或者多个矩阵的乘积。
对于上述的⽤户-商品（评分矩阵），记为能够将其分解为两个或者多个矩阵的乘积，如果分解成两个矩阵和。
我们要使得矩阵和的乘积能够还原原始的矩阵当中，矩阵表⽰的是m个⽤户于k个主题之间的关系，⽽矩阵表⽰的是k个主题与n个商品之间的关系通常在⽤户对商品进⾏打分的过程中，打分是⾮负的，这就要求：这便是⾮负矩阵分解（NMF）的来源。
⼆、⾮负矩阵分解2.1、⾮负矩阵分解的形式化定义上⾯介绍了⾮负矩阵分解的基本含义。
简单来讲，⾮负矩阵分解是在矩阵分解的基础上对分解完毕的矩阵加上⾮负的限制条件。
即对于⽤户-商品矩阵找到两个矩阵和，使得：同⼀时候要求：2.2、损失函数为了能够定量的⽐较矩阵和的近似程度，提出了两种损失函数的定义⽅式：欧⼏⾥得距离：KL散度：在KL散度的定义中，。
当且仅当时取得等号。
当定义好损失函数后，须要求解的问题就变成了例如以下的形式，相应于不同的损失函数：求解例如以下的最⼩化问题：2.3、优化问题的求解乘法更新规则，详细操作例如以下：对于欧⼏⾥得距离的损失函数：对于KL散度的损失函数：上述的乘法规则主要是为了在计算的过程中保证⾮负，⽽基于梯度下降的⽅法中，加减运算⽆法保证⾮负。
事实上上述的惩罚更新规则与梯度下降的算法是等价的。
以下以平⽅距离为损失函数说明上述过程的等价性：平⽅损失函数能够写成：使⽤损失函数对求偏导数：依照梯度下降法的思路：即为：令，即能够得到上述的乘法更新规则的形式。
2.4、⾮负矩阵分解的实现1from numpy import *2from pylab import *3from numpy import *45def load_data(file_path):6 f = open(file_path)7 V = []8for line in f.readlines():9 lines = line.strip().split("\t")10 data = []11for x in lines:12 data.append(float(x))13 V.append(data)14return mat(V)1516def train(V, r, k, e):17 m, n = shape(V)18#先随机给定⼀个W、H，保证矩阵的⼤⼩19 W = mat(random.random((m, r)))20 H = mat(random.random((r, n)))21#K为迭代次数22for x in range(k):23#error24 V_pre = W * H25 E = V - V_pre26#print E27 err = 0.028for i in range(m):29for j in range(n):30 err += E[i,j] * E[i,j]31print(err)32 data.append(err)3334if err < e:35break36#权值更新37 a = W.T * V38 b = W.T * W * H39#c = V * H.T40#d = W * H * H.T41for i_1 in range(r):42for j_1 in range(n):43if b[i_1,j_1] != 0:44 H[i_1,j_1] = H[i_1,j_1] * a[i_1,j_1] / b[i_1,j_1]4546 c = V * H.T47 d = W * H * H.T48for i_2 in range(m):49for j_2 in range(r):50if d[i_2, j_2] != 0:51 W[i_2,j_2] = W[i_2,j_2] * c[i_2,j_2] / d[i_2, j_2]5253return W,H,data5455565758if__name__ == "__main__":59#file_path = "./data_nmf"60# file_path = "./data1"61 data = []62# V = load_data(file_path)63 V=[[5,3,2,1],[4,2,2,1,],[1,1,2,5],[1,2,2,4],[2,1,5,4]]64 W, H ,error= train(V, 2, 100, 1e-5 )65print (V)66print (W)67print (H)68print (W * H)69 n = len(error)70 x = range(n)71 plot(x, error, color='r', linewidth=3)72 plt.title('Convergence curve')73 plt.xlabel('generation')74 plt.ylabel('loss')75 show()这⾥需要注意训练时r值的选择：r可以表⽰和主题数或者你想要的到的特征数K值的选择：k表⽰训练的次数，设置的越⼤模型的拟合效果越好，但是具体设置多少，要根据性价⽐看，看误差曲线的变化。
