新初中数学二次函数基础测试题及答案
二次函数测试题及答案
二次函数测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = 2x + 1B. y = x^2 + 3x + 2C. y = 3x^3 - 5D. y = 4/x答案：B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为（h, k），那么h的值为：A. -b/2aB. -b/aC. b/2aD. b/a答案：C3. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的对称轴方程是：A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案：A4. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，那么a的值：A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 可以是任意实数答案：A5. 二次函数y = -x^2 + 4x - 3的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 0)D. (3, 4)答案：C6. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 5的图象与x轴的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C7. 二次函数y = x^2 - 4x + 4的最小值是：A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A8. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的图象开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：A9. 二次函数y = -x^2 + 2x + 3的图象与y轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (0, -3)C. (0, 5)D. (0, -5)答案：A10. 二次函数y = 5x^2 - 10x + 8的图象与x轴的交点坐标是：A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (1, 0)D. (-1, 0)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且经过点（2, 0），则a的值至少为______。
答案：02. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是（______, ______）。
初中数学二次函数的图象与性质基础练习题A1(附答案详解)
初中数学二次函数的图象与性质基础练习题1（附答案详解）1．将二次函数2y x 的图像向上平移1个单位，则所得的二次函数表达式为（ ） A ．2(1)y x =- B ．21y x =+ C ．2(1)y x =+ D ．21y x =-2．如图，二次函数243y x x =-+的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，则ABC的面积为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．13．在平面直角坐标系中，二次函数y=2（x ﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（1，﹣3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣1，﹣3） 4．将二次函数y=x 2-4x+2化为顶点式，正确的是（ ）A ．2y (x 2)2=--B ．2y (x 2)3=-+C ．2y (x 2)2=+-D ．2y (x 2)2=-+5．二次函数2y 3x 4=-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ） A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点()3,4C ．抛物线的对称轴是直线x 1=D ．抛物线与x 轴有两个交点6．抛物线y ＝－2x 2经过平移后得到抛物线y ＝－2x 2－4x －5，平移方法是（ ）A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝c x的大致图象是( ) A ． B ． C ． D ．8．若点()111,P y -，()222,P y -，()331,P y ，都在函数223y x x =-+的图象上，则（ ）A ．213y y y << B ．123y y y << C ．213y y y >>D ．123y y y >>9．已知二次函数y=x 2﹣bx+2（﹣2≤b≤2），当b 从﹣2逐渐增加到2的过程中，它所对应的抛物线的位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） A ．先往左上方移动，再往左下方移动B ．先往左下方移动，再往左上方移动C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．先往右下方移动，再往右上方移动10．如图，抛物线与x 轴交于点()1,0-和()3,0，与y 轴交于点()0,3-则此抛物线对此函数的表达式为（ ）A ．223y x x =++B ．223y x x =--C ．223y x x =-+D ．223y x x =+- 11．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x 2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是__________。
人教版初中数学二次函数基础测试题附答案
【分析】
设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．
【详解】
解：设原数为m，则新数为 ，
设新数与原数的差为y
则 ，
易得，当m＝0时，y＝0，则A错误
∵
当 时，y有最大值．则B错误，D正确．
当y＝21时， ＝21
解得 ＝30， ＝70，则C错误．
故答案选：D．
【点睛】
本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．
8．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）
A．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）
B．当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于
C．当m≠0时，函数图象经过同一个点
D．当m<0时，函数在x> 时，y随x的增大而减小
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分三种情况求出y与t的函数关系式.当0≤t≤2.5时：P点由B到A；当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时；当4≤t≤6时，即P点从D到C时.即可得出正确选项．
【详解】
解：作AE⊥BC于E，根据已知可得，
AB2=42+（6-3）2，
解得，AB=5cm．
下面分三种情况讨论:
当0≤t≤2.5时：P点由B到A， ,y是t的二次函数.最大面积= 5 cm2;
当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时， , y是t的一次函数且最大值= ;
当4≤t≤6时，即P点从D到C时， y是t的二次函数
故符合y与t的函数图象是B．
最新人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．设函数()()24310y kx k x k =+++<，若当x m <时，y 随着x 的增大而增大，则m 的值可以是（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2-2．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．对于二次函数()()2140y ax a x a =+->，下列说法正确的是（ ） ①抛物线与x 轴总有两个不同的交点；②对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点； ③若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<；④当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 4．将二次函数221y xx =+-化为2()y x h k =-+的形式时，结果正确的是（ ） A ．2(1)2y x =+-B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =-+D ．2(1)3y x =++5．若飞机着陆后滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，则函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如果二次函数2112y x ax =-+，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，且关于x 的分式方程4311x a x x++=--有正整数解，则所有符合条件的a 的值之和为（ ）． A ．9 B ．8 C ．4 D ．37．当0ab >时，2y ax =与y ax b =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是（ ）A ．直线2x =-B ．直线3x =C ．直线1x =D ．直线2x = 9．抛物线28y x x q =++与x 轴有交点，则q 的取值范围是（ ）A ．16q <B ．16q >C ．16q ≤D ．16q ≥ 10．要在抛物线()4y x x =-上找点(),P a b ，针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下（ ）甲：若5b =，则点P 的个数为0乙：若4b =，则点P 的个数为1丙：若3b =，则点P 的个数为1A ．甲乙错，丙对B ．甲丙对，乙错C ．甲乙对，丙错D ．乙丙对，甲错 11．将抛物线22y x =先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得的抛物线对应的函数关系式是 （ ）A ．2(2-1)-3y x =B ．22(-1)-3y x =C ．2(21)-3y x =+D ．22(1)-3y x =+12．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc >B ．20a b +<C ．关于x 的方程230ax bx c +++=有两个相等的实数根D ．930a b c ++<二、填空题13．已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是______．14．将抛物线2y x 向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是__________．15．已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M 平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为______．16．若抛物线22y x x c =++与坐标轴有两个交点，则c 应满足的条件是_______．17．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y ＝﹣13x 2，桥下的水面宽AB 为6m ，当水位上涨2m 时，水面宽CD 为_____m （结果保留根号）．18．将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为________.19．已知点()1,A a m y -、()2,B a n y -、()3,C a b y +都在二次函数221y x ax =-+的图象上，若0m b n <<<，则1y 、2y 、3y 的大小关系是_________．20．已知二次函数246y x x =--，若16x -≤≤，则y 的取值范围为____． 三、解答题21．已知：直线2l y x =+：与过点(0,2)-且平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =- 的对称点为点B ．（1）求A B 、两点的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++的顶点(,)m n 在直线l 上移动．①当抛物线2y x bx c =-++与坐标轴仅有两个公共点，求抛物线解析式；②若抛物线2y x bx c =-++与线段AB 有交点，当抛物线的顶点(,)m n 向上运动时，抛物线与y 轴的交点也向上运动，求m 的取值范围．22．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△ACM 的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，Rt △OAB 中,∠OAB=90°，O 为坐标原点，边OA 在x 轴上，OA=AB=2个单位长度，把Rt △OAB 沿x 轴正方向平移2个单位长度后得△11AA B ．(1)求以A 为顶点，且经过点1B 的抛物线的解析式；(2)若(1)中的抛物线与OB 交于点C ，与y 轴交于点D ，求点D 、 C 的坐标．24．某车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费1.8万元购进的甲种水果与2.4万元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元．（1）求甲、乙两种水果的单价；（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头需要甲乙水果各0.5千克，而每听罐头的成本除了水果成本之外，其他所有成本是水果成本的57还要多3元．调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？（3）若想使得该种罐头的销售利润每天达到6万元，并且保证降价的幅度不超过定价的15%，每听罐头的价钱应为多少钱？25．已知二次函数y ＝﹣x 2+4x +5，完成下列各题：（1）求出该函数的顶点坐标．（2）求出它的图象与x 轴的交点坐标．（3）直接写出：当x 为何值时，y ＞0．26．有这样一个问题：探究函数243y x x =-+的图象与性质．小丽根据学习函数的经验，对函数243y x x =-+的图象与性质进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）函数243y x x =-+的自变量x 的取值范围是_______．（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，画出了函数243y x x =-+的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；（3）对于上面的函数243y x x =-+，下列四个结论：①函数图象关于y 轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当2x >时，y 随x 的增大而增大，当2x <-时，y 随x 的增大而减小；④函数图象与x 轴有2个公共点．所有正确结论的序号是_____．（4）结合函数图象，解决问题：若关于x 的方程243x x k -+=有4个不相等的实数根，则k 的取值范围是____．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】当k ＜0时，抛物线对称轴为直线432k x k +=-，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，根据题意，得m≤-432k k +，而当k ＜0时，-432k k +=-2-32k ＞-2，可确定m 的范围， 【详解】 对称轴：直线433222k x k k+=-=--， 0k <， 3222k∴-->-， x m <时，y 随x 的增大而增大，322m k ∴≤--， 2m ∴≤-，∴m 的值可以是-2，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数图象的对称轴是解题的关键． 2．D解析：D【分析】根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故B 选项错误；当a ＞0，c ＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，故C 选项错误； 当a ＜0，c ＞0时，二次函数开口向下，一次函数经过一、二、四象限，故A 选项错误，D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．3．B解析：B【分析】①由y=0，一元二次方程()214=0ax a x +-，判别式()2=14a ∆-=0即可判断①；②抛物线中c=0，恒过原点，当x=4，函数值为4即可判断②；③抛物线对称轴为：122x a =-当11222a<-<时，解得102a <<，求出12a >即可判断③；④0a >，对称轴为：1222x a =-<，由抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大即可判断④．【详解】①由y=0，()214=0ax a x +-，()2=14a ∆-，当1=04a >时，()2=14=0a ∆-有一个交点，为此抛物线与x 轴总有两个不同的交点不正确； ②由()()2140y ax a x a =+->中c=0，抛物线恒过原点（0，0），当x=4，()4=1166144416y a a a a ⨯-=++=-，抛物线恒过（4，4），为此对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点正确； ③()()2140y ax a x a =+->对称轴为：1441122222b a a x a a a a --=-=-==-， 当11222a <-<时，解得102a <<， ∴12a >， 为此当12a >，若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<正确； ④()()2140y ax a x a =+->对称轴为：122x a=-， ∵0a >，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大， 由此1222x a =-≤， 解得10a>即0a >， 为此当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤不正确．故选择：B ．【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线过定点，抛物线的对称轴，抛物线的增减性等问题，掌握抛物线的性质以及一元二次方程根的判别式是解题关键．4．A解析：A【分析】加上一次项系数的一半的平方凑成完全平方式，把一般式化为顶点式．【详解】221y x x =+-=22111x x ++--=2(1)2y x =+-，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数的一般式转化为顶点式，掌握方法是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据关系式可得图象的开口方向，可求出函数的顶点坐标，根据s 从0开始到最大值时停止，可得t 的取值范围，即可得答案．【详解】∵滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，-1.5＜0，∴图象的开口向下，∵s=60t-1.5t 2=-1.5（t-20）2+600，∴顶点坐标为（20，600），∵s 从0开始到最大值时停止，∴0≤t≤20，∴C 选项符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．6．C解析：C【分析】由二次函数的性质可先确定出a 的范围，再由二次函数的性质可确定出a 的范围，解分式方程确定出a 的取值范围，从而可确定出a 的取值，可求得答案．【详解】解：∵二次函数2112y x ax =-+， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝a ，∴当x ＜a 时，y 随x 的增大而减小，∵当x≤1时，y 随x 的增大而减小，∴a≥1， 解分式方程4311x a x x ++=--可得x ＝72a -， ∵关于x 的分式方程4311x a x x ++=--有正整数解， ∵x≠1，∴满足条件的a 的值为1，3，∴所有满足条件的整数a 的值之和是1＋3＝4，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、分式方程的解，通过解分式方程以及二次函数的性质，找出a 的值是解题的关键．7．D解析：D【分析】根据选项中的二次函数图象和一次函数图象，判断a 和b 的正负，选出正确的选项．【详解】A 选项，抛物线开口向上，0a >，一次函数过一、三、四象限，0a >，0b <，不满足0ab >，故错误；B 选项，抛物线开口向上，0a >，一次函数过一、二、四象限，0a <，0b >，不满足ab>0，故错误；C 选项，抛物线开口向下，0a <，一次函数过一、三、四象限，0a >，0b <，不满足ab>0，故错误；D 选项，抛物线开口向下，0a <，一次函数过二、三、四象限，0a <，0b <，满足ab>0，正确故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象与各项系数的关系，解题的关键是掌握根据函数图象判断各项系数正负的方法．8．D解析：D【分析】直接利用二次函数对称轴求法得出答案．【详解】解：抛物线y=（x-2）2+3的对称轴是：直线x=2．故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握对称轴确定方法是解题关键．9．C解析：C【分析】根据抛物线与x 轴的交点情况可得到方程280x x q ++=根的情况，进而得到根的判别式大于等于0，即可得到关于q 的不等式，最后解不等式即可得到答案．【详解】解：∵抛物线28y x x q =++与x 轴有交点∴方程280x x q ++=有实数根∴2248416440b ac q q ∆=-=-⨯⋅=-≥∴16q ≤．故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象性质与一元二次方程根的情况的关系、解一元一次不等式等，体现了数形结合的思想．10．C解析：C【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4），由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：y=x （4-x ）=-x 2+4x=-（x-2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），∴在抛物线上的点P 的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b=3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．11．B解析：B【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．【详解】解：抛物线y =22x 的顶点坐标为(0，0)，向右平移1个单位,再向下平移3个单位后的图象的顶点坐标为(1，−3)，所以,所得图象的解析式为y =22(1)x - -3．故选：B【点睛】本题考查了函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图象的变化是解题的规律．12．D解析：D【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故A 选项错误；对称轴为x=-2b a=1，得2a=-b ， ∴2a+b=0，故B 错误； 由图像可得二次函数的图象与x 轴有两个交点，故230ax bx c +++=有两个相等的实数根的说法错误，故C 错误；∵对称轴为x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点得横坐标小于2，∴当x=3时，y=9a+3b+c ＜0，故D 正确；【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．二、填空题13．【分析】先根据二次函数的对称性求出其与x 轴的另一个交点坐标再根据图象法即可得【详解】由图象可知抛物线的对称轴为与x 轴的一个交点坐标为则其与x 轴的另一个交点坐标为结合图象得：当时故答案为：【点睛】本题 解析：13x【分析】先根据二次函数的对称性求出其与x 轴的另一个交点坐标，再根据图象法即可得．【详解】由图象可知，抛物线的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，则其与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)，结合图象得：当0y <时，13x ，故答案为：13x．【点睛】 本题考查了二次函数的对称性、二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．14．【分析】根据二次函数图象左加右减上加下减的平移规律进行求解【详解】解：将抛物线y=x2向上平移1个单位再向左平移2个单位后得到的抛物线y=（x+2）2+1此时抛物线顶点坐标是（-21）故答案为：（-解析：()2,1-【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【详解】解：将抛物线y=x 2向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线y=（x+2）2+1．此时抛物线顶点坐标是（-2，1）．故答案为：（-2，1）．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．15．；【分析】先令y=0求得点AB 的坐标再求得顶点M 的坐标根据题意即可得出平移的方向和距离进而可求得平移后的解析式【详解】解：令y=0则有解得：x1=1x2=3∴A(10)B(30)∵=（x ﹣2）2﹣1解析：221y x x =++； 【分析】先令y=0求得点A 、B 的坐标，再求得顶点M 的坐标，根据题意即可得出平移的方向和距离，进而可求得平移后的解析式．