2009年全国高中数学联赛一、二试及详细答案和评分标准(A卷)

2009年全国高中数学联合竞赛一试

试题参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）

1． 若函数(

)f x ()()()n n

f x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()

()991f = ． 【答案】 1

10

【解析】 ()()(

)1f x f x ==

， (

)

()(

)2f x f f x ==⎡⎤⎣⎦

……

(

)

(

)99f x =

故()()991

110f =．

2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，

在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．

【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，

得d 解得36a ≤≤．

3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪

⎨⎪-⎩

≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1

t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．

【答案】 212

t t -++

【解析】 由题意知 ()f t S =阴影部分面积

A O

B O

C

D B

S S S ∆∆∆=-- ()22111122

t t =---

2

12

t t =-++

4． 使不等式1111

200712213

a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．

【答案】 2009

【解析】 设()1111221f n n n n =+++

+++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1

120073

f a <-，可得2009a =．

5． 椭圆22

221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．

【答案】 22222a b

a b

+

【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，，

ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛

⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭，．

由P ，Q 在椭圆上，有 222

221

cos sin a b OP θθ

=+ ① 222

221

sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得

22

221111

a b OP OQ

+=+．

于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22

222a b a b

+．

6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20

10

1kx x kx x ⎧>⎪⎪

+>⎨⎪=+⎪⎩

当且仅当

0kx > ① 10x +>

② ()2210x k x +-+=

③

对③由求根公式得

1x

，21

22x k ⎡=-⎣ ④

2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．

(ⅰ)当0k <时，由③得 1212

20

10x x k x x +=-<⎧⎨

=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根． 又由④知12

1010x x +>⎧⎨+<⎩

所以原方程有一个解1x ．

(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112

k

x =

-=． (ⅲ)当4k >时，由③得121220

10x x k x x +=->⎧⎨=>⎩

所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．

7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行

仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）

【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：

(ⅰ)该数表共有100行；

(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为

11d =，22d =，232d =，…，98992d =

(ⅲ)100a 为所求．

设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()

22111222n n n n n n a a a a -----=++=+

32

22222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦

2422

3222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦

323232n n a --=+⨯

……

()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+

故981001012a =⨯．

8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站

一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）

【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为

候车时间的数学期望为

11111

10305070902723361218

⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=

二、解答题

1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆22

11612

x y +=交于不同两点A ，

B ，与双曲线22

1412

x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，

指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】 由2211612

y kx m x y =+⎧⎪

⎨+=⎪

⎩消去y 化简整理得

()2

2

23484480k x

kmx m +++-=

设()11A x y ，，()22B x y ，，则122

834km

x x k +=-

+

()()()2

22184344480km k m ∆=-+-> ① ………………………………………………4分