2019年高考数学一轮： 单元评估检测7 文
2019版高考数学理全国一轮复习单元过关检测七 含解析
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单元过关检测(七)(第七章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【解析】选D.因为m⊥α,l⊥m,l⊄α,所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m,n为异面直线,所以α与β相交,且l平行于它们的交线.2.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 ( )A.10B.12C.14D.16【解析】选B.由三视图可画出立体图,该立体图各面中只有两个相同的梯形的面,S梯=(2+4)×2÷2=6,S全梯=6×2=12.3.三棱锥P-ABC中,PA=PB,AC=BC,BD⊥PC,则A在平面PBC上的射影M 必在( )A.直线PB上B.直线PC上C.直线BD上D.在△PBC内部【解析】选C.取AB中点M,连接MP,MC,因为PA=PB,AC=BC,所以MP⊥AB,MC⊥AB,MP∩MC=M,所以AB⊥平面MPC,所以AB⊥PC,又因为BD⊥PC,AB∩BD=B,所以PC⊥平面ABD,平面ABD⊥平面PBC,A在平面PBC上的射影M必在直线BD上.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BB1的中点,则直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【解析】选C.连接B1D,BD,设AC∩BD=O,连接OM,则B1D⊥平面ACD1,OM∥B1D,所以OM⊥平面ACD1,所以∠MCO为MC与平面ACD1所成的角,设正方体棱长为1,则MC==,OM=B1D=,所以sin ∠MCO==.5.(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )A.πB.C.D.【解析】选B.如图,画出圆柱的轴截面:r=BC=,那么圆柱的体积V=πr2h=π××1=π.6.不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有( )A.3个B.4个C.6个D.7个【解析】选 D.空间中不共面的四个定点构成三棱锥,如图:三棱锥D-ABC,平面α到三棱锥D-ABC的四个定点距离相等,分成两类;一类是:当平面一侧有一点,另一侧有三点时,即对此三棱锥进行换底,则三棱锥由四种表示形式,此时满足条件的平面个数是四个,另一类是:当平面一侧有两点,另一侧有两点时,即构成的直线是三棱锥的相对棱所在直线,因三棱锥的相对棱有三对,则此时满足条件的平面个数是三个,综上所述,满足条件的平面共有7个.7.若一个圆锥的底面半径是母线长的一半,侧面积和它的体积的数值相等,则该圆锥的底面半径为( )A. B.2 C.2 D.4【解析】选 C.设圆锥的底面半径为r,则该圆锥母线长为2r,则×2πr〃2r=πr2〃r,所以r=2.8.已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于( )A. B. C. D.1【解析】选C.如图,作DE⊥BC于E,由α-l-β为直二面角,AC⊥l得AC ⊥平面β,进而AC⊥DE,又BC⊥DE,BC∩AC=C,于是DE⊥平面ABC,故DE为D到平面ABC的距离.在Rt△BCD中,利用等面积法得DE===.9.(2018·杭州模拟)矩形ABCD中,AB=,BC=1,将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线AD与直线BC所成角的范围(包含初始状态)为( )A. B.C. D.【解析】选C.初始状态直线AD与直线BC成的角为0,翻折过程中当BC⊥BD时,直线AD与直线BC成的角为直角,因此直线AD与直线BC成的角范围为.10.在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是 ( )A.πB.πC.πD.π【解析】选A.如图△ABC中,若使△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩下的部分,因为AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,所以AE=ABsin 60°=,BE=ABcos 60°=1,V=π〃AE2〃CE-π〃AE2〃BE=π〃AE2〃CB=π〃()2×1.5=π.11.(2018·石家庄模拟)在正四棱锥V-ABCD中(底面是正方形,侧棱均相等),AB=2,VA=,且该四棱锥可绕着AB作任意旋转,旋转过程中CD∥平面α.则正四棱锥V-ABCD在平面α内的正投影的面积的取值范围是( )A.[2,4]B.(2,4]C.[,4]D.[2,2]【解析】选A.由题可知正四棱锥V-ABCD在平面α内的正投影图形为平面α截V-ABCD所得横截面图形,其中平面是平行于CD的平面,四棱锥底面积为S1=AB2=4,任意一个侧面的高为=,则侧面面积为S2=,四棱锥的高为=2,所以过V 且垂直于底面的截面面积为S3=2,经分析可知四棱锥绕AB旋转过程当底面与平面α平行时,投影面积最大,当底面与平面α垂直时,投影面积最小,所以投影面积的取值范围为[2,4].12.在Rt△ABC中,已知D是斜边AB上任意一点(如图①),沿直线CD 将△ABC折成直二面角B-CD-A(如图②).若折叠后A,B两点间的距离为d,则下列说法正确的是( )A.当CD为Rt△ABC的中线时,d取得最小值B.当CD为Rt△ABC的角平分线时,d取得最小值C.当CD为Rt△ABC的高线时,d取得最小值D.当D在Rt△ABC的斜边AB上移动时,d为定值【解析】选B.设BC=a,AC=b,∠ACD=θ,则∠BCD=-θ,过A作CD的垂线AG,过B作CD的延长线的垂线BH,所以AG=bsin θ,BH=acos θ,CG=bcos θ,则HG=CH-CG=asin θ-bcos θ,所以d=====,所以当θ=,即当CD为Rt△ABC的角平分线时,d取得最小值.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.在矩形ABCD中,对角线AC与相邻两边所成的角为α,β,则有cos 2α+cos 2β=1.类比到空间中的一个正确命题是:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线AC1与相邻三个面所成的角为α,β,γ,则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=________.【解析】设长方体的棱长分别为a,b,c,如图所示,所以AC1与下底面所成角为∠C1AC,记为α,所以cos 2α==,同理cos 2β=,cos 2γ=,所以cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2.答案:214.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,且对角线BD1与侧棱BB1所成角的余弦值为,则该长方体外接球表面积等于________.【解析】因为AB=BC=2,所以B1D1=BD=2.又cos ∠D1BB1=,所以sin ∠D1BB1=.即BD1=2.所以该长方体外接球半径为,所以S=4πR2=24π.答案:24π15.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后的图形如图所示,若E 为线段BC的中点,则直线AE与平面ABD所成角的余弦值为________.【解析】过点E作EF⊥BD,垂足为F,则∠EAF为直线AE与平面ABD所成的角,不妨设正方形的边长为2,则BF=EF=,AB=2,在△ABF中,由余弦定理:AF2= AB2+BF2-2×AB×BF×cos∠ABF=,所以AF=,在Rt△AEF中,AE2=AF2+EF2=3,所以AE=,故cos∠EAF==.答案:16.(2017·全国卷Ⅰ)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC, CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为________.【解析】由题意,连接OB,OD,交BC于点G,由题意得,OD⊥BC,OG=BC,设OG=x,则BC=2x,DG=5-x,三棱锥的高h===,S△ABC=2x〃3x〃=3x2,则V=S△ABC〃h=x2〃=〃,令f=25x4-10x5,x∈,f′=100x3-50x4,令f′>0,即x4-2x3<0,x<2,则f≤f=80,则V≤×=4,所以体积最大值为4 cm3.答案:4 cm3三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图所示,边长AC=3,BC=4,AB=5的三角形简易遮阳棚,其中A,B是地面上南北方向两个定点,正西方向射出的太阳光线与地面成30°角,试问:遮阳棚ABC与地面成多大角度时,才能保证所遮影面ABD面积最大?【解析】易知,△ABC为直角三角形,在平面ABC内由C点引AB的垂线,垂足为Q,则应有DQ为DC在地面上的阴影,且AB垂直于平面CQD,如图所示.因太阳光与地面成30°角,所以∠CDQ=30°,又知在△CQD中,CQ=,由正弦定理,有=,即QD=sin ∠QCD.为使面ABD的面积最大,需QD最大,只有当∠QCD=90°时才可达到,从而∠CQD=60°.故当遮阳棚ABC与地面成60°角时,才能保证所遮影面ABD面积最大. 【方法技巧】求解几何体中的面积最值的思路首先要明确所求图形面积的表示式,区分图形中的定值与变量,然后根据几何体的结构特征和已知条件确定变量的最值即可.18.(12分)如图,已知在△ABC中,∠C=90°,PA⊥平面ABC,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,AP=AB=2,∠AEF=θ,当θ变化时,求三棱锥P-AEF体积的最大值.【解析】因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又因为BC⊥AC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,又AF⊂平面PAC,所以BC⊥AF,又AF⊥PC,PC∩BC=C,所以AF⊥平面PBC,即AF⊥EF.EF是AE在平面PBC上的射影,因AE⊥PB,所以EF⊥PB,即PE⊥平面AEF.在三棱锥P-AEF中,AP=AB=2,AE⊥PB,所以PE=,AE=,AF=sin θ,EF=cos θ,V P-AEF=S△AEF〃PE=××sin θ〃cos θ×=sin 2θ,因为0<θ<,所以0<2θ<π,0<sin 2θ≤1,因此,当θ=时,V P-AEF取得最大值为.【方法技巧】几何体体积的最值问题的解决,要根据几何体的结构特征确定其体积的求解方式,分清定量与变量,然后根据变量的取值情况,利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的最值.19.(12分)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE<CF,∠BCF=,AD=,EF=2.(1)求证:AE∥平面DCF.(2)若BE=-1,且=λ,当λ取何值时,直线AE与BF所成角的大小为60°?【解析】(1)过E作EG∥BC交FC于G,连接DG,因为BE∥CF,所以四边形BCGE是平行四边形,因此EG∥BC∥AD,且EG=BC=AD,所以四边形ADGE也是平行四边形,于是AE∥DG,又AE⊄平面DCF,DG⊂平面DCF,故AE∥平面DCF.(2)由(1)知EG∥BC∥AD,且EG=BC=AD,所以EG=AD=,又EF=2,所以GF=1.因为四边形ABCD是矩形,所以DC⊥BC.因为∠BCF=,所以FC⊥BC,又平面AC⊥平面BF,平面AC∩平面BF=BC,于是FC⊥平面AC,所以FC⊥CD.分别以CB,CD,CF为x,y,z轴建立空间直角坐标系.由=λ,得AB=(-1)λ.所以A(,(-1)λ,0),B(,0,0),E(,0,-1),F(0,0,), 所以=(0,(1-)λ,-1),=(-,0,),依题意有cos 60°=,即=,解得λ=1.故当λ=1时,直线AE与BF所成角的大小为60°.20.(12分)中秋节即将到来,为了做好中秋节商场促销活动,某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计.方案如下:将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′,△SFF′,△SGG′,△SHH′,再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S-EFGH,其中A,B,C,D重合于点O,E与E′重合,F与F′重合,G与G′重合,H与H′重合(如图所示).(1)求证:平面SEG⊥平面SFH.(2)已知AE=,过O作OM⊥SH交SH于点M,求cos ∠EMO的值.【解析】(1)因为折后A,B,C,D重合于一点O,所以拼接成底面EFGH 的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形,所以底面EFGH是正方形,故EG⊥FH.因为在原平面图形中,等腰△SEE′≌△SGG′.所以SE=SG,所以EG⊥SO.又因为SO,FH⊂平面SFH,SO∩FH=O,所以EG ⊥平面SFH.又因为EG⊂平面SEG,所以平面SEG⊥平面SFH.(2)因为EO⊥平面SFH,所以EO⊥SH,所以SH⊥平面EMO,所以∠EMO为二面角E-SH-F的平面角.当AE=时,即OE=,Rt△SHO中,SO=5,SH=,所以OM==,Rt△EMO中,EM==,cos∠EMO===.所以所求角的余弦值为.【一题多解】由(1)知EG⊥FH,EG⊥SO,并可同理得到HF⊥SO,故以O 为原点,分别以OF,OG,OS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,在原平面图形中,AE=,则底面正方形EFGH的对角线EG=5,所以H,E,G,=,=.在原平面图形中,可求得SE=,在Rt△SOE中,可求得SO==5,所以S(0,0,5),=.设平面SEH的一个法向量为n=(x,y,z),则得令x=2,则n=(2,2,-1),因为EG⊥平面SFH,所以是平面SFH的一个法向量,设二面角E-SH-F的大小为θ,则cos θ==.所以二面角E-SH-F的余弦值为,即cos∠EMO=.21.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】(1)由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F,由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.令PA=1,由(1)及已知可得,A,P,B,C.所以=,=(,0,0),=,=( 0,1,0).设n=(x,y,z)是平面PCB的法向量,则可取n=(0,-1,-).设m=(x′,y′,z′)是平面PAB的法向量,则即可取m=(1,0,1).则cos <n,m>=错误！未找到引用源。
2019版高考数学文一轮新题AB卷全国：课时分层作业 七
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课时分层作业七指数函数一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018·揭阳模拟)函数f(x)=x2-的大致图象是( )【解析】选B.由f(0)=-1可排除D,由f(-2)=4-4=0,f(-4)=16-16=0,可排除A,C.2.(2018·沈阳模拟)函数y=的值域为()A. B.C. D.(0,2]【解析】选A.u=f(x)=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,函数y=是减函数,由复合函数的单调性可知,y≥,即函数的值域是.3.某宣传部门网站为弘扬社会主义思想文化,开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动,并以“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索.此后,该网站的点击量每月都比上月增长50%,那么4个月后,该网站的点击量和原来相比,增长为原来的( )A.2倍以上,但不超过3倍B.3倍以上,但不超过4倍C.4倍以上,但不超过5倍D.5倍以上,但不超过6倍【解析】选 D.设第一个月的点击量为1,则4个月后点击量y=(1+50%)4=∈(5,6).该网站的点击量和原来相比,增长为原来的5倍以上,但不超过6倍.4.(2018·西安模拟)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.(-∞,-2]D.[1,+∞)【解析】选 B.由f(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.5.已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图象为 ( )【解析】选A.因为x∈(0,4),所以x+1>1,所以f(x)=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时,取等号.所以a=2,b=1.因此g(x)=2|x+1|,该函数图象由y=2|x|的图象向左平移一个单位得到,结合图象知A正确.【变式备选】(2018·安阳模拟)已知函数f(x)=a x(a>0,且a≠1),如果以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,那么f(x1)·f(x2)等于( ) A.1 B.a C.2 D.a2【解析】选A.因为以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,所以x1+x2=0.又因为f(x)=a x,所以f(x1)f(x2)===a0=1.6.已知函数y=f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠2},且y=f(x+2)是偶函数,当x<2时,f(x)=|2x-1|,那么当x>2时,函数f(x)的递减区间是( )A.(3,5)B.(3,+∞)C.(2,4]D.(2,+∞)【解析】选C.因为y=f(x+2)是偶函数,所以f(-x+2)=f(x+2),则f(x)关于x=2对称,则f(x)=f(4-x).若x>2,则4-x<2,又当x<2时,f(x)=|2x-1|,所以当x>2时,f(x)=f(4-x)=|24-x-1|.当x≥4时,4-x≤0,24-x-1≤0,f(x)=|24-x-1|=1-24-x=1-16·,此时函数递增,当2<x<4时,4-x>0,24-x>1,此时f(x)=|24-x-1|=24-x-1=16·-1,此时函数递减区间为(2,4].7.若f(x)=,g(x)=,则下列等式不正确的是( )A.f(2x)=2g2(x)+1B.f2(x)-g2(x)=1C.f2(x)+g2(x)=f(2x)D.f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)【解析】选D.f(2x)=,2g2(x)+1=2+1=,即f(2x)=2g2(x)+1,A正确;f2(x)-g2(x)=-=1,B成立;f2(x)+g2(x)=+=f(2x),C成立;f(x)f(y)-g(x)g(y)=×-×=,f(x+y)=,显然不等,所以D不正确.【题目溯源】本题源于教材人教A版必修1P83习题B组T4,“设f(x)=, g(x)=,求证:(1)[g(x)]2-[f(x)]2=1;(2)f(2x)=2f(x)g(x);(3)g(2x)= [g(x)]2+[f(x)]2”.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·保定模拟)函数f(x)=的定义域是________.【解题指南】根据使函数f(x)=的解析式有意义的原则,构造不等式,解得函数的定义域.【解析】若使函数f(x)=的解析式有意义,自变量x须满足:-2≥0,解得:x∈(-∞,-1],故函数f(x)=的定义域为:(-∞,-1].答案:(-∞,-1]【变式备选】函数f(x)=+的定义域为( )A.{x|x<1}B.{x|0<x<1}C.{x|0<x≤1}D.{x|x>1}【解析】选B.由已知得解得0<x<1.9.(2018·日喀则模拟)函数f(x)=a x(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大,则a的值为________.【解析】因为函数f(x)=a x(0<a<1),所以函数f(x)=a x(0<a<1)在[1,2]内是减函数,因为函数f(x)=a x(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大,所以f(1)-f(2)=a-a2=,解得a=,或a=0(舍).答案:10.函数y=的单调递增区间是________.【解析】使函数y=有意义,则-x2+2x+3≥0,得函数定义域为[-1,3],又因为函数t=-x2+2x+3在[-1,1]上递增,在[1,3]上递减,又因为函数y=可认为是由y=与t=-x2+2x+3复合而成的,所以函数y=的单调递增区间为[1,3].答案:[1,3]【误区警示】解答本题易出现以下两种错误:一是忽略函数的定义域,得出错误结论;二是对复合函数的理解错误造成错解.1.(5分)已知函数f(x)=若f(f(x))≥-2,则x的取值范围是( ) A.[-2,1] B.[,+∞)C.[-2,1]∪[,+∞)D.[0,1]∪[,+∞)【解析】选C.若x≤0,则f(f(x))=f(2x)=log22x=x≥-2,所以-2≤x≤0.若0<x≤1,则f(f(x))=f(log2x)==x≥-2,所以0<x≤1.若x>1,则f(f(x))=f(log2x)=log2log2x≥-2,即x≥4.综上所述,x的取值范围是[-2,1]∪[,+∞).2.(5分)(2018·长春模拟)若函数y=(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a+log a= ( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.当a>1时,函数y=在[0,1]上单调递减,所以解得a=2,此时log a+log a=log a4=2;当0<a<1时,函数y=在[0,1]上单调递增,所以解得:a∈∅.综上可知:log a+log a=2.3.(5分)已知函数f(x)=,x1,x2,x3∈R,且x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值( )A.一定等于零B.一定大于零C.一定小于零D.正负都有可能【解题指南】可先探究函数奇偶性、单调性,利用这两个性质再求解.【解析】选B.显然函数f(x)=为奇函数,且f(x)在R上是增函数,由x1+x2>0得,x1>-x2,所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),即f(x1)+f(x2)>0.同理可得f(x2)+f(x3)>0,f(x3)+f(x1)>0,所以f(x1)+f(x2)+f(x3)>0.4.(12分)(2018·保定模拟)已知函数f(x)=为奇函数.(1)求a的值.(2)判断函数f(x)的单调性,并根据函数单调性的定义证明.【解题指南】(1)根据题意,f(x)在原点有定义,并且f(x)为奇函数,从而有f(0)=0,这样即可求出a=-1.(2)可分离常数得到f(x)=1-,设任意的x1<x2,然后作差,通分,便可得出f(x1)<f(x2),从而得出f(x)的单调性.【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数,且f(x)的定义域为R;所以f(0)==0,所以a=-1.(2)f(x)==1-,函数f(x)在定义域R上单调递增.理由:设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=.因为x1<x2,所以<,所以-<0,所以f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在定义域R上单调递增.【变式备选】已知+=3(a∈R),求值:.【解析】因为+=3,所以a+a-1=7,所以a2+a-2=47,所以==6.5.(13分)已知定义在R上的函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=,求x的值.(2)若2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)当x<0时,f(x)=0,无解;当x≥0时,f(x)=2x-,由2x-=,得2·22x-3·2x-2=0,将上式看成关于2x的一元二次方程,解得2x=2或2x=-(舍),因为2x>0,所以x=1.(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1),因为22t-1>0,所以m≥-(22t+1),因为t∈[1,2],所以-(22t+1)∈[-17,-5],故实数m的取值范围是[-5,+∞).关闭Word文档返回原板块。
2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟(七)数学(文)试题 Word版含答案(修改)
