解三角形之正弦定理与余弦定理解析

正弦定理与余弦定理

教学目标

掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.

正余弦定理及三角形面积公式．

教学重难点

掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.

知识点清单

一.正弦定理：

1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外

接圆的直径，即 R C

c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C

++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C

A c a = 3）化边为角：C R c

B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===

4）化角为边：

;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c

a C A = 5）化角为边： R

c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；

例：已知角B,C,a ，

解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C

B c b = ;sin sin C

A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A,

解法：由正弦定理B

A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C

A c a sin sin =求出c 边

4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则

①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；

③b a A b <

如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解) ②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)

注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

二.三角形面积 1.B ac A bc C ab S ABC sin 2

1sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC )(2

1++=∆,其中r 是三角形内切圆半径. 3. ))()((c p b p a p p S ABC ---=∆, 其中)(2

1c b a p ++=, 4. R

abc S ABC 4=∆,R 为外接圆半径 5.C B A R S ABC sin sin sin 22=∆,R 为外接圆半径

三.余弦定理

1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即

A bc c b a cos 2222-+=

B ac c a b cos 2222-+=

C ab b a c cos 2222-+=

2.变形：bc

a c

b A 2cos 2

22-+= ac

b c a B 2cos 2

22-+= ab

c b a C 2cos 2

22-+= 注意整体代入，如：2

1cos 222=⇒=-+B ac b c a 3．利用余弦定理判断三角形形状：

设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：

①若，，所以为锐角

②若为直角A a b c ⇔=+222

③若， 所以为钝角，则是钝角三角形

4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

1）已知三边，求三个角

2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

考点解析

题型1 正弦定理解三角形

例题1 在△ABC 中，已知A=60°，a=2，C=45°，则C= ． 例题2 在△ABC 中，A=

，AC=2，BC=，则AB= ．

变式训练

1、 在△AB C 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c

2、 在△ABC 中，

(1) 若a ＝4，B ＝30°，C ＝105°，则b ＝________．

(2) 若b ＝3，c ＝2，C ＝45°，则a ＝________．

(3) 若AB ＝3，BC ＝6，C ＝30°，则∠A＝________．

D

等于 ．题型2 余弦定理解三角形

例题1 在△ABC 中，a=1，b=，c=2，则B= ．

例题2 已知△ABC 中，AB=3，AC=5，A=120°，则BC 等于 ．

变式训练

1、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosB

cosC

＝－

b

2a＋c

.求角B

的大小

2、在△ABC中，有下列结论：

①若a2＞b2+c2，则△ABC为钝角三角形

②若a2=b2+c2+bc，则A为60°

③若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形

④若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=1：2：3

在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，则C=

D

题型3 正弦余弦定理求三角形面积

D

的面积为．

变式训练

1、已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，则△ABC面积的最大值为．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a=，b+c=3，则

D

222

的等差中项．

(1) 求B的大小；

(2) 若a＋c＝10，b＝2，求△ABC的面积．