(人教a版)必修一同步课件：函数奇偶性的应用

2.利用单调性和奇偶性解不等式的方法 (1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式 转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱 掉“f”求解. (2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性 相反，列出不等式或不等式组，求解即可 ,同时要注意函数自 身定义域对参数的影响.
【规范解答】函数奇偶性与单调性的综合应用
【典例】 【条件分析】
【规范解答】(1)令x1=x2=1①得 f(1)=f(1)+f(1), ≨f(1)=0. (2)令x1=x2=－1①, 则f(-1)=0， 令x1=－1,x2=x①， ≨f(－x)=f(x)， 又定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， ≨f(x)为偶函数. „„„„„„„„„ 7分 „„„„„„„„„ 4分 „„„„„„„„„ 3分
1.赋值法的应用
抽象函数的求值与性质讨论，往往需要恰当地赋值，此时要
明确利用哪些式子说明问题，如本题中判断函数奇偶性，看 f(-x)与f(x)的关系，关键是出现f(-x)与f(x)之后，不要出 现多余变量.
2.偶函数的一个重要性质
根据偶函数的定义，可得f(x)=f(|x|)，从而把自变量都集中在
区间(0，+≦)上，应用单调性时，就可以避免分自变量在不同 区间内的繁琐讨论，把f(-6(3x+1))写成f(|-6(3x+1)|)，避免 对-6(3x+1)的符号讨论.
(3)≧f(4)=1,
又f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ≨f(4)+f(4)=f(4×4)=f(16), ≨f(16)+f(4)=f(16×4)=f(64), ≨f(64)=f(4)+f(4)+f(4), ≨f(64)=3.② „„„„„„„„„ 8分
≨f(3x+1)+f(－6)≤3等价于f(-6(3x+1))≤3,
6.f(x)是定义在(－∞，－5］,［5，＋∞)上的奇函数，且 f(x)在［5，＋∞)上单调递减，试判断f(x)在(－∞，－5］ 上的单调性，并用定义给予证明．
【解析】f(x)在(-≦，-5］上单调递减.任取x1<x2≤-5，则
－x1>－x2≥5,因f(x)是奇函数且在［5，＋≦)上单调递减，
所以f(－x1)< f(－x2)⇒-f(x1)<－f(x2)⇒f(x1)>f(x2)，即
f(x)在(-≦,-5］上是单调减函数.
)
【解析】选B.f(-x)=-x3为奇函数， 设x1,x2∈R，且x1＜x2,则-x1＞-x2，
3 3 3 f(-x1)-f(-x2)＝ x1 x3 x x 0， 2 2 1＞
≨f(-x1)＞f(-x2)，f(-x)为减函数.
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2-2x，
2 x 2x 3, x 0， ≨f x 2 x 2x 3, x＜0.
类型 二
函数的奇偶性和单调性的综合应用
【典型例题】 1.若f(x)是R上的偶函数，且在［0，+∞)上是增函数，则下 列各式成立的是( ) B.f(-2)＞f(1)＞f(0) D.f(0)＞f(-2)＞f(1)
关键点是什么？
探究提示： 1.利用函数的奇偶性，因为f(x)在R上是偶函数，所以 f(-2)=f(2). 2.偶函数在两个对称区间上的单调性相反，即若一个区间是 增函数，则相应对称区间上为减函数.解决本题的关键是去掉 “f”，转化为具体不等式求解.
【解析】1.选B.f(x)是R上的偶函数，所以f(-2)=f(2).又f(x) 在［0，+≦)上是增函数，故f(0)＜f(1)＜f(2)，即 f(-2)＞f(1)＞f(0). 2.由f(x)在R上是偶函数，在区间(－≦，0)上递增，可知f(x) 在(0，＋≦)上递减. ≧2a2+a+1=2(a+
4.函数f(x)=x3+ax，f(1)=3，则f(-1)＝______. 【解析】显然f(x)是奇函数，≨f(-1)＝-f(1)＝-3. 答案：-3
5.若函数f(x)＝(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数，则f(x)的递减 区间是______. 【解析】利用函数f(x)是偶函数，则k-1=0，k=1，所以 f(x)=-x2+3，其单调递减区间为［0，＋≦)． 答案：［0，＋≦)
2 3
【拓展提升】
1.函数奇偶性和单调性的关系 (1)若f(x)是奇函数,且f(x)在［a,b］上是单调函数,则f(x) 在［-b,-a］上也为单调函数,且具有相同的单调性. (2)若f(x)是偶函数,且f(x)在［a,b］上是单调函数,则f(x) 在［-b,-a］上也为单调函数,且具有相反的单调性.
1 2 7 1 2 5 2 ) + ＞0，2a -2a+3=2(a- ) + ＞0， 2 4 8 2
且f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)， ≨2a2+a+1＞2a2-2a+3， 即3a-2＞0，解得a＞ .
2 3
【互动探究】若题2中“偶函数”改为“奇函数”，则结果如何？ 【解析】若f(x)为R上的奇函数，在区间(-≦，0)上递增，则 f(x)在(0，+≦)上递增， 又≧f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)， ≨2a2+a+1＜2a2-2a+3， 即3a-2＜0，解得a＜ .
2 x 2x, x 0, 所以f(x)=-f(-x)=x2-2x，所以 f x 2 x 2x, x 0.