核 心 八 模2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（文科）（七） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.设非空集合,P Q 满足P Q P =，则A.,x Q x P ∀∈∈B. ,x Q x P ∀∉∉C.00,x Q x P ∃∉∈D. 00,x P x Q ∃∈∉ 2.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：2123:2;:2,:p z p z i p z ==的共轭复数为41;:i p z +的虚部为-1，其中的真命题为A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD. 43,p p3.某学校高一、高二、高三年级分别有720、720,800名学生，现从全校随机抽取56人参加防火防灾问卷调查.先采用分层抽样确定各年级参加调查的人数，再在各年级内采用系统抽样确定参加调查的同学，若将高三年级的同学依次编号为001,002，…，800，则高三年级抽取的同学的编号不可能为 A. 001,041，…，800 B. 031，-71，…，791 C.027,067，…，787 D.055,095，…，7954.已知一组数据()()()()001,2,3,5,6,8,,,x y 的线性回归方程为ˆ2y x =+，则00x y -的值为A. 3-B. 5-C. 2-D.1- 5.已知长方体1111ABCD A BC D -中，12,AB BC BB ===在长方体的外接球内随机抽取一点M ，则落在长方体外的概率为12π D.212ππ-6.已知点P 为曲线3:C y x x =-上一点，曲线C 在点P 处的切线1l 交曲线C 于点Q（异于点P ），若直线1l 的斜率为1k ，曲线C 在点Q 处的切线2l 的斜率为2k ，则124k k -的值为A. -5B. -4C. -3D. 27.设,a b 为非零向量，2a b =，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344,,,,x y x y x y x y +++所有可能取值中的最小值为24a ，则,a b 的夹角为 A.23π B. 3π C. 6πD.0 8.已知等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，公差为d ，若201717100201717S S -=，则d 的值为 A.120 B. 110C. 10D.209.执行如图所示的程序框图，则输出的值是A.5B. 4C. 3D.210.已知函数()2232f x x ax a =+-，其中(]()0,3,0a f x ∈≤，对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1和a 两数间插入2017个数，使之与1，a 构成等比数列，设插入的这2017个数的乘积为T,则T=A.20172 B. 20173 C. 201723 D.20172211.已知抛物线2:4C y x =的焦点F ，定点()0,2A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M,与抛物线C 的准线交于点N,则:MN FN 的值是A.)2:1:(1+12.已知函数()x F x e =满足()()()F x g x h x =+，且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若(]0,2x ∀∈使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是A. (,-∞B. (,-∞C. (0,D.()+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足40300x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x y z +=的最大值为 .14.已知双曲线()22210y x b b-=>的一条渐近线的方程为3y x =，则双曲线的离心率为 .15.已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三角形，侧视图是等腰直角三角形，则三棱锥的四个面中面积最大值为 .16.已知ABC ∆的面积为S,三内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若2224S a b c +=+，则sin cos 4C B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值时，C = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）某同学用“五点法”画函数()()s in 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式（2）将()y f x =图象上所有点向左平移6π个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.18.（本题满分12分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6, 3.PD PC AB BC ====（1）证明：//BC 平面PDA ； （2）证明：BC PD ⊥;（3）求点C 到平面PDA 的距离.19.（本题满分12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福感指数的问卷调查，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于7，说明孩子的幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子的幸福感强）.（1）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关？（2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，A ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，AF 交y 轴于点M ，且M 为AF 的中点.（1）求椭圆C 的方程； （2）直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点A,平行于OA 的直线l 交于P ，交椭圆C 于不同的两点D,E,问是否存在常数λ，使得2PA PD PE λ=⋅，若存在，求出λ的值若不存在，请说明理由.（已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>上点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=）21.（本题满分12分）已知函数()()()()2ln ln 1.f x ax x x x a R =--+∈ （1）若2ln ax x >，求证：()2ln 1f x ax x ≥-+；（2）若()()2000000,,1ln ln x f x x x x ∃∈+∞=+-，求a 的最大值.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
2019年高考数学一轮复(北师大版文科)： 单元评估检测7 立体几何初步 文 北师大版
单元评估检测(七) 立体几何初步(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．中央电视台正大综艺以前有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为( )图1A2．(2017·衡阳模拟)如果一个几何体的三视图如图2所示，正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形(单位：cm)，则此几何体的侧面积是( )图2A．2 3 cm2B．4 3 cm2C．8 cm2D．14 cm2C3．若三棱锥的三视图如图3所示，则该三棱锥的体积为( )图3A．80 B．40C ．803D ．403D4．(2017·泉州模拟)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，以下命题正确的是( )A ．若l ∥α，α∥β，则l ∥βB ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥βC ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥βD ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD5．正四面体P ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．平面PDF ⊥平面ABC C ．DF ⊥平面PAED ．平面PAE ⊥平面ABC B6．(2017·武汉模拟)在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( )【导学号：00090399】A ．34B ．32C ．334D ． 3B7．如图4，四面体ABCD 中，AB ＝DC ＝1，BD ＝2，AD ＝BC ＝3，二面角A BD C 的平面角的大小为60°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角的余弦值是( )图4A ．13B ．33C ．63D ．223B8．如图5，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是( )图5A ．直线BD 1与直线B 1C 所成的角为π2B ．直线B 1C 与直线A 1C 1所成的角为π3C ．线段BD 1在平面AB 1C 内的投影是一个点 D ．线段BD 1恰被平面AB 1C 平分 D9．如图6，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 为线段CD 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的投影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成集合的长度为( )图6A ．32B ．233C ．π2D ．π3D10．(2017·九江模拟)棱长为43的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为( )【导学号：00090400】A ． 2B ．22C ．24D ．26B11．(2017·南阳模拟)如图7是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )图7A ．6＋2π3B ．8＋π3C ．4＋2π3D ．4＋π3C12．下列命题中错误的是( )A ．如果α⊥β，那么α内一定有直线平行于平面βB ．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC ．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．半径为336π的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为________．8814．(2017·运城模拟)如图8，三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积为V 1，四棱锥A BCC 1B 1的体积为V 2，则V 1V 2＝________.图83215．如图9，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面是∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .图9a 或2a16．(2017·菏泽模拟)如图10，ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论：图10①BD ∥平面CB 1D 1； ②AC 1⊥BD ； ③AC 1⊥平面CB 1D 1；④异面直线AD 与CB 1所成角为60°.错误的有________．(把你认为错误的序号全部写上) ④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2017·南昌模拟)如图11所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2 m ，高为7 m ，制造这个塔顶需要多少面积的铁板？图11制造这个塔顶需要8 2 m 2的铁板．18．(12分)如图12，已知四棱锥P ABCD ，PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是边长为2的正方形，M ，N 分别为PB ，PC 的中点．图12(1)证明：MN ∥平面PAD ．(2)若PA 与平面ABCD 所成的角为45°，求四棱锥P ABCD 的体积V . [解] (1)因为M ，N 分别是棱PB ，PC 的中点，所以MN ∥BC ， 又四边形ABCD 是正方形，所以AD ∥BC ，于是MN ∥AD ．⎭⎪⎬⎪⎫MN ∥ADAD ⊂平面PAD MN ⊄平面PAD ⇒MN ∥平面PAD ． (2)由PD ⊥底面ABCD ，知PA 与平面ABCD 所成的角为∠PAD ，所以∠PAD ＝45°， 在Rt △PAD 中，知PD ＝AD ＝2，故四棱锥P ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.19．(12分)如图13，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，CA ＝CB ，D ，E ，F 分别为AB ，A 1D ，A 1C 的中点，点G 在AA 1上，且A 1D ⊥EG .图13(1)求证：CD ∥平面EFG . (2)求证：A 1D ⊥平面EFG . 略20．(12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图14，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．图14(1)证明MN ∥平面PAB ；(2)求四面体N BCM 的体积. 【导学号：00090401】 (1)略 (2)45321．(12分)(2017·新乡模拟)如图15①，在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD ＝PC ，若沿AB 将三角形PAB 折起，使∠PAD ＝θ，构成四棱锥P ABCD ，且PC PF ＝CD CE＝2，如图15②. (1)求证：平面BEF ⊥平面PAB ．(2)当异面直线BF 与PA 所成的角为60°时，求折起的角度θ.图15[解] (1)因为2BD ＝PC ，所以∠PDC ＝90°，因为AB ∥CD ，且PC PF ＝CD CE＝2，所以E 为CD 的中点，F 为PC 的中点，CD ＝2AB ，所以AB ∥DE 且AB ＝DE ，所以四边形ABED 为平行四边形，所以BE ∥AD ，BE ＝AD ， 因为BA ⊥PA ，BA ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ，所以BA ⊥平面PAD ，因为AB ∥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PD 且CD ⊥AD ，又因为在平面PCD 中，EF ∥PD (三角形的中位线)，于是CD ⊥FE . 因为在平面ABCD 中，BE ∥AD ， 于是CD ⊥BE ，因为FE ∩BE ＝E ，FE ⊂平面BEF ，BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥平面BEF ， 又因为CD ∥AB ，AB 在平面PAB 内，所以平面BEF ⊥平面PAB ．(2)因为∠PAD ＝θ，取PD 的中点G ，连接FG ，AG ，所以FG ∥CD ，FG ＝12CD ，又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，所以FG∥AB ，FG ＝AB ，从而四边形ABFG 为平行四边形，所以BF ∥AG ，所以BF 与PA 所成的角即为AG 与PA 所成的角，即∠PAG ＝60°，因为PA ＝AD ，G 为PD 中点，所以AG ⊥PD ，∠APG ＝30°，所以∠PDA ＝30°，所以∠PAD ＝180°－30°－30°＝120°.故折起的角度为120°.22．(12分)正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝12CD ＝2，点M 在线段EC 上且不与E ，C 重合．图16(1)当点M 是EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF . (2)当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥M BDE 的体积． [解] (1)取ED 的中点N ，连接MN ，AN ，又因为点M 是EC 的中点， 所以MN ∥DC ，MN ＝12DC ，而AB ∥DC ，AB ＝12DC ，所以MN 綊AB ，所以四边形ABMN 是平行四边形， 所以BM ∥AN ，而BM ⊄平面ADEF ，AN ⊂平面ADEF ， 所以BM ∥平面ADEF .(2)取CD 的中点O ，过点O 作OP ⊥DM ，连接BP ，BO ， 因为AB ∥CD ，AB ＝12CD ＝2，所以四边形ABOD 是平行四边形， 因为AD ⊥DC ，所以四边形ABOD 是矩形， 所以BO ⊥CD ，因为正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，ED ⊥AD ， 所以ED ⊥平面ADCB ， 所以平面CDE ⊥平面ADCB ， 所以BO ⊥平面CDE ， 所以BP ⊥DM ，所以∠OPB 是平面BDM 与平面DCE (即平面ABF )所成锐二面角， 因为cos ∠OPB ＝66， 所以sin ∠OPB ＝306， 所以OB BP ＝306，解得BP ＝2305. 所以OP ＝BP cos ∠OPB ＝255，所以sin ∠MDC ＝OP OD ＝55， 而sin ∠ECD ＝225＝55，所以∠MDC ＝∠ECD ，所以DM ＝MC ，同理DM ＝EM ，所以M 为EC 的中点， 所以S △DEM ＝12S △CDE ＝2，因为AD ⊥CD ，AD ⊥DE ， 且DE 与CD 相交于点D ， 所以AD ⊥平面CDE ， 因为AB ∥CD ，所以三棱锥B DME 的高＝AD ＝2， 所以V M BDE ＝V B DEM ＝13S △DEM ·AD ＝43.。
2019年普通高等学校统一招生考试调研卷(七)数学答案
所以 cos n1, n2
n1 n2 n1 n2
33 4 2 1
36 8
,所以二面角 E AD B 的余弦值为 3 6 8
.………12 分
19.解：(Ⅰ)由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为 0.75 0.65 0.2 0.5 0.8 ,
4
即抽出产品为合格品的概率为 ,…………………………………………………………1 分
当 m 2 3,1 7 时, f m 0 ,当 m 1 7, 2 3 时, f m 0 ,
所以,当 m 1 7 时, SABP 取得最大值,此时直线 l 的方程为 3x 2 y 2 7 2 0 . …………12 分
21. 解：(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，……………1 分
AE n1
0 0
,即
4x 5x
2z 0 3y 2z
0
,
解得
y z
3 2x
3x
,令
x
1
,则
n1
1, 3
3, 2
,…………………………………………9 分
显然平面 ABD 的一个法向量为 n2 0,1, 0 ,………………………………………10 分
1 n 1
n
1
2
.……12
分
18. (Ⅰ)证明：因为 AB // CD , ABC 90 ，所以 CD BC .……1 分
因为 CD 4,CE 2, DE 2 5 ,所以 CD2 CE 2 DE 2 ,
所以 CD CE , ……………………………………………………………2 分 因为 BC CE C ,所以 CD 平面 BCE . ……………………………3 分
2019年高考文科数学一轮单元卷：第二十单元统计、统计案例、概率A卷(含答案)
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）第二十单元统计、统计案例、概率注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.32．峨眉山市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5D．233．总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）附：第6行至第9列的随机数表：26357900337091601620388277574950321149197306491676778733997467322748619871644148708628888519162074770111163024042979799196835125A．3 B．16 C．38 D．494．九江联盛某超市为了检查货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A．6，12，18，24，30 B．2，4，8，16，32C．2，12，23，35，48 D．7，17，27，37，475．某校高二（16）班共有50人，如图是该班在四校联考中数学成绩的频率分布直方图，则成绩在[]100,120内的学生人数为（）A．36 B．25 C．22 D．116．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取（）件．A．24 B．18 C．12 D．67．有人发现，多看手机容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果：附表：则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为（）A．99%B．97.5%C．95%D．90%8．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：若x ，y 线性相关，线性回归方程为0.6y x a =+，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为（ ） A ．7.2万盒B ．7.6万盒C ．7.8万盒D ．8.6万盒9．现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球与蓝球各1个，将这4个小球排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为（ ） A ．16B ．13C ．56D ．2310．“0rand ”是计算机软件产生随机数的函数，每调用一次0rand 函数，就产生一个在区间[]0,1内的随机数．我们产生n 个样本点(),P a b ，其中201a rand =⋅-，201b rand =⋅-．在这n 个样本点中，满足220a b rand +=的样本点的个数为m ，当n 足够大时，可估算圆周率π的近似值为（ ） A ．4mnB ．4m nC ．4n mD ．4n m11．下面给出的是某校高二（2）班50名学生某次测试数学成绩的频率分布折线图，根据图中所提供的信息，则下列结论正确的是（ ）A ．成绩是50分或100分的人数是0B ．成绩为75分的人数为20C ．成绩为60分的频率为0.18D ．成绩落在60—80分的人数为2912．如果一组数1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s 132x +232x +，，32n x + ）A 3x ，2sB 32x 2sC 32x 23sD 32x 23262s s ++二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[)25,30的一为等品，在区间[)20,25和[)30,35的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．14．为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖规律，得到如下实验数据，计算得回归直线方程为0.950.15y x =-．由以上信息，得到下表中c 的值为__________．天数x (天) 3 4 5 6 7繁殖个数y (千个)2345c15．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -++++＝16．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为__________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．18．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1 [)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6， [)0.60.7， 频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [)00.1， [)0.10.2，[)0.20.3， [)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6， 频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）19．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()20.0500.0100.001|3.8416.63510.828P K kk≥．20．（12分）某淘宝商城在2017年前7个月的销售额y(单位:万元)的数据如下表，已知y与t具有较好的线性关系．（1）求y关于t的线性回归方程；（2）分析该淘宝商城2017年前7个月的销售额的变化情况，并预测该商城8月份的销售额．附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni iiniit t y ybt t==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-．21．（12分）某超市为调查会员某年度上半年的消费情况制作了有奖调查问卷发放给所有会员，并从参与调查的会员中随机抽取100名了解情况并给予物质奖励．调查发现抽取的100名会员消费金额（单位：万元）都在区间[]0.5,1.1内，调查结果按消费金额分成6组，制成如下的频率分布直方图．（1）求该100名会员上半年消费金额的平均值与中位数；（以各区间的中点值代表该区间的均值）（2）现采用分层抽样的方式从前4组中选取18人进行消费爱好调查，然后再从前2组选取的人中随机选2人，求这2人都来自第2组的概率．22．（12分）海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，因其外形仿照古代海盗船而得名．现有甲、乙两游乐场统计了一天6个时间点参与海盗船游玩的游客数量，具体数据如表：时间点 8点 10点 12点 14点 16点 18点 甲游乐场 10 3 12 6 12 20 乙游乐场13432619（1）从所给6个时间点中任选一个，求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的概率； （2）记甲、乙两游乐场6个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为i x ，i y （123456=，，，，，i ），现从该6个时间点中任取2个，求恰有1个时间点满足>i i x y 的概率．一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A ）第二十单元 统计、统计案例、概率一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】设2名男同学为1A ，2A ，3名女同学为1B ，2B ，3B ，从以上5名同学中任选2人总共有12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B 共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有12B B ，13B B ，23B B 共三种可能，则选中的2人都是女同学的概率为30.310P ==，故选D ．2．【答案】B【解析】由题意的，这组数据是：08，09，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32， 根据中位数的定义，可知其中位数为20，故选B ． 3．【答案】C【解析】从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，列举出选出来编号在0049~的前4个个体的编号为33，16，20，38，所以选出来的第4个个体的编号为38，故选C ． 4．【答案】D【解析】∵系统抽样是确定出第一个数据后等距抽取的，因此只有D 符合，故选D ． 5．【答案】B【解析】由频率分别直方图可知：()0.0150.0300.0100.005101a a +++++⨯=， 解得0.020a =，所以在[]100,120之间的概率为()0.0300.020100.5P =+⨯=， 所以在[]100,120之间人数为500.525⨯=人，故选B ． 6．【答案】B【解析】由题意，丙中型号在总体中占的比例为300320040030010010=+++， 根据分层抽样可得丙种型号的产品中抽取3601810⨯=，故选B ． 