【详解】解：令y=0，则有2043x x =-+，解得：x 1=1，x 2=3，∴A(1，0)，B(3，0)，∵243y x x =-+=（x ﹣2）2﹣1，∴顶点M 的坐标为（2，﹣1），∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，∴将原抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度，即可得到平移后的抛物线，∴平移后的顶点坐标为（﹣1，0），即平移后的解析式为y=（x+1）2=x 2+2x+1，故答案为：221y x x =++．【点睛】 本题考查了二次函数的图像与几何变换，会求抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，熟练掌握抛物线平移的变换规律是解答的关键．16．或【分析】根据抛物线与轴有两个交点可知二次函数过原点或与轴相切故分两种情况解答：①将代入解析式；②△【详解】解：抛物线与坐标轴有两个交点①将代入解析式得；②△解得故答案为：或【点睛】本题考查的是抛物解析：0c 或18【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可知二次函数过原点或与x 轴相切．故分两种情况解答：①将(0,0)代入解析式；②△0=．【详解】 解：抛物线22y x x c =++与坐标轴有两个交点， ①将(0,0)代入解析式得0c； ②△180c =-=， 解得18c =． 故答案为：0c 或18． 【点睛】 本题考查的是抛物线与x 轴的交点及根的判别式，熟知抛物线与x 轴的交点问题与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．17．2【分析】首先求出B 点纵坐标进而得出D 点纵坐标即可求出D 点横坐标进而得出CD 的长【详解】解：由题意可得：当AB ＝6m 则B 点横坐标为3故此时y ＝﹣×32＝﹣3当水位上涨2m 时此时D 点纵坐标为：﹣3+2解析：【分析】首先求出B 点纵坐标，进而得出D 点纵坐标，即可求出D 点横坐标，进而得出CD 的长．【详解】解：由题意可得：当AB ＝6m ，则B 点横坐标为3，故此时y ＝﹣13×32＝﹣3， 当水位上涨2m 时，此时D 点纵坐标为：﹣3+2＝﹣1，则﹣1＝﹣13x 2，解得：x ＝故当水位上涨2m 时，水面宽CD 为．故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，求出D 点横坐标是解题关键．18．y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减左加右减可得平移后的函数解析式【详解】解：将二次函数 的图象先向左平移2个单位再向下平移4个单位则所得图象的函数表达式为：y=2（x解析：y=2（x+1）2-1【分析】利用二次函数图像平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式．【详解】解：将二次函数 ()2213y x =-+ 的图象先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，则所得图象的函数表达式为：y=2（x-1+2）2+3-4∴y=2（x+1）2-1.故答案为：y=2（x+1）2-1.【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 19．【分析】先根据二次函数解析式找出开口方向与对称轴再根据ABC 点与对称轴的距离判断y 值得大小即可【详解】∵二次函数∴对称轴方程为且抛物线开口向上∴横坐标离对称轴x=a 越远y 越大a-m 离x=a 有m 个单位解析：231y y y >>【分析】先根据二次函数解析式找出开口方向与对称轴，再根据A 、B 、C 点与对称轴的距离判断y 值得大小即可.【详解】∵二次函数221y x ax =-+∴对称轴方程为22a x a -=-=，且抛物线开口向上， ∴横坐标离对称轴x=a 越远，y 越大，a-m 离x=a 有m 个单位长度，a-n 离x=a 有n 个单位长度，a+b 离x=a 有b 个单位长度，又∵0m b n <<<， ∴231y y y >>，故答案为：231y y y >>.【点睛】本题考查二次函数的对称性和增减性，根据二次函数解析式确定函数图像的对称轴是解答本题的关键 .20．【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标从而可得到y 的最小值然后再求得最大值即可【详解】解：y=x2-4x-6=x2-4x+4-10=（x-2）2-10∴当x=2时y 有最小值最小值为-10∵∴当x=解析：106y -≤≤【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标，从而可得到y 的最小值，然后再求得最大值即可．【详解】解：y=x 2-4x-6=x 2-4x+4-10=（x-2）2-10．∴当x=2时，y 有最小值，最小值为-10．∵16x -≤≤，∴当x=6时，y 有最大值，最大值为y=（6-2）2-10=6．∴y 的取值范围为106y -≤≤．故答案为：106y -≤≤．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题21．（1）()4,2A --；()2,2B -；（2）①244y x x =---；②43m -≤≤-或0＜5m ≤【分析】（1）根据已知直线和对称点的性质即可求出A 、B ．（2）①根据抛物线的顶点为直线2l y x =+：与x 轴的交点()2,0-求解即可；②根据已知条件判断出二次函数顶点的位置，计算即可；【详解】（1）直线2l y x =+：与2y =-的交点为A ，则可得到：22x -=+，∴4x =-，∴点A 的坐标是()4,2--， 设(),2Bb -，点A 与点B 关于1x =-对称，则()()141b ---=--， ∴2b =，∴()2,2B -；（2）①当抛物线2y x bx c =-++与坐标轴仅有两个公共点，此时抛物线的顶点为直线2l y x =+：与x 轴的交点()2,0-， 则222b b x a =-==-， ∴4b =-，代入顶点可得4c =-， ∴抛物线的解析式为244y x x =---；②抛物线2y x bx c =-++与线段AB 有交点，∴顶点坐标为(),2m m +，∴抛物线的解析式可化为()22y x m m =--++， 把点()4,2A --代入解析式可得，()2242m m -=---++，13m =-，24m =-，∴43m -≤≤-，把点()2.2B -代入解析式得， ()2222m m ---++=-， 30m =，45m =，∴0＜5m ≤；综上所述：43m -≤≤-或0＜5m ≤．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，准确分析计算是解题的关键．22．（1）223y x x =--；（2）存在，M （1，﹣2）【分析】（1）把A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 可求出a 、b 、c 的值，即可确定二次函数关系式；（2）由对称可知，直线BC 与直线x ＝1的交点就是要求的点M ，求出直线BC 的关系式即可．【详解】解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 得，09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得，123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的关系式为223y x x =--；（2）抛物线223y x x =--的对称轴为212x -=-=， ∵点M 在对称轴x ＝1上，且△ACM 的周长最短，∴MC +MA 最小，∵点A 、点B 关于直线x ＝1对称，∴连接BC 交直线x ＝1于点M ，此时MC +MA 最小，设直BC 的关系式为y ＝kx +b ，∵B （3，0），C （0，﹣3），∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，13k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的关系式为3y x =-，当x ＝1时，132y =-=-，∴点M （1，﹣2），∴在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得△ACM 的周长最短，此时M （1，﹣2）．【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握抛物线解析式的方法和利用轴对称的性质解决线段和最短问题．23．（1）()2122y x =-；（2）()0,2D ，(35,35C - 【分析】（1）根据三角形的边长求出点A 和点1B 的坐标，设抛物线解析式为()22y a x =-，代入点1B 坐标求出解析式；（2）令0x =，求出y 的值，得到点D 的坐标，再求出直线OB 的解析式和抛物线联立求出点C 的坐标．【详解】解：∵2OA =，∴()2,0A ，∵14OA =，112A B =，∴()14,2B ，设抛物线解析式为()22y a x =-，把点()14,2B 代入，得42a =，解得12a =，∴()2122y x =-； （2）令0x =，得1422y =⨯=， ∴()0,2D ，设直线OB 解析式为y kx =，把点()2,2B 代入，得到22k =，解得1k =，∴直线OB 解析式为y x =，联立直线和抛物线的解析式，得()2122x x -=，解得3x =±根据点C 的位置，取3x =∴(3C ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是掌握求二次函数的解析式的方法，求抛物线和直线交点的方法．24．（1）甲、乙两种水果的单价分别为6元/千克、8元/千克；（2）售价为23元时，利润最大，最大利润为64000元；（3）每听罐头的价钱应为25元【分析】（1）设甲种水果的单价为x 元/千克，乙种水果的单价为()2x +元/千克，列出分式方程进行求解；（2）先根据（1）中的结果算出水果成本，然后设降价m 元，表示出销量和单个利润，列出总利润的表达式，最后求出最值；（3）令（2）中的利润为6万元，列式求出m 的值，取范围内的值求出罐头价钱．【详解】解：（1）设甲种水果的单价为x 元/千克，乙种水果的单价为()2x +元/千克，根据题意得，180********x x =+， 解得：6x =，经检验，6x =是方程的根，28x ∴+=，答：甲、乙两种水果的单价分别为6元/千克、8元/千克；（2）由（1）知每听罐头的水果成本为：60.580.57⨯+⨯=元， 每听罐头的总成本为：5773157+⨯+=元， 设降价m 元，则利润()()22815300010001000W m m m =--+=-+()210000390001000564000m m +=--+， 10000-<，∴当5m =时，W 有最大值为64000，∴当售价为23元时，利润最大，最大利润为64000元；（3）由（2）知，()2100056400060000W m =--+=，解得：7m =或3m =，但是降价的幅度不超过定价的15%，3m ∴=， ∴售价为28325-=（元），答：每听罐头的价钱应为25元．【点睛】本题考查分式方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出方程或者函数表达式进行求解．25．（1）（2，9）；（2）（5，0）、（﹣1，0）；（3）当﹣1＜x ＜5时，y ＞0．【分析】（1）由y=-x 2+4x+5=-（x-2）2+9即可求解；（2）令y=-x 2+4x+5=0，解得x=5或-1，即可求解；（3）a=-1＜0，则抛物线开口向下，即可求解．【详解】解：（1）y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9，则抛物线的顶点坐标为（2，9）；（2）令y ＝﹣x 2+4x +5＝0，∴()-5(1=0x x ++） 解得x ＝5或﹣1，故图象与x 轴的交点坐标为（5，0）、（﹣1，0）；（3）∵a ＝﹣1＜0，故抛物线开口向下，故当﹣1＜x ＜5时，y ＞0．【点睛】【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．26．（1）x 为任意实数；（2）见解析；（3）①③；（4）13k -<<【分析】（1）根据函数解析式可以写出x 的取值范围；（2）根据函数图象的特点，可以得到该函数关于y 轴对称，从而可以画出函数的完整图象；（3）根据函数图象可以判断各个小题中的结论是否成立；（4）根据函数图象，可以写出关于x 的方程x 2-4|x |+3=k 有4个不相等的实数根时，k 的取值范围．【详解】解：（1）∵函数y=x2-4|x|+3，∴x的取值范围为任意实数，故答案为：任意实数；（2）由函数y=x2-4|x|+3可知，x＞0和x＜0时的函数图象关于y轴对称，函数图象如右图所示；（3）由图象可得，函数图象关于y轴对称，故①正确；函数有最小值，但没有最大值，故②错误；当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜-2时，y随x的增大而减小，故③正确；函数图象与x轴有4个公共点，故④错误；故答案为：①③；（4）由图象可得，关于x的方程x2-4|x|+3=k有4个不相等的实数根，则k的取值范围是-1＜k＜3，故答案为：-1＜k＜3．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．。
新人教版九年级上册数学：《二次函数》基础练习含答案(5套)
时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．若y ＝mx 2＋nx －p (其中m ，n ，p 是常数)为二次函数，则( ) A ．m ，n ，p 均不为0 B ．m ≠0，且n ≠0 C ．m ≠0 D ．m ≠0，或p ≠02．当ab >0时，y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象大致是( )二、填空题(每小题4分，共8分)3．若y ＝x m －1＋2x 是二次函数，则m ＝________. 4．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图J22-1-1，则k 的取值范围为________．图J22-1-1三、解答题(共11分) 5．在如图J22-1-2所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y ＝2x 2和y ＝－12x 2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)：图J22-1-2(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；(2)抛物线y ＝2x 2，当x ______时，抛物线上的点都在x 轴的上方，它的顶点是图象的最______点；(3)函数y ＝－12x 2，对于一切x 的值，总有函数y ______0；当x ______时，y 有最______值是______．时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( ) A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝(x ＋1)2 D ．y ＝(x －1)22．二次函数y ＝－x 2＋2x 的图象可能是( )二、填空题(每小题4分，共8分)3．抛物线y ＝x 2＋14的开口向________，对称轴是________．4．将二次函数y ＝2x 2＋6x ＋3化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式是________． 三、解答题(共11分)5．已知二次函数y ＝－12x 2＋x ＋4.(1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．已知二次函数的图象过(1,0)，(2,0)和(0,2)三点，则该函数的解析式是( ) A ．y ＝2x 2＋x ＋2 B ．y ＝x 2＋3x ＋2 C ．y ＝x 2－2x ＋3 D ．y ＝x 2－3x ＋22．若二次函数的图象的顶点坐标为(2，－1)，且抛物线过(0,3)，则二次函数的解析式是( )A ．y ＝－(x －2)2－1B ．y ＝－12(x －2)2－1C ．y ＝(x －2)2－1D ．y ＝12(x －2)2－1二、填空题(每小题4分，共8分) 3．如图J22-1-3，函数y ＝－(x －h )2＋k 的图象，则其解析式为____________．图J22-1-34．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14的顶点的横坐标是2，则m 的值是________．三、解答题(共11分)5．已知当x ＝1时，二次函数有最大值5，且图象过点(0，－3)，求此函数关系式．时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．下表是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的自变量x 的值与函数y 的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解的范围是( )x 6.17 6.18 6.19 6.20y ＝ax 2＋bx ＋c－0.03－0.010.020.04A.6<x <6.17 B ．6.17<x <6.18C ．6.18<x <6.19D ．6.19<x <6.202．二次函数y ＝2x 2＋3x －9的图象与x 轴交点的横坐标是( ) A.32和3 B.32和－3 C ．－32和2 D ．－32和－2二、填空题(每小题4分，共8分)3．已知抛物线y ＝x 2－x －1与x 轴的交点为(m,0)，则代数式m 2－m ＋2 011的值为__________．4．如图J22-2-1是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．图J22-2-1三、解答题(共11分) 5．如图J22-2-2，直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 都经过点A (1,0)，B (3,2)． (1)求m 的值和抛物线的关系式；(2)求不等式x 2＋bx ＋c >x ＋m 的解集(直接写出答案)．图J22-2-2时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．在半径为4 cm 的圆中，挖去一个半径为x cm 的圆，剩下一个圆环的面积为y cm 2，则y 与x 的函数关系为( )A ．y ＝πx 2－4B ．y ＝π(2－x )2C ．y ＝－(x 2＋4)D ．y ＝－πx 2＋16π2．已知某种礼炮的升空高度h (m)与飞行时间t (s)的关系式是h ＝－52t 2＋20t ＋1.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为( )A ．3 sB ．4 sC ．5 sD ．6 s 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8－x )个，则当x ＝________元，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大．4．如图J22-3-1，某省大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距地面4 m 的高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m ，则校门的高度为(精确到0.1 m ，水泥建筑物厚度忽略不计)________．图J22-3-1三、解答题(共11分)5．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一个点)的路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分，如图J22-3-2.(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．图J22-3-2基础知识反馈卡·22.1.11．C 2.D 3.3 4.k >－1 5．解：图略．(1)函数y ＝2x 2的图象开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,0)．函数y ＝－12x 2的图象开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,0)．(2)≠0 低(3)≤ ＝0 大 0 基础知识反馈卡·22.1.2 1．A 2.B3．上 y 轴 4.y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋322－32 5．解：(1)将二次函数y ＝－12x 2＋x ＋4配方，得y ＝－12(x －1)2＋92.所以抛物线的开口向下，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，92，对称轴为x ＝1. (2)当x >1时，y 随x 的增大而减小；当x <1时，y 随x 的增大而增大．基础知识反馈卡·*22.1.31.D2.C3.y ＝－(x ＋1)2＋54.－35．解：由题意可设函数关系式为y ＝a (x －1)2＋5，∵图象过点(0，－3)，∴a (0－1)2＋5＝－3，解得a ＝－8.∴y ＝－8(x －1)2＋5，即y ＝－8x 2＋16x －3.基础知识反馈卡·22.21．C 2.B 3.2 012 4.－2<x <35．解：(1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A (1,0)，∴0＝1＋m .∴m ＝－1. 即m 的值为－1.∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (1,0)，B (3,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2. ∴二次函数的关系式为y ＝x 2－3x ＋2. (2){x |x <1或x >3}． 基础知识反馈卡·22.3 1．D 2.B 3.4 4.9.1 m5．解：(1)y ＝－35x 2＋3x ＋1＝－35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋194.故函数的最大值是194，∴演员弹跳离地面的最大高度是194米．(2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC .∴这次表演成功．基础知识反馈卡·23.1 1．D 2.A3．∠D∠E DE DC 4．C顺时针90 5．解：(1)旋转中心是点B.(2)旋转了90度．(3)AC与EF垂直且相等．。
二次函数基础题(含答案)
初中数学二次函数基础复习一、二次函数的定义1. 抛物线m m x x y -++=2242经过坐标原点，则m 的值为 .2. 抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ .3.抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4.若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ( )A.开口向上，对称轴是y 轴B.开口向下，对称轴是y 轴C.开口向下，对称轴平行于y 轴D.开口向上，对称轴平行于y 轴5. 已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14的顶点的横坐标是2，则m 的值是 6. 抛物线322-+=x x y 的对称轴是 7. 若二次函数332-+=mx x y 的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ . 8. 当n ＝________，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)nx ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.9. 已知二次函数3222++-=a ax x y ，当a 时，该函数y 的最小值为０？10. 已知二次函数m x x y +-=62的最小值为１，那么m ＝11. (易错题)已知二次函数1)1(2-+-+=m x m mx y 有最小值为０，则m ＝ 12. 已知二次函数342-+-=m x x y 的最小值为3，则m ＝ 13. 已知二次函数253212++-=x x y 的图象上有三点)(),,(),,(332211y x C y x B y x A ，且3213x x x <<<，则321,,y y y 的大小关系为14. 抛物线223x y -=向左平移３个单位，再向下平移４个单位，所得到的抛物线的关系式 为 。
15. 将抛物线c bx ax y ++=2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到1422--=x x y则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .16. 将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为____ _.17. 抛物线372++=x x y 与直线92+=x y 的交点坐标为 。
九年级数学二次函数专题训练含答案解析-精选5份
