第六节 波函数的电子云图形
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原子的结构和性质3
部分图形有: 径向函数图R(r)
径向密度函数图R2(r)
径向分布函数图r2R2(r)即D(r) 波函数角度分布图 Y（θ,φ） 电子云角度分布图 |Y（θ,φ）| 2
原子轨道的宇称
原子轨道都有确定的反演 对称性 : 将轨道每一点的数值 及正负号, 通过核延长到反方向 等距离处 , 轨道或者完全不变 , 或者形状不变而符号改变. 前者 称为对称, 记作g(偶); 后者称为 反对称, 记作u(奇). 这种奇偶性就是宇称 (parity)，且与轨道角量子数l的 奇偶性一致.
二、波函数和电子云的空间分布
电子云：核外电子的几率密度|Ψ|2在空间的分 布。 由于电子具有波动性，服从测不准关系，在 原子分子中运动的电子不再有经典式的轨道运动， 而是行踪不定的按一定的几率在原子核附近空间 各处出现，仿佛电子是分散在原子核周围的空间。 但这并不是说电子真的象云那样分散不再是一个 粒子，而只是电子行为具有统计性的一种形象说 法。
波函数和电子云的空间分布有以下几种表示方法。 1. ψ～r图和ψ2～r图 这两种图一般只用来表示S态的分布，因为： S轨道（态） l=0 m=0
Y0,0 0,0 0 1 2 2 4 Rnl (r )Y00 f (r ) 1 1 为常数
ns
| ns | 2 f 2 (r )
（θ =90°的XY平面 也算作锥面）
|m|个平面（ Φm=0)
三、角度分布
1. 波函数的角度分布：波函数ψ（ψ=RΘΦ）的角 度部分： Ylm（ θ,φ ）= Θlm(θ) Φm(φ) 2. 波函数的角度分布图
借助球坐标，从原点引一直线，方向为(θ,φ)，长
度为|Y|，所有直线的端点在空间形成一个曲面，并
z
径向密度函数图R2(r)
径向分布函数图r2R2(r)即D(r) 波函数角度分布图 Y（θ,φ） 电子云角度分布图 |Y（θ,φ）| 2
原子轨道的宇称
原子轨道都有确定的反演 对称性 : 将轨道每一点的数值 及正负号, 通过核延长到反方向 等距离处 , 轨道或者完全不变 , 或者形状不变而符号改变. 前者 称为对称, 记作g(偶); 后者称为 反对称, 记作u(奇). 这种奇偶性就是宇称 (parity)，且与轨道角量子数l的 奇偶性一致.
二、波函数和电子云的空间分布
电子云：核外电子的几率密度|Ψ|2在空间的分 布。 由于电子具有波动性，服从测不准关系，在 原子分子中运动的电子不再有经典式的轨道运动， 而是行踪不定的按一定的几率在原子核附近空间 各处出现，仿佛电子是分散在原子核周围的空间。 但这并不是说电子真的象云那样分散不再是一个 粒子，而只是电子行为具有统计性的一种形象说 法。
波函数和电子云的空间分布有以下几种表示方法。 1. ψ～r图和ψ2～r图 这两种图一般只用来表示S态的分布，因为： S轨道（态） l=0 m=0
Y0,0 0,0 0 1 2 2 4 Rnl (r )Y00 f (r ) 1 1 为常数
ns
| ns | 2 f 2 (r )
（θ =90°的XY平面 也算作锥面）
|m|个平面（ Φm=0)
三、角度分布
1. 波函数的角度分布：波函数ψ（ψ=RΘΦ）的角 度部分： Ylm（ θ,φ ）= Θlm(θ) Φm(φ) 2. 波函数的角度分布图
借助球坐标，从原点引一直线，方向为(θ,φ)，长
度为|Y|，所有直线的端点在空间形成一个曲面，并
z
关于原子轨道和电子云的图形课件
0.08 0
3s
0.12
④ n相同，lБайду номын сангаас同时
0.08 0.04
3p
l，主峰离核越近；
0 0.12 0.08
第一个极大值离核越远
0.04
3d
0 0 5 10 15 20 24
r/a0
3. 角度部分的对画图
(1) Y(θ,φ)~θ,φ图，即波函数角度分布图. (2) |Y (θ,φ)| 2~θ,φ图，即电子云角度分布图.
2n,l,m(r,,)d 电子在微体积元d中出现的几率
电子在半径为r处，厚度
为dr的球壳内电子出现
2 2n,l,m(r,,)d 的几率
0 0
2
R 2 r2sid nr dd
00
r2R 2d2 r 2d 2sid n
0
0
r2R2dr
D(r)dr
D(r)r2Rn,l2(r)
径向分布函数
几率和几率密度！！！
(2) 径向分布函数D(r)
前面R2(r)描述的是几率密度随r的分布情 况，要真正了解电子的分布情况，要关心电 子分布的几率---
电子在半径为r处，厚度为dr的球壳内 电子出现的几率
2n,l,m(r,,) 电子在(r, , )处出现的几率密度
dr2sindrd d 三维空间中的微体积元
这说明r=a0处在单位球壳厚度内找到电子的几率 比任何其它地方单位球壳内电子出现的几率要大
② 极大值个数：
0.6
0.3
1s
0
径向分布函数有n-l个极大值，00..2146
有n-l-1个节面
0.08 0
2s
0.24
③ 主峰-最大值出现的位置
HLi分子波函数和电子云图形的绘制
—
１ ２ 绘 图 原 理 ．
１２ １ 沿 键 轴 方 向波 函 数 电 子 云 分 布 图 ． ．
一
般 在通过 波函数 和 电子 云分布来 讨论分 子
Ｌ Ａ Ｃ Ｏ—ＭＯ方 法计 算 的结 果如 下 表 ｌ １ 一 Ｌ ．
中的化学 成键情 况 时 ， 简单 的方 法 是作 出沿键 最 轴方 向波 函数 和 电子 云 分 布 图 ， 过 这种 分 布 可 通
２ ０ 血 ０ ８
青海师 范大 学学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｈ ｉ ｒ ｌＵｎｖ ｒ ｉ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ ｆＱｉ ｇ ａ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ ｙ Ｓ
２ ０ ０ ８ ＮＯ ．４
第 ４期
ＨＬ 分 子 波 函数 和 电 子 云 图 形 的 绘 制 ｉ
李 生 荣
（ 海 民族学 院 化 学 系 ， 青 青海 西 宁 ８００） １ ０ ７
摘
要 ： 文 研 究 了 绘 制锂 化 氢 分 子 波 函数 和电 子 云 图形 的 方法 ， 给 出 了 ＶＢ绘 图 程 序 ， 程 序 略 加 求 改 ， 以绘 制 其 他 本 并 对 可
双 原 子 分 子 的波 函数 和 电子 云 图 形 ．