7．【答案】A【解析】∵221686838-204211.377888011058K ⨯⨯⨯=≈⨯⨯⨯（），且11.377 6.635＞．∴有99%的把握认为看电视与人变冷漠有关系，故选A ． 8．【答案】C【解析】由题意，根据表格中的数据可知：1234535x ++++==，5566865y ++++==，即样本中心为()3,6，代入回归直线0.6ˆˆy x a =+，解得ˆ 4.2a =，即0.6.2ˆ4y x =+令6x =， 解得0.6647.8ˆ.2y=⨯+=万盒，故选C ． 9．【答案】C【解析】根据古典概型的概率计算，设白球为A ，蓝球为B ，红球为CC ，则不同的排列情况为ABCC ，ACBC ，ACCB ，BACC ，BCAC ，BCCA ，CABC ，CACB ，CBCA ，CBAC ，CCAB ，CCBA 共12种情况，其中红球在中间的有ACCB ，BCCA 两种情况，所以红球都在中间的概率为21126=， 所以中间两个小球不都是红球的概率为15166-=，故选C ． 10．【答案】A【解析】221x y +<发生的概率为21144ππ⋅⋅=，在这n 个样本点中，满足220a b rand +=的样本点的个数为m ，当n 足够大时，可估算圆周率π的近似值为，4m n π=，即4mnπ=，故选A ． 11．【答案】D【解析】频率分布折线图表示的是某一个范围的频率，故A ，B ，C 选项是错误的，对于D 选项，60—80的人数为()500.0180.041029⨯+⨯=，故选D ． 12．【答案】C【解析】∵1x ，2x ，…，n x 的平均数是x ，方差是2s132x +232x +32n x 32x +22233s s =，故选C ．二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】100【解析】由题意得，三等品的长度在区间[)10,15，[)15,20和[]35,40内， 根据频率分布直方图可得三等品的频率为()0.01250.02500.012550.25++⨯=， ∴样本中三等品的件数为4000.25100⨯=． 14．【答案】9【解析】根据上表的数据， 根据平均数的公式可得：3456755x ++++==，23451455c cy +++++==， 把()x y ，代入回归直线方程，得140.9550.155c+=⨯-，解得9c =． 15．【答案】5%【解析】由题意，计算观测值()2210010302040 4.762 3.84150503070K ⨯⨯-⨯=>⨯⨯⨯＝，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．故答案为5%． 16．【答案】36【解析】600601000=S ，所以36=S ．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；（2）（i ）{}A B ，，{}A C ，，{}A D ，，{}A E ，，{}A F ，，{}A G ，，{}B C ，，{}B D ，，{}B E ，，{}B F ，，{}B G ，，{}C D ，，{}C E ，，{}C F ，，{}C G ，，{}D E ，，{}D F ，，{}D G ，，{}E F ，，{}E G ，，{}F G ，；（ii ）521P M =（）． 【解析】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． （2）（i ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{}A B ，，{}A C ，，{}A D ，，{}A E ，，{}A F ，，{}A G ，，{}B C ，，{}B D ，，{}B E ，，{}B F ，，{}B G ，，{}C D ，，{}C E ，，{}C F ，，{}C G ，，{}D E ，，{}D F ，，{}D G ，，{}E F ，，{}E G ，，{}F G ，，共21种．（ii ）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{}A B ，，{}A C ，，{}B C ，，{}D E ，，{}F G ，，共5种． 所以，事件M 发生的概率为521P M =（）． 18．【答案】（1）见解析；（2）0.48；（3）()347.45m ． 【解析】（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 ()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 ()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ． 估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=． 19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）能，见解析． 【解析】（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高． （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高． （iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知7981802+==m ． 列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式 15 5 第二种生产方式515（3）由于()224015155510 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．20．【答案】（1）1046ˆy t =+；（2）预测该商城8月份的销售额为126万元．【解析】（1）由所给数据计算得()1123456747t =++++++= ()15866728896104118867y =++++++=，()21941014928nii tt=-=++++++=∑，()()()()()()()()132822011402110218332280nii i tty y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=∑()()()12128002ˆ18nii i nii tty y btt==--===-∑∑，86ˆ46ˆ104ay bt =-=-⨯=． 所求回归方程为1046ˆyt =+． （2）由（1）知，ˆ100b =>，故前7个月该淘宝商城月销售量逐月增加，平均每月增加10万．将8t =，代入（1）中的回归方程，108ˆ46126y=⨯+=． 故预测该商城8月份的销售额为126万元． 21．【答案】（1）0.752万元，0.76万元；（2）27． 【解析】（1）根据频率分布直方图可知，所求平均数约为0.550.150.650.200.750.250.850.300.950.08 1.050.020.752⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 设所求中位数为x 万元，由()()1.5 2.00.10.7 2.50.5x +⨯+-⨯=，解得0.76x =，所以该100名会员上半年的消费金额的平均数，中位数分别为0.752万元，0.76万元． （2）由题意可知，前4组分别应抽取3人，4人，5人，6人，在前2组所选取的人中，第一组的记为x ，y ，z ，第二组的记为a ，b ，c ，d ，所有情况有(),x y ，(),x z ，(),x a ，(),x b ，(),x c ，(),x d ，(),y z ，(),y a ，(),y b ，(),y c ，(),y d ，(),z a ，(),z b ，(),z c ，(),z d ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共21种．其中这2人都是来自第二组的情况有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d 共6种，故这2人都是来自第二组的概率62217P ==．22．【答案】（1）13；（2）815．【解析】（1）事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有8点、10点两个时间点，一共有6个时间点，所以所求概率为2163==P ． （2）依题意，i i x y >有4个时间点，记为A ，B ，C ，D ；i i x y <有2个时间点，记为a ，b ； 故从6个时间点中任取2个，所有的基本事件为()A B ，，()A C ，，()A D ，，()A a ，，()A b ，，()B C ，，()B D ，，()A B ，，()B b ，，()C D ，，()C a ，，()C b ，，()D a ，，()D b ，，()a b ，共15种，其中满足条件的为()A a ，，()A b ，，()A B ，，()B b ，，()C a ，，()C b ，，()D a ，，()D b ，共8种，故所求概率815P =．。
2019届新课标高考数学(文)一轮复习质量检测试题【1】及答案
质量检测(一)测试内容：集合常用逻辑用语与函数导数及应用时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2018·陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为( )A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：从函数定义域切入，∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D2．(2018·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆BD⇒/a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A3．(2018·山东烟台诊断)下列说法错误的是( )A．B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C．若p∧q为假D．解析：若p∧q为假答案：C4．(2018·西安长安区第一次质检)下列函数中，既是奇函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A．y＝m 1|x|B．y＝x3C．y＝2|x|D．y＝cos x解析：f(x)＝x3，f(－x)＝－x3＝－f(x)，∴f(x)＝x3为奇函数．且f(x)＝x3在R上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递增，故选B.答案：B5．若函数f(x)＝ax2＋(a2－1)x－3a为偶函数，其定义域为[4a＋2，a2＋1]，则f(x)的最小值为( ) A．3 B．0 C．2 D．－1解析：由f(x)为偶函数知a2－1＝0，即a＝±1，又其定义域需关于原点对称，即4a ＋2＋a 2＋1＝0必有a ＝－1. 这时f(x)＝－x 2＋3，其最小值为f(－2)＝f(2)＝－1. 故选D. 答案：D6．(2018·河北名校名师俱乐部二调)曲线y ＝12x 2＋x 在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1B ．2 C.43 D.23解析：y′＝x ＋1，所以切线在点(2,4)处的斜率为3，切线方程为y －4＝3(x －2)，令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝23，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×|－2|×23＝23.答案：D7．(2018·重庆卷)已知函数f(x)＝ax 3＋bsin x ＋4(a ，b ∈R)，f[lg(log 210)]＝5，则f[lg(lg 2)]＝( ) A ．－5 B ．－1 C ．3 D ．4解析：因为f[lg(log 210)]＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg2＝f[－lg(lg 2)]＝5，又f(x)＋f(－x)＝8，所以f[－lg(lg 2)]＋f[lg(lg 2)]＝8，所以f[lg(lg 2)]＝3，故选C.答案：C8．(2018·青岛市统一质检)已知函数f(x)对定义域R 内的任意x 都有f(x)＝f(4－x)，且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)，若2<a<4则( )A ．f(2a)<f(3)<f(log 2a) B ．f(3)<f(log 2a)<f(2a) C ．f(log 2a)<f(3)<f(2a ) D ．f(log 2a)<f(2a)<f(3)解析：由f(x)＝f(4－x)知函数f(x)关于x ＝2对称，x≠2时，有(x －2)f′(x)>0，∴x>2时f′(x)>0，x<2时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，2)上单调减，在(2，＋∞)上单调增，2<a<4时4<2a<16，klog 2a<2，∴log 2a<2<2a，知f(log 2a)<f(3)<f(2a)，选C.答案：C9．(2018·南平市质检)已知函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x ＋a e x ，(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2)∪[e 2，＋∞)解析：当a ＝1时，f(x)＝e x＋1exf′(x)＝e x－1e x ＝e x－1ex 在[0,1]上f′(x)≥0，所以f(x)在区间[0,1]上单调递增．a ＝－1时f(x)＝e x－1e很显然在区间[0,1]上单调递增，故选C.答案：C10．(2018·河北名校名师俱乐部二调)下图中，有一个是函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a≠0)的导函数f ′(x)的图象，则f(－1)等于( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53 解析：∵f ′(x)＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)， ∴导函数f ′(x)的图象开口向上． 又∵a≠0，∴其图象必为第(3)个图．由图象特征知f ′(0)＝0，且－a>0，∴a ＝－1， ∴f(x)＝13x 3－x 2＋1，故f(－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2018·重庆市九校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x>02x，x≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝－2，f(－2)＝14， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f(－2)＝14.答案：1412．f(x)＝xn 2－3n(n ∈Z)是偶函数，且y ＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________.解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n 2－3n<0，即0<n<3，又因为f(x)是偶函数，所以n 2－3n 是偶数，只有n ＝1或2满足条件．答案：1或213．(2018·山东菏泽模拟)设函数f(x)＝x m＋ax 的导函数f′(x)＝2x ＋1，则⎠⎛12f(－x)dx 的值等于________．解析：由于f(x)＝x m ＋ax 的导函数f′(x)＝2x ＋1，所以f(x)＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f(－x)dx ＝⎠⎛12(x 2－x)dx ＝(13x 3－12x 2)|21＝56.答案：5614．(2018·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．解析：如图，过A 作AH⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x.则S ＝x(40－x)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m)．答案：20三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a≤0，若解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a)(x ＋a)＝0，∴x＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a＝0或a ＝2. ∴当 ∴ ∵即a 的取值范围为{a|a>2或a<－2}．16．(满分12分)(2018·丰台区期末练习)已知函数f(x)＝(ax 2＋bx ＋c)e x(a>0)的导函数y ＝f ′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－1，求f(x)的极大值．解：(1)f ′(x)＝(2ax ＋b)e x＋(ax 2＋bx ＋c)e x＝[ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c]e x. 令g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c ， ∵e x>0，∴y＝f′(x)的零点就是g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c 的零点，且f′(x)与g(x)符号相同． 又∵a>0，∴当x<－3，或x>0时，g(x)>0，即f ′(x)>0， 当－3<x<0时，g(x)<0，即f ′(x)<0，∴f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)． (2)由(1)知，x ＝0是f(x)的极小值点，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，b ＋c ＝0，9a －＋＋b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝1，c ＝－1.所以函数的解析式为f(x)＝(x 2＋x －1)e x.又由(1)知，f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)． 所以，函数f(x)的极大值为f(－3)＝(9－3－1)e －3＝5e3.17．(满分12分)2019年8月31日第十二届全运会在辽宁沈阳开幕，历时13天．某小商品公司以此为契机，开发了一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y 元．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大． 解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件， 则月平均利润为y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)． (2)由y′＝5a(4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，所以当0<x<12时，y′>0；当12<x<1时，y′<0.所以函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值．故改进工艺后，纪念品的销售价为20×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大． 18．(满分14分)(2018·山西省第三次四校联考)已知函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a 的取值范围； (3)若对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1<x 2，且f(x 1)＋2x 1< f(x 2)＋2x 2恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－3x ＋ln x ，f(x)＝2x －3＋1x .因为f′(1)＝0，f(1)＝－2. 所以切线方程是y ＝－2.(2)函数f(x)＝2ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)． 当a>0时，f′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x＝2ax 2－＋－1x(x>0)令f′(x)＝0，即f′(x)＝2ax 2－＋＋1x＝－－x＝0，所以x ＝12或x ＝1a.当0<1a ≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；当1<1a <e 时，f(x)在[1，e]上的最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f(1)＝－2，不合题意； 当1a≥e 时，f(x)在(1，e)上单调递减， 所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(e)<f(1)＝－2，不合题意． ∴综上a≥1.(3)设g(x)＝f(x)＋2x ，则g(x)＝ax 2－ax ＋ln x ， 只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可． 而g′(x)＝2ax －a ＋1x ＝2ax 2－ax ＋1x当a ＝0时，g′(x)＝1x>0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≠0时，只需g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x∈(0，＋∞)，只要2ax 2－ax ＋1≥0， 则需要a>0，对于函数y ＝2ax 2－ax ＋1，过定点(0,1)，对称轴x ＝14>0，只需Δ＝a 2－8a≤0，即0<a≤8.综上0≤a≤8.。
2019年高考数学第一轮复习质量检测(一模)试卷
2019年高考第一轮复习质量检测2019年高考第一轮复习质量检测数 学 试 题(文科)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足2z i i ⋅=-(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}}2230,03A x x x B x x A B =+-<=<<⋂=，则A ．(0，1)B ．(0，3)C ．(－1，1)D ．(－1，3) 3．设m 、n 是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题是真命题的是A ．若//,//,//m m αβαβ则B ．若//,//,//m m ααββ则C ．若,,m m αβαβ⊂⊥⊥则D ．若,,m m ααββ⊂⊥⊥则4．在区间[－1，1]上随机取一个数k ，使直线y =k (x +3)与圆x 2+y 2=1相交的概率为A ．12B ．13C D 5．执行如右图所示的程序框图，则输出的s 的值是A ．7B ．6C ．5D ．36．在△ABC 中，3,3AB AC AB AC AB AC +=-==，则CB CA ⋅的值为A ．3B ．3-C ．92-D ．927．某三棱锥的三视图如石图所示，其侧(左)视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于A． BCD．8．已知,x y 满足约束条件603,0x y x x y k -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩且24z x y =+的最小值为2，则常数k 的值为A ．2B ．2-C ．6D ．39．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后，得到()f x 的图象，则A ．()sin 2f x x =-B ．()f x 的图象关于3x π=-对称 C ．7132f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．()f x 的图象关于,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 10．已知函数()3,0,0x f x ax b x +≥=+<⎪⎩满足条件：对于110,x R x ∀∈≠∃，且唯一的2x R ∈且12x x ≠，使得()()()()12.23f x f x f a f b ==当成立时，则实数a b +的值为B.C. 3+D. 3+ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。
2019-2020年高考数学一轮复习 第七章 单元测试卷