矩阵的非负分解
矩阵的非负分解矩阵的非负分解是一种在数学和计算科学中广泛应用的算法，它涉及将一个矩阵分解为非负矩阵的乘积。
这种分解在许多领域都有应用，包括机器学习、图像处理、统计和优化。
下面我们将详细介绍矩阵的非负分解及其相关概念。
一、矩阵分解矩阵分解，也称为矩阵因子分解或矩阵分解，是将一个复杂矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵。
这些简单的矩阵通常具有特殊的结构，例如正交矩阵、对角矩阵或稀疏矩阵。
矩阵分解在解决各种问题中非常有用，因为它可以将一个复杂的问题转化为几个简单的子问题。
二、非负矩阵非负矩阵是指其所有元素均为非负数的矩阵。
非负矩阵在经济学、生物学、网络分析等领域有广泛的应用。
非负矩阵具有一些特殊的性质，例如它的特征值都是非负的，并且它的谱半径也小于等于它的最大特征值。
三、非负矩阵分解非负矩阵分解是一种特殊的矩阵分解方法，它要求分解后的矩阵是非负的。
这种方法在处理图像、文本等数据时非常有用，因为这些数据通常都具有非负性。
例如，在图像处理中，像素值是非负的，因此非负矩阵分解可以用于图像的表示和压缩。
在文本处理中，单词频数也是非负的，因此非负矩阵分解可以用于文本的表示和聚类。
四、算法实现非负矩阵分解的方法有多种，其中比较常用的是交替最小二乘法（Alternating Least Squares，简称ALS）。
该方法的基本思想是：对于一个给定的非负矩阵，首先将其分解为两个初始的非负矩阵，然后不断迭代更新这两个矩阵，直到满足一定的停止条件为止。
在迭代过程中，ALS 方法按照如下方式更新矩阵：1. 固定其中一个矩阵，对另一个矩阵进行优化；2. 固定另一个矩阵，对第一个矩阵进行优化；3. 重复上述步骤，直到达到停止条件。
一般来说，ALS 方法能够找到局部最优解而非全局最优解，但它在实践中表现出的效果往往非常好。
此外，由于非负矩阵分解的应用广泛，许多编程语言和工具包都提供了现成的ALS 实现，使得使用者可以更加方便地进行计算。
非负矩阵分解
非负矩阵分解
非负矩阵分解（Non-Negative Matrix Factorization， NMF）是一种机器学习技术，用于将数据重新表示成低维空间中的基本因素。
其基本概念是将原始数据表
示为两个非负矩阵的乘积。
非负矩阵分解的主要用途是文本挖掘，特别是分析大量文档，确定文档主题或概念关系。
此外，它也被用于图像和声音分析和表示。
非负矩阵分解确保数据表示形式中所有项均为非负值，这可以将分析从基于复数值的空间中转移到基于实数值的空间中，从而显著的改善了复杂度。
此外，由
于它是一种无监督学习算法，它不需要用户指定的方向，因此可以发现未知的模式，并检查任何特定的特性的关联。
非负矩阵分解是一种迭代过程，它将原始数据分解为两个数据矩阵，第一个矩阵描述数据中各个元素的组成，第二个矩阵表示数据中各个元素的重要性。
这两个矩阵相乘可以重新组合成原始数据，并提供有用的信息。
总之，非负矩阵分解是一种强大的工具，可用于分析和提取数据中的有用信息，并使复杂计算更容易实现。
它可以帮助用户更好地理解大量总体数据，提取其中的模式和特征，并在今后的分析过程中进行发现。
非负矩阵分解
0.001
0.0001
NNSC η, λ =0.001误差 Error_0001 = 4.751*10^3
NNSC η, λ =0.0001误差 Error_00001 = 2.354*10^3
六、稀疏非负矩阵分解（SNMF）
迭代次数r=n/2，最大迭代次数maxiter=100时，特别地，由于式子中有常数因子β 出现，则现令β = 0.001，与非负稀松编码（NNSC）比较如下：
下面我们来看下效果对比。
其中误差是指 Error = X – BC;
二、假设噪声服从泊松分布 同高斯分布最大似然函数：
L(B,C) [ X ij log(BC)ij (BC)ij log( X ij!)] ij
又同理得到加性迭代规则：
Bik
Bik
ik [
j
Ckj
X ij ( B C) ij
非负矩阵分解的几种方法初窥
引论
矩阵分解是实现大规模数据处理与分析的一 种有效的工具，非负矩阵分解（nonnegative matrix factorization,NMF）算法是 在矩阵中所有元素均为非负的条件下对其实 现的非负分解。
非负矩阵分解的定义
假设处理m个n维空间的样本数据，用 Xnm表示。该数据矩 阵中各个元素都是非负的，表示为X >= 0 。对矩阵 X 进行 线性分解，有