九年级数学上册《二次函数》专题测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣5或﹣12．下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论错误的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．该函数的图象一定经过点（0，1）C．该函数图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上D．该函数图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同3．已知：抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣24．将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（）A．y＝2（x+5）2﹣3B．y＝2（x+5）2+3C．y＝2（x﹣5）2﹣3D．y＝2（x﹣5）2+35．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：（1）4ac＜b2；（2）abc＜0；（3）2a+b＜0；（4）（a+c）2＜b2其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．已知抛物线y＝ax2+4ax﹣8与直线y＝n相交于A，B两点（点A在点B左侧），AB＝4，且抛物线与x轴只有一个交点，则n的值为（）A．﹣8B．﹣4C．4D．87．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m ＝0（m＞0）有两个整数根，其中一个根是3，则另一个根是（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．38．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s其中正确的是（）A．①②③B．①②C．②③④D．②③二．填空题（共8小题，满分32分）9．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝2对称，设x＝1，2，4时对应的函数值依次为y1，y2，y4，那么y1，y2，y4的大小关系是．（用“＜”连接）10．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）（I）抛物线的对称轴为；（2）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，求当﹣2≤x≤2时，y的最小值是．11．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则关于x 的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两根之积是．12．已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．13．将抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣1向右平移5个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为．14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是．15．抛物线y＝ax2+bx+tc（a＜0）交x轴于点A、B，交y轴于点C（0，3），其中点B坐标为（1，0），同时抛物线还经过点（2，﹣5）．（1）抛物线的解析式为；（2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接EC、EO，将抛物线向下平移n（n＞0）个单位，当EO平分∠CEH时，则n的值为．16．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y （个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）．三．解答题（共6小题，满分56分）17．已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．18．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h＝v0t﹣gt2（h是物体离起点的高度，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出．（1）球抛出后经多少秒回到起点？（2）几秒后球离起点的高度达到1.8m？（3）球离起点的高度能达到6m吗？请说明理由．19．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．20．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？21．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点D、N．（1）求直线AB的表达式和抛物线的表达式；（2）若DN＝3DM，求此时点N的坐标；（3）若点P为直线AB上方的抛物线上一个动点，当∠ABP＝2∠BAC时，求点P的坐标．22．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣2），点C（0，﹣5），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若E为线段AB上一点，且BE：EA＝3：1，P为直线AC上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，∴|a+3|＝2且a+1≠0，解得a＝﹣5，故选：B．2．解：A．∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数），∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，∴x＞m时，y随x增大而减小，故A错误，符合题意；∵当x＝0时，y＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故B正确，不合题意；∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴抛物线顶点坐标为（m，m2+1），∴抛物线顶点在抛物线y＝x2+1上，故C正确，不合题意；∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1与y＝﹣x2的二次项系数都为﹣1，∴两函数图象形状相同，故D正确，不合题意．故选：A．3．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+1，∴抛物线对称轴为直线x＝2．故选：C．4．解：将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为y＝2（x+5）2+3，故选：B．5．解：根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故（1）正确．∵抛物线开口朝下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故（2）正确；∵对称轴x＝﹣＞1，∴2a+b＞0，故（3）错误；根据图象知道当x＝1时，y＝a+b+c＞0，根据图象知道当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，故（4）正确；故选：C．6．解：∵抛物线与x轴只有一个交点，∴a≠0且Δ＝16a2﹣4a×（﹣8）＝0，∴a＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣8x﹣8，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，而AB平行x轴，AB＝4，∴A点的横坐标为﹣4，B点的横坐标为0，当x＝0时，y＝﹣8，∴n的值为﹣8．故选：A．7．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为3，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣5，∴关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根是﹣5，故选：A．8．解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得，∴函数解析式为，把h＝30代入解析式得，，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；故选D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵抛物线y＝x2+bx+c的开口向上，对称轴是直线x＝2，∴当x＝2时取最小值，又|1﹣2|＜|4﹣2|，∴y1＜y4，故答案为：y2＜y1＜y4．10．解：（1）抛物线的对称轴为：直线x＝﹣＝1，故答案为：直线x＝1；（2）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1（a＜0），∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＝1时，取得最大值﹣a﹣1，∵当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，∴x＝1时，y＝﹣a﹣1＝1，得a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣1）2+1，∵﹣2≤x≤2，∴x＝﹣2时，取得最小值，此时y＝﹣2（﹣2﹣1）2+1＝﹣17，故答案为：﹣17．11．解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴该函数的对称轴是直线x＝﹣＝1，∴该函数图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两实数根是x1＝﹣1，x2＝3，∴两根之积为﹣3，故答案为：﹣3．12．解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b＝﹣，所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为﹣＜b＜﹣1．故答案为：﹣＜b＜﹣1．13．解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2﹣1向右平移5个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3﹣5）2﹣1+2，即y＝﹣（x﹣8）2+1，故答案为：y＝﹣（x﹣8）2+1．14．解：∵抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），∴方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，∴ax2﹣bx﹣c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．15．解：（1）将点C（0，3）、B（1，0）、（2，﹣5）代入抛物线y＝ax2+bx+tc中，得：a+b+c＝0，c＝3，4a+2b+c＝﹣5；解得：a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）抛物线向下平移n个单位后，E为（﹣1，4﹣n），C为（0，3﹣n），∴EC＝，∵CO∥EH，∴当CO＝CE＝时，∠CEO＝∠COE＝∠OCH，∴3﹣n＝或n﹣3＝，即n＝3﹣或3+．16．解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．三．解答题（共6小题，满分56分）17．解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，解得m1＝1，m2＝﹣3，又∵m＞0，∴m＝1．（2）∵m＝1，∴y＝x2+x﹣2，∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，∴二次函数图象与x轴有2个交点．18．解：∵初速度为10m/s，g取10m/s2，∴h＝10t﹣×10t2＝10t﹣5t2，（1）当h＝0时，10t﹣5t2＝0，解得t＝0或t＝2，∴球抛出后经2秒回到起点；（2）当h＝1.8时，10t﹣5t2＝1.8，解得t＝0.2或t＝1.8，∴0.2秒或1.8秒后球离起点的高度达到1.8m；（3）球离起点的高度不能达到6m，理由如下：若h＝6，则10t﹣5t2＝6，整理得5t2﹣10t+6＝0，Δ＝（﹣10）2﹣4×5×6＝﹣20＜0，∴原方程无实数解，∴球离起点的高度不能达到6m．19．解：（1）∵函数图象过点（1，2），∴将点代入y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，解得a＝2，∴二次函数的解析式为y＝2x2+x﹣1，∴x＝﹣＝﹣，∴y＝2×﹣﹣1＝﹣，∴该二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣）；（2）函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1的对称轴是直线x＝﹣，∵（x1，y1），（x2，y2）为此二次函数图象上的两个不同点，且x1+x2＝﹣2，则y1＝y2，∴﹣＝＝＝﹣1，∴a＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2≤0，∴当x＝﹣1时，函数有最大值0；（3）∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，∴由顶点公式得：x＝﹣＝﹣+，y＝＝﹣，∵a＜0且a≠﹣1，∴x＜0，y＞0，∴该二次函数图象的顶点在第二象限．20．解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，得，解得，∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，由题意得，（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，解得：x1＝40，x2＝20，∴当天玩具的销售单价是40元或20元；（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；∵﹣2＜0，∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．21．解：（1）设直线AB的解析式为y＝px+q，把A（4，0），B（0，2）代入得，，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；把A（4，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得；∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵MN⊥x轴，M（m，0），点D在直线AB上，点N在抛物线上，∴N（m，﹣m2+m+2），D（m，﹣m+2），∴DN＝﹣m2+2m，DM＝﹣m+2，∵DN＝3DM，∴﹣m2+2m＝3（﹣m+2），解得m＝3或m＝4（舍），∴N（3，2）．（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，∴OB＝OB′，B′（0，﹣2），∵∠AOB＝∠AOB′＝90°，OA＝OA，∴△AOB≌△AOB′，∴∠OAB′＝∠OAB，∴∠BAB′＝2∠BAC，∵A（4，0），B′（0，﹣2），∴直线AB′的解析式为：y＝x﹣2，过点B作BP∥AB′交抛物线于点P，则∠ABP＝∠BAB′＝2∠BAC，即点P即为所求，∴直线BP的解析式为：y＝x+2，令x+2＝﹣x2+x+2，解得x＝2或x＝0（舍），∴P（2，3）．22．解：（1）将点A（3，﹣2），点C（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣5，∴M（1，﹣6）；（2）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣6+m，∴平移后的顶点坐标为（1，m﹣6），∴抛物线的顶点在x＝1的直线上，设直线CA的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣5，当x＝1时，y＝﹣4，∴﹣4＜m﹣6＜﹣2，解得2＜m＜4；（3）存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：当y＝﹣2时，x2﹣2x﹣5＝﹣2，解得x＝﹣1或x＝3，∴B（﹣1，﹣2），∴AB＝4，∵BE：EA＝3：1，∴AE＝1，∴E（2，﹣2），设P（t，t﹣5），Q（x，x2﹣2x﹣5），①当BE为平行四边形的对角线时，，解得或，∴Q（，）或（，）；②当BP为平行四边形的对角线时，，解得或，∴Q（，）或（，）；③当BQ为平行四边形的对角线时，，此时无解；综上所述：Q点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．九年级数学上册二次函数的图象与性质练习题（附答案）一．选择题1．如果在二次函数的表达式y＝ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．2．已知y＝（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．±2D．03．已知A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y2＞y1D．y2＞y3＞y1 4．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝x2+2x+3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+35．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（）A．B．C．D．6．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是27．已知二次函数y＝x2﹣4x+5（0≤x≤3），则它的最大值是（）A．1B．2C．3D．58．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤9．已知函数y＝2（x+1）2+1，则（）A．当x＜1 时，y随x的增大而增大B．当x＜1 时，y随x的增大而减小C．当x＜﹣1 时，y随x的增大而增大D．当x＜﹣1 时，y随x的增大而减小10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（）个．①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．A．3B．2C．1D．0二．填空题11．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）12．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为．13．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为．14．已知二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，则b＝．15．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②a+c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是（填写序号）．三．解答题17．已知二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（2，﹣3）是否在该函数图象上，并说明理由．18．如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式．19．如图，直线L1：y＝bx+c与抛物线L2：y＝ax2的两个交点坐标分别为A（m，4），B （1，1）．（1）求m的值；（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与L1，L2的交点分别为C，D，当点C 位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．20．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．21．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．22．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（0，3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积．23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积．参考答案一．选择题1．解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．2．解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，∴|m|＝2且m+2≠0．解得m＝2．故选：B．3．解：∵二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象的对称轴为直线x＝1，而A（，y1）到直线x＝1的距离最近，C（﹣，y3）到直线x＝1的距离最远，∴y3＞y2＞y1．故选：C．4．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故选：D．5．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选：A．6．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A、B、C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，∴D正确，故选：D．7．解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，由于0≤x≤3，所以当x＝2时，y有最小值1，当x＝0时，y有最大值5．故选：D．8．解：根据图象可知：①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．正确的有①②⑤．故选：B．9．解：∵y＝2（x+1）2+1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故选项A错误，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B错误、选项C错误、选项D正确；故选：D．10．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以②正确；∵x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，所以③正确．∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a+b≥m（am+b），所以⑤正确．故选：C．二．填空题11．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a412．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），故答案为（﹣1，8）．13．解：由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0，所以当x＝1时，函数取得最小值为5，故答案为5．14．解：∵二次函数y＝2x2+bx+4顶点在x轴上，∴＝0，解得b＝，故答案为：±4．15．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．16．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，即a+c＜b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，所以④正确．故答案为①④．三．解答题17．解：（1）设二次函数的解析式是y＝a（x﹣h）2+k，∵二次函数的顶点坐标为A（1，﹣4），∴y＝a（x﹣1）2﹣4，∵经过点B（3，0），∴代入得：0＝a（3﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）点C（2，﹣3）在该函数图象上，理由是：把C（2，﹣3）代入y＝x2﹣2x﹣3得：左边＝﹣3，右边＝4﹣4﹣3＝﹣3，即左边＝右边，所以点C在该函数的图象上．18．解：设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，4）分别代入得，解得，∴直线l的关系式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t+4），∵S△AOP＝4，∴×4×（﹣t+4）＝4，解得t＝2，∴P（2，2），把P（2，2）代入y＝ax2得4a＝2，解得a＝，∴二次函数的表达式为y＝x2．19．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2．把A（m，4）代入y＝x2得：4＝m2，∴m＝±2．∵点A在二象限，∴m＝﹣2．（2）观察函数图象可知：当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，∴n的取值范围为：﹣2＜n＜1．20．解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；∵a＜0，∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．（3）由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，∴当a＞0时，≤0，解得a≥；当a＜0，≥3，解得a≤﹣．∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．21．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，∴令x＝0，得y＝﹣2，∴G（0，﹣2），∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，∴二次函数表达式为y＝﹣x2，由一次函数与二次函数联立可得，解得，，∴S△OAB＝OG•|A的横坐标|+OG•点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．22．解：（1）∵抛物线经过A、B（0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x＝把x＝代入，得y＝4则点C坐标为（，4）设线段AB所在直线为：y＝kx+b，则有，解得∴AB解析式为：∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3）抛物线的对称轴l于直线AB交于点D∴设点D的坐标为D将点D代入，解得m＝2∴点D坐标为，∴CD＝CE﹣DE＝2过点B 作BF ⊥l 于点F ∴BF ＝OE ＝∵BF +AE ＝OE +AE ＝OA ＝∴S △ABC ＝S △BCD +S △ACD ＝CD •BF +CD •AE ∴S △ABC ＝CD （BF +AE ）＝×2×＝23．