2019-2020年高考数学一轮复习 第七章 单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠－12且x ≠1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >－12且x ≠1 答案 D解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，2x 2－x －1≠0，解此不等式组，得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12且x ≠1.故选D. 2．已知c <0，则下列不等式中成立的是( ) A ．c >2c B ．c >(12)cC ．2c >(12)cD ．2c <(12)c答案 D3．已知f (x )＝x ＋bx 在(1，e)上为单调函数，则实数b 的取值范围是( )A ．(－∞，1]∪[e 2，＋∞)B ．(－∞，0]∪[e 2，＋∞)C ．(－∞，e 2]D ．[1，e 2]答案 A解析 b ≤0时，f (x )在(1，e)上为增函数， b >0时，当x >0时，x ＋bx ≥2b ，当且仅当x ＝bx 即x ＝b 取等号．若使f (x )在(1，e)上为单调函数， 则b ≤1或b ≥e ，∴0<b ≤1或b ≥e 2. 综上b 的取值范围是b ≤1或b ≥e 2，故选A. 4．函数y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)(x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4答案 B解析 x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2x －1·1x －1＋6＝2＋6＝8，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”号．∴y ＝log 2(x ＋1x －1＋5)≥log 28＝3.5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为( )A ．[0,3]B ．[－3,3]C ．[－3,0]D ．[1,3]答案 B解析 依题意，画出可行域，如图所示，可行域为ABOC ，显然，当直线y ＝12x －z2过点A (1,2)时，z 取得最小值为－3；当直线过点B (3,0)时，z取得最大值为3，综上可知z 的取值范围为[－3,3]．6．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6答案 C解析 ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立．7．若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则不等式f (x 2－1)<0的解集为( ) A ．(－1,0) B ．(－2，0)∪(0，2) C ．(0,2) D ．(1,2)答案 B解析 根据f (x )是偶函数，可得f (x )＝f (|x |)＝|x |－1.因此f (x 2－1)＝|x 2－1|－1.解不等式|x 2－1|－1<0，得0<x 2<2，因此x ∈(－2，0)∪(0，2)．8．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x＋2y的最小值是( )A ．0B ．1C. 3 D ．9答案 B解析 可行域如图所示，可知B (0,1)，O (0,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y ＝0，得A (－12，12)．显然当目标函数t ＝x＋2y 过点O 时取得最小值为0，故z ＝3x＋2y的最小值为1.9．已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是( )A ．(3,8)B ．(4,7)C ．(4,8)D ．(5,7)答案 D解析 观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n ＋1的数对有n 个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由n n ＋12＝60⇒n (n ＋1)＝120，n ∈Z ，n ＝10时，n n ＋12＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，∴第60个数对是(5,7)．10．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 015的末位数字是( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．9答案 B解析 规律：71的末位为7,72末位为9,73的末位为3,74末位为1,75的末位为7，…，末位为7,9,3,1,7,9,3,1，…，而2 015＝4×503＋3，∴72 015的末位是3.11．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，则( ) A ．a 2＋b 2＋c 2>a ＋b ＋c B ．a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac C ．a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ac ) D ．a 2＋b 2＋c 2>2(ab ＋bc ＋ac ) 答案 C解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＋b 2＋c 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab cos C ＋ac cos B ＋bc cos A )． ∴a 2＋b 2＋c 2＝2(ab cos C ＋ac cos B ＋bc cos A )<2(ab ＋bc ＋ac )．12.如图所示，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a 米(0<a <12)，4米，不考虑树的粗细．现在想用16米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S 平方米，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图像大致是( )答案 C解析 设AD ＝x ，S ＝x (16－x )≤(x ＋16－x 2)2＝64.当且仅当x ＝8时成立．∵树围在花圃内， ∴0<a ≤8时，x ＝8能满足条件，即f (a )＝64. 当8<a <12时，S ＝x (16－x )最大值为a (16－a )．∴f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧64， 0<a ≤8，a 16－a ，8<a <12， 选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )(yx ＋x )的最小值为________．答案 4解析 依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号． 14．已知cos π3＝12；cos π5cos 2π5＝14；cos π7cos 2π7cos 3π7＝18； ……根据以上等式，可猜想出的一般结论是________． 答案 cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n ，n ∈N *解析 从已知等式的左边来看，余弦的个数从1逐个增加，分子上从π开始也是逐个增加，分母分别是3,5,7，…，可以看出分母的通项为2n ＋1，等式的右边是通项为12n 的等比数列，由以上分析可以猜想出的结论为cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n ，n ∈N *.15．当实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋y ≤2时，恒有ax ＋y ≤3成立，则实数a 的取值范围是________．解析 画出可行域，如图中阴影部分所示．要使ax ＋y ≤3恒成立，即可行域必须在直线ax ＋y －3＝0的下方，故分三种情况进行讨论： ①当a >0且3a ≥1，即0<a ≤3时，恒有ax ＋y ≤3成立；②当a ＝0时，y ≤3成立；③当a <0时，恒有ax ＋y ≤3成立．综上可知，a ≤3.16．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．答案 12解析 设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题可得a ＋b ＝1，且13≤a ，b ≤23，S ＝a 2＋b 2≥2×(a ＋b 2)2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求实数k 的值； (2)若不等式的解集为∅，求实数k 的取值范围． 答案 (1)－25 (2)[66，＋∞)解析 (1)∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，∴k <0且x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根． ∴x 1x 2＝6，x 1＋x 2＝2k ＝－5.∴k ＝－25.(2)由于k ≠0，要使不等式的解集为∅，只需⎩⎪⎨⎪⎧ k >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >0，1－6k 2≤0，解得k ≥66，即k 的取值范围是[66，＋∞)．18．(本小题满分12分) 已知x ，y ，z >0，x ＋y ＋z ＝3. (1)求1x ＋1y ＋1z 的最小值；(2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2<9.解析 (1)1x ＋1y ＋1z ＝13(x ＋y ＋z )(1x ＋1y ＋1z )＝13(1＋x y ＋x z ＋y x ＋1＋y z ＋z x ＋zy ＋1) ＝13[3＋(x y ＋y x )＋(x z ＋z x )＋(y z ＋z y )] ≥13[3＋2x y ·y x＋2x z ·z x＋2y z ·z y] ＝3.所以1x ＋1y ＋1z最小值为3.(2)9＝(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2xz ＋2yz ≤3(x 2＋y 2＋z 2)， ∴x 2＋y 2＋z 2≥3.又∵x ，y ，z >0，∴xy ＋xz ＋yz >0. ∴x 2＋y 2＋z 2＝9－2(xy ＋xz ＋yz )<9. ∴3≤x 2＋y 2＋z 2<9. 19．(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证：a 21＋a 22≥12. 证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2，因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，从而得a 21＋a 22≥12. (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明． 答案 (1)a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n(2)略 解析 (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n . (2)构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ，因为对一切x ∈R ，都有f (x )≥0，所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0，从而证得：a 21＋a 22＋…＋a 2n≥1n . 20．(本小题满分12分)某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品A ，B ，该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查得到的有关数据如下表：产品重量(千克)105预计收益(万元)8060两种产品进行搭载，才能使总预计收益达到最大，求最大预计收益是多少．答案960万元解析设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z＝80x＋60y，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧20x＋30y≤300，10x＋5y≤110，x∈N，y∈N，作出可行域如图所示．作出直线l：80x＋60y＝0并平移，由图形知，当直线经过点M时，z取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧20x＋30y＝300，10x＋5y＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝9，y＝4，即M(9,4)．所以z max＝80×9＋60×4＝960(万元)，所以搭载9件A产品，4件B产品，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为960万元．21．(本小题满分12分)设a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋2＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．答案(1)a2＝2，a3＝2＋1，a n＝n－1＋1(2)存在c＝14解析(1)方法一：a2＝2，a3＝2＋1，再由题设条件知(a n＋1－1)2＝(a n－1)2＋1.从而{(a n－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列．故(a n－1)2＝n－1，即a n＝n－1＋1(n∈N*)．方法二：a2＝2，a3＝2＋1，可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想a n＝n－1＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n＝1时结论显然成立．假设n＝k时结论成立，即a k＝k－1＋1.则a k＋1＝a k－12＋1＋1＝k－1＋1＋1＝k＋1－1＋1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立，所以a n＝n－1＋1(n∈N*)．(2)解法一：设f(x)＝x－12＋1－1，则a n＋1＝f(a n)．令c ＝f (c )，即c ＝c －12＋1－1，解得c ＝14. 下面用数学归纳法证明加强命题a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2＜14＜a 3＜1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2，即1＞c ＞a 2k ＋2＞a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1.故c ＜a 2k ＋3＜1，因此a 2(k ＋1)＜c ＜a 2(k ＋1)＋1＜1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.解法二：设f (x )＝x －12＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立． 假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1＜1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立，故①成立． 再证：a 2n ＜a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，有a 2＜a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k ＜a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )＞f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)＜f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立，所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n ＜a 22n －2a 2n ＋2－1， 即(a 2n ＋1)2＜a 22n －2a 2n ＋2. 因此a 2n ＜14. ③又由①，②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )＞f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1＞a 2n ＋2. 所以a 2n ＋1＞a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1.解得a 2n ＋1＞14. ④ 综上，由②，③，④知存在c ＝14使a 2n ＜c ＜a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．22．(本小题满分12分)设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)是否存在x 0>0，使得|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．答案 (1)单调递减区间(0,1)，单调递增区间(1，＋∞)，最小值为1 (2)满足条件的x 0不存在解析 (1)由题设易知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x ，g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调减区间． 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间．因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1. (2)满足条件的x 0不存在． 证明如下：证法一：假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立，即对任意x >0，有ln x <g (x 0)<ln x ＋2x，(*)但对上述x 0，取x 1＝e g (x 0)时，有ln x 1＝g (x 0)，这与(*)左边不等式矛盾． 因此，不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立．证法二：假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意的x >0成立．由(1)知，g (x )的最小值为g (1)＝1.又g (x )＝ln x ＋1x >ln x ，而x >1时，ln x 的值域为(0，＋∞)．∴x ≥1时，g (x )的值域为[1，＋∞)． 从而可取一个x 1>1，使g (x 1)≥g (x 0)＋1，即g (x 1)－g (x 0)≥1，故|g (x 1)－g (x 0)|≥1>1x 1，与假设矛盾．∴不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x对任意x >0成立．.。
2019版高考数学(理)一轮全国版单元提分练(集全国各地市模拟新题重组)：滚动检测七+Word版含答案
滚动检测七考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若p ：a >0，q ：方程x 2a ＋1－y 2a ＝1表示双曲线，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若正项数列{}a n 满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{}a n 的通项公式为( )A ．a n ＝22n －1 B ．a n ＝2nC ．a n ＝22n ＋1 D ．a n ＝22n －33．下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z |＝2； p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ； p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 44．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为s A 和s B ，则( )A.x A >x B ，s A >s BB.x A <x B ，s A >s BC.x A >x B ，s A <s BD.x A <x B ，s A >s B5．阅读如图所示的程序框图，若输入的k ＝10，则该算法的功能是( )A ．计算数列{2n －1}的前10项和B ．计算数列{2n －1}的前9项和C ．计算数列{2n －1}的前10项和D ．计算数列{2n －1}的前9项和6．在10包种子中，有3包白菜种子，4包胡萝卜种子，3包茄子种子，从这10包种子中任取3包，记X 为取到白菜种子的包数，则E (X )等于( ) A.910 B.45 C.710D.357．(2018届长沙市雅礼中学模拟)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )8.如图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.179．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β，γ是空间三个不同的平面，给出下列命题： ①若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α；②若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；④若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β. 其中假命题的序号是( ) A ．②③ B ．①③④ C ．①②④D ．①②③10．已知x 与y 之间的几组数据如下表所示：假设根据上表数据所得线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′11．被戏称为“最牛违建”的北京“楼顶别墅”已被拆除．某媒体通过随机询问100名性别不同的居民对此的看法，得到如下的列联表：附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参照附表，则由此可知( )A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“是否认为拆除太可惜了与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“是否认为拆除太可惜了与性别无关”C ．有90%以上的把握认为“是否认为拆除太可惜了与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“是否认为拆除太可惜了与性别无关”12．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且∠AFB ＝2π3，弦AB 的中点M在准线l 上的射影为M 1，则|AB ||MM 1|的最小值为( ) A.433B.33C.233D. 3第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a ，a ＝2 3.若b ∈[1,3]，则c 的最小值为________．14．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X >4)＝________. 15．在等比数列{}a n 中，a 1，a 5是关于x 的方程x 2－bx ＋c ＝0的两个根，其中点(c ，b )在直线y ＝x ＋1上，且c ＝ʃ30t 2d t ，则a 3的值是________．16．(2018届太原市第一中学模拟)对于非空实数集合A ，记A *＝{y |对∀x ∈A ，y ≤x }，设非空实数集合P 满足条件“若x <1，则x ∉P ”且M ⊆P ，给出下列命题：①若全集为实数集R ，对于任意非空实数集合A ，必有∁R A ＝A *； ②对于任意给定符合题设条件的集合M ，P ，必有P *⊆M *； ③存在符合题设条件的集合M ，P ，使得M *∩P ＝∅； ④存在符合题设条件的集合M ，P ，使得M ∩P *≠∅. 其中真命题为________．(填序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )． (1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长．18．(12分)已知在数列{a n }中，a 1＝3，前n 项和S n ＝12(n ＋1)(a n ＋1)－1，n ∈N *.(1)若数列{b n }满足b n ＝a nn ，n ∈N *，求b n ＋1与b n 之间的递推关系式；(2)求数列{a n }的通项公式．19．(12分)如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，CC 1＝5，E 是棱CC 1上不同于端点的点，且CE →＝λCC 1→.(1)当∠BEA 1为钝角时，求实数λ的取值范围； (2)若λ＝25，记二面角B 1—A 1B —E 的大小为θ，求|cos θ|.20．(12分)近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？(2)数为随机变量X ，求X 的分布列和均值E (X )．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)21．(12分)(2018·滕州市第一中学模拟)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)求实数a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．22．(12分)给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，称圆心在原点O ，半径为a 2＋b 2的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为F (2，0)，其短轴上的一个端点到F 的距离为 3. (1)求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个公共点，且l 1，l 2分别交其“准圆”于点M ，N .①当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求l 1，l 2的方程；②求证：|MN |为定值．答案精析1．A [若方程x 2a ＋1－y 2a＝1表示双曲线，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，a >0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，a <0，解得a >0或a <－1， 因此p 是q 的充分不必要条件．故选A.]2．A [∵a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝(a n ＋1－4a n )(a n ＋1＋a n )＝0，又a n ＋1＋a n ＞0， ∴a n ＋1＝4a n ，∴数列{}a n 是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴a n ＝2×4n －1＝22n －1，故选A.]3．C [∵z ＝2－1＋i＝－1－i ，∴|z |＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴p 1是假命题； ∵z 2＝(－1－i)2＝2i ，∴p 2是真命题； ∵z ＝－1＋i ，∴p 3是假命题； ∵z 的虚部为－1，∴p 4是真命题． 其中的真命题共有2个：p 2，p 4.故选C.]4．B [x A <10<x B ；A 的取值波动程度显然大于B ，所以s A >s B ， 故选B.]5．A [第一次循环后S ＝1，第二次循环后S ＝1＋2×1＝1＋2，第三次循环后S ＝1＋2(1＋2)＝1＋2＋22，…，第十次循环后S ＝1＋2＋22＋…＋29，所以该算法的功能是计算数列{2n －1}的前10项和，故选A.]6．A [由于从10包种子中任取3包的结果数为C 310，从10包种子中任取3包，其中恰有r包白菜种子的结果数为C r 3C 3－r 7，那么从10包种子中任取3包，其中恰有r 包白菜种子的概率为P (X ＝r )＝C r 3C 3－r7C 310，r ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.]7．A [由于频率分布直方图的组距为5，排除C ，D ，又[0,5)，[5,10)这两组各有一人，排除B ，故选A.] 8．C [∵S阴影＝ʃ10(x －x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 210＝16，S 正方形＝1，故所求概率P ＝16，故选C.]9．B [①中，m ⊂β，α⊥β，则m 也可能在平面α内，也可能与平面α平行，故①错误；②中，由m ∥α，可得在平面α内一定存在一条直线n ，使得n ∥m ，由m ⊥β，可得n ⊥β， 所以α⊥β，故②正确；③中，垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交，故③错误；④中，如果两个平面与同一个平面相交，且它们的交线平行，那么这两个平面可能平行，也可能相交，故④错误．]