（） ５
计算 ｒ、。的 值 ， 将 此 值 代 入 （ ） ， ｒ 在 １ 式 计算
出 ‘的值 ， 与给 定 的 取值 范 围 （ ０１ ‘ ｆ Ｉ 并 如 ． ＜ ｌ ＇ ＧＯ １ ２ 比较 ， 和条件 的点 ， 下 （ ） ．Ｏ ） 方 用 ６ 式
Ｘ ＝ ｘｃ ０— ＝ ｏｓ —ｙｓ ｎ ｉ０
出 了绘 图程序 和部分 图形 ， 进行 了讨论． 并
１ ２ 绘 图 原 理 ．
１２ １ 沿 键 轴 方 向波 函 数 电 子 云 分 布 图 ． ．
一
般 在通过 波函数 和 电子 云分布来 讨论分 子
Ｌ Ａ Ｃ Ｏ—ＭＯ方 法计 算 的结 果如 下 表 ｌ １ 一 Ｌ ．
中的化学 成键情 况 时 ， 简单 的方 法 是作 出沿键 最 轴方 向波 函数 和 电子 云 分 布 图 ， 过 这种 分 布 可 通
２ ０ 血 ０ ８
青海师 范大 学学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｈ ｉ ｒ ｌＵｎｖ ｒ ｉ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ） ｏ ｒ ａ ｆＱｉ ｇ ａ Ｎｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ ｙ Ｓ
２ ０ ０ ８ ＮＯ ．４
第 ４期
ＨＬ 分 子 波 函数 和 电 子 云 图 形 的 绘 制 ｉ
李 生 荣
（ 海 民族学 院 化 学 系 ， 青 青海 西 宁 ８００） １ ０ ７
摘
要 ： 文 研 究 了 绘 制锂 化 氢 分 子 波 函数 和电 子 云 图形 的 方法 ， 给 出 了 ＶＢ绘 图 程 序 ， 程 序 略 加 求 改 ， 以绘 制 其 他 本 并 对 可
双 原 子 分 子 的波 函数 和 电子 云 图 形 ．
（） ５
计算 ｒ、。的 值 ， 将 此 值 代 入 （ ） ， ｒ 在 １ 式 计算
出 ‘的值 ， 与给 定 的 取值 范 围 （ ０１ ‘ ｆ Ｉ 并 如 ． ＜ ｌ ＇ ＧＯ １ ２ 比较 ， 和条件 的点 ， 下 （ ） ．Ｏ ） 方 用 ６ 式
Ｘ ＝ ｘｃ ０— ＝ ｏｓ —ｙｓ ｎ ｉ０
出 了绘 图程序 和部分 图形 ， 进行 了讨论． 并
量子力学中的电子波函数和电子云图像
量子力学中的电子波函数和电子云图像量子力学是描述微观物体行为的理论，它的核心概念之一是电子波函数和电子云图像。
电子波函数是描述电子状态的数学函数，而电子云图像则是将波函数转化为可视化的图像，以便更好地理解电子在原子和分子中的分布和行为。
在量子力学中，电子被视为波粒二象性的粒子。
波函数是描述电子状态的数学函数，它包含了关于电子位置、动量和能量等方面的信息。
波函数的平方模的积分给出了在某一位置找到电子的概率密度。
换句话说，波函数的平方模表示了电子在空间中的分布情况。
电子波函数可以用数学方程来表示，其中最常见的是薛定谔方程。
薛定谔方程描述了电子在势能场中的行为，并给出了波函数随时间演化的规律。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到电子的波函数，并进一步计算出电子在不同位置的概率分布。
为了更好地理解电子的分布情况，科学家们引入了电子云图像的概念。
电子云图像是将波函数转化为可视化的图像，通常以三维空间中的等概率面来表示。
在电子云图像中，云的密度表示了电子在该位置的概率密度。
云越密集的地方，电子的概率越大。
电子云图像可以帮助我们更好地理解电子在原子和分子中的分布和行为。
例如，在氢原子中，电子云图像显示了电子在原子核周围的分布情况。
我们可以看到，电子云呈现出球对称的形状，且在原子核附近的概率密度最高。
这说明了电子在氢原子中的定态是球对称的。
在多电子原子和分子中，电子云图像更加复杂。
由于电子之间的相互作用，电子云的形状和分布会发生变化。
例如，在氧原子中，电子云图像显示了电子在原子核周围的分布情况。
我们可以看到，电子云呈现出不规则的形状，且在原子核附近的概率密度最高。
这说明了电子在氧原子中的分布不再是球对称的，而是受到其他电子的影响。
电子波函数和电子云图像在理解原子和分子的结构和性质方面起着重要的作用。
通过研究电子波函数和电子云图像，我们可以预测和解释原子和分子的光谱性质、化学反应和物理性质。
例如，通过分析电子波函数和电子云图像，我们可以预测氢原子的能级结构和光谱线的位置。
电子云
这项研究工作被国际同行称为“发展了一个完整确定原子参数，颇为有趣、有前途的新方法”、“提出了研究原子多光子离化细节的新途径”。诺贝尔化学奖获得者赫伯特·查尔斯·布朗(Herbert C. Brown)教授称赞这些成果为“激动人心的发现”。
10形状
电子电子云有不同的形状，分别用符s、p、d、f、g、h表示，s电子云呈球形，在半径相同的
波动方程百万点次模拟下的电子云图.gif
球面上，电子出现的机会相同，p电子云呈纺锤形(或哑铃形)，d电子云是花瓣形，f电子云更为复杂，g、h的电子云形状就极为复杂了。
11概率密度
在电子的振动图案中，对应于一种振动的能量空间的每一点上的几率密度，代表电子在该点的或然率，在
氢原子电子云
距离原子很远的地方，几率密度为零，这意味着非常不可能在那里找到电子，在非常邻近核的区域，电子出现的几率也为零，则说明电子无法到达此区域。
现已经证明电子在核外空间所处的位置及其运动速度不能同时准确地确定，也就是不能描绘出它的运动轨迹。在量子力学中采用统计的方法，即对一个电子多次的行为或许多电子的一次行为进行总的研究，可以统计出电子在核外空间某单位体积中出现机会的多少，这个机会在数学上称为概率密度。例如氢原子核外有一个电子，这个电子在核外好像是毫无规则地运动，一会儿在这里出现，一会儿在那里出现，但是对千百万个电子的运动状态统计而言，电子在核外空间的运动是有规律的，在一个球形区域里经常出现，如一团带负电荷的云雾，笼罩在原子核的周围，人们称之为电子云。这团“电子云雾”呈球形对称，如下图所示。电子云是电子在核外空间出现概率密度分布的一种形象描述。原子核位于中心，小黑点的密疏表示核外电子概率密度的大小。
②角度分布函数
从坐标原点出发，引出方向为(θ,φ)的直线,取Y值，作Y2随θ、φ变化的图，得电子云的角度分布图。
10形状
电子电子云有不同的形状，分别用符s、p、d、f、g、h表示，s电子云呈球形，在半径相同的
波动方程百万点次模拟下的电子云图.gif
