基本初等函数图像及性质大全

2a
递增
b, 2a
递减
b
0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 x
,顶
2a
点坐标是 (
b 4ac b2
,
)
2a 4a
②当 a 0 时，抛物线开口向上，函数在
(
,
b ] 上递减，在 [
b ,
) 上递增，当
2a
2a
x
b
时，
2a
fmin (x)
2
4ac b ；当 a 4a
0 时，抛物线开口向下，函数在
(
, b ] 上递 2a
在第一象限内， a越大图象越高；在第二象限内， a 越大图象越低．
3
四、对数函数 （1）对数的定义
①若 ax N (a
0,且a
做底数， N 叫做真数．
②负数和零没有对数．
1) ，则 x 叫做以 a为底 N 的对数，记作 x
log a N ，其中 a 叫
③对数式与指数式的互化： x log a N a x N (a 0, a 1, N 0) ．
图像
定域义
值域
单调性 奇偶性 周期性 对称性
1,1
, 22
在[ 1, 1]上递增
奇函数 无
对称中心 (0,0)
2. 反正切与反余切函数的图像与性质
函数
反正切函数 y arctan x
图像
是 y tan x， x ( , ) 的反函数
22
1,1
0,
在[ 1, 1]上递减
非奇非偶 无
对称中心 (0, ) 2
2
2k ]上递减 kZ
奇函数
是周期函数， 2 为最小正周期
对称中心 (k ,0) ，
对称轴 : x
k ,( k Z )
2
2. 正切与余切函数的图像与性质
函数
y tan x
图像
x 2k 时, y最大 1， k Z
x
2k 时, y最小 1， k Z
在每个 [ 2k ,2 k ]上递增 在每个 [2 k , 2k ] 上递减
x f 1( y) ，习惯上改写成 y f 1( x) ．
（2）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；
②从原函数式 y f ( x) 中反解出 x f 1 ( y) ；
③将 x f 1( y) 改写成 y f 1( x) ，并注明反函数的定义域．
（3）反函数的性质
①原函数 y f ( x) 与反函数 y
反余切函数 y arccot x 是 y cot x， x 0, 的反函数
定域义 值域 单调性
奇偶性 周期性 对称性
( ,, )
, 22
在( , , )上递增
奇函数 无 对称中心（ 0， 0）
( ,, )
0,
在( , , )上递减
非奇非偶 无 对称中心（ 0， π /2）
7
（2）几个重要的对数恒等式
Fra Baidu bibliotek
log a 1 0， loga a 1 ， log a ab b ．
（3）常用对数与自然对数
常用对数： lg N ，即 log10 N ；自然对数： ln N ，即 log e N （其中 e 2.71828 …）．
（4）对数的运算性质
如果 a 0, a 1,M 0, N 0，那么
六、三角函数的图像和性质 （一）正弦与余函数的图像与性质 函数
y sin x
图像
y cos x
定域义 值域
R
1,1
R
1,1
5
最值
单调性
奇偶性 周期性 对称性
x 2 2k 时 , y最大 1， k Z
x
2 2k 时 , y最小
1，k Z
在每个 [
2k , 2k ] 上递增
2
2
在每个 [
2k , 3
2
{ x | x R且 x
k , k Z}
R
在每个 (k ,
k )上递减 kZ
奇函数 是周期函数， 为最小正周期
k 对称中心 ( ,0)
2
6
七、反三角函数的图像与性质 1. 反正弦与反余函数的图像与性质
函数
反正弦函数 y arcsin x
y sin x， x
是
,
2 2 的反函数
反余弦函数 y arccos x 是 y cos x， x 0, 的反函数
f 1( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1( x) 的值域、定义域．
③若 P (a, b) 在原函数 y f (x) 的图象上，则 P' (b,a) 在反函数 y f 1( x) 的图象上．
④一般地，函数 y f (x) 要有反函数则它必须为单调函数．
kZ
偶函数 是周期函数， 2 为最小正周期
对称中心 ( k ,0) ， 2
对称轴 : x k ,( k Z )
y cot x
定域义
值域 单调性
奇偶性 周期性 对称性
{ x | x R且 x
k , k Z}
2
R
在每个 (
k , k )上递增
2
2
奇函数
kZ
是周期函数， 为最小正周期
对称中心 ( k ,0) 2
（3）二次函数图象的性质
f x ax2 bx c a 0
a0
a0
图像
定义域 对称轴 顶点坐标
值域
b x
2a
b x
2a
4 ac b 2 ,
4a