10．C [由表中前两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，则b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式和表中数据，可求得b ^＝∑6i ＝1x i y i －6x y ∑6i ＝1x 2i －6x 2＝58－6×72×13691－6×⎝⎛⎭⎫722＝57，a ^＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13，所以b ^<b ′，a ^>a ′.故选C.]11．C [因为K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝3.030，因为K 2>2.706，P (K 2≥2.706)＝0.10，所以说有90%以上的把握认为“是否认为拆除太可惜了与性别有关”．]12．D [过点A ，B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，设|AF |＝m ，|BF |＝n ，则|AB |2＝m 2＋n 2－2mn cos2π3＝m 2＋n 2＋mn ，|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|) ＝12(|AF |＋|BF |)＝12(m ＋n )， ∴|AB ||MM 1|＝m 2＋n 2＋mn14(m ＋n )2＝21－mnm 2＋n 2＋2mn＝21－1m n ＋n m＋2≥3，当且仅当m ＝n 时等号成立．] 13．3解析 由a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C ＝233a 及正弦定理得，a 2＋b 2－c 2b sin C ＝233a ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ，tan C ＝3，又C ∈(0，π)，故cos C ＝12，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝b 2－23b ＋12＝(b －3)2＋9. ∵b ∈[1,3]，∴当b ＝3时，c 取得最小值3. 14．0.158 7解析 P (3≤X ≤4)＝12P (2≤X ≤4)＝0.341 3，P (X >4)＝0.5－P (3≤X ≤4)＝0.5－0.341 3＝0.158 7. 15．3解析 依题意，c ＝ʃ30t 2d t ＝13t 3| 30＝9，b ＝10，于是得方程为x 2－10x ＋9＝0，a 23＝a 1a 5＝9，∵a 1a 5＞0，a 1＋a 5＝10＞0，∴a 1＞0，a 5＞0，从而a 3＞0，∴a 3＝3. 16．②③④解析 ①若A ＝(－∞，2]，则∁R A ＝(2，＋∞)， A *＝∅，∁R A ≠A *，①错误；②由于M ⊆P ，假设M 中最小值为m ，P 中最小值为p ，则m ≥p ，则M *＝(－∞，m ]，P *＝(－∞，p ]，所以P *⊆M *，故②正确；③令M ＝P ＝⎝⎛⎭⎫0，12⇒M *＝(－∞，0]⇒M *∩P ＝∅， 故③正确；④M ＝⎣⎡⎭⎫0，12，P ＝⎝⎛⎭⎫0，12⇒P *＝(－∞，0]⇒M ∩P *＝{0}≠∅，故④正确．故填②③④. 17．解 (1)f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x ) ＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－1时，f (x )取得最小值－12.(2)∵f (C )＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12， ∵C ∈(0，π)，2C ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6，∴C ＝π3. ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝334，∴ab ＝3，又a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，∴(a ＋b )2＝16，即a ＋b ＝4，∴a ＋b ＋c ＝4＋7， 故△ABC 的周长为4＋7.18．解 (1)∵S n ＝12(n ＋1)(a n ＋1)－1，∴S n ＋1＝12(n ＋2)(a n ＋1＋1)－1，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n＝12[(n ＋2)(a n ＋1＋1)－(n ＋1)(a n ＋1)]， 整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n －1， 等式两边同时除以n (n ＋1)， 得a n ＋1n ＋1＝a n n －1n (n ＋1)， 即b n ＋1＝b n －1n (n ＋1).(2)由(1)知a n ＋1n ＋1＝a n n －1n (n ＋1)，当n ≥2时，a n n ＝a n n －a n －1n －1＋a n －1n －1－a n －2n －2＋…＋a 22－a 11＋a 11＝1n －1n －1＋1n －1－1n －2＋1n －2－1n －3＋…＋12－1＋3＝1n ＋2，即a n ＝2n ＋1，n ≥2，又当n ＝1时，a 1＝3也满足上式，故a n ＝2n ＋1，n ∈N *.19.解 (1)以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意可知，B (2,3,0)，A 1(2,0,5)，C (0,3,0)， C 1(0,3,5)．因为CE →＝λCC 1→，所以E (0,3,5λ)， 从而EB →＝(2,0，－5λ)， EA 1→＝(2，－3,5－5λ)．当∠BEA 1为钝角时，cos ∠BEA 1<0， 所以EB →·EA 1→<0，即2×2－5λ(5－5λ)<0， 解得15<λ<45.即实数λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫15，45.(2)当λ＝25时，EB →＝(2,0，－2)，EA 1→＝(2，－3,3)．设平面BEA 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EB →＝0，n 1·EA 1→＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2z ＝0，2x －3y ＋3z ＝0，令x ＝1，可得n 1＝⎝⎛⎭⎫1，53，1. 易知平面BA 1B 1的一个法向量为n 2＝(1,0,0)． 因为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1439＝34343，所以|cos θ|＝34343.20．解 (1)2×2列联表如下：K 2＝200×(80×10－40×70)2150×50×120×80≈11.111，因为11.111>6.635，所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”．(2)由题意知，每次购物时，对商品和服务都满意的概率为25，且X 的可能取值是0,1,2,3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫353＝27125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫25×⎝⎛⎭⎫352＝54125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫351＝36125， P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫253＝8125. X 的分布列为所以E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.或者：由于X ～B ⎝⎛⎭⎫3，25，则E (X )＝3×25＝65. 21．解 (1)由题设知f (x )＝ln x (x >0)，g (x )＝ln x ＋1x ，所以g ′(x )＝x －1x 2(x >0)．令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0， 故(0,1)是g (x )的单调递减区间； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0， 故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间．因此x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点， 从而是最小值点，所以g (x )的最小值为g (1)＝1. (2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x (x >0)，设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x (x >0)， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2(x >0)．当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ；当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0， 即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ；当x >1时，h (x )<h (1)＝0， 即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x .综上所述，当0<x <1时，g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ； 当x ＝1时，g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ； 当x >1时，g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x . (3)由(1)知g (x )的最小值为1， 所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立，即g (a )－1<1a ，即ln a <1，从而得0<a <e.所以实数a 的取值范围为(0，e)．22．(1)解 因为c ＝2，a ＝3，所以b ＝1. 所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1，准圆的方程为x 2＋y 2＝4.(2)①解 因为准圆x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为P (0,2)，设过点P (0,2)且与椭圆有一个公共点的直线为y ＝kx ＋2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y 2＝1，消去y ， 得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0.因为椭圆与y ＝kx ＋2只有一个公共点， 所以Δ＝144k 2－4×9(1＋3k 2)＝0，解得k ＝±1. 所以l 1，l 2的方程分别为±x －y ＋2＝0. ②证明 (ⅰ)当l 1，l 2中有一条斜率不存在时， 不妨设l 1斜率不存在，因为l 1与椭圆只有一个公共点， 则其方程为x ＝3或x ＝－3，当l 1的方程为x ＝3时，此时l 1与准圆交于点(3，1)，(3，－1)，此时经过点(3，1)(或(3，－1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y ＝1(或y ＝－1)， 即l 2为y ＝1(或y ＝－1)，显然直线l 1，l 2垂直； 同理可证l 1方程为x ＝－3时，直线l 1，l 2垂直．(ⅱ)当l 1，l 2都有斜率时，设点P (x 0，y 0)，其中x 20＋y 20＝4，设经过点P (x 0，y 0)与椭圆只有一个公共点的直线为y ＝t (x －x 0)＋y 0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋(y 0－tx 0)，x 23＋y 2＝1， 消去y 得到x 2＋3[tx ＋(y 0－tx 0)]2－3＝0， 即(1＋3t 2)x 2＋6t (y 0－tx 0)x ＋3(y 0－tx 0)2－3＝0， Δ＝[6t (y 0－tx 0)]2－4(1＋3t 2)[3(y 0－tx 0)2－3]＝0，化简得(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋1－y 20＝0，因为x 20＋y 20＝4，所以有(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋(x 20－3)＝0，设l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2， 因为l 1，l 2与椭圆都只有一个公共点，所以t 1，t 2满足上述方程(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋(x 20－3)＝0，所以t 1·t 2＝x 20－33－x 20＝－1，即l 1，l 2垂直．综合(ⅰ)(ⅱ)知，因为l 1，l 2经过点P (x 0，y 0)， 又分别交其准圆于点M ，N ，且l 1，l 2垂直， 所以线段MN 为准圆x 2＋y 2＝4的直径， 所以|MN |＝4.。
2019届高三数学课标一轮复习单元质检： 七不等式、推理与证明 Word版含解析
单元质检七 不等式、推理与证明(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知不等式x 2-2x-3<0的解集为A ,不等式x 2+x-6<0的解集为B ,不等式x 2+ax+b<0的解集为A ∩B ,则a+b 等于( )A.-3B.1C.-1D.32.(2017北京高考)若x ,y 满足 x ≤3,x +y ≥2,y ≤x ,则x+2y 的最大值为( ) A.1 B.3 C.5 D.93.甲、乙两人一起到同一粮店买米,共买了2次,两次的价格分别为a ,b (a ≠b ),甲每次买m kg 的大米,乙每次买m 元钱的大米,甲、乙两人两次买米的平均价格分别为x ,y (平均价格等于购米总金额与购米总数之比),则x ,y 的大小关系是( ) A .x>y B .x<yC .x=yD .与m 的值有关4.(2017浙江温州瑞安调研)已知a>0,b>0,a+b=1a +1b ,则1a +2b 的最小值为( ) A.4B.2 2C.8D.165.(2017山东高考)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( ) A.a+1b <b2a<log 2(a+b ) B.b 2a <log 2(a+b )<a+1bC.a+1b <log 2(a+b )<b 2a D.log 2(a+b )<a+1b <b 2a6.(2017浙江超级联考)若实数x ,y 满足不等式组 x -2y +2≥0,x +2y +2≥0,2x -y -1≤0,则2|x+1|+y 的最大值是( )A.143B.193C.4D.17.(2017浙江诸暨一模)若关于x 的不等式x 2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)C.(-6,+∞)D.(-∞,-6)8.(2017浙江金丽衢十二校二模)设正实数x ,y ,则|x-y|+1x +y 2的最小值为( )A.74B.33 22C.2D. 239.(2017浙江嘉兴一模)已知实数x,y满足x-3≤0,y-1≥0,x-y+1≥0,若ax+y的最大值为10,则实数a=()A.4B.3C.2D.110.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.已知正实数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为,y的取值范围是.12.已知整数x,y满足不等式y≥x,x+y>4,x-2y+8>0,则2x+y的最大值是,x2+y2的最小值是.13.(2017浙江宁波十校联考)已知点A(3,3),O为坐标原点,点P(x,y)满足3x-y≤0,x-3y+2≥0,y≥0,则满足条件的点P所形成的平面区域的面积为,OA·OP|OA|的最大值是.14.(2017浙江金华调研改编)已知不等式|x+1|-|x-3|>a,若不等式有解,则实数a的取值范围为,若不等式的解集为R,则实数a的取值范围为.15.(2017浙江湖州测试)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a为.16.(2017天津高考)若a,b∈R,ab>0,则a 4+4b4+1的最小值为.17.(2017浙江杭州四校联考)记max{a,b}=a,a≥b,b,a<b,设M=max{|x-y2+4|,|2y2-x+8|},若对一切实数x,y,M≥m2-2m恒成立,则实数m的取值范围是.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)已知f(x)=2xx2+6.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值;(2)若对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求实数t的取值范围.19.(15分)设f(x)=11+x ,数列{a n}满足a1=12,a n+1=f(a n),n∈N*.(1)若λ1,λ2为方程f(x)=x的两个不相等的实根,证明:数列a n-λ1a n-λ2为等比数列; (2)证明:存在实数m,使得对任意n∈N*,a2n-1<a2n+1<m<a2n+2<a2n.20.(15分)设函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=c|x|+bx+a,对任意的x∈[-1,1]都有|f(x)|≤12.(1)求|f(2)|的最大值;(2)求证:对任意的x∈[-1,1],都有|g(x)|≤1.21.(15分)(2017浙江台州调研)已知数列{a n}满足:a n>0,a n+1+1<2(n∈N*).n(1)求证:a n+2<a n+1<2(n∈N*);(2)求证:a n>1(n∈N*).22.(15分)(2017浙江五校联考)已知数列{a n}中,满足a1=1,a n+1=a n+1,记S n为数列{a n}的前n项和.(1)证明:a n+1>a n;;(2)证明:a n=cosπ3·2n-1(3)证明:S n >n-27+π254. 答案：1.A 由题意,得集合A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A ∩B={x|-1<x<2}.又由题意知,-1,2为方程x 2+ax+b=0的两根,由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3.2.D 如图,画出可行域,z=x+2y 表示斜率为-1的一组平行线,当过点C (3,3)时,目标函数取得最大值z max =3+2×3=9.故选D .3.A 由题意可得x=ma +m b2m=a +b2,y=2mm a +m b=2aba +b .∵a ≠b ,a ,b>0,∴a +b > ab ,2ab<2 ab= ab .∴x>y.故选A .4.B 由a>0,b>0,a+b=1+1=a +b,得ab=1,则1a +2b ≥2 1a ·2b=2 2,当且仅当1a =2b ,即a= 22,b= 2时等号成立.故选B .5.B 因为a>b>0,且ab=1,所以a>1,0<b<1.所以b a <1,log 2(a+b )>log 22 ab =1.所以2a +1b >a+1b >a+b ⇒a+1b>log 2(a+b ).故选B .6.B 题中不等式组表示的可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中A (-2,0),B 43,53 ,C (0,-1),因此当x ≥-1,z=2x+2+y 过点B 时取最大值193;当x<-1,z=-2x-2+y 过点A 时取最大值2;综上2|x+1|+y 的最大值是19.故选B .7.A不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,x∈(1,4),令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)=-2,∴a<-2.8.A∵x>0,y>0,∴|x-y|+1+y2=|x-y|+1+|y2|≥ x-y+1+y2= y-12+ x+1-1≥2-1=7.当且仅当y=1,x=1,即x=1,y=1时取等号.故选A.9.C画出满足条件的平面区域,如图所示.由x=3,x-y+1=0,解得A(3,4),令z=ax+y,因为z的最大值为10,所以直线在y轴上的截距的最大值为10,即直线过(0,10),所以z=ax+y与可行域有交点,当a>0时,直线经过A时z取得最大值.即ax+y=10,将A(3,4)代入得3a+4=10,解得a=2.当a≤0时,直线经过A时z取得最大值.即ax+y=10,将A(3,4)代入得3a+4=10,解得a=2.与a≤0矛盾,综上a=2.10.D(举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.11.8(1,+∞)∵正实数x,y满足x+2y-xy=0,∴x+2y=12×2xy ≤12× x +2y 2 2,化为(x+2y )(x+2y-8)≥0,解得x+2y ≥8,当且仅当y=2,x=4时取等号.则x+2y 的最小值为8.由正实数x ,y 满足x+2y-xy=0,∴x=2yy -1>0, ∴y (y-1)>0,解得y>1.∴y 的取值范围是(1,+∞). 12.24 8 由约束条件 y ≥x ,x +y >4,x -2y +8>0作出可行域如图,由z=2x+y ,得y=-2x+z ,由图可知,当直线y=-2x+z 过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,由x =y ,x -2y +8=0可得 x =8,y =8,所以A 点坐标为(8,8). z 最大值为2×8+8=24.x 2+y 2的最小值是可行域的点B 到原点距离的平方, 由x +y =4,y =x可得B (2,2).可得22+22=8.13. 3 3 不等式组表示的可行域是以B (-2,0),O (0,0),C (1, 3)为顶点的三角形区域(含边界)图略,其面积为1×2× 3= 3.设向量OA 与OP 的夹角为θ,易知∠AOC=30°,∠AOB=150°,∴30°≤θ≤150°. 又OA ·OP|OA |=|OP |cos θ,要使OA ·OP|OA |取到最大值,则30°≤θ≤90°,此时0≤cos θ≤32,1≤|OP |≤2,且cos θ取到最大值 32时,|OP |也取到最大值2,故OA ·OP|OA |的最大值为 32×2= 3.14.(-∞,4) (-∞,-4) 由||x+1|-|x-3||≤|x+1-(x-3)|=4.可得-4≤|x+1|-|x-3|≤4.(1)若不等式有解,则a<4;(2)若不等式的解集为R ,则a<-4.15.-6或4 ∵函数f (x )=|x+1|+2|x-a|,故当a<-1时,f (x )= -3x +2a -1,x <a ,x -2a -1,a ≤x <-1,3x -2a +1,x ≥-1,根据它的最小值为f (a )=-3a+2a-1=5,求得a=-6. 当a=-1时,f (x )=3|x+1|,它的最小值为0,不满足条件. 当a ≥-1时,f (x )= -3x +2a -1,x <-1,-x +2a +1,-1≤x <a ,3x -2a +1,x ≥a ,根据它的最小值为f (a )=a+1=5,求得a=4. 综上可得,a=-6或a=4. 16.4 因为a ,b ∈R ,且ab>0,所以a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab =4ab+1ab≥2 4ab ·1ab=4.前一个等号成立条件是a 2=2b 2,后一个等号成立的条件是ab=12,两个等号可以同时取得,则当且仅当a 2= 22,b 2= 24时取等号17.[1- 7,1+ 7] 由题意得,M ≥|x-y 2+4|,M ≥|2y 2-x+8|,两式相加,∴2M ≥|y 2+12|≥12,即M ≥6,当且仅当 x -y 2+4=2y 2-x +8,y =0⇒ x =2,y =0时等号成立,∴m 2-2m ≤6⇒1- 7≤m ≤1+ 7,即实数m 的取值范围是[1- 7,1+ 7]. 18.解(1)f (x )>k ⇔kx 2-2x+6k<0,由已知其解集为{x|x<-3,或x>-2},得x 1=-3,x 2=-2是关于x 的方程kx 2-2x+6k=0的两根,则-2-3=2,解得k=-2. (2)∵x>0,∴f (x )=2xx 2+6=2x +6x≤ 66(当且仅当x= 6时,等号成立), 又已知f (x )≤t 对任意x>0恒成立,∴实数t 的取值范围是 66,+∞ . 19.证明(1)f (x )=x ⇔x 2+x-1=0,∴ λ12+λ1-1=0,λ22+λ2-1=0,∴ 1-λ1=λ12,1-λ2=λ22. ∵a n +1-λ1a n +1-λ2=11+a n -λ111+a -λ2=1-λ1-λ1a n1-λ2-λ2a n=λ12-λ1a n λ22-λ2a n=λ1λ2·a n -λ1a n -λ2,又a 1-λ1a 1-λ2≠0,λ1λ2≠0,∴数列a n -λ1a n -λ2为等比数列.(2)设m=5-12,则f(m)=m.由a1=12及a n+1=11+a n得a2=23,a3=35,a4=58.∴a1<a3<m<a4<a2.下面用数学归纳法证明:当n∈N*时,a2n-1<a2n+1<m<a2n+2<a2n.①当n=1时,命题成立.②假设当n=k时,命题成立,即a2k-1<a2k+1<m<a2k+2<a2k,由f(x)在区间(0,+∞)上递减,得f(a2k-1)>f(a2k+1)>f(m)>f(a2k+2)>f(a2k),∴a2k>a2k+2>m>a2k+3>a2k+1,由m>a2k+3>a2k+1,得f(m)<f(a2k+3)<f(a2k+1),∴m<a2k+4<a2k+2,∴当n=k+1时,命题也成立.由①②知,对一切n∈N*命题成立,即存在实数m,使得对∀n∈N*,a2n-1<a2n+1<m<a2n+2<a2n.20.(1)解∵对任意的x∈[-1,1]都有|f(x)|≤1,|f(0)|≤1,|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,∴|c|≤1,|a+b+c|≤1,|a-b+c|≤1;∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3(a+b+c)+(a-b+c)-3c|≤|3(a+b+c)|+|(a-b+c)|+|-3c|≤3+1+ 3=7.∴|f(2)|的最大值为72.(2)证明∵-1≤a+b+c≤1,-1≤a-b+c≤1,-1≤c≤1,∴-1≤a+b≤1,-1≤a-b≤1,∴-1≤a≤1,若c|x|+bx=0,则|g(x)|=|a|,∴|g(x)|≤1,若c|x|+bx≠0,则g(x)为单调函数,|g(-1)|=|a-b+c|≤1,|g(1)|=|a+b+c|≤1,∴|g(x)|≤1.综上,|g(x)|≤1.21.证明(1)由a n>0,a n+1+1a n<2,所以a n+1<2-1a n<2,因为2>a n+2+1an +1≥2 an +2a n +1,所以a n+2<a n+1<2.(2)假设存在a N ≤1(N ≥1,N ∈N *), 由(1)可得当n>N 时,a n ≤a N+1<1,因为a n+1-1<1-1a n =a n-1a n<0,而a n <1,所以1a n +1-1>a n a n -1=1+1a n -1. 于是1a N +2-1>1+1a N +1-1,……1a N +n -1>1+1a N +n -1-1.累加可得1a N +n -1>n-1+1a N +1-1.(*)由(1)可得a N+n -1<0, 而当n>-1a N +1-1+1时,显然有n-1+1a N +1-1>0,因此有1a N +n -1<n-1+1a N +1-1,这显然与(*)矛盾,所以a n >1(n ∈N *). 22.证明(1)因2a n +12-2a n 2=a n +1-2a n 2=(1-a n )(1+2a n ), 故只需要证明a n <1即可. 下用数学归纳法证明: 当n=1时,a 1=1<1成立, 假设n=k 时,a k <1成立, 那么当n=k+1时,a k+1= a k +12< 1+12=1,所以综上所述,对任意的正整数n ,a n <1. (2)用数学归纳法证明a n =cos π3·2n -1.当n=1时,a 1=1=cos π成立, 假设n=k 时,a k =cosπ3·2k -1,那么当n=k+1时,a k+1= a k +12=cos π3·2+12=cos π3·2k . 所以综上所述,对任意n ,a n =cosπ3·2n -1. (3)1-a n -12=1-a n -1+12=1-a n 2=sin 2π3·2n -1< π3·2n -1 2,得a n-1>1-2π29·4n -1. 故S n >∑i =2n 1-2π29·4i +12=n-12−2π29×43×116 1-14n -1 >n-27+π254.。