如果令
ik
Bik (BCCT )ik
,kj
Ckj (BT BC)kj
加性迭代就成为了乘性迭代规则：
Bik
Bik
( XCT )ik (BCCT )ik
, Ckj
Ckj
(BT X )kj (BT BC)kj
scikit 非负矩阵分解原理
Scikit-learn是一个用于机器学习的Python库，其中包含了许多常用的机器学习算法和工具。
其中之一就是非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization，NMF）。
非负矩阵分解是一种矩阵分解技术，它将一个非负矩阵分解为两个非负矩阵的乘积。
这种分解可以用于特征提取、数据降维和模式识别等任务。
NMF的原理是基于以下假设：1. 原始矩阵中的元素都是非负的。
2. 原始矩阵可以由两个非负矩阵的乘积表示。
给定一个非负矩阵V，NMF的目标是找到两个非负矩阵W和H，使得它们的乘积WH近似等于原始矩阵V。
其中，W是一个m×r的矩阵，H是一个r×n的矩阵，r是一个用户指定的参数，表示分解后的矩阵的秩。
NMF的求解过程可以通过迭代算法来实现，其中最常用的算法是乘法更新规则（Multiplicative Update Rule）。
该算法通过迭代更新W和H的值，直到达到收敛条件。
具体而言，乘法更新规则的迭代步骤如下：1. 初始化W和H为随机非负矩阵。
2. 重复以下步骤直到达到收敛条件：-更新W：W = W * (VH^T) / (WHH^T)-更新H：H = H * (W^TV) / (W^TWH)在每次迭代中，乘法更新规则通过最小化原始矩阵V和近似矩阵WH之间的差异来更新W和H的值。
这个差异可以使用不同的损失函数来衡量，常见的有欧几里得距离和KL散度。
总结起来，非负矩阵分解是一种将非负矩阵分解为两个非负矩阵的乘积的技术。
它可以用于特征提取、数据降维和模式识别等任务。
Scikit-learn中的NMF模块提供了实现NMF的工具和算法。
非负矩阵分解算法介绍
非负矩阵分解算法介绍
随着人工智能和大数据时代的到来，数据处理和分析的需求也日益增加。
而在数据处理和分析中，非负矩阵分解算法作为一种重要的工具，受到了越来越多的关注和应用。
非负矩阵分解算法是一种将一个非负矩阵分解为两个非负矩阵的方法。
其中一个矩阵包含原始矩阵的行，而另一个矩阵包含原始矩阵的列。
这种分解方法的好处在于，它能够降低原始数据的维度和复杂性，从而更容易理解和处理原始数据。
具体来说，非负矩阵分解算法可以用于以下几个方面：
1.图像处理
在图像处理中，非负矩阵分解算法可以用于图像压缩和特征提取等方面。
例如，可以把一个RGB图像转换为三个非负矩阵（即三个通道），然后再对这三个矩阵进行分解，从而实现图像压缩和降噪等工作。
2.文本挖掘
在文本挖掘中，非负矩阵分解算法可以用于词向量表示和主题
建模等方面。
例如，可以利用非负矩阵分解算法将一个包含词频
信息的矩阵分解为两个矩阵，其中一个矩阵表示词向量，另一个
矩阵表示文档向量。
这种方法能够有效地抽取文本中的关键信息
和模式。
3.推荐系统
在推荐系统中，非负矩阵分解算法可以用于协同过滤算法的实现。
例如，在电影推荐系统中，可以将用户对电影的评分信息构
成一个非负矩阵，然后利用非负矩阵分解算法将该矩阵分解为两
个矩阵，其中一个矩阵表示用户向量，另一个矩阵表示电影向量。
这种方法能够实现更加准确和个性化的推荐。
总之，非负矩阵分解算法是一种非常有用的数据处理和分析工具。
虽然该算法在理论和实践上仍存在一些挑战和限制，但随着
技术和应用的不断发展，它仍具有广泛的应用前景和研究价值。
MATLAB中的非负矩阵分解方法详解
MATLAB中的非负矩阵分解方法详解介绍非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization，简称NMF）是一种常用的数据分析和特征提取方法。
相比于传统的矩阵分解方法，NMF具有许多独特的优势，尤其适用于处理非负数据或稀疏数据。
NMF的基本思想是将一个非负矩阵分解为两个非负矩阵的乘积，其中一个矩阵表示特征的组合权重，另一个矩阵表示特征的表示方式。
这种分解方法可以被看作是一种特征选择和降维的手段，能够提取原始数据中的主要特征信息。
NMF的应用NMF广泛应用于多个领域，包括图像处理、文本挖掘、生物信息学等。
在图像处理领域，通过NMF可以将图像数据分解为基础形状和颜色分布，实现图像的压缩和图像特征的提取。
在文本挖掘领域，NMF可以用于对文本进行主题建模和情感分析。
NMF的算法原理NMF的目标是找到两个非负矩阵W和H，使得原始矩阵V与它们的乘积WH 的近似误差最小。
这个优化问题可以通过迭代算法来求解。