,
x
b
2a
b 4 ac b 2 ,
2a
4a
4ac b 2 ,
4a
1
单调区间
①. 二次函数 f (x) ax2
bx c(a
, b 递减
2a
, b 递增 2a
b ,
（5）对数函数 函数 名称
对数函数
定义
函数 y loga x(a 0 且 a 1) 叫做对数函数
a1
x1
y
y loga x
0 a1
x1
y
y loga x
图象
(1,0)
O
(1,0)
x
O
x
定义域 值域
过定点 奇偶性 单调性
(0, )
R
图象过定点 (1,0) ，即当 x 1时， y 0 ．
在定义域上是增函数
非奇非偶
在定义域上是减函数
4
函数值的 变化情况
a 变化对 图象的影响
log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1) log a x 0 (0 x 1)
log a x 0 (x 1) log a x 0 ( x 1) log a x 0 (0 x 1)
在第一象限内， a 越大图象越靠低；在第四象限内， a 越大图象越靠高．
五、反函数 （1）反函数的概念
设函数 y f (x) 的定义域为 A ，值域为 C ，从式子 y
f (x) 中解出 x ，得式子 x
( y) ．如
果对于 y 在 C 中的任何一个值， 通过式子 x ( y) ，x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应，
那么式子 x ( y) 表示 x 是 y 的函数，函数 x ( y) 叫做函数 y f ( x) 的反函数，记作
一、一次函数与二次函数
（一）一次函数
一次 函数
k，b 符号
b0
k0 b0
k kx b k 0
b0
b0
图象
y
y
y
y
O
xO
x
O
x
O
x
k0 b0 y
b0 y
O
xO
x
性质
y 随 x 的增大而增大
（二）二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式： f ( x) ax2 bx c(a 0)
②顶点式： f ( x) a(x h)2 k(a 0)
过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况
a 变化对图象的影响
y1
(0,1)
y1
(0,1)
O
x
O
x
R
(0, )
图象过定点 (0,1) ，即当 x 0 时， y 1．
在 R 上是增函数
ax 1 ( x 0) ax 1 ( x 0) ax 1 ( x 0)
非奇非偶
在 R 上是减函数
a x 1 (x 0) a x 1 ( x 0) a x 1 ( x 0)
增，在 [ b , ) 上递减，当 x 2a
b 时， f max ( x)
2a
4ac b2
．
4a
二、幂函数 （1）幂函数的定义
一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量，
（2）幂函数的图象
是常数．
过定点：所有的幂函数在 (0, ) 都有定义，并且图象都通过点 (1,1)．
2
三、指数函数
（1）根式的概念： 如果 xn a, a R, x R, n 1 ，且 n N ，那么 x叫做 a 的 n 次方根．
（2）分数指数幂的概念
m
①正数的 正分数指数幂 的意义是： a n
指数幂等于 0．
n am (a
0,m,n
N , 且 n 1) ． 0 的正分数
m
②正数的 负分数指数幂 的意义是： a n
(
1
)
m n
a
n ( 1 )m (a 0, m, n N , 且 n 1) ．0 a
的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质
① ar as ar s( a 0, r , s R)
② ( ar )s ars (a 0,r , s R)
③ (ab)r ar br (a 0, b 0, r R)
（4）指数函数 函数名称
指数函数
定义
函数 y a x (a 0 且 a 1) 叫做指数函数
a1
0 a1
y y ax
y ax
y
图象
定义域 值域
y 随 x 的增大而减小
③两根式： f ( x) a( x x1)( x x2 )( a 0)
（2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求
f ( x) 更方便．
①加法： loga M loga N loga ( MN )
②减法： log a M
③数乘： n log a M log a M n (n R) ④ a loga N N
log a N
M log a
N
⑤ log ab M n
n b
log
a
M
(b
0, n
R)
⑥换底公式： log a N logb N (b 0, 且 b 1) logb a