球面上，电子出现的机会相同，p电子云呈纺锤形(或哑铃形)，d电子云是花瓣形，f电子云更为复杂，g、h的电子云形状就极为复杂了。
11概率密度
在电子的振动图案中，对应于一种振动的能量空间的每一点上的几率密度，代表电子在该点的或然率，在
氢原子电子云
距离原子很远的地方，几率密度为零，这意味着非常不可能在那里找到电子，在非常邻近核的区域，电子出现的几率也为零，则说明电子无法到达此区域。
现已经证明电子在核外空间所处的位置及其运动速度不能同时准确地确定，也就是不能描绘出它的运动轨迹。在量子力学中采用统计的方法，即对一个电子多次的行为或许多电子的一次行为进行总的研究，可以统计出电子在核外空间某单位体积中出现机会的多少，这个机会在数学上称为概率密度。例如氢原子核外有一个电子，这个电子在核外好像是毫无规则地运动，一会儿在这里出现，一会儿在那里出现，但是对千百万个电子的运动状态统计而言，电子在核外空间的运动是有规律的，在一个球形区域里经常出现，如一团带负电荷的云雾，笼罩在原子核的周围，人们称之为电子云。这团“电子云雾”呈球形对称，如下图所示。电子云是电子在核外空间出现概率密度分布的一种形象描述。原子核位于中心，小黑点的密疏表示核外电子概率密度的大小。
②角度分布函数
从坐标原点出发，引出方向为(θ,φ)的直线,取Y值，作Y2随θ、φ变化的图，得电子云的角度分布图。
结构化学2-3
原子轨道轮廓图 把的大小轮廓和正负在直角坐标系中
表达出来，选用一个合适的等值曲面。 它可定性反映波函数在三维空间的大小、 正负、分布和节面情况。 原子轨道轮廓图是原子轨道空间分布图简化的实用图形。
原子轨道轮廓图
+
-
+
-
+
-
+
+-
+
3d轨道
原子轨道轮廓图
+
+
-
-
+-
+
+
-
-
+
+
+ -
-
+
+
-
★ 原子轨道等值线图
分也是归一的，所以径向分布函数可写为：D(r) r 2 R(r) 2
Dnl(r)的来历
波函数归一化
nlm (r, ,) 2 d R2 (r)r2dr 2( )sind () 2d 1
r0
0
0
半径为 r，厚度为 dr 的球壳中的概率 2 d 2 r2 sin d ddr 0 0
3d yz (1/36 2 ) Z / a0 3/ 2 2e / 2sin2sin
3
2
2
3dx2y2 (1/ 36 2 ) Z / a0 3/ 2 2e / 2sin2cos 2
3dxy (1/36 2 ) Z / a0 3/ 2 2e / 2sin2 sin2
2.3 波函数和电子 云的图形
nlm (r, , ) Rnl (r)Ylm( , )
径向函数 球谐函数
波函数（Ψ，原子轨道）和电子云（ |Ψ|2在空间的分布） 是三维空间坐标的函数，将它们用图形表示出来，使抽象 的数学表达式成为具体的图象，对于了解原子的结构和性 质，了解原子化合为分子的过程都具有重要的意义。
表达出来，选用一个合适的等值曲面。 它可定性反映波函数在三维空间的大小、 正负、分布和节面情况。 原子轨道轮廓图是原子轨道空间分布图简化的实用图形。
原子轨道轮廓图
+
-
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+-
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3d轨道
原子轨道轮廓图
+
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★ 原子轨道等值线图
分也是归一的，所以径向分布函数可写为：D(r) r 2 R(r) 2
Dnl(r)的来历
波函数归一化
nlm (r, ,) 2 d R2 (r)r2dr 2( )sind () 2d 1
r0
0
0
半径为 r，厚度为 dr 的球壳中的概率 2 d 2 r2 sin d ddr 0 0
3d yz (1/36 2 ) Z / a0 3/ 2 2e / 2sin2sin
3
2
2
3dx2y2 (1/ 36 2 ) Z / a0 3/ 2 2e / 2sin2cos 2
3dxy (1/36 2 ) Z / a0 3/ 2 2e / 2sin2 sin2
2.3 波函数和电子 云的图形
nlm (r, , ) Rnl (r)Ylm( , )
径向函数 球谐函数
波函数（Ψ，原子轨道）和电子云（ |Ψ|2在空间的分布） 是三维空间坐标的函数，将它们用图形表示出来，使抽象 的数学表达式成为具体的图象，对于了解原子的结构和性 质，了解原子化合为分子的过程都具有重要的意义。
电子云和原子轨道(教学课件)高二化学(人教版2019选择性必修2)
01 电子云与原子轨道
1、电子云
电子云图难绘制
电子云轮廓图
电子云轮廓图： 把电子在原子核外空间出现概率P= 90% 的空间圈出来。
01 电子云与原子轨道
1、电子云
同一原子的 s 电子的电子云轮廓图
1. 不同能层的s电子云形状一致，均为球形； 2. 能层越高，s电子的电子云半径越大。
01 电子云与原子轨道
构造原理与 电子排布式
电子排布式 的书写
电子填充: 依据构造原理 书写电子排布式：按能层序号由低到高;
电子云& 原子轨道
s电子的原子轨道呈 球 形 p电子的原子轨道呈__哑__铃___形
1、下列说法正确的是（ D ）
A．p电子云是平面“8”字形的 B．3p2表示3p能级中有两个原子轨道 C．2d能级包含5个原子轨道，最多容纳10个电子 D．处于最低能量的原子叫基态原子
课堂练习
2、基态Si原子中，电子占据的最高能层符号为_____M_______，该
能层具有的原子轨道数为___9____、电子数为____4___。
2、原子轨道
电子在原子核外的一个空间运动状态称为一个__原__子_轨__道___。 能层序数越大，原子轨道的半径越大。
1s
2s
3s
4s
s电子：只有__1__个原子轨道，呈__球__形___
01 电子云与原子轨道
2、原子轨道
p能级: 有__3__个原子轨道，
相对于x、y、z轴_对__称__，它们相互垂直。
3、第N能层所含能级数、原子轨道数和最多容纳电子数分别为
（ D）
A．3、32、2× 32
B．4、42、2× 32
C．5、42、5× 32
D．4、42、2× 42
第二章 原子结构-2
关于各种图形的说明
2. 原子轨道和电子云的等值面图
不企求用三维坐标系表示原子轨道和电子云在空间各 点的函数值, 只把函数值相同的空间各点连成曲面, 就是等 值面图(其剖面是等值线图).电子云的等值面亦称等密度面.