解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 交于A （﹣1，0）和B （2，3）两点 ∴，解得：， ∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3，设直线AB 的解析式为y ＝mx +n （m ≠0），则，解得，∴直线AB 的解析式为y ＝x +1； （2）令x ＝0，则y ＝﹣x 2+2x +3＝3， ∴C （0，3），则OC ＝3，BC ＝2，BC ∥x 轴， ∴S △ABC ＝×BC ×OC ＝＝3．九年级数学二次函数专题精练含答案一、单选题1．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值62．已知抛物线24y x x c =-++经过点(4,3)，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（ ） A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(0,4)D ．(0,5)3．在平面直角坐标系中，已知抛物线245y x x =-+，将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为（ ） A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---4．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( ) A ．216y x =+B ．2(4)y x =+C ．28y x x =+D ．2164y x =-5．把抛物线22y x =向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ） A ．22(2)1y x =-+- B ．22(2)1y x =--+ C ．22(2)1y x =++D ．22(2)1y x =--6．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于直线1x =对称，与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，若121x -<<-，则下列四个结论：①234x <<，②320a b +>，③24b a c ac >++，④a c b >>．正确结论的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．对于抛物线23(1)2y x =-+-，下列说法正确的是（ ） A ．抛物线开口向上B ．当1x >-时，y 随x 增大而减小C ．函数最小值为﹣2D ．顶点坐标为（1，﹣2）8．关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．函数图象的开口向下B ．函数图象的顶点坐标是()1,5-C ．该函数有最大值，是大值是5D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大9．已知A (−3，−2) ，B (1，−2)，抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)顶点在线段AB 上运动，形状保持不变，与x 轴交于C ，D 两点（C 在D 的右侧），下列结论： ①c ≥−2 ；②当x >0时，一定有y 随x 的增大而增大；③若点D 横坐标的最小值为−5，点C 横坐标的最大值为3； ④当四边形ABCD 为平行四边形时，a =12．其中正确的是（ ） A ．①③B ．②③C ．①④D ．①③④10．已知二次函数2243y mx m x =--（m 为常数，0m ≠），点(),p p P x y 是该函数图象上一点，当04p x ≤≤时，3p y ≤-，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≥或0m < B ．m 1≥ C ．1m ≤-或0m >D ．1m ≤-11．已知函数()211y ax a x =-++，则下列说法不正确的个数是（ ）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则1a =②方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根③若11x a<<，则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ④不存在实数a ，使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．312．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点P 从点A 出发沿路径A B C →→向终点C 运动，连接DP ，作DP 的垂直平分线MN 与正方形ABCD 的边交于M ，N 两点，设点P 的运动路程为x ，PMN 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则=a ______．14．如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2＝kx +t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是_____．15．小亮同学在探究一元二次方程2ax bx c 0++=的近似解时，填好了下面的表格：根据以上信息请你确定方程2ax bx c 0++=的一个解的范围是________． 16．已知二次函数223y x x =--+，当12a x 时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为_______． 17．已知抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点． （1）若(1,0)A -，则b =______． （2）若(1,0)M -，(1,0)N ，抛物线2122y x bx =+-与线段MN 没有交点，则b 的取值范围为______． 三、解答题18．已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式19．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值．20．如图，一次函数y =A 、B ，二次函数2y bx c ++图象过A 、B 两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣2，0)和点B (8，0)，与y 轴交于点C (0，﹣8)，连接AC ，D 是抛物线对称轴上一动点，连接AD ，CD ，得到△ACD ．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）△ACD 周长能否取得最小值，如果能，请求出D 点的坐标；如果不能，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E ，使得△ACE 与△ACD 面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案1--10DBCCD BBDDA 11--12CA13．-1214．﹣1≤x ≤215．3.24x 3.25<<16．1-17． 32- 3322b -<< 18．解：△抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，△设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，△()()21545y x x x x =-+-=-++．△该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．19．.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ， 令0,x = 则3,y =∴ 点()0,3A把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++； （2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴==如图，要使MBC △的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x=++与x 轴的另一交点为D ， 抛物线的对称轴为：552,1222x =-=-⨯ ()3,0C -∴ 点()2,0D -，连接,BD 交对称轴于,MMD MC ∴=，此时，MB MC MB MD BD +=+=最小，此时：BD =MBC ∴20．解：（1）对于y =x =0时，y =当y =0时，03x -=，妥得，x =3 △A （3，0），B （0，把A （3，0），B （0，2y bx c++得：+=0b c c ⎧⎪⎨=⎪⎩解得，b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩△抛物线的解析式为：2y =（2）抛物线的对称轴为直线12b x a =-== 故设P （1，p ），Q （m ，n ）①当BC 为菱形对角线时，如图，△B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直，△△BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴△在菱形BQCP 中，BC △PQ△PQ △x 轴△点P 在x =1上，△点Q 也在x =1上，当x =1时，211y△Q （1，）； ②当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，△BC //PQ ，且BC =PQ△BC //x 轴，△令y =2y 解得，120,2x x ==△(2,C△PQ=BC=22=△PB=BC=2△迠P在x轴上，△P(1,0)△Q(3，0)；若点Q在点P的左侧，如图，同理可得，Q（-1，0）综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）21．解：（1）由题意可得：0=4206488a b ca b cc-+⎧⎪=++⎨⎪=-⎩，解得：1238abc⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，△抛物线的解析式为：y＝12x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，△点A（﹣2，0），点B（8，0），△对称轴为直线x＝3，△△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，△当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，△点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，△连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC 解析式为：y ＝kx ﹣8，△0＝8k ﹣8，△k ＝1，△直线BC 解析式为：y ＝x ﹣8，当x ＝3，y ＝﹣5，△点D （3，﹣5）；（3）存在，△点A （﹣2，0），点C （0，﹣8），△直线AC 解析式为y ＝﹣4x ﹣8，如图，△△ACE 与△ACD 面积相等，△DE △AC ，△设DE 解析式为：y ＝﹣4x +n ，△﹣5＝﹣4×3+n ，△n ＝7，△DE 解析式为：y ＝﹣4x +7， 联立方程组可得：2471382y x y x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得：12111x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22111x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， △点E1，﹣1，）．九年级上册数学二次函数同步练习一、单选题1．下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．y ＝（2x ﹣1）2B ．y ＝（x +1）2﹣x 2C ．y ＝ax 2D ．y ＝2x +3 2．若抛物线258(3)23mm y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（ ） A ．3 B ．2-C ．2D ．2或3 3．若抛物线y =x 2-x -2经过点A （3，a ），则a 的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．已知二次函数2135y x x =-+，则其二次项系数a ，一次项系数b ，常数项c 分别是（ ）A ．1,3,5a b c ==-=B ．1,3,5a b c ===C ．5,3,1a b c ===D ．5,3,1a b c ==-= 5．如果函数2(2)25y a x x =-+-是二次函数，则a 的取值范围是（ ）A ．2a ≠B ．a≥0C ．a=2D ．a>0 6．下列函数中①31y x ；②243y x x =-；③1y x =；④225=-+y x ，是二次函数的有（）A ．①②B ．②④C ．②③D ．①④ 7．若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．208．函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( )A ．a≠0，b≠0，c≠0B ．a<0，b≠0，c≠0C ．a>0，b≠0，c≠0D ．a≠0 二、填空题9．若()2321mm y m x --=+是二次函数，则m 的值为______． 10．若22a y x -=是二次函数，则=a ________．11．在二次函数21y x =-+中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 12．下列函数一定是二次函数的是__________．①2y ax bx c =++；②3y x=-；③2431y x x =-+；④2(1)y m x bx c =-++；⑤y =(x -3)2-x 213．当常数m ≠______时，函数y =（m 2﹣2m ﹣8）x 2+（m +2）x +2是二次函数；当常数m =___时，这个函数是一次函数．14．已知函数2135m y x -=-① 当m ＝ _________时，y 是关于x 的一次函数；② 当m ＝_________时，y 是关于x 的二次函数 ．15．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．16．已知二次函数2y x bx 3=-++，当x 2=时，y 3=．则这个二次函数的表达式是________．三、解答题17．下列函数中（x ，t 是自变量），哪些是二次函数？22322113,25,22,1522y x y x x y x s t t =-+=-+=+=++．18．已知函数y =（m 2-2）x 2+（m ）x +8．（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；（2）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围.19．若函数y=（a -1）x b+1+x 2+1是二次函数，试讨论a 、b 的取值范围.20．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.参考答案：1．A2．C3．B4．D5．A6．B7．B8．D9．410．2±11．012．③13． 4，-2 414． 13215．316．2y x 2x 3=-++17．2132y x =-+和215s t t =++是二次函数 18．（1）m =（2）m ≠m ≠19．①a≠0；②b=0或-1，a 取全体实数③当a=1，b 为全体实数时，y=x 2+1是二次函数 20．y= 21152x x -+, x 的取值范围为0<x<30.九年级数学上册二次函数单元综合测试卷一．选择题（共10小题）1．下列各式中，是y 关于x 的二次函数的是（ ）A ．y ＝4xB ．y ＝3x ﹣5C ．y ＝D ．y ＝2x 2+12．已知：a ＞b ＞c ，且a +b +c ＝0，则二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象可能是下列图象中的（ ）A．B．C．D．3．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）4．将二次函数y＝x2+2x﹣1转化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣1）2B．y＝（x+1）2C．y＝（x+1）2﹣1D．y＝（x+1）2﹣2 5．已知0≤x≤，则函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣66．顶点坐标为（3，1），形状与函数y＝的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（）A．y＝+1B．y＝+1C．y＝﹣+1D．y＝﹣+17．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1 8．抛物线y＝ax2+bx+c纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…则下列说法中正确的个数是（）①方程ax2+bx+c＝0，有两根为x1＝﹣2，x2＝3；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x＝1；④抛物线开口向上．A．1B．2C．3D．49．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：∠BOF始终是90°；结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅱ错C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．37.5°B．40°C．42.5°D．45°二．填空题（共6小题）11．函数是二次函数，则m的值为．12．已知抛物线y＝x2﹣4x+c．与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标；x A＝﹣1，。
最新人教版初中九年级上册数学第22章《二次函数》习题含答案
九年级数学 上册 第22章《二次函数》同步练习一、选择题1．抛物线2256y x x =-+的对称轴是（ ）A 、54x =B 、52x =C 、54x =-D 、52x =- 2．抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系的图象可能是（ ）3．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y （元）与每件销售价x （元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）A.20 B ．1508 C ．1550 D ．15584．下列四个函数图象中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是（ ）5．抛物线y=x 2向下平移一个单位得到抛物线（ ）A.y=（x+1）2B.y=（x ﹣1）2C.y=x 2+1D.y=x 2﹣16．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图，则下列结论：①ac ＞0②a-b+c=0 ③ x ＜0时，y ＜0;④ax 2 + bx + c=0（a ≠0）有两个不小于-1的实数根。
其中错误．．的结论有（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①③ （D ）②④7．二次函数y=mx 2+x-2m （m 是非0常数）的图象与x 轴的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个8．若二次函数y=x 2-6x+c 的图象过A （-1，y 1），B （2，y 2），C （32 ，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 3＞y 1＞y 29．x 2+y=3，当-1≤x≤2时，y 的最小值是（ ）A ．-1B ．2C ．114 D ．3 10．抛物线y=a （x-h ）2+k 向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到y=x 2+1，则h 、k 的值是（ ）A ．h=-2，k=-2B ．h=2，k=4C ．h=1，k=4D ．h=2，k=-2二、填空题11．将抛物线y=x 2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为 ．12．如图是二次函数y=a 2x +bx+c （a ≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b ﹣2a=0；②4a ﹣2b+c ＜0；③a ﹣b+c=﹣9a ；④若（﹣3，1y ），（32，2y ）是抛物线上两点，则1y ＞2y ，其中正确的序号是 ．13．已知抛物线y=x 2﹣x ﹣1与x 轴的一个交点为（a ，0），那么代数式a 2﹣a+2014的值为 ．14．抛物线y=﹣x 2+4x ﹣1的顶点坐标为 ．15．已知A （﹣2，y 1）、B （0，y 2）、C （1，y 3）三点都在抛物线y=kx 2+2kx+k 2+k （k ＜0）的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是 ．16．一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=-5（t-1）2+6，则小球距离地面的最大高度是 ．17．设抛物线y=-x 2+2x+3的顶点为E ，与y 轴交于点C ，EF ⊥x 轴于点，若点M （m ，0）是x 轴上的动点，且满足以MC 为直径的圆与线段EF 有公共点，则实数m 的取值范围是 ．18．若二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0）的对称轴为直线x=-1，图象经过点（1，0），有下列结论：①abc ＜0；②2a-b=0；③a+b+c ＞0；④b 2＞5ac ，则以上结论一定正确的个数是 。
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)
九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)九年级数学二次函数测试题含答案(精选5套)第一套：1. 将函数 $y = 2x^2 - 3x - 2$ 化简为标准形式，并求出它的顶点坐标。
答案：将函数化简为标准形式得到 $y = 2(x-\frac{3}{4})^2 -\frac{33}{8}$，顶点坐标为 $(\frac{3}{4}, -\frac{33}{8})$。
2. 求函数 $y = -x^2 + 4x + 1$ 的零点。
答案：将函数化简为标准形式得到 $y = -(x-2)^2 + 5$，令 $y = 0$，解得 $x = 2 \pm \sqrt{5}$，即零点为 $x_1 = 2 + \sqrt{5}$ 和 $x_2 = 2 -\sqrt{5}$。
3. 给定函数 $y = x^2 - 6x + 5$，求其对称轴的方程式。
答案：对称轴的方程式为 $x = \frac{-b}{2a}$，代入 $a = 1$ 和 $b = -6$ 得到 $x = \frac{6}{2} = 3$。
4. 若函数 $y = ax^2 + bx - 9$ 与 $y = -x^2 + 7x$ 有相同的图像，求$a$ 和 $b$ 的值。
答案：由于两个函数有相同的图像，所以它们的系数相等。
比较两个函数的对应系数得到 $a = -1$ 和 $b = 7$。
5. 已知函数 $y = x^2 - 4x + 5$ 的图像上存在一点 $(h, k)$，使得 $x= h - 3$ 时，$y = 2k + 12$，求点 $(h, k)$ 的坐标。
答案：将 $x = h - 3$ 代入函数得到 $y = (h-3)^2 - 4(h-3) + 5$。
代入$y = 2k + 12$ 得到 $(h-3)^2 - 4(h-3) + 5 = 2k + 12$。
整理得到 $(h-3)^2 -4(h-3) - 2k - 7 = 0$。
由于该方程为二次方程，必然存在实数解。
初中数学二次函数综合复习基础题(含答案)
初中数学二次函数综合复习基础题一、单选题(共13道，每道8分)1.若二次函数的图象经过原点，则a的值必为（）A.1或2B.0C.1D.2答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数表达式2.在同一坐标系中，作，，的图象，它们的共同特点是()A.抛物线的开口方向向上B.都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大C.都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小D.都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数图象特征3.对于反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数的大致图象是（）A. B.C. D.答案：C试题难度：三颗星知识点：二次函数图象初步判定4.抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（）A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位答案：B试题难度：三颗星知识点：二次函数图像平移5.已知二次函数，当x=-1时有最大值，把x=-5，-2，1时对应函数值分别记为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y1＞y2＞y3C.y2＞y1＞y3D.y2＞y3＞y1答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数图像增减性、对称轴固定6.若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C试题难度：三颗星知识点：二次函数图像增减性、对称轴固定7.（2011四川雅安）已知二次函数的图象如图，其对称轴为直线x=-1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0.则正确的结论是（）A.①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数数形结合8.二次函数的图象经过点A（0，-3），B（2，-3），C（-1，0）．则此二次函数的表达式为（）A. B.C. D.答案：A试题难度：三颗星知识点：二次函数一般式9.有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线x=2；乙说：与x轴的两个交点距离为6；丙说：抛物线与x轴的交点和其顶点围成的三角形面积等于9，请选出一个满足上述全部条件的一条抛物线的解析式：（）A. B.C. D.答案：B试题难度：三颗星知识点：二次函数顶点式10.二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．求二次函数的解析式（）A. B.C. D.答案：A试题难度：三颗星知识点：二次函数交点式11.若直线与二次函数的图象交于A、B两点，求以A、B及原点O为顶点的三角形的面积（）．A. B.C. D.无法计算答案：C试题难度：三颗星知识点：二次函数初步综合12.设一元二次方程的两根分别为，，且，则，满足（）A. B.C. D.且答案：D试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与方程、不等式13.设一元二次方程的两根分别为，，且，则二次函数的函数值y>m时自变量x的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与方程、不等式。