常见的NMF算法有HALS、MU和Lee-Seung算法。
算法1：HALS算法HALS算法是一种基于交替最小二乘法的NMF算法。
它通过固定一个矩阵，求解另一个矩阵的更新值，然后交替迭代，最终找到近似解。
该算法的迭代过程中对更新值进行非负性约束，确保输出的矩阵非负。
HALS算法的具体流程如下：1. 初始化矩阵W和H为非负随机数；2. 固定H，通过最小二乘法求解W的更新值；3. 固定W，通过最小二乘法求解H的更新值；4. 重复步骤2和步骤3，直到满足停止准则。
算法2：MU算法MU算法是一种基于乘法更新规则的NMF算法。
与HALS算法不同，MU算法采用两个非负矩阵的元素逐个更新的方式。
该算法的迭代过程中同样对更新值进行非负性约束。
MU算法的具体流程如下：1. 初始化矩阵W和H为非负随机数；2. 根据乘法更新规则，更新矩阵W和H的元素；3. 重复步骤2，直到满足停止准则。
算法3：Lee-Seung算法Lee-Seung算法是最早提出的NMF算法之一，也是一种基于乘法更新规则的方法。
非负矩阵分解原理
非负矩阵分解原理哎，说到非负矩阵分解，这玩意儿听起来挺高大上的，其实呢，它的原理和我们日常生活中的一些事情还挺相似的。
比如说，你买了一堆水果，有苹果、香蕉和橘子，然后你把这些水果分给了你的三个朋友，每个人得到的都是非负数量，也就是说，你不能给人家负数个水果，对吧？这就是非负矩阵分解的一个简单例子。
非负矩阵分解，英文叫做Non-negative Matrix Factorization，简称NMF。
它是一种数学方法，用来将一个非负矩阵分解成两个非负矩阵的乘积。
这个听起来可能有点抽象，让我给你举个更具体的例子。
想象一下，你有一个音乐播放列表，里面有很多首歌。
这些歌可以被看作是一个矩阵，每首歌的音量和节奏可以看作是矩阵的元素。
现在，你想要找出这些歌的共同特点，比如它们可能都属于某种音乐风格，或者它们都适合在某种场合播放。
非负矩阵分解就是帮你找出这些共同特点的方法。
具体来说，非负矩阵分解会将你的音乐播放列表（矩阵）分解成两个矩阵。
一个矩阵包含了所有可能的音乐风格或者场合，另一个矩阵则包含了每首歌在这些风格或场合中的“权重”。
这样，你就可以通过这两个矩阵的乘积，重新构建出原始的音乐播放列表。
这个过程就像是你在超市里买了好多不同种类的零食，然后你想要找出哪些零食是搭配在一起吃的。
非负矩阵分解就是帮你找出这些搭配的方法。
你可能会得到一个结果，比如“薯片和可乐”是一个常见的搭配，而“巧克力和果汁”则是另一个搭配。
在实际应用中，非负矩阵分解有很多用途。
比如在图像处理中，它可以被用来识别图像中的不同特征，比如人脸、建筑物等。
在文本分析中，它可以用来识别文档中的不同主题。
这些应用都是基于非负矩阵分解能够从大量数据中提取出有用信息的能力。
但是，非负矩阵分解也不是万能的。
它需要你的数据是非负的，而且它的效果很大程度上取决于你选择的分解方法和参数。
有时候，你可能需要尝试不同的方法，才能得到满意的结果。
总的来说，非负矩阵分解就像是一个神奇的工具，它可以帮助我们从复杂的数据中提取出有价值的信息。
非负矩阵分解算法综述
王宇辰
(兰州财经大学统计学院,甘肃兰州 730020)
摘要:非负矩阵分解是一种约束矩阵元素非负的矩阵分解技术。非负矩阵分解将高维的数据矩阵分解成为低维的基矩阵
和系数矩阵, 解决数据压缩 与聚类等数据 挖掘任务。非负矩阵分解 在机器学习、图像处理等 领域得到广泛 应用, 未来仍有较
1 非负矩阵分解的基本原理
矩阵分解方法是应用数学领域的研究重点, 其目的在 于对原始矩阵在一定约束条件下进行分解, 从而简化矩 阵运算效率并取得良好的解读性。在工程计算领域中, 矩 阵的QR分解、Cholesky分解在求解线性方程等问题上效 果良好; 在机器学习领域中, 矩阵的奇异值分解可完成对 数据的特征提取与压缩, 并广泛应用于图像处理、推荐系 统等实际问题。
X F
2
X i j iLeabharlann j矩阵 X 的迹矩阵 X 与 Y 的哈达玛积， X 与Y 对应位置元素相乘
N 阶单位矩阵
图拉普拉斯矩阵
收稿日期:2020-01-06 作者简介:王宇辰(1996 —),男,陕西渭南人,硕士研究生,研究方向:数据挖掘、数据融合。
112
王宇辰: 非负矩阵分解算法综述
2021年第 2 期
由于现实问题中存在大量混合符号的数据, D i n g 提
出Semi-NMF算法,其核心思想是当数据矩阵 X 元素有
正有负时, 仅约束系数矩阵V 元素非负, 基矩阵U 中
的元素可正可负, 优化目标函数则变为:
min
V 0
X UV
2 F
。
可 将 Se m i - N M F 视 为 K - m e a n s 算 法 的“ 软 聚 类 ”版 本 。