显然, 有无限多层等密度面, 若只画出“外部”的某一
等密度面, 就是电子云界面图. 哪一种等密度面适合于作为 界面? 通常的选择标准是: 这种等密度面形成的封闭空间(可 能有几个互不连通的空间)能将电子总概率的90%或95%包 围在内(而不是这个等密度面上的概率密度值为0.9或0.95).
(2) |Y (θ,φ)|2 ~θ,φ图, 即电子云角度分布图.
pz轨道的角度分布图
2pz 与3pz轨道界面图
2.3 波函数和电子云的图形
1. 作图对象与作图方法
原子轨道的波函数形式非常复杂, 表示成图形才便于 讨论化学问题. 原子轨道和电子云有多种图形, 为了搞清这
些图形是怎么画出来的, 相互之间是什么关系, 应当区分两
个问题: 1. 作图对象 2. 作图方法
作图对象主要包括：
作图方法主要包括：
(1) 复函数还是实函数？
氢原子3pz电子云界面图
原子轨道界面与电子云界面是同一界面, 原子轨道界
面值的绝对值等于电子云界面值的平方根, 原子轨道界面
图的不同部分可能有正负之分, 由波函数决定. 化学中很少使用复函数，下面给出氢原子实函数的轨 道界面图.
3.径向部分和角度部分的对画图
径向部分的对画图有三种:
是电子云？ (3) 完全图形还是部分图形？ 完全图形有: 波函数图ψ (r, θ,φ)
函数-变量对画图
等值面（线）图 界面图 网格图 黑点图
电子云图|ψ (r, θ,φ) |2
§1-6 波函数和电子云的图形表示-结构化学课件
l 1时， Yl ,m ,
Yl ,m , 的图形在空间有五个伸展方向。 l 2时，
§1-6
波函数和电子云的图形表示
2
2．电子云角度分布图 Y ,
（1）由于Yl ,m , 总小于1，电子云的角度分布图形与原子 轨道的角度分布图形类似，只是变得“狭窄”一些。
§1-6
波函数和电子云的图形表示
作图方法主要包括： 函数-对变量画图 等值面（线）图 界面图 网格图 黑点图
§1-6
波函数和电子云的图形表示
一、径向部分图形 1. 径向函数图 Rn,l r ① 物理意义：
它是反映在任意给定的角度方向上（即一定的θ 和φ ）， 波函数随r变化的情况。 ② 径向波函数满足归一化的条件。
（2）恒为正值。
§1-6
波函数和电子云的图形表示
三、 —r, 2—r 这两种图形一般只用来表示S态的分布，因为S态的波函数只 与r有关，而与θ ，φ 无关。ns这一特点使它分布具有球体 对称性，即离核为 r 的球面上各点波函数 的数值相同，几 率密度2的数值也相同.
§1-6
波函数和电子云的图形表示
§1-6
完全图形有：
波函数和电子云的图形表示
波函数图
电子云图 r , , 部分图形有： 径向函数图 R r 径向密度函数图 径向分布函数图
r , ,
2
R2 r
r 2 R2 r 即 D r
2
波函数角度分布图 Y ,
电子云角度分布图 Y ,
●
3 p又比3d近。 如3s比3 p的第一个峰离核近，
即所谓的轨道的钻穿效应。
●
在核附近D(r)为0，1s态D(r)极大值在r=a0处
Yl ,m , 的图形在空间有五个伸展方向。 l 2时，
§1-6
波函数和电子云的图形表示
2
2．电子云角度分布图 Y ,
（1）由于Yl ,m , 总小于1，电子云的角度分布图形与原子 轨道的角度分布图形类似，只是变得“狭窄”一些。
§1-6
波函数和电子云的图形表示
作图方法主要包括： 函数-对变量画图 等值面（线）图 界面图 网格图 黑点图
§1-6
波函数和电子云的图形表示
一、径向部分图形 1. 径向函数图 Rn,l r ① 物理意义：
它是反映在任意给定的角度方向上（即一定的θ 和φ ）， 波函数随r变化的情况。 ② 径向波函数满足归一化的条件。
（2）恒为正值。
§1-6
波函数和电子云的图形表示
三、 —r, 2—r 这两种图形一般只用来表示S态的分布，因为S态的波函数只 与r有关，而与θ ，φ 无关。ns这一特点使它分布具有球体 对称性，即离核为 r 的球面上各点波函数 的数值相同，几 率密度2的数值也相同.
§1-6
波函数和电子云的图形表示
§1-6
完全图形有：
波函数和电子云的图形表示
波函数图
电子云图 r , , 部分图形有： 径向函数图 R r 径向密度函数图 径向分布函数图
r , ,
2
R2 r
r 2 R2 r 即 D r
2
波函数角度分布图 Y ,
电子云角度分布图 Y ,
●
3 p又比3d近。 如3s比3 p的第一个峰离核近，
即所谓的轨道的钻穿效应。
●
在核附近D(r)为0，1s态D(r)极大值在r=a0处
波函数和电子云的图形表示结构化学课件
§1-6 波函数和电子云的图形表示
③ 图：1-7.6(a)
④径向节面数：n l 1
§1-6 波函数和电子云的图形表示
2.