二次函数测试题及答案
二次函数测试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = 3x^2 - 2x + 1C. y = 5x^2 + 3D. y = 2x答案：D2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是：A. (-b, c)B. (-b/2a, c)C. (-b/2a, 4ac - b^2 / 4a)D. (-b/a, 4ac - b^2 / 4a)答案：C3. 若二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，则a的取值范围是：A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 0答案：A二、填空题4. 二次函数y = x^2 - 2x + 1的顶点坐标是_________。
答案：(1, 0)5. 当a > 0时，二次函数y = ax^2 + bx + c的图象与x轴的交点个数最多为_______。
答案：2三、解答题6. 已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求其顶点坐标。
解：首先，我们可以将二次函数写成顶点形式：y = 2(x - 1)^2 + 1。
因此，顶点坐标为(1, 1)。
7. 某二次函数的图象经过点(1, 1)和(2, 4)，且对称轴为直线x = 2。
求该二次函数的解析式。
解：设二次函数的解析式为y = a(x - 2)^2 + k。
将点(1, 1)代入得：1 = a(1 - 2)^2 + k1 = a + k将点(2, 4)代入得：4 = a(2 - 2)^2 + k4 = k由上述两个方程组可得a = -3，k = 4。
因此，该二次函数的解析式为y = -3(x - 2)^2 + 4。
四、应用题8. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 0.5x^2 - 10x + 100，其中x表示产品数量。
求该工厂生产多少件产品时，平均成本最低。
解：平均成本为C(x)/x = 0.5x - 10 + 100/x。
初中数学二次函数基础测试题含答案
初中数学二次函数基础测试题含答案一、选择题1．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ）A ．13x =-，21x =-B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．13x =-，21x =【答案】C【解析】【分析】【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．0＜t ＜5B ．﹣4≤t ＜5C ．﹣4≤t ＜0D ．t ≥﹣4【答案】B【解析】【分析】先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解；【详解】解：∵对称轴为直线x ＝2，∴b ＝﹣4，∴y ＝x 2﹣4x ，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4，∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5，∴﹣4≤t ＜5；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ，设新数与原数的差为y 则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．故答案选：D ．【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．4．如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象，直线//l x 轴且过点(0,)m ，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（ ）A ．m 1≥B ．0m ≤C ．01m ≤≤D ．m 1≥或0m ≤【答案】C【解析】【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M 的范围可知.【详解】解：如图1所示，当t 等于0时，∵2(1)4y x =--，∴顶点坐标为(1,4)-，当0x =时，3y =-，∴(0,3)A -，当4x =时，5y =，∴(4,5)C ，∴当0m =时， (4,5)D -，∴此时最大值为0，最小值为5-；如图2所示，当1m =时，此时最小值为4-，最大值为1．综上所述：01m ≤≤，故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题关键．5．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项．【详解】解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，AB 2=42+（6-3）2，解得，AB=5cm ．下面分三种情况讨论:当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==gg g ,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2⨯⨯=; 当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()21 1226,2y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数故符合y与t的函数图象是B．故选：B．【点睛】此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c＜0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，对称轴x=﹣＝1，故b＜0，bc＜0，即可判断一次函数y＝x+bc的图象.【详解】①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＜0，故正确；②方程ax2+bx+c＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确；③当x＜2时，由图象知：y随x的增大而减小，故错误；④由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，x=﹣＝1＞0，∴b＜0，∴bc＜0，∴一次函数y＝x+bc的图象一定过第一、三、四象限，故正确；故正确的共有3个，故选：C．【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.7．若二次函数y＝x2﹣2x+2在自变量x满足m≤x≤m+1时的最小值为6，则m的值为（）+B．5,51A5,5,15,12-C．1 D．5,15【答案】B【解析】【分析】由抛物线解析式确定出其对称轴为x=1，分m＞1或m+1＜1两种情况，分别确定出其最小值，由最小值为6，则可得到关于m的方程，可求得m的值．【详解】∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，当m＞1时，可知当自变量x满足m≤x≤m+1时，y随x的增大而增大，∴当x＝m时，y有最小值，∴m2﹣2m+2＝6，解得m＝1+5或m＝1﹣5（舍去），当m+1＜1时，可知当自变量x满足m≤x≤m+1时，y随x的增大而减小，∴当x＝m+1时，y有最小值，∴（m+1）2﹣2（m+1）+2＝6，解得m＝5（舍去）或m＝﹣5，综上可知m的值为1+5或﹣5．故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，用m表示出其最小值是解题的关键．8．将抛物线y＝x2﹣4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y＝﹣3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积.【详解】抛物线y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2×3=6；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．9．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误；④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
（完整版）初中数学二次函数试题及答案
（完整版）初中数学⼆次函数试题及答案⼀、选择题(每题3分，共30分)1.下列关系式中，属于⼆次函数的是(x为⾃变量)()A. B. C. D.2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在()A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. x轴上D. y轴上4. 抛物线的对称轴是()A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知⼆次函数y=ax2+bx+c的图象如图所⽰，则下列结论中，正确的是()A. ab>0，c>0B. ab>0，c<0C. ab<0，c>0D. ab<0，c<06. ⼆次函数y=ax2+bx+c的图象如图所⽰，则点在第___象限()A. ⼀B. ⼆C. 三D. 四7. 如图所⽰，已知⼆次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是()A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若⼀次函数y=ax+b的图象经过第⼆、三、四象限，则⼆次函数y=ax2+bx 的图象只可能是()9. 已知抛物线和直线在同⼀直⾓坐标系中的图象如图所⽰，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1系是()A. y1B. y2C. y3D. y210.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()A. B.C. D.⼆、填空题(每题4分，共32分)11. ⼆次函数y=x2-2x+1的对称轴⽅程是______________.12. 若将⼆次函数y=x2-2x+3配⽅为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.15. 已知⼆次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直⾓三⾓形，请写出⼀个符合要求的⼆次函数解析式________________.16. 在距离地⾯2m⾼的某处把⼀物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空⽓阻⼒的情况下，其上升⾼度s(m)与抛出时间t(s)满⾜：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最⾼点距地⾯_________m.17. 试写出⼀个开⼝⽅向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________.三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)19. 若⼆次函数的图象的对称轴⽅程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)(1)求此⼆次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标；(2)求此⼆次函数的解析式；20.在直⾓坐标平⾯内，点O为坐标原点，⼆次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.(1)求⼆次函数解析式；(2)将上述⼆次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的⾯积.21.已知：如图，⼆次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；.(2)求△MCB的⾯积S△MCB22.某商店销售⼀种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满⾜如下关系：在⼀段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，⽽单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最⼤.答案与解析：⼀、选择题1.考点：⼆次函数概念.选A.2.考点：求⼆次函数的顶点坐标.解析：法⼀，直接⽤⼆次函数顶点坐标公式求.法⼆，将⼆次函数解析式由⼀般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选C.3.考点：⼆次函数的图象特点，顶点坐标.解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进⾏判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选C.4.考点：数形结合，⼆次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.解析：抛物线，直接利⽤公式，其对称轴所在直线为答案选B.5.考点：⼆次函数的图象特征.解析：由图象，抛物线开⼝⽅向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上⽅，答案选C.6.考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定⼆次函数解析式各项系数的符号特征.解析：由图象，抛物线开⼝⽅向向下，抛物线对称轴在y轴右侧，抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上⽅，在第四象限，答案选D.7.考点：⼆次函数的图象特征.解析：因为⼆次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.8.考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的⼤致形状.解析：因为⼀次函数y=ax+b的图象经过第⼆、三、四象限，所以⼆次函数y=ax2+bx的图象开⼝⽅向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.答案选C.9.考点：⼀次函数、⼆次函数概念图象及性质.解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1-1时，由图象知，y随x的增⼤⽽减⼩，所以y210.考点：⼆次函数图象的变化.抛物线的图象向左平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到.答案选C.⼆、填空题11.考点：⼆次函数性质.解析：⼆次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线⽅程.答案x=1.12.考点：利⽤配⽅法变形⼆次函数解析式.解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.13.考点：⼆次函数与⼀元⼆次⽅程关系.解析：⼆次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为⼀元⼆次⽅程x2-2x-3=0的两个根，求得x1=-1，x2=3，则AB=|x2-x1|=4.答案为4.14.考点：求⼆次函数解析式.解析：因为抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-3.15.考点：此题是⼀道开放题，求解满⾜条件的⼆次函数解析式，答案不唯⼀.解析：需满⾜抛物线与x轴交于两点，与y轴有交点，及△ABC是直⾓三⾓形，但没有确定哪个⾓为直⾓，答案不唯⼀，如：y=x2-1.16.考点：⼆次函数的性质，求最⼤值.解析：直接代⼊公式，答案：7.17.考点：此题是⼀道开放题，求解满⾜条件的⼆次函数解析式，答案不唯⼀.解析：如：y=x2-4x+3.18.考点：⼆次函数的概念性质，求值.答案：.三、解答题19.考点：⼆次函数的概念、性质、图象，求解析式.解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20.考点：⼆次函数的概念、性质、图象，求解析式. 解析：(1)由已知x1，x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的两根⼜∵(x1+1)(x2+1)=-8∴x1x2+(x1+x2)+9=0∴-(k+4)-(k-5)+9=0∴k=5∴y=x2-9为所求(2)由已知平移后的函数解析式为：y=(x-2)2-9且x=0时y=-5∴C(0，-5)，P(2，-9).21. 解：(1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x1=5，x2=-1∴B(5，0)由，得M(2，9)作ME⊥y轴于点E，则=15.可得S△MCB22.思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量.要想获得最⼤利润，并不是单独提⾼单个商品的利润或仅⼤幅提⾼销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最⼤.因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利⽤这个等式寻找出所求的问题，这⾥我们不妨设每件商品降价x元，商品的售价就是(13.5-x)元了.单个的商品的利润是(13.5-x-2.5)这时商品的销售量是(500+200x)总利润可设为y元.利⽤上⾯的等量关式，可得到y与x的关系式了，若是⼆次函数，即可利⽤⼆次函数的知识，找到最⼤利润.解：设销售单价为降价x元.顶点坐标为(4.25，9112.5).即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5-4.25=9.25时，可取得最⼤利润9112.5元。
初中二次函数试题及答案
初中二次函数试题及答案一、选择题1. 函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像是一个开口向上的抛物线，则a 的取值范围是（）。
A. a>0B. a<0C. a=0D. a≠0答案：A2. 抛物线y=x^2-2x+1的顶点坐标是（）。
A. (1, 0)B. (1, 2)C. (0, 1)D. (-1, 2)答案：A3. 函数y=-2x^2+4x-1的对称轴是（）。
A. x=2B. x=-2C. x=1D. x=-1答案：A二、填空题4. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像经过点（1，2），则4a+2b+c=_______。
答案：25. 抛物线y=x^2-6x+9的顶点坐标是（ 0，）。
答案：9三、解答题6. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），求该二次函数的对称轴。
答案：对称轴为直线x=1。
7. 抛物线y=-3x^2+6x+2与y轴交于点C，求点C的坐标。
答案：C（0，2）8. 已知抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像经过点（2，5）和（-1，10），求该抛物线的顶点坐标。
答案：顶点坐标为（1，6）。
四、综合题9. 抛物线y=2x^2-4x+3与直线y=x+1相交于点D和点E，求D和E的坐标。
答案：D（1，2），E（2，3）10. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像经过点（-2，-3）和（1，6），且对称轴为直线x=-1，求该二次函数的解析式。
答案：y=-x^2-2x+5。
初中数学：二次函数测试题(含答案)
一、选择题1.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为()=5(x-2)2+1 =5(x+2)2+1 =5(x-2)2-1 =5(x+2)2-12.函数y=﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＜x2＜﹣2，则()＜y2＞y2 =y2、y2的大小不确定3.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是()＞0 B.不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5﹣b+c＞0 D.当x＞2时，y随x的增大而增大4.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是()5.一次函数y=ax＋b(a≠0)与二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()6.二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x=－1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a＋b=0；④a－b＋c＞2.其中正确的结论的个数是()个个个个7.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为()8.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示,点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点,其中﹣3≤x1＜x2≤0,则下列结论正确的是（）＜y2 ＞y2 的最小值是﹣3 的最小值是﹣49.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A.﹣20m D.﹣10m10.如图,在正方形ABCD中,AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B点运动,同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动,到达B点时运动同时停止.设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）11.如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y 与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（）A．B．C．D．12.如图，正方形ABCD中，AB＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1 cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( B )二、填空题13.在直角坐标平面中，将抛物线y=2x2先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线解析式是14.二次函数y=(a﹣1)x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，则a的值为．15.若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=(x﹣h)2+k的形式，则y=．16.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中：①abc>0；②b=2a；③a+b+c<0；④a-b+c>0．正确的是．17.如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x=﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为（用含a的式子表示）．18.如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB245=-+化成y=a (x-h) 2 +k的形式；y x xy x x=-+（1）将245（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大19.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积S．△MCB20.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣x+6分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C，且抛物线的对称轴为直线x=4．（1）求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标．（2）试确定抛物线的解析式．21.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.(1)求S与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米22.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．23.大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a元，市场调查发现日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出=商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)．(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润=销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款24.如图，已知抛物线经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；(3)在(2)的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大若存在，求m的值；若不存在，说明理由．参考答案1.A；2.A.3.B.4.B.5.C6.C.7.A8.D9.C10.A11.B12.B.13.答案为：y=2(x-1)2+114.答案为：﹣1．15.答案为：y=(x﹣1)2+2．16.答案为：①③④．17.答案为：a+4；18.答案为：；19.20.解：（1）依题意：，解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5（2）令y=0，得（x ﹣5）（x+1）=0，x 1=5，x 2=﹣1，∴B （5，0）．由y=﹣x 2+4x+5=﹣（x ﹣2）2+9，得M （2，9）作ME ⊥y 轴于点E ，可得S △MCB =S 梯形MEOB ﹣S △MCE ﹣S △OBC =（2+5）×9﹣×4×2﹣×5×5=15．21.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=﹣x+6分别交于x 轴和y 轴上同一点，交点分别是点B 和点C ，∴将x=0代入y=﹣x+6得，y=6；将y=0代入y=﹣x+6，得x=6．∴点B 的坐标是（6，0），点C 的坐标是（0，6）．∵抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴交于点A 、B 两点，对称轴为直线x=4，∴点A 的坐标为（2，0）．即抛物线与x 轴的两个交点A ，B 的坐标分别是（2，0），（6，0）．（2）∵抛物线y=ax2+bx+c 过点A （2，0），B （6，0），C （0，6），∴4a+2b+c=0,36a+6b+c=0,c=6,解得a=，b=﹣4，c=6．∴抛物线的解析式为：y=+6．22. (1)S=x(24-3x)，即S=-3x 2+24x.(2)当S=45时，-3x 2+24x=45.解得x 1=3，x 2=5.又∵当x=3时，BC ＞10(舍去)，∴x=5.答：AB 的长为5米.23.（1）见解析；（2）x=－224.解：(1)由表可知，y 是关于x 的一次函数，设y=kx ＋b ，将x=110，y=50；x=115，y=45分别代入，得110k+b=50,115k+b=45,解得k=-1,b=160.∴y=－x ＋160(0＜x ≤160)；(2)由已知可得50×110=50a ＋3×100＋200，解得a=100.设每天的毛利润为W 元，则W=(x －100)(－x ＋160)－2×100－200=－x 2＋260x －16 400=－(x －130)2＋500，∴当x=130时，W 取最大值500.答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛利润为500元；(3)设需t天才能还清集资款，则500t≥50 000＋2×50 000t，解得t≥102.∵t为整数，∴t的最小值为103天．答：该店最少需要103天才能还清集资款．25.解：(1)y=-x2＋2x＋3(2)易求直线BC的解析式为y=-x＋3，∴M(m，-m＋3)，又∵MN⊥x轴，∴N(m，-m2＋2m＋3)，∴MN=(-m2＋2m＋3)-(-m＋3)＝-m2＋3m(0＜m＜3)(3)S△BNC=S△CMN＋S△MNB=|MN|·|OB|，∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，MN=-m2＋3m=-2＋，所以当m＝时，△BNC的面积最大为.{。