示高维数据。若采用欧式距离来度量矩阵分解的损失, 则
非负矩阵分解算法
应用于寻找局部最小值。
4
梯度下降法4可能是实现起来最简单的技术，但其收敛速度可能 很慢。其他方法如共轭梯度具有更快的收敛（至少在局部最小值附 近），但是比梯度下降更复杂[8]。并且，基于梯度的方法的收敛具有 对步长选择非常敏感的缺点，这对于大型应用非常不方便。
四．乘法矫正规则
我们发现，以下“乘法矫正规则”是解决问题 1 和 2 的速度和
1
3(������3 −
T ������3TℎT)1
(15)
证明：因为显然������ ℎ, ℎ ≥ ������ ℎ ，我们只需要证明������ ℎ, ℎd ≥ ������ ℎ ，
为了证明需要，我们对比
������ ℎ = ������ ℎe + ℎ − ℎe X∇������ ℎe + g ℎ − ℎe X ������X������ ℎ − ℎe
������TU
=
Z[\ (]^]Z)[\
(7)
那么我们获得在定理 1 中给出的 H 的矫正规则。注意，该重新
调整会得出乘子因子（分母中的梯度的正分量和因子的分子中的负
分量的绝对值）。
对于散度，对角线重新调整梯度下降采取以下显示：
������TU ← ������TU + ������TU[ 3 ������3T������3U/(������������)3U − 3 ������3T] (8)
非负矩阵分解算法1
摘 要:非负矩阵分解（NMF）是一种处理多变量数据分解极为有效的方
法。这里分析了两种不同的 NMF 多重算法。它们只在矫正规则2中使用 的乘法因子上略有不同。一种算法可以最小化传统的最小二乘误差，而 另一种算法则能将广义的 Kullback-Leibler 发散度最小化。两种算法 的单调收敛性均可使用类似于用于证明期望最大化算法收敛的辅助函 数来证明。 这些算法采用对角比例梯度下降的方式，重新调整因子被 最优选择以确保收敛。
非负矩阵分解应用
非负矩阵分解应用非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization，NMF）是一种常用的数据分析方法，可以将一个非负矩阵分解成两个非负矩阵的乘积。
这种方法在很多领域都有广泛应用，例如图像处理、自然语言处理、社交网络分析等。
在图像处理中，NMF被广泛应用于图像压缩和特征提取。
通过对一张图片进行NMF分解，可以得到两个矩阵，一个表示图片的主题部分，另一个表示图片的背景部分。
这样就可以将图片压缩成更小的尺寸，并且保留了重要的信息。
此外，在图像分类中，NMF也可以用来提取图片特征，并且可以帮助分类器更好地识别不同类别之间的差异。
在自然语言处理领域中，NMF被广泛应用于文本分类和主题建模。
通过对一篇文章进行NMF分解，可以得到两个矩阵，一个表示文章中包含哪些主题词汇，另一个表示每个主题词汇在文章中出现的频率。
这样就可以将一篇文章划分为不同主题，并且可以更好地理解文章所涉及的内容。
在社交网络分析中，NMF被广泛应用于社交网络用户的行为分析和社区发现。
通过对社交网络用户的行为数据进行NMF分解，可以得到两个矩阵，一个表示用户的兴趣爱好，另一个表示用户在这些兴趣爱好上的行为频率。
这样就可以更好地理解不同用户之间的差异，并且可以更好地发现社区结构。
除了以上应用外，NMF还被广泛应用于信号处理、音频处理、基因表达数据分析等领域。
在信号处理中，NMF可以用来提取信号中的重要成分，并且可以帮助识别不同信号之间的差异。
在音频处理中，NMF 可以用来提取音频中的乐器成分，并且可以帮助识别不同音乐之间的差异。
在基因表达数据分析中，NMF可以用来识别基因表达数据中的关键成分，并且可以帮助理解不同基因之间的相互作用。
综上所述，非负矩阵分解是一种非常有用的数据分析方法，在很多领域都有广泛应用。
通过对数据进行NMF分解，我们可以更好地理解数据所包含的信息，并且能够更好地发现数据之间的差异和相似性。
未来，随着数据分析技术的不断发展，NMF将会在更多的领域中得到广泛应用。
非负矩阵分解的两种方法简析
⾮负矩阵分解的两种⽅法简析⼀、使⽤⾮负最⼩⼆乘法问题给定⼀个矩阵A,将其分解成两个⾮负的因⼦：A M×N≈W M×K×H K×N,suchthat W M×K≥0 and H K×N≥0解法我们的解决⽅法包含两个步骤。
⾸先，在 A 给定的情况下固定 W 然后求解 H。
接下来固定 H 来求解 W。
迭代的重复这个过程，求解的⽅法就是最⼩⼆乘法，所以这种⽅法也叫做交替最⼩⼆乘法(ALS)。
但是我们的问题有特殊性，那就是我们将 W 和 H 约束位⾮负的，所以我们⽤⾮负最⼩⼆乘（NNLS）来代替最⼩⼆乘。