(北师大)2019届高考数学文科一轮复习单元评估检测全套试卷有答案(9套)
单元评估检测(一) 集合与常用逻辑用语(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,5}，则∁U M ＝( ) A ．{2,4,6} B ．{1,3,5} C ．{1,2,4} D ．UA2．(2017·武汉模拟)已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，B ＝{x ∈Z |x 2＜9}，则A ∩B ＝( ) A ．{2} B ．(－3,3) C ．(1,3) D ．{1,2}D3．命题“存在x 0∈∁R Q ，x 20∈Q ”的否定是( )【导学号：00090384】A ．存在x 0∉∁R Q ，x 20∈Q B ．存在x 0∈∁R Q ，x 20∉Q C ．任意x ∉∁R Q ，x 2∈Q D ．任意x ∈∁R Q ，x 2∉QD4．设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜5，x ∈Z，B ＝{x |x ≥a }．若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜12B ．a ≤12C ．a ≤1D ．a ＜1C5．使x 2＞4成立的充分不必要条件是( ) A ．2＜x ＜4 B ．－2＜x ＜2 C ．x ＜0 D ．x ＞2或x ＜－2A6．(2017·郑州模拟)已知集合A ＝{x |ax ＝1}，B ＝{x |x 2－x ＝0}，若A ⊆B ，则由a 的取值构成的集合为( ) A ．{1} B ．{0} C ．{0,1} D ．∅C7．已知原命题：已知ab ＞0，若a ＞b ，则1a ＜1b，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4D8．(2017·广州模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1d ＞0是数列(3a 1a n )为递增数列的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件A9．已知命题p ：存在x 0∈R ，x 0＜x 20＋1，命题q ：任意x ∈R ，sin 4x －cos 4x ≤1，则p 或q ，p 且q ，(綈p )或q ，p 且(綈q )中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C10．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c ＜0”是“存在x 0∈R ，使f (x 0)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件A11．(2017·阜阳模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x，x ∈R }，则A ⊕B 等于( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) C12．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )【导学号：00090385】A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合Q ＝{m ∈Z |mx 2＋mx －2＜0对任意实数x 恒成立}，则Q 用列举法表示为________． {－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}14．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素的个数是________． 415．下列3个命题：①“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”； ②“如果x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题；③在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞12”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________． ②16．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－1＜0}，B ＝{x |x ＋a ＞0}． (1)若a ＝－12，求A ∩B .(2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围． [解] A ＝{x |－1＜x ＜1}．(1)当a ＝－12时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －12＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞12，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜1. (2)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为B ＝{x |x ＞－a }，所以－a ≤－1，即a ≥1.18．(12分)设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求a ，b ，c 的值．[解] 因为A ∩B ＝{－3}，所以－3∈A ，且－3∈B ， 所以(－3)2－3a －12＝0，解得a ＝－1，A ＝{x |x 2－x －12＝0}＝{－3,4}．因为A ∪B ＝{－3,4}，且A ≠B ， 所以B ＝{－3}，即方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个等根为－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋－＝－b ，－3－＝c ，即b ＝6，c ＝9.综上，a ，b ，c 的值分别为－1,6,9.19．(12分)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围． [解] 命题p 为真时，因为函数y ＝c x在R 上单调递减，所以0＜c ＜1. 即p 真时，0＜c ＜1.因为c ＞0且c ≠1，所以p 假时，c ＞1.命题q 为真时，因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q 真时，0＜c ≤12，因为c ＞0且c ≠1，所以q 假时，c ＞12，且c ≠1.又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以p 真q 假或p 假q 真． (1)当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪c ＞12且c ≠1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1. (2)当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪0＜c ≤12＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1. 20．(12分)(2017·保定模拟)已知p ：x 2≤5x －4，q ：x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0. (1)若p 是真命题，求对应x 的取值范围． (2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围． [解] (1)因为x 2≤5x －4， 所以x 2－5x ＋4≤0，即(x －1)(x －4)≤0，所以1≤x ≤4， 即对应x 的取值范围为1≤x ≤4. (2)设p 对应的集合为A ＝{x |1≤x ≤4}． 由x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0， 得(x －2)(x －a )≤0.当a ＝2时，不等式的解为x ＝2，对应的解集为B ＝{2}；当a ＞2时，不等式的解为2≤x ≤a ，对应的解集为B ＝{x |2≤x ≤a }； 当a ＜2时，不等式的解为a ≤x ≤2，对应的解集为B ＝{x |a ≤x ≤2}．若p 是q 的必要不充分条件，则B A ， 当a ＝2时，满足条件；当a ＞2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |2≤x ≤a }，要使B A ，则满足2＜a ≤4；当a ＜2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |a ≤x ≤2}，要使B A ，则满足1≤a ＜2. 综上，a 的取值范围为1≤a ≤4.21．(12分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3. (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B .【导学号：00090386】[解] A ＝{y |y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，解得3≤a ≤2或a ≤－ 3. 即a ∈(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0， 依题意Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2. 所以a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y ＜－2或y ＞5}． 所以∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}， 故(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．22．(12分)求证：方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1. 【证明】 充分性：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，其根为x ＝－12，方程只有一负根．当a ＝1时，方程为x 2＋2x ＋1＝0，其根为x ＝－1，方程只有一负根． 当a ＜0时，Δ＝4(1－a )＞0，方程有两个不相等的根， 且1a＜0，方程有一正一负两个根．所以充分性得证．必要性：若方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一负根． 当a ＝0时，符合条件．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根， 则Δ＝4－4a ≥0，所以a ≤1，当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1. 当a ＜1时，若方程有且只有一负根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，1a＜0，所以a ＜0.所以必要性得证．综上，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.单元评估检测(二) 函数、导数及其应用(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·长沙模拟)设函数f (x )＝1－3x＋1log12x ＋，则函数的定义域为( )【导学号：00090387】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 A2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9C ．19D ．9C3．(2017·太原模拟)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜bD4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－2 D ．y ＝－x 3B5．(2017·洛阳模拟)函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4C6．(2017·珠海模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ≥0，g x，x ＜0，则g (f (－7))＝( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2D7．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：( ) A ．4 B ．5.5 C ．8.5 D ．10C8．函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为( )D9．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0D10．(2017·厦门模拟)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则函数g (x )＝|a x －2|的图象可能是( )图1D11．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4D12．(2017·商丘模拟)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为奇函数，则不等式f (2x －3)＋f (x )＞0的解集为________．(1，＋∞)14．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0恰有4个互异的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________. －615．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m ，若函数g (x )＝(3－10m )x 是单调增函数，则a ＝________.【导学号：00090388】1816．(2017·岳阳模拟)某同学在研究函数f (x )＝x 2＋1＋x 2－6x ＋10的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f (x )变形为f (x )＝x －2＋－2＋x －2＋＋2，则f (x )表示|PA |＋|PB |(如图2)，下列关于函数f (x )的描述正确的是________(填上所有正确结论的序号)图2①f (x )的图象是中心对称图形； ②f (x )的图象是轴对称图形； ③函数f (x )的值域为[13，＋∞)； ④方程f (f (x ))＝1＋10有两个解． ②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x ＞0，－f x ，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立． (1)求F (x )的表达式．(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．(1)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)(－∞，－2]∪[6，＋∞) 18．(12分)已知实数x 满足32x －4－103·3x －1＋9≤0且f (x )＝log 2x 2·log 2x2. (1)求实数x 的取值范围．(2)求f (x )的最大值和最小值，并求此时x 的值． [解] (1)由32x －4－103·3x －1＋9≤0， 得32x －4－10·3x －2＋9≤0，即(3x －2－1)(3x －2－9)≤0，所以1≤3x －2≤9,2≤x ≤4.(2)因为f (x )＝log 2x 2·log 2x 2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14，当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14.当log 2x ＝1或log 2x ＝2，即x ＝2或x ＝4时，f (x )max ＝0.19．(12分)(2017·咸宁模拟)设函数f (x )＝(ax ＋b )e x，g (x )＝－x 2＋cx ＋d ，若函数f (x )和g (x )的图象都过点P (0,1)，且在点P 处有相同的切线y ＝2x ＋1. (1)求a ，b ，c ，d 的值．(2)当x ∈[0，＋∞)时，判断函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调性． [解] (1)f ′(x )＝(ax ＋a ＋b )e x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝b ＝1，f＝a ＋b ＝2，所以a ＝b ＝1，g ′(x )＝－2x ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＝d ＝1，g＝c ＝2，所以c ＝2，d ＝1.(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)e x －(－x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)e x ＋x 2－2x －1，所以h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2x －2＝(x ＋2)e x ＋2x ＋4－6＝(x ＋2)(e x＋2)－6≥2×3－6＝0，所以h (x )在[0，＋∞)上为增函数．20．(12分)设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 的值．(2)若f (1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0恒成立的t 的取值范围． (3)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．[解] (1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，所以k ＝2. (2)由(1)知f (x )＝a x－a －x(a ＞0且a ≠1)． 因为f (1)＜0，所以a －1a＜0，又a ＞0且a ≠1，所以0＜a ＜1，所以y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x在R 上单调递增， 故f (x )＝a x －a －x在R 上单调递减．不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0可化为f (x 2＋tx )＜f (x －4)，所以x 2＋tx ＞x －4， 所以x 2＋(t －1)x ＋4＞0恒成立，所以Δ＝(t －1)2－16＜0，解得－3＜t ＜5. (3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x＋2－2x－2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x)＋2.令n ＝f (x )＝2x －2－x，因为f (x )＝2x－2－x为增函数，x ≥1， 所以n ≥k (1)＝32.令h (n )＝n 2－2mn ＋2＝(n －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ≥32. 若m ≥32时，则当n ＝m 时，h (n )min ＝2－m 2＝－2，所以m ＝2.若m ＜32，则当n ＝32时，h (n )min ＝174－3m ＝－2，所以m ＝2512＞32(舍去)．综上可知，m ＝2.21．(12分)(2017·大同模拟)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值．(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －x －ax2.①当a ≤1时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－A ．②当1＜a ＜e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数； x ∈(a ，e]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．所以x ∈[1，e]时，f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)·ln a －1. ③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数． f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae.综上，在x ∈[1，e]上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ； 当1＜a ＜e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1； 当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知，当a ＜1时，f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值．由(1)可知，当a ＜1时，f (x )在[e ，e 2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae ，又g ′(x )＝(1－e x)x ，当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1， 所以e －(a ＋1)－ae ＜1，即a ＞e 2－2ee ＋1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.22．(12分)(2017·石家庄模拟)设函数f (x )＝x 2＋a ln(x ＋1)(a 为常数)． (1)若函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，求实数a 的取值范围． (2)若函数y ＝f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：0＜f x 2x 1＜－12＋ln 2. 【导学号：00090389】[解] (1)根据题意知：f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立．即a ≥－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝－2x 2－2x ， 因为g (x )＝－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上的最大值为－4，所以a ≥－4. 经检验：当a ＝－4时，f ′(x )＝2x 2＋2x －4x ＋1＝x ＋x －x ＋1≥0，x ∈[1，＋∞)．所以a 的取值范围是[－4，＋∞)．(2)f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根，即方程2x 2＋2x ＋a ＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根． 记g (x )＝2x 2＋2x ＋a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12＞－1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜0，g －＞0，解得0＜a ＜12.所以x 1＋x 2＝－1,2x 22＋2x 2＋a ＝0，x 2＝－12＋1－2a 2，－12＜x 2＜0. 所以f x 2x 1＝x 22－x 22＋2x 2x 2＋－1－x 2.令k (x )＝x 2－x 2＋2xx ＋－1－x，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.k ′(x )＝x 2＋x＋2ln(x ＋1)， 记p (x )＝x 2＋x2＋2ln(x ＋1)．所以p ′(x )＝2x 2＋6x ＋2＋x3，p ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，p ′(0)＝2.所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0使得p ′(x 0)＝0. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0时，p ′(x )＜0； 当x ∈(x 0,0)时，p ′(x )＞0.所以k ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0上单调递减，在(x 0,0)上单调递增，因为k ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－2ln 2＜0，k ′(0)＝0. 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，k ′(x )＜0， 所以k (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减， 即0＜f x 2x 1＜－12＋ln 2. 单元评估检测(三) 三角函数、解三角形(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A ．