最新初中数学二次函数基础测试题附答案
最新初中数学二次函数基础测试题附答案一、选择题1．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，故选：D ．【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )A ．﹣4＜P ＜0B ．﹣4＜P ＜﹣2C ．﹣2＜P ＜0D ．﹣1＜P ＜0【答案】A【解析】【分析】【详解】 解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0．∵对称轴在y 轴的左边，∴b 2a-＜0．∴b ＞0．∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0．∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2．把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4，∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0．故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．3．如图，二次函数()200y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有一个根为1a-，其中正确的结论个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣1a 代入方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案.【详解】由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣2b a＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣1a ，把﹣1a 代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0， 即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.4．对于二次函数()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，下列说法正确的个数是（ ） ①对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()2,1和()0,0两点；②若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有001x <<；③当0x ≥时，y 随x 的增大而增大；④若()14,P y ，()()24,0Q m y m +>是函数图象上的两点，如果12y y >总成立，则112a ≤-． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可．【详解】 对于()21202y ax a x a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭当2x =时，142(2)12y a a =+-=，则二次函数的图象都经过点()2,1当0x =时，0y =，则二次函数的图象都经过点()0,0则说法①正确 此二次函数的对称轴为1212124a x a a-=-=-+ 0a <Q1114a∴-+> 01x ∴>，则说法②错误 由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当114x a<-+时，y 随x 的增大而增大；当114x a ≥-+时，y 随x 的增大而减小 因11104a-+>> 则当1014x a <-≤+时，y 随x 的增大而增大；当114x a≥-+时，y 随x 的增大而减小 即说法③错误0m >Q44m ∴+>由12y y >总成立得，其对称轴1144x a =-+≤ 解得112a ≤-，则说法④正确 综上，说法正确的个数是2个故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．5．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-3D ．-4【答案】A【解析】【分析】 分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其顶点坐标为(0，a 2)，与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，根据顶点坐标有a 2=3，由抛物线与x 的交点坐标得到x 2=-a ，所以a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1，0)代入解析式得到a-b+a 2+b=0，解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2，0)和(0，0)分别代入解析式可计算出a 的值．【详解】解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y 轴，则b=0，y=ax 2+a 2，其顶点坐标为(0，a 2)，而a 2>0，所以二次函数的图形不能为第一个；若二次函数的图形为第二个，对称轴为y 轴，则b=0，y=ax 2+a 2，a 2=3，而当y=0时，x 2=−a ，所以−a=4，a=−4，所以二次函数的图形不能为第二个；若二次函数的图形为第三个，令x=−1，y=0，则a−b+a 2+b=0，所以a=−1；若二次函数的图形为第四个，令x=0，y=0，则a 2+b=0①；令x=−2，y=0，则4a−2b+a 2+b=0②，由①②得a=−2，这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个.故选A.【点睛】本题考查了二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系：a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-；顶点坐标为(-，)；也考查了点在抛物线上则点的坐标满足抛物线的解析式.6．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）A．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）B．当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3 2C．当m≠0时，函数图象经过同一个点D．当m<0时，函数在x>14时，y随x的增大而减小【答案】D【解析】分析：A、把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B、令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．详解：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；A、当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；B、当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得：x1=1，x2=﹣12﹣12m，|x2﹣x1|=32+12m＞32，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32，此结论正确；C、当x=1时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．D、当m＜0时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14mm，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．故选D ．点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．7．函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，则8x =时，函数值等于( )A ．5B ．52-C ．52D ．－5【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称性，求得函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴，进而判断与8x =的函数值相等时x 的值，由此可得结果．【详解】∵函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，∴函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴为：1742x +==， ∴8x =与0x =的函数值相等，∴当8x =时，250055y ax bx a b =++=⨯+⨯+=，即8x =时，函数值等于5，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和对称性．掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题的关键．8．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a +2b +c ＜0；（2）方程ax 2+bx +c ＝0两根都大于零；（3）y 随x 的增大而增大；（4）一次函数y ＝x +bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x 轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，对称轴x=﹣＝1，故b ＜0，bc ＜0，即可判断一次函数y ＝x +bc 的图象. 【详解】①由x ＝2时，y ＝4a +2b +c ，由图象知：y ＝4a +2b +c ＜0，故正确；②方程ax 2+bx +c ＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确；③当x ＜2时，由图象知：y 随x 的增大而减小，故错误；④由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，x=﹣＝1＞0，∴b ＜0， ∴bc ＜0，∴一次函数y ＝x +bc 的图象一定过第一、三、四象限，故正确；故正确的共有3个，故选：C ．【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.9．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）A ．原数与对应新数的差不可能等于零B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ， 设新数与原数的差为y 则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确．当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．故答案选：D ．【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．10．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误；根据函数对称轴可得：-2b a=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.11．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 12>；④b ＞1，其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【解析】【分析】 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．【详解】由图象可得，a ＞0，b ＞0，c ＜0，∴abc ＜0，故①错误，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确，当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确， ∵12b a ->-，a ＞0，得122b a >>，故③正确， 故选C ．【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．12．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ）A ．13x =-，21x =-B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．13x =-，21x =【答案】C【解析】【分析】【详解】∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．13．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的顶点为(﹣1，3)，与x 轴的交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为( )①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m ＜n ；②c ＝a+3；③a+b+c ＜0；④方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】 试题分析：由抛物线与x 轴有两个交点，可知b 2-4ac ＞0，所以①错误；由抛物线的顶点为D （-1，2），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0，所以②正确；由抛物线的顶点为D （-1，2），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x=2b a=-1，可得b=2a ，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确；由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选C ．考点：二次函数的图像与性质14．已知抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，则函数y ＝的大致图象是（ ） A ． B ．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意可求m＜﹣2，即可求解．【详解】∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0∴m＜﹣2∴函数y＝的图象在第二、第四象限，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．15．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线1122y x=+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a＜98C．1≤a＜98或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜98【答案】C【解析】【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【详解】∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴令1122x +＝ax 2﹣x +1，则2ax 2﹣3x +1＝0 ∴△＝9﹣8a ＞0 ∴a ＜98①当a ＜0时，110111a a ++≤⎧⎨-+≤⎩解得：a ≤﹣2∴a ≤﹣2②当a ＞0时，110111a a ++≥⎧⎨-+≥⎩ 解得：a ≥1∴1≤a ＜98综上所述：1≤a ＜98或a ≤﹣2 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．16．如图，已知()4,1A --，线段AB 与x 轴平行，且2AB =，抛物线2y x mx n =-++经过点()0,3C 和()3,0D ，若线段AB 以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t （秒）.若抛物线与线段AB 有公共点，则t 的取值范围是（ ）A ．010t ≤≤B ．210t ≤≤C ．28t ≤≤D ．210t <<【答案】B【解析】【分析】 直接利用待定系数法求出二次函数，得出B 点坐标，分别得出当抛物线l 经过点B 时，当抛物线l 经过点A 时，求出y 的值，进而得出t 的取值范围；【详解】解：（1）把点C （0，3）和D （3，0）的坐标代入y=-x 2+mx+n 中，得，23330n m n =⎧⎨-++=⎩解得32n m =⎧⎨=⎩∴抛物线l 解析式为y=-x 2+2x+3，设点B 的坐标为（-2，-1-2t ），点A 的坐标为（-4，-1-2t ），当抛物线l 经过点B 时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5，当抛物线l 经过点A 时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21，当抛物线l 与线段AB 总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5，解得：2≤t≤10．故应选B【点睛】此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t 的不等式是解题关键．17．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y ＝4x －12x 2刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画，下列结论错误的是( )A ．斜坡的坡度为1: 2B ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球抛出高度达到7.5m 时，小球距O 点水平距离为3m【答案】D【解析】【分析】求出抛物线与直线的交点，判断A 、C ；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B ；求出当7.5y =时，x 的值，判定D ．【详解】解：214212y x x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得，1100x y =⎧⎨=⎩，22772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 72∶7=1∶2，∴A 正确； 小球落地点距O 点水平距离为7米，C 正确；2142y x x =- 21(4)82x =--+， 则抛物线的对称轴为4x =，∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正确，当7.5y =时，217.542x x =-， 整理得28150x x -+=，解得，13x =，25x =，∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．18．抛物线y=–x 2+bx+c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法错误的是A ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为(–2，0)B ．抛物线与y 轴的交点坐标为(0，6)C ．抛物线的对称轴是直线x=0D ．抛物线在对称轴左侧部分是上升的【答案】C【解析】【分析】【详解】解：当x=-2时，y=0，∴抛物线过（-2，0），∴抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-2，0），故A 正确；当x=0时，y=6，∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，6），故B 正确；当x=0和x=1时，y=6，∴对称轴为x=12，故C 错误； 当x ＜12时，y 随x 的增大而增大， ∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D 正确；故选C ．19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断．【详解】解：Q 抛物线开口向下，0a ∴<，Q 对称轴12b x a=-=， 0b ∴>，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，0c ∴>，0abc ∴<，故①错误；Q 抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，故②正确；Q 对称轴12b x a=-=， 2a b ∴=-，20a b ∴+=，故③正确；根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确；故选：C ．【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．20．在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；根据二次函数的对称轴在y 左侧，a ，b 同号，对称轴在y 轴右侧a ，b 异号，以及当a 大于0时开口向上，当a 小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y 轴于正半轴，常数项为负，交y 轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．【详解】解：由方程组2y ax bx y bx a⎧=+⎨=-⎩得ax 2＝−a ， ∵a ≠0∴x 2＝−1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B ．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选C．【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．。
初二数学二次函数试题答案及解析