代码⽰例import numpy as npfrom scipy.optimize import nnlsM, N = 20, 10K = 4np.random.seed(2019)A_orig = np.abs(np.random.uniform(low=0.0, high=1.0, size=(M,N)))A = A_orig.copy()# 在实际问题中常会出现 A 中有缺失值的情况，特别是在协同过滤的问题中A[0, 0] = np.NANA[3, 1] = np.NANA[6, 3] = np.NANA[3, 6] = np.NANW = np.abs(np.random.uniform(low=0, high=1, size=(M, K)))H = np.abs(np.random.uniform(low=0, high=1, size=(K, N)))def cost(A, W, H):# 计算代价函数时忽略 A 中缺失的元素mask = ~np.isnan(A)WH = np.dot(W, H)WH_mask = WH[mask] # Now WH_mask is a vector, only include the non-nan valuesA_mask = A[mask]A_WH_mask = A_mask-WH_maskreturn np.linalg.norm(A_WH_mask, 2)num_iter = 1000for i in range(num_iter):if i%2 ==0:# 固定 W 求解 Hfor j in range(N): # 注意 H 是⼀列⼀列的求mask_rows = ~np.isnan(A[:,j])H[:,j] = nnls(W[mask_rows], A[:,j][mask_rows])[0]else:# 固定 H 求解 Wfor j in range(M): # W 是⼀⾏⼀⾏的求mask_rows = ~np.isnan(A[j,:])W[j,:] = nnls(H.T[mask_rows], A[j,:][mask_rows])[0]if i%100 == 0:print(i,cost(A,W,H))⼆、使⽤TensorFlow主要是利⽤梯度下降的原理代码⽰例import tensorflow as tfimport numpy as npnp.random.seed(2019)A = np.array([[np.nan, 4, 5, 2],[4, 4, np.nan, 3],[5, 5, 4, 4]], dtype=np.float32).T # 4 users,3 movies# Boolean mask for computing cost only on non-missing valuetf_mask = tf.Variable(~np.isnan(A))shape = A.shapeA = tf.constant(A)# latent factorsrank = 3H = tf.Variable(np.random.randn(rank,shape[1]).astype(np.float32))W = tf.Variable(np.random.randn(shape[0],rank).astype(np.float32))WH = tf.matmul(W,H)# Define cost on Frobenius normcost = tf.reduce_sum(tf.pow(tf.boolean_mask(A,tf_mask)\- tf.boolean_mask(WH,tf_mask),2))learning_rate = 0.001steps=1000train_step = tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate).minimize(cost) init = tf.global_variables_initializer()# Clipping operation. This ensure that W and H learnt are non-negativeclip_W = W.assign(tf.maximum(tf.zeros_like(W),W))clip_H = H.assign(tf.maximum(tf.zeros_like(H),H))clip = tf.group(clip_W,clip_H)steps = 1000with tf.Session() as sess:sess.run(init)for i in range(steps):sess.run(train_step)sess.run(clip)if i%100==0:print("Cost: ",sess.run(cost))learnt_W = sess.run(W)learnt_H = sess.run(H)Processing math: 100%。