径向密度函数图
R2 n,l
r
~
r
(1) 物理意义：在距核r处电子出现的径向几率密度。
(2) 图：1-7.6(b)
(3) 特点：n s 态的电子在核附近有相当大的几率密度，其
余各态的电子在核附近的几率密度为零。
3．径向分布函数 D r ~ r
前面R2(r)描述的是几率密度随r的分布情况，要真正了解 电子的分布情况，要关心电子分布的几率---电子在半径为r处 ，厚度为dr的球壳内电子出现的几率。
2n,l,m(r,,) 电子在(r, , )处出现的几率密度
dr2sindrdd 三维空间中的微体积元
2n,l,m(r,,)d 电子在微体积元d中出现的几率
角度分布图Yl,m ,与 n 无关，所以只要l , m 相同，图形形
状就相似。如：2px,3px,4px ，但 npx,npy,npz 图形方
重要意义。但是 , 2 是关于 r , , 的函数，作图需要四 维空间，比较困难。因此，我们把 分离为径向部分和角
度部分。
§1-6 波函数和电子云的图形表示
原子轨道和电子云有多种图形，为了搞清这些图形是怎么画 出来的，相互之间是什么关系，应当区分两个问题： 1. 作图对象
2. 作图方法 作图对象主要包括： (1) 复函数还是实函数？ (2) 波函数(即轨道)还是电子云？ (3) 完全图形还是部分图形？
例：p z 定函数： Y 1,0 1,0 02 6cos2 1 4 3 cos
p z 的 Yl,m , 是 cos 的函数（和 无关），故其轨道是关
电子云图像
♦ 包立不相容原則比較簡單的定義為，每一個原 子軌域最多只能容納兩個自轉方向相反的電子 。
♦ 填入兩個電子的軌域，淨電子自轉磁量為0，此 為自然法則。
28
一個軌域能填入三個電子？
♦ 當然不行，因為違反自然法則，理由如下： 1. 電子自轉只有順時針及反時針方向兩種，沒 有其他可能的自轉方式。 2. 電子自轉方向相反才能配對於同一軌域，配 對電子淨磁量為0。 [此現象可以兩塊長條磁鐵為例說明，兩塊長 條磁鐵需相反極才能互相吸引配對。]
电子出现最大机率半径 n = 1: 1 ao (1s) n = 2: 4 ao (2p) n = 3: 9 ao (3d) n = 4: 16 ao (4f)
氢原子的电子能量能阶化
19
氢原子轨域距离函数图
20
氫原子軌域距離機率圖
21
原子軌域殼層及軌域數目
主殼層n 1 2
3
4
…
副殼層 s s p s p d s p d f …
♦ 原子最低能量的電子組態，稱為基態電子組 態。
♦ 原子之基態電子組態需遵循遞建原則(aufbau principle) 、包立不相容原則(Pauli exclusion principle) 、及洪德定則(Hund’s rule)。
26
遞建原則(aufbau principle)
♦ 在不考慮原子核內中子數目，元素原子的建構 方式為依序在原子核內加入一個質子，同時在 核外加入一個電子形成，稱為遞建原則(aufbau principle) 。
Cr: [Ar]4s13d5 (而不是[Ar]4s23d4) Cu: [Ar]4s13d10 (而不是[Ar]4s23d9)
原因： ♦ 4s與3d軌域能量差很小，4s軌域能量僅略低 於3d軌域。 ♦ 當過渡金屬原子的3d及4s軌域電子均達到半 滿或全滿時，能量較低。
♦ 填入兩個電子的軌域，淨電子自轉磁量為0，此 為自然法則。
28
一個軌域能填入三個電子？
♦ 當然不行，因為違反自然法則，理由如下： 1. 電子自轉只有順時針及反時針方向兩種，沒 有其他可能的自轉方式。 2. 電子自轉方向相反才能配對於同一軌域，配 對電子淨磁量為0。 [此現象可以兩塊長條磁鐵為例說明，兩塊長 條磁鐵需相反極才能互相吸引配對。]
电子出现最大机率半径 n = 1: 1 ao (1s) n = 2: 4 ao (2p) n = 3: 9 ao (3d) n = 4: 16 ao (4f)
氢原子的电子能量能阶化
19
氢原子轨域距离函数图
20
氫原子軌域距離機率圖
21
原子軌域殼層及軌域數目
主殼層n 1 2
3
4
…
副殼層 s s p s p d s p d f …
♦ 原子最低能量的電子組態，稱為基態電子組 態。
♦ 原子之基態電子組態需遵循遞建原則(aufbau principle) 、包立不相容原則(Pauli exclusion principle) 、及洪德定則(Hund’s rule)。
26
遞建原則(aufbau principle)
♦ 在不考慮原子核內中子數目，元素原子的建構 方式為依序在原子核內加入一個質子，同時在 核外加入一個電子形成，稱為遞建原則(aufbau principle) 。
Cr: [Ar]4s13d5 (而不是[Ar]4s23d4) Cu: [Ar]4s13d10 (而不是[Ar]4s23d9)
原因： ♦ 4s與3d軌域能量差很小，4s軌域能量僅略低 於3d軌域。 ♦ 當過渡金屬原子的3d及4s軌域電子均達到半 滿或全滿時，能量較低。
结构化学
Zr
) 2 e Zr 0 sin cos sin
3 0
3 Zr 2 Zr ( ) e 2 0 3 Zr 2 Zr ( ) e 2 0
sin 2 cos 2 sin 2 sin 2
3 0
d yz ~ sin cos sin
3 , 2 2
⑴ Rn,l 与r的关系图
波函数的径向部分Rn,l反映了在任意给定的角度上
（即Y (θ,φ)为常数）波函数随r的变化情况。
Rn,l只与量子数n,l有关，与m无关，所以凡量子数 n,l相同的状态，其图形都是相同的。
径向函数的节点数等于n-l-1 。在节点处R (r)=0， 相应的空间为一球面，称为径节面。函数R (r)的节面 同时也是Ψ的节面。 Ψ的节面一部分是由R (r)的节面引起的，另一部 分是由Y (θ,φ)的节面引起的。
这种图形是将Y数值的大小和角度θ,φ的关系表示出 来，借助球坐标，选原子核为原点，在每一个方向(θ,φ) 上引一直线使其长度ρ等于Y的绝对值大小，所有这些直 线的端点在空间构成一曲面，这曲面就是角度分布图。 面上每一点到原点的距离代表在这个角度方向(θ,φ)上 数 值的相对大小。 Yl,|m|只与量子数 l, m 有关，与 n 无关，所以 量子数 n 相同的状态其 角度分布图都是一样的。 例如2pz, 3pz, 4pz 的角度 分布都是一样的，通称 为 pz 轨道的角度分布。
1 ( 2 p 1 2 p 1 ) i 2 Zr Zr N ( ) exp( ) sin sin a0 2a0 f (r ) r sin sin f (r ) y 2 py