(2)①当a≤0时，对称轴x= 上单调递减,
a ≤0,所以f(x)=-x2+ax在［0,+≦) 2
由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，所以 f(x) 在(-≦,0)上单调递减, 又在(-≦,0)上f(x)>0,在(0,+≦)上f(x)<0, 所以当a≤0时，f(x)为R上的单调减函数. 当a>0时，f(x)在(0， )上单调递增，在( , +≦)上单调递 减，不合题意. 所以函数f(x)为单调减函数时，a的范围为a≤0.
1 ， x 1
≧f(x)为偶函数，≨f(-x)＝f(x). 又≧g(x)为奇函数，≨g(-x)＝-g(x)，
1 .② x 1 由①②得 f x ＝ 21 ，g x ＝ 2x . x 1 x 1
≨f(x)－g(x)＝－
【拓展提升】
根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间 内. (2)转化代入已知区间的解析式. (3)利用函数f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x)，从而解出f(x).
a 2 a 2
②≧f(m-1)+f(m2+t)<0,≨f(m-1)<-f(m2+t),
又≧f(x)是奇函数，≨f(m-1)<f(-t-m2),
又≧f(x)为R上的单调减函数，≨m-1>-t-m2恒成立,
≨t>-m2-m+1=-(m+
1 2 5 5 ) + 恒成立,≨t> . ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 4 4
1.若函数f(x)＝x3，x∈R，则函数y=f(-x)在其定义域上是( A.单调递减的偶函数 C.单调递增的偶函数 B.单调递减的奇函数 D.单调递增的奇函数
3.定义在R上的偶函数f(x)在［0，＋∞)上是增函数，若f(a)
＜f(b)，则一定可得( )
A.a＜b
C.|a|＜|b|
B.a＞b
D.0≤a＜b或a＞b≥0
【解析】选C.对于定义域为R的偶函数，若x≥0，则 f(|x|)＝f(x)；若x＜0，则f(|x|)＝f(-x)＝f(x).所以，定义 域为R的偶函数f(x)对于任意x∈R，有f(|x|)＝f(x)．于是由 f(a)＜f(b)，可得f(|a|)＜f(|b|)．而|a|≥0，再由f(x)在 ［0，＋≦)上是增函数可得|a|＜|b|，故选C.
A.f(-2)＞f(0)＞f(1) C.f(1)＞f(0)＞f(-2)
2.设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞，0)上递增，且 f(2a2+a+1)＜f(2a2-2a+3)，求a的取值范围.
【解题探究】1.题1中如何将f(-2)转化为自变量在［0，+≦) 上与之相等的函数值？ 2.偶函数在两个对称区间上的单调性有什么关系？解决题 2的
【解题探究】1.对于题1，应如何设自变量x？
2.题2中，如何应用“f(x)为偶函数，g(x)为奇函数”这一条
件？
探究提示：
1.应“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区
间内.
2.应用函数奇偶性，需出现f(-x)，g(-x)，故用-x代替原式
中的x，列出方程组，解关于f(x)与g(x)的方程组.
【类题试解】已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当
x≥0时，f(x)=-x2+ax. (1)当a=-2时，求函数f(x)的解析式. (2)若函数f(x)为R上的单调减函数， ①求a的范围； ②若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立，求实数t的取值 范围.
【解析】(1)当x<0时，-x>0,又因为f(x)为奇函数，且a=-2,
则f(x)在R上的表达式是( )
A.y=x(x-2)
C.y=|x|(x-2)
B.y=x(|x|+2)
D.y=x(|x|-2)
【解析】选D.由x≥0，f(x)＝x2-2x，f(x)是定义在R上的奇 函数得：当x＜0时，-x＞0，f(x)＝-f(-x)＝-(x2+2x)，
x x 2 , x 0, ≨ f x ＝ 即f(x)＝x(|x|-2). x x 2 , x＜0，
【变式训练】若偶函数f(x)在区间［3，7］上是增函数且最大 值为5，那么f(x)在区间［-7，-3］上是( A.增函数且最小值是5 B.增函数且最大值是5 C.减函数且最大值是5 D.减函数且最小值是5 )
【解析】选C.偶函数图象关于y轴对称，f(x)在区间［3，7］上
是增函数，则在区间［-7，-3］上是减函数，且最大值为5.
【解析】1.当x∈(0,+≦)时，-x∈(-≦,0)， f(-x)=-x(-x-1).又f(x)为R上的奇函数， 所以x∈(0,+≦)时，-f(x)=-x(-x-1)， 即f(x)=-x(x+1). 答案：-x(x+1)
2.由f(x)＋g(x)＝
1 ， ① x 1
把x换成-x，得f(-x)＋g(-x)＝
【变式训练】函数y=f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数，当x≥0时 f(x)=x2-2x-3，求函数y=f(x)的解析式. 【解题指南】设x＜0，则-x＞0，利用偶函数的定义， f(-x)=f(x)进行转化. 【解析】令x＜0，则-x＞0, 故f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3. 又f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)， 故f(x)=x2+2x-3，
第2课时 函数奇偶性的应用
类型 一
根据函数的奇偶性求函数解析式
【典型例题】 1.f(x)为R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=x(x-1)， 则当x∈(0,+∞)时，f(x)=______. 2.已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)＋g(x)＝
1 ， 求f(x)，g(x). x 1
≨f(|-6(3x+1)|)≤f(64),
③ 3x 1 0, ≨ 6 3x 1 64， 35 1 1 29 解得 x ［ , ) ( , ］ . 9 3 3 9
„„„„„„„„ „„„„„„„„
10分 12分
【失分警示】
【防范措施】