非负矩阵分解算法综述
非负矩阵分解算法综述非负矩阵分解（Non-Negative Matrix Factorization, NMF）是一种常用的非线性降维和特征提取技术，广泛应用于图像处理、文本挖掘、推荐系统等领域。
本文将对非负矩阵分解算法进行综述。
一、基本原理V≈WH其中，W的每一列可以看作是数据的一个潜在特征，H是通过组合这些特征得到的原始数据的表示。
NMF的目标是找到合适的W和H，使得V 和WH的差异最小化。
二、经典NMF算法1. Multiplicative Update（MU）Multiplicative Update算法是最早的NMF方法之一，通过迭代更新W和H的元素来最小化目标函数。
该方法简单易懂，但可能陷入局部最优解。
2. Alternating Nonnegative Least Squares（ANLS）ANLS算法通过最小二乘法对每一轮更新W和H的元素，得到更好的分解结果。
相比于MU算法，ANLS算法更稳定，但计算复杂度较高。
3. Projected Gradient Descent（PGD）PGD方法通过梯度下降法对W和H更新的过程进行限制，使得其始终保持非负。
该方法在稀疏矩阵分解问题中表现较好。
4. Sparse NMFSparse NMF算法是对NMF进行改进，引入了稀疏性约束。
通过加入稀疏性约束，该算法能够产生更加稀疏的特征表示，提高了特征提取的效果。
三、进展和拓展1.随机NMF随机NMF方法通过随机选择分解结果的初始化值，然后在迭代过程中进行更新，可以避免陷入局部最优解。
2.多尺度NMF多尺度NMF方法对输入矩阵进行多尺度分解，可以从不同尺度上捕捉到更丰富的特征信息。
3.核NMF核NMF方法利用核技巧将非负矩阵分解扩展到非线性情况，可以更好地处理非线性特征提取问题。
4.基于深度学习的NMF基于深度学习的NMF算法将NMF与深度学习模型结合，利用深度神经网络进行特征提取和分解，可以处理更加复杂的数据。
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从以上分析可以看到，当考虑不同的噪声类型 时，可以得到不同的目标函数用来实现矩阵分 解。 下面看下泊松噪声和高斯噪声的对比
三、假设噪声服从拉普拉斯分布
同理得到拉普拉斯噪声的迭代公式：
Bik Bik j C kj X ij ( BC) ij Bik Bik l Blk
C kj C kj i Bik X ij ( BC) ij
j
Ckj Ckj kj [ Bik
i
Bik ]
i
设置
Ckj 得到乘性迭代规则： Bik ik , kj Ckj Bik
j i
Bik Bik C kj C kj
j C kj X ij ( BC ) ij j C kj i Bik X ij ( BC) ij i Bik
NNSC η, λ = 0.001
SNMF β = 0.001
NNSC η, λ =0.001误差 Error_NNSC_0001 = 4.751*10^3 SNMF β = 0.001误差 Error_SNMF_0001 = 2.092*10^3
七、非负因子提取法（NFE）
迭代次数r=n/2，最大迭代次数maxiter=100时，与目前为止效果最好的LNMF对比 如下：
拉普拉斯分布
局部非负矩阵分解
拉普拉斯分布误差 Error_LPLS = 2.071*10*3 局部非负矩阵分解误差 Error_LNMF = 2.040*10^3 返回
五、非负稀疏编码（NNSC）
迭代次数r=n/2，最大迭代次数maxiter=100时，特别地，由于使用加性迭代，迭 式子中出现η和λ常量， 现取η, λ =0.001和0.0001，效果对比如下r=100时，与高斯分布的效果图对比如下：
高斯分布
高斯分布误差 Error_GS = 2.487*10^3 拉普拉斯分布误差 Error_LPLS = 2.071*10*3
拉普拉斯分布
返回
四、局部非负矩阵分解（LNMF）
迭代次数r=n/2，最大迭代次数maxiter=100时，与NMF中效果最好的拉普拉斯分布 的效果图对比如下：
r = n/2 ,maxiter = 200
返回
二、假设噪声服从泊松分布
迭代次数r=n/2，最大迭代次数maxiter=100时，与高斯分布的效果图 对比如下：
高斯分布 高斯分布误差 Error_GS = 2.487*10^3 泊松分布误差 Error_PS = 2.086*10^3
泊松分布
返回
三、假设噪声服从拉普拉斯分布