2p1 2p1 2py 2px
m=0的波函数可以化为一个r的函数f(r)与直角坐标z 的乘积，因此记为2pz；m=±1的cosφ型和sinφ型实波函 数可以分别化为f(r)与x和y的乘积，记为2px和2py。
原子轨道和电子云图形
f轨道能级
f轨道有七个能级，包括fx^3、fy^3、 fz^3、fxz、fyz、fxyz和fx^2y^2z^2。
02
电子云的图形
电子云的定义
01 电子云概念
电子云是描述电子在原子核外空间分布情况的图形，反 映电子运动的概率分布。
电子云形状 02
电子云图形呈现为弥散的云雾状，形状与s、p、d等轨 பைடு நூலகம்类型相关。
电子云意义 03
电子云图形有助于理解电子在原子中的运动和分布规律， 对研究化学反应和物质性质具有重要意义。
电子云的形状
s轨道电子云
s轨道电子云呈球形对称分布， 电子云密度均匀。
p轨道电子云
p轨道电子云呈哑铃形，电子 云密度在轨道两端较高。
d轨道电子云
d轨道电子云形状较复杂，包 括花瓣形、哑铃交叉形等，电
02
原子轨道图形
原子轨道图形是描述电子 云空间分布的图像，反映 电子在核外空间出现概率 的大小。
03
原子轨道类型
原子轨道分为s轨道、p轨 道、d轨道和f轨道等类型， 每种轨道具有不同的形状 和能量。
原子轨道的形状
s轨道
s轨道的形状是球形，电子在s轨道中运动时，其出现概率 呈球形对称。
p轨道
p轨道的形状是双哑铃形，电子在p轨道中运动时，其出现 概率呈双哑铃形对称。
理解反应机理
原子轨道和电子云图形有助于 理解化学反应的机理和过程。
预测反应结果
通过原子轨道和电子云的分析， 可以预测化学反应的可能结果。
设计新反应
基于原子轨道和电子云的知识， 可以设计新的化学反应，开发
新材料和药物。
对推动科学发展的意义
促进理论发展
01
原子轨道和电子云理论的发展，推动了量子力学理论的深入和完善。
f轨道有七个能级，包括fx^3、fy^3、 fz^3、fxz、fyz、fxyz和fx^2y^2z^2。
02
电子云的图形
电子云的定义
01 电子云概念
电子云是描述电子在原子核外空间分布情况的图形，反 映电子运动的概率分布。
电子云形状 02
电子云图形呈现为弥散的云雾状，形状与s、p、d等轨 பைடு நூலகம்类型相关。
电子云意义 03
电子云图形有助于理解电子在原子中的运动和分布规律， 对研究化学反应和物质性质具有重要意义。
电子云的形状
s轨道电子云
s轨道电子云呈球形对称分布， 电子云密度均匀。
p轨道电子云
p轨道电子云呈哑铃形，电子 云密度在轨道两端较高。
d轨道电子云
d轨道电子云形状较复杂，包 括花瓣形、哑铃交叉形等，电
02
原子轨道图形
原子轨道图形是描述电子 云空间分布的图像，反映 电子在核外空间出现概率 的大小。
03
原子轨道类型
原子轨道分为s轨道、p轨 道、d轨道和f轨道等类型， 每种轨道具有不同的形状 和能量。
原子轨道的形状
s轨道
s轨道的形状是球形，电子在s轨道中运动时，其出现概率 呈球形对称。
p轨道
p轨道的形状是双哑铃形，电子在p轨道中运动时，其出现 概率呈双哑铃形对称。
理解反应机理
原子轨道和电子云图形有助于 理解化学反应的机理和过程。
预测反应结果
通过原子轨道和电子云的分析， 可以预测化学反应的可能结果。
设计新反应
基于原子轨道和电子云的知识， 可以设计新的化学反应，开发
新材料和药物。
对推动科学发展的意义
促进理论发展
01
原子轨道和电子云理论的发展，推动了量子力学理论的深入和完善。
§1-6波函数和电子云的图形表示-结构化学课件
(2) 图： 1-7.6(b) (3) 特点： n s 态的电子在核附近有相当大的几率密度，其 余各态的电子在核附近的几率密度为零。 3．径向分布函数 D r ~ r 前面R2(r)描述的是几率密度随r的分布情况，要真正了解 电子的分布情况，要关心电子分布的几率---电子在半径为r处 ，厚度为dr的球壳内电子出现的几率。
l 1 时， Yl ,m ,
Yl ,m , 的图形在空间有五个伸展方向。 l 2 时，
§1-6
波函数和电子云的图形表示
Y ,
2
2．电子云角度分布图
（1）由于Yl ,m , 总小于1，电子云的角度分布图形与原子 轨道的角度分布图形类似，只是变得“狭窄”一些。
2
：电子在空间某点的几率密度
2
电子云：电子在空间的几率密度分布
将 及
用图形表示出来，使抽象的数学表达形象直观，
2
对了解原子的结构和性质以及原子结合成分子的过程具有 重要意义。但是 , 度部分。 是关于 r , , 的函数，作图需要四 维空间，比较困难。因此，我们把 分离为径向部分和角
R n s n , 0 , 0 n , l 0 , 0 0 ① S轨道的角度分布图 与角度无关，任一方向的剖面图均为一个圆。
§1-6
波函数和电子云的图形表示
② P轨道角度分布图 作图方法: 根据Y函数的实函数形式，选定 或 为 0 、 4 、 2 等一些特殊角度作为剖面，然后在这些剖面上作Y随 或 变化的图。 步骤：定函数，定投影平面，定节面，定极值，列数据表， 然后在某投影平面上作波函数的角度分布图。 例：p z
图1-7.1(b)
§1-6
波函数的电子云图形
确定性和概率的结合
波函数将确定性和概率结合在一起，描述了微观粒子的性 质。通过波函数，我们可以了解电子等微观粒子的某些确 定性质，同时也可以计算它们出现的概率。
测量与观察
测量过程对波函数的影响
当对微观粒子进行测量时，其波函数 会瞬间坍缩，表现出粒子性。这意味 着观测结果具有不确定性，取决于观 测的方式和时间。
分子结构
分子构型确定
电子云图形可以提供分子构型的直观表示，帮助确定分子的 几何结构和空间排列，对于理解分子性质和行为至关重要。
分子模拟与计算化学
电子云图形在分子模拟和计算化学中发挥着重要作用，通过 模拟分子的电子结构和相互作用，可以预测分子的性质和行 为，为实验研究和应用提供指导。
05 电子云图形的未来发展
波函数的电子云图形
contents
目录
• 引言 • 波函数的性质 • 电子云图形的形成原理 • 电子云图形的应用 • 电子云图形的未来发展
01 引言
波函数的概念
波函数是一种数学函数，用于描述微 观粒子（如电子）在空间中的概率分 布。它提供了粒子在特定时刻的位置 、动量和自旋等状态的信息。
波函数通常用复数形式表示，其模的 平方表示粒子在该位置出现的概率。
交叉学科研究