1－k2k B ．－1－k2k C ．k1－k2D ．－k1－k2B2．(2017·九江模拟)已知命题p ：函数f (x )＝|cos x |的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝x 3＋sin x 的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．(綈p )且(綈q )D ．p 或(綈q )B3．(2017·衡水模拟)已知sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－α＋cos α＝2，则tan α＝( )A ．15 B ．－23C ．12 D ．－5D4．(2017·太原模拟)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图象向左平移π18个单位后，得到的图象可能为( ) 【导学号：00090390】D5．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( ) A ．－125B ．512C ．177D ．－717D6．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( ) A ．3＋226B ．3－226 C ．1＋266D ．1－266A7．(2017·淄博模拟)使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)是奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数的θ 的一个值是( ) A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．5π3B8．(2017·太原模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图1A ．±223B ．223C ．－223D ．13C9．(2017·襄阳模拟)在△ABC 中，6sin A ＋4cos B ＝1，且4sin B ＋6cos A ＝53，则cos C ＝( ) A ．12 B ．±32 C ．32D ．－32 C10．(2017·济宁模拟)已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ，下面结论中错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )的图象关于x ＝π3对称 C ．函数f (x )的图象可由g (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π6个单位长度得到D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数C11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图2)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )图2A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米B12．(2017·上饶模拟)已知定义在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的函数f (x )＝sin x (cos x ＋1)－ax ，若该函数仅有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤2π，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2π∪[2，＋∞) C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π D ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π，＋∞B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. 014．如图3，某人在山脚P 处测得甲山山顶A 的仰角为30°，乙山山顶B 的仰角为45°，∠APB 的大小为45°，山脚P 到山顶A 的直线距离为2 km ，在A 处测得山顶B 的仰角为30°，则乙山的高度为________km. 2图3 图415．如图4在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________． 516．(2017·太原模拟)若关于x 的函数f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋x2x 2＋cos x(t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a ＋b ＝2，则实数t 的值为________．1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)如图5，两同心圆(圆心在原点)分别与OA ，OB 交于A ，B 两点，其中A (2，1)，|OB |＝6，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为π2.图5(1)设角θ的始边为x 轴的正半轴，终边为OA ，求－θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π2θ－的值．(2)求点B 的坐标． (1)34 (2)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－62，2＋232 18．(12分)(2016·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin 2B ＝3b sinA ．(1)求B ．(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．(1)B ＝π6 (2)26＋1619．(12分)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. 【导学号：00090391】图6(1)求ω和φ的值．(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． (3)求使f (x )＜32成立的x 的取值集合． (1)ω＝2，φ＝－π3(2)描点画出图象(如图)．(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4＜x ＜k π＋13π12，k ∈Z 20.(12分)已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，(1)若x ∈R ，求f (x )的单调递增区间．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值．(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 集合． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) (2)1(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π621．(12分)已知如图7，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠BAC ＝120°，且AB →·AC →＝－152.图7(1)求△ABC 的面积． (2)若AB ＝5，求AD 的长． (1)1534 (2)19222．(12分)(2017·石家庄模拟)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°且与点A 相距1013海里的位置C ．图8(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)．(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． [解] (1)如图，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626，由于0°＜θ＜90°， 所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫26262＝52626. 由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为10523＝155(海里/小时)．(2)设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q . 在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.从而sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010.在△ABQ 中，由正弦定理得，AQ ＝AB sin ∠ABC－∠ABC ＝402×101022×21010＝40.由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt △QPE 中，PE ＝QE ·sin∠PQE ＝QE ·sin∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7.所以船会进入警戒水域．单元评估检测(四) 平面向量、数系的扩充与复数的引入(120分钟 150分) (对应学生用书第224页)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝1＋2i2－i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A ．－1B ．0C ．1D ．iC2．(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C ．45＋35i D ．45－35i D3．(2017·珠海模拟)若复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的虚部为( ) A ．－1 B ．－i C ．i D ．1A4．复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－iD5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3)B6．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D7．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5A8．在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( )A ．2 3B ．－23iC ．3－3iD ．3＋3i B9．与向量a ＝(3,4)同方向的单位向量为b ，又向量c ＝(－5，5)，则b·c ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3，－4) C ．1 D ．－1 C10．如图1，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )图1A ．AC →＝AB →＋AD → B ．BD →＝AD →－AB →C ．AO →＝12AB →＋12AD →D ．AE →＝53AB →＋AD →D11．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 2＝( ) A ．3－2i B ．2－3i C ．－3－2i D ．2＋3iD12．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )【导学号：00090392】A ．－8B ．－6C ．6D ．8D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 214．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. 215．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________. 216．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为________． 32＋32i 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，AB →·AD →＝5，|AD →|＝10. (1)求D 点坐标．(2)若D 点在第二象限，用AB →，AD →表示AC →.(3)AE →＝(m,2)，若3AB →＋AC →与AE →垂直，求AE →的坐标． (1)D(2,1)或D(－2,3) (2)AC →＝－AB →＋AD → (3)AE →＝(－14,2)18．(12分)如图2，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，求BE →·CE →的值. 【导学号：00090393】图27819．(12分)已知复数z ＝1＋i ，ω＝z 2－3z ＋6z ＋1.(1)求复数ω.(2)设复数ω在复平面内对应的向量为OA →，把向量(0,1)按照逆时针方向旋转θ到向量OA →的位置，求θ的最小值． (1)1－i (2)54π20．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos A2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2sin A 2，m·n ＝－1.(1)求cos A 的值．(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． (1)－12(2)221．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(a,2c －b )，且m∥n . (1)求角A 的大小．(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)因为m∥n ，所以a cos B －(2c －b )cos A ＝0， 由正弦定理得sin A cos B －(2sin C －sin B )cos A ＝0， 所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， 所以sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝2sin C cos A ， 因为0＜C ＜π，所以sin C ＞0， 所以cos A ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以16＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ， 因此bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，等号成立； 因此△ABC 的面积S ＝12bc sin A ≤43，因此△ABC 面积的最大值为4 3.22．(12分)已知平面上的两个向量OA →，OB →满足|OA →|＝a ，|OB →|＝b ，且OA →⊥OB →，a 2＋b 2＝4.向量OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，且a 2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝1.(1)如果点M 为线段AB 的中点，求证：MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →.(2)求|OP →|的最大值，并求出此时四边形OAPB 面积的最大值． [解] (1)证明：因为点M 为线段AB 的中点， 所以OM →＝12(OA →＋OB →)．所以MP →＝OP →－OM →＝(xOA →＋yOB →)－12(OA →＋OB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →.(2)设点M 为线段AB 的中点，则由OA →⊥OB →，知|M A →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1.又由(1)及a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1， 得|MP →|2＝|OP →－OM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122OA →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122OB →2 ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 所以|MP →|＝|MA →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1，所以P ，O ，A ，B 四点都在以M 为圆心，1为半径的圆上．所以当且仅当OP 是直径时，|OP →|max ＝2，这时四边形OAPB 为矩形，则S 四边形OAPB ＝|OA →|·|OB →|＝ab ≤a 2＋b 22＝2，当且仅当a ＝b ＝2时，四边形OAPB 的面积最大，最大值为2.单元评估检测(五) 数 列(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·唐山模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝( ) A ．41 B ．48 C ．49 D ．56C2．(2017·青岛模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n＋a (n ∈N *)，则实数a 的值是( ) A ．－3 B ．3 C ．－1D ．13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且15S n ＝a n －1，则a 2等于( )A ．－54B ．54C ．516D ．2516D4．(2017·太原模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，a n ＞0，则数列{log 2a n }的前n 项和为( )【导学号：00090394】A ．n n －2 B ．n －22C ．n n ＋2D ．n ＋22A5．已知在数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( ) A ．1－4nB ．4n－1 C ．1－4n 3D ．4n－13B6．若{a n }是由正数组成的等比数列，其前n 项和为S n ，已知a 1a 5＝1且S 3＝7，则S 7＝( ) A ．1516 B ．78 C ．12716D ．638C7．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n·(2n －1)cos n π2＋1，其前n 项和为S n ，则S 60＝( )A ．－30B ．－60C ．90D ．120D8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A ．1210 B ．129 C ．110D ．159．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，－1为第7项的等差数列的公差，tan B 是以12为第3项，4为第6项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形D ．以上均错B 10.(2017·厦门模拟)在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n＋2＞19的最大正整数n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6B11．若数列{a n }满足1a n ＋1－p a n ＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8B12．(2017·淄博模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }满足b n ＝3n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和为( ) A ．5－0 B ．5－3n ＋52nC ．5－3n －52nD ．5－3n ＋52n －1B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．(2017·唐山模拟)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________． 3n－114．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________. 【导学号：00090395】 10 10015．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加________尺．162916．(2017·保定模拟)如图1所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为________．图1132三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2017·承德模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝16(a 2n ＋3a n ＋2)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)若ak n ∈{a 1，a 2，…，a n ，…}，且ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列，当k 1＝1，k 2＝4时，求k n . (1)a n ＝3n －2，n ∈N *(2)k n ＝10n －1＋23，n ∈N *18．(12分)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20. (1)求数列{b n }的通项公式．(2)若c n ＝a n ·b n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)b n ＝23n (2)T n ＝72－12·3n －2－3n －13n19．(12分)(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n＋3. (1)求数列{a n }的通项公式．(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)T n ＝1312－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －120．(12分)(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式．(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．(1)a n ＝2n ＋1 (2){b n }的前n 项和T n ＝n n ＋21．(12分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式． (2)设b n ＝(4－a n )qn －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .【导学号：00090396】(1)a n ＝4－n(2)S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋2，q ＝1，nq n ＋1－n ＋q n ＋1q －2，q ≠1.22．(12分)(2017·石家庄模拟)在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，并且S n ＝a n ＋1－12(n ∈N *)．(1)求a n ，S n .(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值． [解] (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －12(n ≥2)，两式作差得：a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，因为a 1＝S 1＝a 2－12，所以a 2＝1，所以a 2a 1＝2，所以数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，则a n ＝12·2n －1＝2n －2，n ∈N *，S n ＝a n ＋1－12＝2n －1－12，n ∈N *. (2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n－2＝n －2， 所以c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ， 即c n (n ＋1)(n ＋2)＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2，c n ＝1n ＋n ＋＋2n －2＝1n ＋1－1n ＋2＋2n －2， T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋(2－1＋20＋…＋2n －2)＝12－1n ＋2＋12－2n1－2＝12－1n ＋2－12＋2n －1＝2n －1－1n ＋2. 由4T n ＞2n ＋1－1504，得 4⎝⎛⎭⎪⎫2n －1－1n ＋2＞2n ＋1－1504， 即4n ＋2＜1504，n ＞2 014. 所以使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值为2 015. 单元评估检测(六) 不等式、推理与证明(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A ．1ab ≥12 B ．1a ＋1b≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18D2．(2017·新乡模拟)若集合A ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，则A ∩B ＝( ) 【导学号：00090397】A ．(－1,3)B ．(－1,5)C ．(2,5)D ．(2,3)D3．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系为( )A ．ab ＞xyB ．ab ≥xyC ．ab ＜xyD ．ab ≤xyB4．(2017·唐山模拟)不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14D5．(2017·济宁模拟)在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2B ．83C ．223D ．2B6．若－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是( )A ．