非负矩阵分解的几种方法初窥
引论
矩阵分解是实现大规模数据处理与分析的一 种有效的工具，非负矩阵分解（nonnegative matrix factorization,NMF）算法是 在矩阵中所有元素均为非负的条件下对其实 现的非负分解。
非负矩阵分解的定义
假设处理m个n维空间的样本数据，用 X nm 表示。该数据矩 阵中各个元素都是非负的，表示为X >= 0 。对矩阵 X 进行 线性分解，有
ij
现令
p( X B, C ) p( X ij B, C )
则最大似然函数解是最小化如下的损失函数：
L(B, C)
令
1 2 2 [ X ( BC ) ] ij ij ij log( 2 ij ) 2 ij ij
ij 1
并忽略因子1/2和常数项
log(
ij
2 ij ) 则得到
采用传统的梯度法，有：
LED 2[( XC T )ik ( BBC T )ik ], Lik LED 2[( XC T )ik ( BT BC ) kj ]. Lkj
于是得到如下的加性迭代规则 ：
Bik Bik ik [( XCT ) ik ( BCCT ) ik ] Ckj Ckj kj [(B T X ) kj ( B T BC) kj ]
Bik l Blk Ckj i Bik X ij ( BC) ij
效果与拉普拉斯对比 此外还有一些非负矩阵分解法效果
一、假设噪声服从高斯分布
1）迭代次数r=n/2，最大迭代次数maxiter=100时，效果图对比如下：
原图 误差 Error = 2.487*10^3
分解后
2）迭代次数r=n/4，最大迭代次数maxiter=100时，效果图对比如下：
为了求解因子矩阵B，C，考虑如下的最大似然解
B, C arg max pX B, C arg min log pX B, C B ,C B ,C
假设噪声服从不同的概率分布，就可以得到不同类型的目标 函数。
一、考虑噪声服从高斯分布
由上式得到：
1 X ( BC) 2 ij ij p( X ij B, C ) exp ( 2 ij ) 2 ij
LNMF
NFE
局部非负矩阵分解误差 Error_LNMF = 2.040*10^3 非负因子提取法分解误差 Error_NFE = 1.439*10^3
r = n/2 ,maxiter =100
误差 Error = 3.191*10^3
r = n/4 , maxiter = 100
3）迭代次数r=n/2，最大迭代次数maxiter=200时，效果图对比如下：
r = n/2 , maxiter = 100 误差 Error = 2.301*10^3
二、假设噪声服从泊松分布 同高斯分布最大似然函数：
L( B, C ) [ X ij log(BC)ij ( BC)ij log(X ij!)]
ij
又同理得到加性迭代规则：
Bik Bik ik [ Ckj
j
X ij ( BC) ij X ij ( BC) ij
Ckj ]
X nm Bnr Crm
其中B 称为基矩阵，C为系数矩阵。若选择r比n小，用系 数矩阵代替原数据矩阵，就可以实现对原矩阵的降维
非负矩阵的概率模型
将矩阵分解看成如下含线性噪声的线性混合体模型：
X nm Bnr Crm Enm
其中E为噪声矩阵。进一步，也可以写成
X ij BCij Eij
如果令
Ckj Bik , kj ( BCCT )ik ( BT BC) kj 加性迭代就成为了乘性迭代规则：
ik
( B X ) kj ( XC )ik Bik Bik , Ckj Ckj T T ( BCC )ik ( B BC) kj
T
T
式子中的k即为分解矩阵中的r，显然r值越大分解 效果越好但同时也就是失去了我们降维的初衷。 但降的维数又不能太小，否则会失去样本本来的 一些特性。同时根据迭代特性，迭代次数越多分 解越精确。 下面我们来看下效果对比。 其中误差是指 Error = X – BC;
0.001 0.0001 NNSC η, λ =0.001误差 Error_0001 = 4.751*10^3 NNSC η, λ =0.0001误差 Error_00001 = 2.354*10^3
六、稀疏非负矩阵分解（SNMF）
迭代次数r=n/2，最大迭代次数maxiter=100时，特别地，由于式子中有常数因子β 出现，则现令β = 0.001，与非负稀松编码（NNSC）比较如下：
与高斯噪声效果对比
四、局部非负矩阵分解（LNMF）
LNMF要求一个基向量的各个成分不应该被分解得太多；同时 用来表示原始数据的基向量的成分数目尽可能的小；基向量尽 可能接近正交化；含有重要信息的被保留，其迭代规则有：
Bik Bik Bik Ckj
j Ckj X ij ( BC) ij j Ckj