结合其他学科领域的知识和技术， 如化学、生物学等，开展交叉学 科研究，为新，如发展新型电子 显微镜、高能粒子加速器等设备， 提高对电子云图形的观测精度和
范围。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
粒子性
描述电子的粒子行为
波函数不仅可以描述电子在空间中的分布概率，还可以描 述电子的粒子行为。当电子被观测到时，它的波函数会瞬 间坍缩，表现出粒子性。
揭示微观粒子的离散性
波函数将确定性和概率结合在一起，描述了微观粒子的性 质。通过波函数，我们可以了解电子等微观粒子的某些确 定性质，同时也可以计算它们出现的概率。
测量与观察
测量过程对波函数的影响
当对微观粒子进行测量时，其波函数 会瞬间坍缩，表现出粒子性。这意味 着观测结果具有不确定性，取决于观 测的方式和时间。
分子结构
分子构型确定
电子云图形可以提供分子构型的直观表示，帮助确定分子的 几何结构和空间排列，对于理解分子性质和行为至关重要。
分子模拟与计算化学
电子云图形在分子模拟和计算化学中发挥着重要作用，通过 模拟分子的电子结构和相互作用，可以预测分子的性质和行 为，为实验研究和应用提供指导。
05 电子云图形的未来发展
波函数的电子云图形
contents
目录
• 引言 • 波函数的性质 • 电子云图形的形成原理 • 电子云图形的应用 • 电子云图形的未来发展
01 引言
波函数的概念
波函数是一种数学函数，用于描述微 观粒子（如电子）在空间中的概率分 布。它提供了粒子在特定时刻的位置 、动量和自旋等状态的信息。
波函数通常用复数形式表示，其模的 平方表示粒子在该位置出现的概率。
交叉学科研究
结合其他学科领域的知识和技术， 如化学、生物学等，开展交叉学 科研究，为新，如发展新型电子 显微镜、高能粒子加速器等设备， 提高对电子云图形的观测精度和
范围。
THANKS FOR WATCHING
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粒子性
描述电子的粒子行为
波函数不仅可以描述电子在空间中的分布概率，还可以描 述电子的粒子行为。当电子被观测到时，它的波函数会瞬 间坍缩，表现出粒子性。
揭示微观粒子的离散性
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作法：以原子核所处的位置为坐标原点，在每一个方向（θ、φ）
引一条直线，直线的长度等于Ylm （θ、 φ ）绝对值的大小，所有 这些直线的端点在空间构成一个曲面即为角度分布图，再适当地 标出正负号。
3 例：作pn轨道的角度分布图，由查表可知Ypz cos 4
解：一般作图前可先讨论图形的特点，如节面、极值、拐点、对称性等。
径向密度函数：此图表明S轨道上的电子在原子核
处有一个相当大的几率密度，而P轨道和d轨道上的电 子则在原子核处的几率为0。
径向分布函数：对于相同的n来说， l越大径向分布
曲线最高峰离核越远，但是其次级峰恰可能出现在距 核较近区。这样就产生了各轨道间的相互渗透现象， 即：钻穿效应。
1s态：核附近D为0；r＝a0时，D极大。 表明在r＝a0附近，厚度为dr的球壳夹 层内找到电子的几率要比任何其它地 方同样厚度的球壳夹层内找到电子的 几率大。 每一n和l 确定的状态，有n－l个极大 值和n－l－1个D值为0的点。 n相同时：l越大，主峰离核越近；l 越小，峰数越多，最内层的峰离核越 近； l相同时：n越大，主峰离核越远；说 明n小的轨道靠内层，能量低；
3 节面，令 cos 0, 得 90 ,即Ypz的节面是xy平面。 4
3 极大值，令 sin , 可解得 0 ， 180 。 d 4 0 对应于z轴的正方向， 180 对应于z轴的负方向。 3 相应的极大值（绝对值）为 。 4 dYpz
作图 3 按Ypz cos，Y 是的函数与无关，可计算出不同 值的Y值。 4
2
r R dr sin d 2 d r 2 R 2 dr
2 0 0
2
D(r) r R (r )
2 2
图一
氢原子径向波函数
图二
径向密度函数图
图三
径向分布函数图
径向波函数： 径向分布节面数为n-l-1个，这和R(r)
数中不等于0的因子外，剩下的r多项式中最高的阶次 是一致的，只有S态才有非0值。
第六节
波函数和电子云的图形表示
1 2 Zr
一、氢原子基态的各种图示
Z 3 a0 e 氢原子基态波函数为 1s 3 a 0
电子云示意图
如果用小黑点的疏密来表示空间 各点的几率密度ψ21s的大小。 则黑点密度大的地方表示那里的 电子出现的几率密度大。 稀则ψ21s小。这样小黑点形象的 描绘了电子在空间的几率密度分布。 所以又叫做“电子云”。
dxy ~ sin 2 sin 2
sin 2
cos2
四、空间分布图
例如：
3Pz的 径向分布有两 个极大值一个径向节面， 而它的角度分布有一个角 节面，所以实际的电子云 图象就有两个极大值，两 个节面。
z
PZ3
例题
0.6 0.3 0 0.24 0.16 0.08 0 0.24 0.16 0.08 0 0.16 0.08 0 0.12 0.08 0.04 0 0.12 0.08 0.04 0 0
1s
2s
2p
3s
3p
3d
5 10 15 20 24
r/a0
三、角度分布图
把Y数值的大小和角度θ 、 φ的关系表示出来
界面图
取电子出现的 总几率在90% 范围为一界面， 用界面图表示。
等密度面
将电子云几率密度 分布相等的各点连 起来,就形成了空间 的曲面。
0.4 0.5 0.6 0.75 1.0
考查半径为r、厚度为dr的球壳内电子出现的几率，靠核近处，几率密度很大， 但是球面太小，电子出现的几率未必大；反之，离核远的地方球面很大，但该处 几率密度较小，因此几率也不会最大。可以想象，一定在空间某个r处会出现几 率最大的情况，我们用径向分布函数D来描述这种情况。
将2(r,,)d在和的全部区域积分，即表示离核为r， 厚度为dr的球壳内电子出现的几率。 将(r,,)＝R(r)()()和d＝r2sindrdd代入， 并令
Ddr
2
0 0
2 2
(r , , )d
2
2
0
0
[ R(r )( )( )] r 2 sin drdd
θ Y θ Y
0 1.000 120 -0.500
15 0.9660 135 -0.7070
30
45
60 0.500 180
90 0
0.8660 0.7070 150 165
-0.8660 -0.9660 -1.000
z
+
r
-
z
(1) S轨道
+
x
(2) P轨道