初二数学二次函数试题答案及解析1.发射一枚炮弹，经过x秒后炮弹的高度为y米，x，y满足y=ax2+bx，其中a，b是常数，且a≠0．若此炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则炮弹达到最大高度的时刻是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒【答案】B【解析】由于炮弹在第6s与第14s时的高度相等，即x取6和14时y的值相等，根据抛物线的对称性可得到抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x="6+" =10，然后根据二次函数的最大值问题求解．∵x取6和14时y的值相等，∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=6+=10，即炮弹达到最大高度的时间是10s．故选：B．【考点】二次函数的应用．2.已知直线y=b（b为实数）与函数 y=的图像至少有三个公共点，则实数b的取值范围 .【答案】0<b≤1.【解析】先作函数图象，只要把图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折即可得到的图像，如图所示，因为函数顶点（2，-1）关于X轴对称的点（2,1），结合图像可看出实数b的取值范围是0<b≤1.【考点】二次函数的图像.3.已知抛物线上有一点M(x，)位于轴下方．(1)求证：此抛物线与x轴交于两点；(2)设此抛物线与轴的交点为A(，0)，B(，0)，且<，求证：<<．【答案】见试题解析.，)代入函数关系式，根据＜0，就【解析】(1)本小题只需证明，即△＞0．将M(x可以得到.(2)根据根与系数的关系可得，，∴，∴，故．试题解析：（1）∵上有一点M位于x轴下方，∴∴，∴，∴△＞0，∴此抛物线与x轴交于两点；（2）∵，，∴，∴，故．【考点】①二次函数与x轴的交点；②根与系数的关系；③配方法.4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为BC的中点．（1）若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝CF ，求证：△AED ≌△CFD ；（2）当点F 、E 分别从C 、A 两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA 、AB 运动，到点A 、B 时停止；设△DEF 的面积为y ，F 点运动的时间为x ，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F 、E 分别沿CA 、AB 的延长线继续运动，求此时y 与x 的函数关系式．【答案】（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC ，为证明△AED ≌△CFD 提供了重要的条件；（2）；（3）【解析】（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC ，为证明△AED ≌△CFD 提供了重要的条件；（2）利用S 四边形AEDF =S △AED +S △ADF =S △CFD +S △ADF =S △ADC ="9" 即可得到y 与x 之间的函数关系式；（3）依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB ，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，从而得到△ADF ≌△BDE ，利用全等三角形面积相等得到S △ADF =S △BDE 从而得到S △EDF =S △EAF +S △ADB 即可确定两个变量之间的函数关系式． （1）∵∠BAC=90° AB=AC=6，D 为BC 中点 ∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45° ∴AD=BD=DC ∵AE=CF∴△AED ≌△CFD （SAS ） （2）依题意有：FC=AE=x ， ∵△AED ≌△CFD∴S 四边形AEDF =S △AED +S △ADF =S △CFD +S △ADF =S △ADC =9 ∴S △EDF =S 四边形AEDF -S △AEF =9-(6-x)x=x 2-3x+9 ∴；（3）依题意有：AF=BE=x-6，AD=DB ，∠ABD=∠DAC=45° ∴∠DAF=∠DBE=135° ∴△ADF ≌△BDE ∴S △ADF =S △BDE∴S △EDF =S △EAF +S △ADB =(x-6)x+9=x 2-3x+9 ∴．【考点】动点问题的综合题点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.5. 某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元。
初中数学二次函数基础测试题附答案解析
初中数学二次函数基础测试题附答案解析一、选择题1．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】【分析】【详解】 解：∵抛物线和x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x ﹣1，和x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a ﹣2b+c ＞0，∴4a+c ＞2b ，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c ＜0，∴2a+2b+2c ＜0，∵b=2a ，∴3b ，2c ＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a ﹣b+c 的值最大，即把（m ，0）（m≠0）代入得：y=am 2+bm+c ＜a ﹣b+c ，∴am 2+bm+b ＜a ，即m （am+b ）+b ＜a ，∴④正确；即正确的有3个，故选B ．考点：二次函数图象与系数的关系2．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3y x 的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ）A ．010<x <4B ．011<x <43C ．011<x <32D ．01<x <12【答案】C【解析】 【分析】 首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1y x=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围．【详解】解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2y x 2=+与1y x=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=14时，21y x 2216=+=，1y 4x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，21229y x =+=，1y 3x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=12时，21224y x =+=，1y 2x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2y x 23=+=，1y 1x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <32． 故选C ．【点睛】 此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．3．将抛物线243y x x =-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线（ ）A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位【答案】C【解析】【分析】先把抛物线243y x x =-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--∴其顶点坐标为：(2,−1)，∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C.【点睛】本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.4．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △ABE ﹣S △CEF 可得S=﹣t 2+4t ，配成顶点式得S=﹣（t ﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t ）2=（t ﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF=4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t=﹣t2+4t=﹣（t﹣4）2+8；当4＜t≤8时，S=•（8﹣t）2=（t﹣8）2．故选D．考点：动点问题的函数图象．5．定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）A．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83）B．当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3 2C．当m≠0时，函数图象经过同一个点D．当m<0时，函数在x>14时，y随x的增大而减小【答案】D【解析】分析：A、把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B、令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．详解：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；A、当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；B、当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得：x1=1，x2=﹣12﹣12m，|x2﹣x1|=32+12m＞32，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32，此结论正确；C 、当x=1时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）=0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．D 、当m ＜0时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14m m-，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．故选D ．点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．6．函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，则8x =时，函数值等于( )A ．5B ．52-C ．52D ．－5【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称性，求得函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴，进而判断与8x =的函数值相等时x 的值，由此可得结果．【详解】∵函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，∴函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴为：1742x +==， ∴8x =与0x =的函数值相等，∴当8x =时，250055y ax bx a b =++=⨯+⨯+=，即8x =时，函数值等于5，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和对称性．掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题的关键．7．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，故选：D ．【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【答案】D【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴为x=1，则-2b a=1，b=-2a∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值∴+a b ＞2am bm +（故③正确）：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误）由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0∵1x ≠2x∴a(x 1+x 2)+b=0∴x 1+x 2=2b a a a-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．考点：二次函数图像与系数的关系.9．如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A 5B 453C ．3D ．4【答案】A【解析】【分析】【详解】 过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，∵BF ⊥OA ，DE ⊥OA ，CM ⊥OA ，∴BF ∥DE ∥CM ．∵OD=AD=3，DE ⊥OA ，∴OE=EA=12OA=2． 由勾股定理得：DE=5．设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，∵BF ∥DE ∥CM ，∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ．∴BF OF CM AM DE OE DE AE ==，，即BF x CM 2x 2255-==，，解得：()52x 5BF ?x CM 22-==，． ∴BF+CM=5．故选A ．10．如图，矩形ABCD 的周长是28cm ，且AB 比BC 长2cm ．若点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿A D C →→方向匀速运动，同时点Q 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿A B C →→方向匀速运动，当一个点到达点C 时，另一个点也随之停止运动．若设运动时间为()t s ，APQ 的面积为()2cm S ，则()2cm S 与()t s 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】先根据条件求出AB 、AD 的长，当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，计算S 与t 的关系式，分析图像可排除选项B 、C ；当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，计算S 与t 的关系式，分析图像即可排除选项D ，从而得结论．【详解】解：由题意得2228AB BC +=，2AB BC =+，可解得8AB =，6BC =，即6AD =，①当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，S △APQ =211222AP AQ t t t ==， 图像是开口向上的抛物线，故选项B 、C 不正确；②当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，S △APQ =118422AP AB t t =⨯=， 图像是一条线段，故选项D 不正确；故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P 和Q 的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S 与t 的函数关系式．11．已知抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，则函数y ＝的大致图象是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意可求m＜﹣2，即可求解．【详解】∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0∴m＜﹣2∴函数y＝的图象在第二、第四象限，故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．AB=，AC、BD交于点O，点P、Q分别是AB、BD 12．如图，四边形ABCD是正方形，8→，点Q的运动路径是BD，两点的运动速度相同并上的动点，点P的运动路径是AB BC△的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（）且同时结束.若点P的行程为x，PBQA．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】分点P在AB边和BC边上两种情况画出图形，分别求出y关于x的函数关系式，再结合其取值范围和图象的性质判断即可.解：当点P 在AB 边上，即08x ≤≤时，如图1，由题意得：AP=BQ=x ，∠ABD =45°，∴ BP =8－x ，过点Q 作QF ⊥AB 于点F ，则QF =2222BQ x =， 则2122(8)22224y x x x x =-⋅=-+，此段抛物线的开口向下；当点P 在BC 边上，即882x <≤时，如图2，由题意得：BQ=x ，BP=x －8，∠CBD =45°， 过点Q 作QE ⊥BC 于点E ，则QE =2222BQ x =， 则2122(8)22224y x x x x =-⋅=-，此段抛物线的开口向上. 故选A.【点睛】本题以正方形为依托，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和二次函数的图象等知识，分情况讨论、正确列出二次函数的关系式是解题的关键.13．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0；②4a+2b+c ＞0；③13＜a ＜23；④b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④【答案】B【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a 、b 、c 的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a 、b 、c 之间的关系，从而对④作判断；从图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c 的大小得出③的正误．【详解】①∵函数开口方向向上，∴a ＞0；∵对称轴在y 轴右侧∴ab 异号，∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；②∵图象与x 轴交于点A （-1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，故②错误；③∵图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间，∴-2＜c ＜-1∵-12b a， ∴b=-2a ， ∵函数图象经过（-1，0），∴a-b+c=0，∴c=-3a ，∴-2＜-3a ＜-1， ∴13＜a ＜23；故③正确 ④∵函数图象经过（-1，0），∴a-b+c=0，∴b-c=a ，∵a ＞0，∴b-c ＞0，即b ＞c ；故④正确；故选B ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．14．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．t ＞﹣5B ．﹣5＜t ＜3C ．3＜t≤4D ．﹣5＜t≤4【答案】D【解析】【分析】 先根据对称轴x=2求得m 的值，然后求得x=1和x=5时y 的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4．【详解】∵抛物线的对称轴为x ＝2， ∴22m -=-，m=4 如图，关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标当x=1时，y=3，当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解， 则直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，∴﹣5＜t≤4．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x 轴(或某直线)有交点．15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案．【详解】解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，,2AP t BQ t ==2122APQ S t t t =⋅⋅=，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时，此时，AP t =，APQ 底边AP 上的高保持不变1422APQ St t =⋅⋅=，函数图象为一次函数； 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．16．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b ＞0C ．a +c ＜0D ．a +b +c ＝0【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】A.由图象可知：a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故A 错误；B.由对称轴可知：x ＝2b a -＜0， ∴b ＜0，故B 错误；C.由对称轴可知：x ＝2b a -＝﹣1， ∴b ＝2a ，∵x ＝1时，y ＝0，∴a +b +c ＝0，∴c ＝﹣3a ，∴a +c ＝a ﹣3a ＝﹣2a ＞0，故C 错误；故选D ．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．17．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据抛物线与x 轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a ＜0，c ＞0，故①正确；抛物线与x 轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0， 故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x ＞-1，在对称轴右侧， y 随x 的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y 随x 的增大而减小，故④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．18．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论．【详解】解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确由乙、丁同学的结论可得01442b c b c=-+⎧⎨=++⎩ 解得：1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为：221212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x ∴当x=16-时，y 的最小值为2536-，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确由甲乙的结论可得 1201b b c⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩∴223y x x =--当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ．【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键．19．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20）【答案】C【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质．20．如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1．下列结论：①4a ﹣2b+c ＜0；②2a ﹣b ＜0；③abc ＜0；④b 2+8a ＜4ac ．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】 首先根据抛物线的开口方向可得到a ＜0，抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0，而抛物线与x 轴的交点中，﹣2＜x 1＜﹣1、0＜x 2＜1说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x =﹣2b a＞﹣1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断【详解】 由图知：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴x=﹣2b a＞﹣1，且c ＞0； ①由图可得：当x=﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b+c ＜0，故①正确； ②已知x=﹣2b a＞﹣1，且a ＜0，所以2a ﹣b ＜0，故②正确； ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，又c ＞0，故abc ＞0，所以③不正确；④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：244ac b a -＞2，由于a ＜0，所以4ac ﹣b2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确；因此正确的结论是①②④．故选：C ．本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．。
二次函数测试题及答案