{x |x ＞a }B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1a C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞a 或x ＜1a D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1a 或x ＜aC7．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝( )A ．(n －m )(nd －mc )B ．(nd －mc )n －mC ．n －m d n c mD ．n －md n ·c mC8．已知函数f (x )＝16x 2－28x ＋114x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜54，则函数f (x )的最大值为( )A ．114B ．54C ．1D ．14C9．(2017·临汾模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1D10．当x ＞0时，x 2＋1≥2x ，在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是( ) A ．x ＞0 B ．x 2≥0 C ．(x －1)2≥0 D ．(x ＋1)2≥0C11．已知实数x ，y 满足x ＞y ＞0且x ＋y ＝14，则2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．6＋4 2D ．8＋4 2C12．(2017·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＞b ＞0，则a ，b ，ab ，a ＋b2四个数中最大的一个是________．a14．已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值． 415．(2017·福州模拟)设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用n 表示)．12(n ＋1)(n －2) 16．已知A (－1,0)，B (0，－1)，C (a ，b )三点共线，若a ＞－1，b ＞－1，则1a ＋1＋1b ＋1的最小值为________． 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－n .(1)证明{a n }是等差数列． (2)若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，试证明T n ＜14. 【导学号：00090398】 【证明】 (1)因为S n ＝2n 2－n . 所以a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －2(n －1)2＋(n －1)＝4n －3. 对n ＝1也成立．所以a n ＝4n －3.a n ＋1－a n ＝4(n ＋1)－3－4n ＋3＝4，是常数．所以数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1n －n ＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1所以T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋1＜14. 18．(12分)如图1，在四棱锥P ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AB 的中点．图1求证：(1)直线EF ∥平面PBC ． (2)平面DEF ⊥平面PAB ． 略19．(12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋B ． (1)求f (1)＋f (3)－2f (2)．(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[解] (1)因为f (1)＝a ＋b ＋1，f (2)＝2a ＋b ＋4，f (3)＝3a ＋b ＋9，所以f (1)＋f (3)－2f (2)＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则－12＜f (1)＜12，－12＜f (2)＜12，－12＜f (3)＜12.所以－1＜－2f (2)＜1，－1＜f (1)＋f (3)＜1，。
2019版高考数学文一轮新题AB卷全国：课时分层作业 十
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课时分层作业十函数的图象一、选择题(每小题5分,共35分)1.函数y=log3x的图象与函数y=lo x的图象( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于y=x对称【解析】选A.y=lo x=-log3x,y=log3x与y=-log3x关于x轴对称.2.下列函数f(x)的图象中,满足f>f(3)>f(2)的只可能是( )【解析】选D.因为f>f(3)>f(2),所以函数f(x)有增有减,排除A,B.又C中,f<f(0)=1,f(3)>f(0),即f<f(3),所以排除C.3.若函数f(x)=的图象如图所示,则f(-3)等于 ( )A.-B.-C.-1D.-2【解析】选 C.由图象可知:a(-1)+b=3,ln(-1+a)=0,所以a=2,b=5,f(x)=所以f(-3)=2×(-3)+5=-1.4.如图,AB为定圆O的直径,点P为半圆AB上的动点(点P不与A,B 重合).过点P作AB的垂线,垂足为Q,过Q作OP的垂线,垂足为M.记弧AP的长为x,线段QM的长为y,则函数y=f(x)的大致图象是( )【解题指南】在直角三角形OQP中,求出OQ,注意长度、距离为正,再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f(x)的表达式,然后化简,分析周期和最值,结合图象正确选择.【解析】选A.在直角三角形OQP中,设OP=1,因为弧AP的长为x,则∠POQ=x,OQ=|cos x|,又点Q到直线OP的距离即QM=y,所以y=f(x)=OQ|sin x|=|cos x|·|sin x|=|sin 2x|,其最小正周期T=,最大值为,最小值为0.【变式备选】某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间,下列函数的图象最能符合上述情况的是( )【解析】选A.因为该同学骑车一路匀速行驶到学校,所以其图象为线段,排除B,C,又因为该同学应该是离家越来越远,所以选项A正确,选项D错误.5.(2016·全国卷Ⅰ)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]上的图象大致为( )【解析】选D.f(2)=8-e2>8-2.82>0,f(2)=8-e2<8-2.72<1,排除A,B,x>0时,f(x)=2x2-e x,f′(x)=4x-e x,当x∈时,f′(x)<×4-e0=0,因此f(x)在上单调递减,排除C.【变式备选】函数f(x)=sin x (-π≤x≤π且x≠0)的图象是( )【解析】选B.f(x)为偶函数,所以排除C,D,当x=时,f<0,所以排除A.6.(2018·北京模拟)函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)的解析式可以为( )A.f(x)=-x2B.f(x)=-x3C.f(x)=-e xD.f(x)=-ln x【解析】选 C.对于选项A,因为f′(x)=--2x,故当x<0时,f′(x)=--2x的符号不确定,因此不单调,即选项A不正确;对于选项B,因为f′(x)=--3x2,故当x<0时,f′(x)<0,故函数f(x)=-x3是递减函数,但函数有两个零点,则B不正确;对于选项D,因为f(x)的定义域为x>0,故D不正确;对于选项C,f′(x)=--e x<0,故函数在x<0时,是单调递减函数,当x>0时,函数也是单调递减函数,故C选项符合.7.如图,正三角形ABC的中心位于点G(0,1),A(0,2),动点P从点A出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动,设∠AGP=x(0≤x≤2π),向量在a=(1,0)方向上的射影为y(O为坐标原点),则y关于x的函数y=f(x)的图象大致是( )【解析】选C.设BC边与y轴的交点为M,由已知得GM=,故AM=,正△ABC的边长为,连接BG,可得∠BGM=,所以∠AGB=,由题图可得x=时,P,射影y取到最小值-,由此可排除A,B两个选项;又当点P从点B向点M运动时,x变化相同的值,此时射影y 的变化变小,即平均变化率变小,图象趋于平缓,由此可以排除D.【变式备选】为了得到函数y=lg的图象,只需把函数y=lg x的图象上所有的点 ( )A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度【解析】选C.y=lg=lg(x+3)-1,将y=lg x的图象向左平移3个单位长度得到y=lg(x+3)的图象,再向下平移1个单位长度,得到y=lg(x+3)-1的图象.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·石家庄模拟)若函数y=f(x)的图象过点(1,1),则函数y=f(4-x)的图象一定经过点________.【解析】由于函数y=f(4-x)的图象可以看作y=f(x)的图象先关于y 轴对称,再向右平移4个单位长度得到.点(1,1)关于y轴对称的点为(-1,1),再将此点向右平移4个单位长度,可推出函数y=f(4-x)的图象过定点(3,1).答案:(3,1)9.函数f(x)=的图象与直线y=kx+1交于不同的两点(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=________.【解析】因为f(x)==+1,所以f(x)的图象关于点(0,1)对称,而直线y=kx+1过(0,1)点,故两图象的交点(x1,y1),(x2,y2)关于点(0,1)对称,所以=1,即y1+y2=2.答案:210.(2018·南昌模拟)中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义:能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.给出下列命题:①对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个;②函数f(x)=ln(x+)可以是某个圆的“优美函数”;③余弦函数y=f(x)可以同时是无数个圆的“优美函数”;④函数y=f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)【解题指南】先弄清“优美函数”的定义,然后再逐个命题进行判断. 【解析】①对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个,如过圆心的直线,故①正确;②函数f(x)=ln(x+)可以是某个圆的“优美函数”;因为函数f(x)=ln(x+)是奇函数,满足“优美函数”的定义,所以②正确;③余弦函数y=f(x)=cos x是中心对称图形,可以同时是无数个圆的“优美函数”,所以③正确;④函数y=f(x)的图象是中心对称图形,则y=f(x)是“优美函数”,但函数是“优美函数”时,图象不一定是中心对称图形,如图所示,故④不正确.答案:①②③1.(5分)(2017·全国卷Ⅲ)函数y=1+x+的部分图象大致为( )【解析】选D.当x=1时,y=1+1+sin 1=2+sin 1>2,故排除A,C;当x→+∞时,y→1+x,故排除B,因此满足条件的只有D.【变式备选】函数f(x)=log a|x|+1(0<a<1)的图象大致是( )【解析】选A.由于函数f(x)=log a|x|+1(0<a<1)是偶函数,故其图象关于y轴对称,当x>0时,f(x)=log a|x|+1(0<a<1)是减函数;当x<0时,f(x)=log a|x|+1(0<a<1)是增函数,再由图象过点(1,1),(-1,1),可知应选A.2.(5分)函数y=-2sin x的图象大致是 ( )【解析】选C.函数y=-2sin x为奇函数,排除A;且y′=-2cos x,令y′=0得cos x=,由于函数y=cos x为周期函数,故有多个极值点,且呈周期性,排除B;而当x>2π时,y=-2sin x>0,当x<-2π时,y=-2sin x<0,排除D.【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是只关注了函数的奇偶性,对函数的单调性不明确导致错误;二是只关注单调性,忽略奇偶性而出错.3.(5分)(2018·银川模拟)给定min{a,b}=已知函数f(x)=min{x, x2-4x+4}+4,若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点,则实数m的取值范围为________.【解析】设g(x)=min{x,x2-4x+4},则f(x)=g(x)+4,故把g(x)的图象向上平移4个单位长度,可得f(x)的图象,函数f(x)=min{x,x2-4x+4}+4的图象如图所示,由于直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点,数形结合可得m的取值范围为(4,5).答案:(4,5)【变式备选】已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)-a=0有两个实根,则实数a的取值范围是________.【解析】当x≤0时,0<2x≤1,画出f(x)的图象,由图象可知要使方程f(x)-a=0有两个实根,即函数y=f(x)与y=a的图象有两个交点,此时0<a≤1.答案:(0,1]4.(12分)已知f(x)=|x2-4x+3|.(1)作出函数f(x)的图象.(2)求函数f(x)的单调区间,并说明y=f(x)图象的对称轴.【解析】(1)当x2-4x+3≥0时,x≤1或x≥3,所以f(x)=所以f(x)的图象为:(2)由函数的图象可知f(x)的单调减区间是(-∞,1],(2,3),单调增区间是(1,2],[3,+∞),函数y=f(x)的对称轴是直线x=2.5.(13分)已知函数f(x)=(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象.(2)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.【解析】(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象知当x=2时,f(x)min=f(2)=-1,当x=0时,f(x)max=f(0)=3.关闭Word文档返回原板块。
2019年普通高等学校统一招生考试调研卷(七)数学
)
A. y2 8x
B． y2 12x
C. y2 16x
D． y2 20x
高考调研卷
数学调研卷(七)·第 1 页(共 8 页)
2019·群模考
小梦学习园地系列试卷
2
x y 2 0
6.
若
x,
y
满足约束条件
x
y20
,则 z x 2y 的最小值为(
)
2x y 2 0
4 5
4
(Ⅰ) 求an 的通项公式；
(Ⅱ) 若数列 bn
满足 bn1
bn
an
( n N
),且 b1
3
1 ,求数列
bn
的前
n
项和 Tn
.
18.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 E ABCD 中, AB // CD , ABC 90 , CD 2AB 2CE 4 , BCE 120 , DE 2 5 . (Ⅰ) 证明:平面 BCE 平面 CDE ； (Ⅱ) 若 BC 4 ,求二面角 E AD B 的余弦值.
16. ABC 中, AB AC , D 为 AC 边上的点,且 AC 4CD , BD 2 ,则 ABC 的面积最大值为
．
三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分)已知数列 an 为公差不为 0 的等差数列,满足 a1 5 ,且 a2 , a9 , a30 成等比数列.
19.(本小题满分 12 分)某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了 80 个进行测量,根据所测
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单元评估检测(七) 立体几何初步(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．中央电视台正大综艺以前有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为( )图1A2．(2017·衡阳模拟)如果一个几何体的三视图如图2所示，正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形(单位：cm)，则此几何体的侧面积是( )图2A．2 3 cm2B．4 3 cm2C．8 cm2D．14 cm2C3．若三棱锥的三视图如图3所示，则该三棱锥的体积为( )图3A．80 B．40C ．803D ．403D4．(2017·泉州模拟)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，以下命题正确的是( )A ．若l ∥α，α∥β，则l ∥βB ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥βC ．若l ⊥α，α⊥β，则l ∥βD ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥βD5．正四面体P ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．平面PDF ⊥平面ABC C ．DF ⊥平面PAED ．平面PAE ⊥平面ABC B6．(2017·武汉模拟)在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( )【导学号：00090399】A ．34B ．32C ．334D ． 3B7．如图4，四面体ABCD 中，AB ＝DC ＝1，BD ＝2，AD ＝BC ＝3，二面角A BD C 的平面角的大小为60°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角的余弦值是( )图4A ．13B ．33C ．63D ．223B8．如图5，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是( )图5A ．直线BD 1与直线B 1C 所成的角为π2B ．直线B 1C 与直线A 1C 1所成的角为π3C ．线段BD 1在平面AB 1C 内的投影是一个点 D ．线段BD 1恰被平面AB 1C 平分 D9．如图6，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 为线段CD 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的投影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成集合的长度为( )图6A ．32B ．233C ．π2D ．π3D10．(2017·九江模拟)棱长为43的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为( )【导学号：00090400】A ． 2B ．22 C ．24D ．26B11．(2017·南阳模拟)如图7是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )图7A ．6＋2π3B ．8＋π3C ．4＋2π3D ．4＋π3C12．下列命题中错误的是( )A ．如果α⊥β，那么α内一定有直线平行于平面βB ．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC ．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．半径为336π的球的体积与一个长、宽分别为6,4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为________． 8814．(2017·运城模拟)如图8，三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积为V 1，四棱锥A BCC 1B 1的体积为V 2，则V 1V 2＝________.图83215．如图9，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面是∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .图9a或2a16．(2017·菏泽模拟)如图10，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论：图10①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为60°.错误的有________．(把你认为错误的序号全部写上)④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2017·南昌模拟)如图11所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2 m，高为7 m，制造这个塔顶需要多少面积的铁板？图11制造这个塔顶需要8 2 m2的铁板．18．(12分)如图12，已知四棱锥PABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M，N分别为PB，PC的中点．图12(1)证明：MN ∥平面PAD ．(2)若PA 与平面ABCD 所成的角为45°，求四棱锥P ABCD 的体积V . [解] (1)因为M ，N 分别是棱PB ，PC 的中点，所以MN ∥BC ， 又四边形ABCD 是正方形，所以AD ∥BC ，于是MN ∥AD ．⎭⎪⎬⎪⎫MN ∥ADAD ⊂平面PAD MN ⊄平面PAD ⇒MN ∥平面PAD ． (2)由PD ⊥底面ABCD ，知PA 与平面ABCD 所成的角为∠PAD ，所以∠PAD ＝45°， 在Rt △PAD 中，知PD ＝AD ＝2，故四棱锥P ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.19．(12分)如图13，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，CA ＝CB ，D ，E ，F 分别为AB ，A 1D ，A 1C 的中点，点G 在AA 1上，且A 1D ⊥EG .图13(1)求证：CD ∥平面EFG . (2)求证：A 1D ⊥平面EFG . 略20．(12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图14，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．图14(1)证明MN ∥平面PAB ；(2)求四面体N BCM 的体积. 【导学号：00090401】 (1)略 (2)45321．(12分)(2017·新乡模拟)如图15①，在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD ＝PC ，若沿AB 将三角形PAB 折起，使∠PAD ＝θ，构成四棱锥P ABCD ，且PC PF ＝CD CE＝2，如图15②.(1)求证：平面BEF ⊥平面PAB ．(2)当异面直线BF 与PA 所成的角为60°时，求折起的角度θ.图15[解] (1)因为2BD ＝PC ，所以∠PDC ＝90°， 因为AB ∥CD ，且PC PF ＝CDCE＝2，所以E 为CD 的中点，F 为PC 的中点，CD ＝2AB ，所以AB ∥DE 且AB ＝DE ，所以四边形ABED 为平行四边形，所以BE ∥AD ，BE ＝AD ， 因为BA ⊥PA ，BA ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ，所以BA ⊥平面PAD ，因为AB ∥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PD 且CD ⊥AD ，又因为在平面PCD 中，EF ∥PD (三角形的中位线)，于是CD ⊥FE . 因为在平面ABCD 中，BE ∥AD ， 于是CD ⊥BE ，因为FE ∩BE ＝E ，FE ⊂平面BEF ，BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥平面BEF ， 又因为CD ∥AB ，AB 在平面PAB 内，所以平面BEF ⊥平面PAB ．(2)因为∠PAD ＝θ，取PD 的中点G ，连接FG ，AG ，所以FG ∥CD ，FG ＝12CD ，又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，所以FG ∥AB ，FG ＝AB ，从而四边形ABFG 为平行四边形，所以BF ∥AG ，所以BF 与PA 所成的角即为AG 与PA 所成的角，即∠PAG ＝60°，因为PA ＝AD ，G 为PD 中点，所以AG ⊥PD ，∠APG ＝30°，所以∠PDA ＝30°，所以∠PAD ＝180°－30°－30°＝120°.故折起的角度为120°.22．(12分)正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AB ＝AD ＝12CD ＝2，点M 在线段EC 上且不与E ，C 重合．图16(1)当点M 是EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF . (2)当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥M BDE 的体积． [解] (1)取ED 的中点N ，连接MN ，AN ，又因为点M 是EC 的中点， 所以MN ∥DC ，MN ＝12DC ，而AB ∥DC ，AB ＝12DC ，所以MN 綊AB ，所以四边形ABMN 是平行四边形， 所以BM ∥AN ，而BM ⊄平面ADEF ，AN ⊂平面ADEF ， 所以BM ∥平面ADEF .(2)取CD 的中点O ，过点O 作OP ⊥DM ，连接BP ，BO ， 因为AB ∥CD ，AB ＝12CD ＝2，所以四边形ABOD 是平行四边形， 因为AD ⊥DC ，所以四边形ABOD 是矩形， 所以BO ⊥CD ，因为正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，ED ⊥AD ， 所以ED ⊥平面ADCB ， 所以平面CDE ⊥平面ADCB ， 所以BO ⊥平面CDE ， 所以BP ⊥DM ，所以∠OPB 是平面BDM 与平面DCE (即平面ABF )所成锐二面角， 因为cos ∠OPB ＝66， 所以sin ∠OPB ＝306， 所以OB BP ＝306，解得BP ＝2305. 所以OP ＝BP cos ∠OPB ＝255，所以sin ∠MDC ＝OP OD ＝55， 而sin ∠ECD ＝225＝55，所以∠MDC ＝∠ECD ，所以DM ＝MC ，同理DM ＝EM ，所以M 为EC 的中点， 所以S △DEM ＝12S △CDE ＝2，因为AD ⊥CD ，AD ⊥DE ， 且DE 与CD 相交于点D ， 所以AD ⊥平面CDE ， 因为AB ∥CD ，所以三棱锥B DME 的高＝AD ＝2， 所以V M BDE ＝V B DEM ＝13S △DEM ·AD ＝43.。