Pz
Px
Py
d3z2r2 ~ 3 cos2 1
D=4πr2Ψ21s
3 dD D Z 2 Zr a 0 2 4 π r e 0 令：dr dr π
它表明在半径为r 的球面上单位厚度 (dr=1)球壳内电子 出现的几率。
得到
r a0 z
时，
径向分布函数有最大值，如图: 可见 对于氢原子1s态来说，在玻尔半径 （r= a0）球面上发现电子的几率最大。 而该态的界面半径：
D
r ψ dτ 0.9
τ 2 1S
a0/z 得r≈2.6a0
r
二、径向分布图
径向波函数R(n,l),是反应在任意给定角度方向上,波函 数ψ 随r变化的情况。它取决于主量子数和角量子 数的大小且满足 归一化条件。
0
| Rn ,l (r ) |2 r 2 dr 1
径向密度函数R(n,l)2,是反应在任意给定角度方向上, 电子云密度随r变化的情况。 径向分布函数D(r),,是指在半径r处单位厚度球壳层内 找到电子的几率。
3 cos 2 1
d zx ~ sin cos cos
0,
sin cos
氢原子d-轨道( l = 2 )角度分布
d yz ~ sin cos sin
3 , 2 sin 2 cos 2
2
引一条直线，直线的长度等于Ylm （θ、 φ ）绝对值的大小，所有 这些直线的端点在空间构成一个曲面即为角度分布图，再适当地 标出正负号。
3 例：作pn轨道的角度分布图，由查表可知Ypz cos 4
解：一般作图前可先讨论图形的特点，如节面、极值、拐点、对称性等。
径向密度函数：此图表明S轨道上的电子在原子核
处有一个相当大的几率密度，而P轨道和d轨道上的电 子则在原子核处的几率为0。
径向分布函数：对于相同的n来说， l越大径向分布
曲线最高峰离核越远，但是其次级峰恰可能出现在距 核较近区。这样就产生了各轨道间的相互渗透现象， 即：钻穿效应。
1s态：核附近D为0；r＝a0时，D极大。 表明在r＝a0附近，厚度为dr的球壳夹 层内找到电子的几率要比任何其它地 方同样厚度的球壳夹层内找到电子的 几率大。 每一n和l 确定的状态，有n－l个极大 值和n－l－1个D值为0的点。 n相同时：l越大，主峰离核越近；l 越小，峰数越多，最内层的峰离核越 近； l相同时：n越大，主峰离核越远；说 明n小的轨道靠内层，能量低；
3 节面，令 cos 0, 得 90 ,即Ypz的节面是xy平面。 4
3 极大值，令 sin , 可解得 0 ， 180 。 d 4 0 对应于z轴的正方向， 180 对应于z轴的负方向。 3 相应的极大值（绝对值）为 。 4 dYpz
作图 3 按Ypz cos，Y 是的函数与无关，可计算出不同 值的Y值。 4
2
r R dr sin d 2 d r 2 R 2 dr
2 0 0
2
D(r) r R (r )
2 2
图一
氢原子径向波函数
图二
径向密度函数图
图三
径向分布函数图
径向波函数： 径向分布节面数为n-l-1个，这和R(r)
数中不等于0的因子外，剩下的r多项式中最高的阶次 是一致的，只有S态才有非0值。
第六节
波函数和电子云的图形表示
1 2 Zr
一、氢原子基态的各种图示
Z 3 a0 e 氢原子基态波函数为 1s 3 a 0
电子云示意图
如果用小黑点的疏密来表示空间 各点的几率密度ψ21s的大小。 则黑点密度大的地方表示那里的 电子出现的几率密度大。 稀则ψ21s小。这样小黑点形象的 描绘了电子在空间的几率密度分布。 所以又叫做“电子云”。
dxy ~ sin 2 sin 2
sin 2
cos2
四、空间分布图
例如：
3Pz的 径向分布有两 个极大值一个径向节面， 而它的角度分布有一个角 节面，所以实际的电子云 图象就有两个极大值，两 个节面。
z
PZ3
例题
0.6 0.3 0 0.24 0.16 0.08 0 0.24 0.16 0.08 0 0.16 0.08 0 0.12 0.08 0.04 0 0.12 0.08 0.04 0 0
1s
2s
2p
3s
3p
3d
5 10 15 20 24
r/a0
三、角度分布图
把Y数值的大小和角度θ 、 φ的关系表示出来
界面图
取电子出现的 总几率在90% 范围为一界面， 用界面图表示。
等密度面
将电子云几率密度 分布相等的各点连 起来,就形成了空间 的曲面。
0.4 0.5 0.6 0.75 1.0
考查半径为r、厚度为dr的球壳内电子出现的几率，靠核近处，几率密度很大， 但是球面太小，电子出现的几率未必大；反之，离核远的地方球面很大，但该处 几率密度较小，因此几率也不会最大。可以想象，一定在空间某个r处会出现几 率最大的情况，我们用径向分布函数D来描述这种情况。
将2(r,,)d在和的全部区域积分，即表示离核为r， 厚度为dr的球壳内电子出现的几率。 将(r,,)＝R(r)()()和d＝r2sindrdd代入， 并令
Ddr
2
0 0
2 2
(r , , )d
2
2
0
0
[ R(r )( )( )] r 2 sin drdd
θ Y θ Y
0 1.000 120 -0.500
15 0.9660 135 -0.7070
30
45
60 0.500 180
90 0
0.8660 0.7070 150 165
-0.8660 -0.9660 -1.000
z
+
r
-
z
(1) S轨道
+
x
(2) P轨道
Pz
Px
Py
d3z2r2 ~ 3 cos2 1
D=4πr2Ψ21s
3 dD D Z 2 Zr a 0 2 4 π r e 0 令：dr dr π
它表明在半径为r 的球面上单位厚度 (dr=1)球壳内电子 出现的几率。
得到
r a0 z
时，
径向分布函数有最大值，如图: 可见 对于氢原子1s态来说，在玻尔半径 （r= a0）球面上发现电子的几率最大。 而该态的界面半径：
D
r ψ dτ 0.9
τ 2 1S
a0/z 得r≈2.6a0
r
二、径向分布图
径向波函数R(n,l),是反应在任意给定角度方向上,波函 数ψ 随r变化的情况。它取决于主量子数和角量子 数的大小且满足 归一化条件。
0
| Rn ,l (r ) |2 r 2 dr 1
径向密度函数R(n,l)2,是反应在任意给定角度方向上, 电子云密度随r变化的情况。 径向分布函数D(r),,是指在半径r处单位厚度球壳层内 找到电子的几率。
3 cos 2 1
d zx ~ sin cos cos
0,
sin cos
氢原子d-轨道( l = 2 )角度分布
d yz ~ sin cos sin
3 , 2 sin 2 cos 2
2