二次函数测试题及答案一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1、二次函数 y ＝ x²＋ 2x 3 的图象的顶点坐标是（）A （－1，－4）B （1，－4）C （－1，4）D （1，4）答案：A解析：对于二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c 的顶点坐标公式为(b/2a, （4ac b²)／4a)，在函数 y ＝ x²＋ 2x 3 中，a ＝ 1，b ＝ 2，c ＝－3，所以顶点横坐标为 b/2a ＝－2/（2×1) ＝－1，纵坐标为（4ac b²)／4a ＝ 4×1×（－3) 2²/（4×1) ＝（－12 4)／4 ＝－16/4 ＝－4，所以顶点坐标为（－1，－4）。
2、抛物线 y ＝－2(x 1)²＋ 3 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（）A 开口向下，对称轴为 x ＝－1，顶点坐标为（1，3）B 开口向下，对称轴为 x ＝ 1，顶点坐标为（1，3）C 开口向上，对称轴为 x ＝－1，顶点坐标为（－1，3）D 开口向上，对称轴为 x ＝ 1，顶点坐标为（－1，3）答案：B解析：在抛物线 y ＝ a(x h)²＋ k 中，当 a ＜ 0 时，开口向下，对称轴为 x ＝ h，顶点坐标为（h，k）。
在抛物线 y ＝－2(x 1)²＋ 3 中，a ＝－2 ＜ 0，所以开口向下，对称轴为 x ＝ 1，顶点坐标为（1，3）。
3、把抛物线 y ＝ x²向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A y ＝（x 1)²＋ 3B y ＝（x ＋ 1)²＋ 3C y ＝（x 1)² 3D y ＝（x ＋ 1)² 3答案：B解析：抛物线平移遵循“上加下减，左加右减”的原则。
抛物线 y ＝x²向左平移 1 个单位得到 y ＝（x ＋ 1)²，然后向上平移 3 个单位得到y ＝（x ＋ 1)²＋ 3。
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新初中数学二次函数基础测试题及答案一、选择题1．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项．【详解】解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，AB 2=42+（6-3）2，解得，AB=5cm ．下面分三种情况讨论:当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==gg g ,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2⨯⨯=; 当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()211226,2y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数 故符合y 与t 的函数图象是B ．故选：B ．【点睛】此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.2．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）A ．-12＜t ≤3B ．-12＜t ＜4C ．-12＜t ≤4D ．-12＜t ＜3【答案】C【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2−2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解.【详解】解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1，∴b ＝−2，∴y ＝－x 2−2x ＋3，∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，∵当x ＝−1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12，∴函数y ＝－x 2−2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4，∴－12＜t≤4，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．3．已知，二次函数y=ax 2+bx+a 2+b （a≠0）的图象为下列图象之一，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-3D ．-4【答案】A【解析】【分析】 分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其顶点坐标为(0，a 2)，与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，根据顶点坐标有a 2=3，由抛物线与x 的交点坐标得到x 2=-a ，所以a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1，0)代入解析式得到a-b+a 2+b=0，解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2，0)和(0，0)分别代入解析式可计算出a 的值．【详解】解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y 轴，则b=0，y=ax 2+a 2，其顶点坐标为(0，a 2)，而a 2>0，所以二次函数的图形不能为第一个；若二次函数的图形为第二个，对称轴为y 轴，则b=0，y=ax 2+a 2，a 2=3，而当y=0时，x 2=−a ，所以−a=4，a=−4，所以二次函数的图形不能为第二个；若二次函数的图形为第三个，令x=−1，y=0，则a−b+a 2+b=0，所以a=−1；若二次函数的图形为第四个，令x=0，y=0，则a 2+b=0①；令x=−2，y=0，则4a−2b+a 2+b=0②，由①②得a=−2，这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个.故选A.【点睛】本题考查了二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系：a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下；抛物线的对称轴为直线x=-；顶点坐标为(-，)；也考查了点在抛物线上则点的坐标满足抛物线的解析式.4．要将抛物线2y x =平移后得到抛物线223y x x =++，下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【答案】A【解析】【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（-1，2），由此确定平移办法．【详解】y=x 2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x 2的顶点坐标是（0，0），则平移的方法可以是：将抛物线y=x 2向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度． 故选：A ．【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换．解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．5．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a -b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.6．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：①b2﹣4ac＞0②x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解③x1＜x0＜x2④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．①②③D．②③【答案】B【解析】【分析】①根据二次函数图象与x轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出△=b2-4ac＞0，①正确；②由点M（x0，y0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确；③分a＞0和a＜0考虑，当a＞0时得出x1＜x0＜x2；当a＜0时得出x0＜x1或x0＞x2，③错误；④将二次函数的解析式由一般式转化为交点式，再由点M（x0，y0）在x轴下方即可得出y0=a（x0-x1）（x0-x2）＜0，④正确．【详解】①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac＞0，①正确；②∵图象上有一点M（x0，y0），∴a+bx0+c=y0，∴x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解，②正确；③当a＞0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x1＜x0＜x2；当a＜0时，∵M（x0，y0）在x轴下方，∴x0＜x1或x0＞x2，③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），∴y=ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），∵图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，∴y0=a（x0-x1）（x0-x2）＜0，④正确；故选B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的相关知识逐一分析四条结论的正误是解题的关键．7．函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，则8x =时，函数值等于( )A ．5B ．52-C ．52D ．－5 【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的对称性，求得函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴，进而判断与8x =的函数值相等时x 的值，由此可得结果．【详解】∵函数25y ax bx =++(0)a ≠，当1x =与7x =时函数值相等，∴函数25y ax bx =++(0)a ≠的对称轴为：1742x +==， ∴8x =与0x =的函数值相等，∴当8x =时，250055y ax bx a b =++=⨯+⨯+=，即8x =时，函数值等于5，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和对称性．掌握二次函数的对称性和对称轴的求法，是解题的关键．8．如图，坐标平面上，二次函数y ＝﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？( )A ．1B ．12C ．43D ．45【答案】D【解析】【分析】 求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可．【详解】解：∵y ＝﹣x 2+4x ﹣k ＝﹣(x ﹣2)2+4﹣k ，∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，∴OC＝k，∵△ABC的面积＝12AB•OC＝12AB•k，△ABD的面积＝12AB(4﹣k)，△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k＝14(4﹣k)，解得：k＝45．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．9．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线1122y x=+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a＜98C．1≤a＜98或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜98【答案】C【解析】【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．【详解】∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴令1122x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0∴△＝9﹣8a＞0∴a＜9 8①当a ＜0时，110111a a ++≤⎧⎨-+≤⎩解得：a ≤﹣2∴a ≤﹣2②当a ＞0时，110111a a ++≥⎧⎨-+≥⎩解得：a ≥1∴1≤a ＜98综上所述：1≤a ＜98或a ≤﹣2 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．10．如图，已知将抛物线21y x =-沿x 轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”）.现将抛物线()()2120y a x a =++<沿x 轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-B ．12a ≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤<- 【答案】D【解析】【分析】 画出图象，利用图象可得m 的取值范围【详解】解：∵ ()()2120y a x a =++<∴该抛物线开口向下，顶点(-1，2)，对称轴是直线x=-1.∴点(-1,2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1，-2)符合题意，此时x 轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意，将(0，1)代入()()2120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1.将(1, 0)代入()()2120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2∵有11个整点，∴点(0，-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0，1)也必须符合题意. 综上可知:当1-1a<-2≤ 时，点(-1，2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1，-1)、点(-1，-2)、点(-2, 0)、(0，0)、点(0，-1)、点(-2，-1)、点(-2，1)、点(0, 1)，共有11个整点符合题意, 故选: D.【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键.11．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a *b ＝ab ﹣a +b ，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（ ）A ．不等式（﹣2）*（3﹣x ）＜2的解集是x ＜3B ．函数y ＝（x +2）*x 的图象与x 轴有两个交点C ．在实数范围内，无论a 取何值，代数式a *（a +1）的值总为正数D ．方程（x ﹣2）*3＝5的解是x ＝5【答案】D【解析】【分析】根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A ；根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B ；根据题目中所给的运算法则可得a *（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+12）2+34＞0，由此即可判定选项C；根据题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D.【详解】∵a*b＝ab﹣a+b，∴（﹣2）*（3﹣x）＝（﹣2）×（3﹣x）﹣（﹣2）+（3﹣x）＝x﹣1，∵（﹣2）*（3﹣x）＜2，∴x﹣1＜2，解得x＜3，故选项A正确；∵y＝（x+2）*x＝（x+2）x﹣（x+2）+x＝x2+2x﹣2，∴当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得，x1＝﹣x2＝﹣1B正确；∵a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+12）2+34＞0，∴在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，故选项C正确；∵（x﹣2）*3＝5，∴（x﹣2）×3﹣（x﹣2）+3＝5，解得，x＝3，故选项D错误；故选D．【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键.12．已知抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a，则抛物线的顶点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．【详解】抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a的顶点的横坐标为：x＝﹣212a+＝﹣a﹣12，纵坐标为：y＝()()224214a a a--+＝﹣2a﹣14，∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y＝2x+34，∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．13．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③2a ＋b ＝0；④4ac ＞b 2．其中错误的是( )A ．②④B ．①③④C ．①②④D ．②③④【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线开口方向得到0a >，利用对称轴在y 轴的右侧得到0b <，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到0c <，则可对A 进行判断；利用当1x =时，0y <可对B 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线12b x a=-=，则可对C 进行判断；根据抛物线与x 轴的交点个数对D 进行判断．【详解】解：Q 抛物线开口向上， 0a ∴>，Q 对称轴在y 轴的右侧，a ∴和b 异号，0b ∴<，Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，0c ∴<，0bc ∴>，所以①错误；Q 当1x =时，0y <，0a b c ∴++<，所以②错误；Q 抛物线经过点(1,0)-和点(3,0)，∴抛物线的对称轴为直线1x =， 即12b a-=， 20a b ∴+=，所以③正确；Q 抛物线与x 轴有2个交点，∴△240b ac =->，即24ac b <，所以④错误．综上所述：③正确；①②④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置（左同右异）．常数项c 决定抛物线与y 轴交点(0,)c ．抛物线与x 轴交点个数由△决定．14．已知抛物线y=x 2+2x 上三点A （﹣5，y 1），B （2.5，y 2），C （12，y 3），则y 1，y 2，y 3满足的关系式为（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 3＜y 1＜y 2【答案】C【解析】【分析】首先求出抛物线y=x 2+2x 的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A 、B 、C 的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解；由B 离对称轴最近，A 次之，C 最远，则对应y 的值大小可确定.【详解】∵抛物线y=x 2+2x ，∴x=-1，而A （-5，y 1），B （2.5，y 2），C （12，y 3），∴B 离对称轴最近，A 次之，C 最远，∴y 2＜y 1＜y 3．故选:C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．15．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( )A ．3或6B ．1或6C ．1或3D ．4或6【答案】B【解析】分析：分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况考虑：当h ＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h ＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．详解：如图，当h ＜2时，有-（2-h ）2=-1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有-（5-h）2=-1，解得：h3=4（舍去），h4=6．综上所述：h的值为1或6．故选B．点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．16．如图1，△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A→C→B运动，点Q从点A出发以vcm/s的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v＝1；②sin B＝13；③图象C2段的函数表达式为y＝﹣13x2+103x；④△APQ面积的最大值为8，其中正确有（）A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】A【解析】【分析】①根据题意列出y＝12AP•AQ•sin A，即可解答②根据图像可知PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，再代入即可③把sin B＝13，代入解析式即可④根据题意可知当x＝﹣522ba时，y最大＝2512【详解】①当点P在AC上运动时，y＝12AP•AQ•sin A＝12×2x•vx＝vx2，当x＝1，y＝12时，得v＝1，故此选项正确；②由图象可知，PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，当P在BC上时y＝12•x•（10﹣2x）•sin B，当x＝4，y＝43时，代入解得sin B＝13，故此选项正确；③∵sin B＝13，∴当P在BC上时y＝12•x（10﹣2x）×13＝﹣13x2+53x，∴图象C2段的函数表达式为y＝﹣13x2+53x，故此选项不正确；④∵y＝﹣13x2+53x，∴当x＝﹣522ba时，y最大＝2512，故此选项不正确；故选A．【点睛】此题考查了二次函数的运用，解题关键在于看图理解17．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝2ax+（a+c）x+c与一次函数y＝ax+c的大致图象．正确的（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．【详解】令ax 2+（a+c ）x+c=ax+c ，解得，x 1=0，x 2=-c a， ∴二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 与一次函数y=ax+c 的交点为（0，c ），（−c a ，0）， 选项A 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＞0，c ＜0，而一次函数y=ax+c 中a ＜0，c ＞0，故选项A 不符题意，选项B 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＞0，c ＜0，而一次函数y=ax+c 中a ＞0，c ＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B 不符题意，选项C 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＜0，c ＞0，而一次函数y=ax+c 中a ＜0，c ＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D 符合题意，选项D 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＜0，c ＞0，而一次函数y=ax+c 中a ＞0，c ＜0，故选项C 不符题意，故选：D ．【点睛】考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20）【答案】C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质．19．下列函数（1）y =x （2）y =2x ﹣1 （3）y =1x（4）y =2﹣3x （5）y =x 2﹣1中，是一次函数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】B【解析】【分析】分别利用一次函数、二次函数和反比例函数的定义分析得出即可．【详解】解：（1）y=x是一次函数，符合题意；（2）y=2x﹣1是一次函数，符合题意；（3）y=1x是反比例函数，不符合题意；（4）y=2﹣3x是一次函数，符合题意；（5）y=x2﹣1是二次函数，不符合题意；故是一次函数的有3个．故选：B．【点睛】此题考查一次函数、二次函数和反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．20．如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：①；②；③.其中，正确结论的个数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．【详解】解：根据图象可知a＞0，c＜0，b＞0，∴, 故③错误；∵.∴B（-c，0）∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-2，0）和B（-c，0）两点，∴， ac2-bc+c=0∴，ac-b+1=0，∴，故②正确；∴，b=ac+1∴,∴2b-c=2，故①正确；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．。