概率论第七章 习题解答
第七章 假设检验
I 教学基本要求
1、了解假设检验的相关概念及基本思想，掌握假设检验的基本步骤，知道犯两类错误的概率的含义；
2、掌握单正态总体均值和方差的假设检验；
3、掌握两个正态总体均值差与方差比的假设检验；
4、了解分布的假设检验.
II 习题解答
A 组
1、某企业生产铜丝，而折断力的大小是铜丝的主要质量指标.从过去的资料来看，可认为折断力2(570,8)X N ~(单位：千克力)，现更换了一批原材料，测得10个样品的折断力如下：
578 572 570 568 572 570 570 572 596 584 从性能上看，折断力的方差不会有什么变化，试问折断力的大小与原先有无差异
(0.05)α=？
解：若折断力的大小与原先无差异，则总体均值μ应为570，因此，提出假设如下：
0H ：570μ= vs 1H ：570μ≠
由0.05α=，查附表得临界值0.975 1.96u =，根据样本观测值求得
575.2x =
于是，检验统计量U 的值
2.055U =
=
由于0.975||U u ≥，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为折断力与原先有差异.
2、某工厂生产的电子元件平均使用寿命2
(,)X N μσ~，现抽测15个元件，得到
18000x =、5200s =(单位：小时)，试问该工厂生产的电子元件的平均使用寿命是否为
20000(0.05)α=？
解：若该工厂生产的电子元件的平均使用寿命为20000，则总体均值μ应为20000，因此，提出假设如下：
0H ：20000μ= vs 1H ：20000μ≠
由0.05α=，查附表得临界值0.975(14) 2.145t =，由已知数据求得检验统计量T 的值
0.149
T =
=-
由于0.975||(14)T t <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为该工厂生产的电子元件的平均使用寿命是20000小时.
3、用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度，重复测量6次，测得温度(C )为：
111.0
112.4
110.2
111.0
113.5
111.9
假定测量的温度服从正态分布，且井底温度的真实值为111.6C ，试问用热敏电阻测温仪间接测温是否准确(0.05)α=？
解：若用热敏电阻测温仪间接测温是准确的，则总体均值μ应为111.6，因此，提出假设如下：
0H ：111.6μ= vs 1H ：111.6μ≠
由0.05α=，查附表得临界值0.975(5) 2.571t =，根据样本观测值求得
111.67x =、2 1.399s =
于是，检验统计量T 的值
0.145
T =
=
由于0.975||(5)T t <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为用热敏电阻测温仪间接测温是准确的.
4、设考生在某次考试中的成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，得到平均成绩为66.5分、标准差为15分，问是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分(0.05)α=？
解：若这次考试全体考生的平均成绩为70分，则总体均值μ应为70，因此，提出假设如下：
0H ：70μ= vs 1H ：70μ≠
由0.05α=，查附表得临界值0.975(35) 2.0301t =，由已知数据求得检验统计量T 的值
1.4
T =
=-
由于0.975||(35)T t <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为这次考
试全体考生的平均成绩为70分.
5、某化肥厂用自动包装机包装化肥，每包质量服从正态分布2(50,)N σ，某日开工后，随机抽取8包化肥，测得质量(单位：kg )如下：
49.2
49.8
50.3
50.8
49.7
49.6
50.5
50.1
问该天包装的化肥质量的方差是否为1.3(0.05)α=？
解：若该天包装的化肥质量的方差是1.3，则2
1.3σ=，因此，提出假设如下：
0H ：2 1.3σ= vs 1H ：2 1.3σ≠
由0.05α=，查附表得临界值20.025(8) 2.1797χ=、2
0.975(8)17.5345χ=，根据样本观
测值求得
2
1
()
2.192n
i
i x μ=-=∑
于是，检验统计量2χ的值
2 2.192
1.6861.3
χ=
= 由于22
0.025(8)χχ≤，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为该天包
装的化肥质量的方差不是1.3.
6、设某化纤厂生产的维尼纶的纤度在正常情况下服从方差为2
0.05的正态分布，现随机抽取6根，测得其纤度为
1.33 1.35
1.54
1.45
1.37
1.53
问维尼纶纤度的方差是否正常(0.10)α=？
解：若维尼纶纤度的方差正常，则2
2
0.05σ=，因此，提出假设如下：
0H ：220.05σ= vs 1H ：220.05σ≠
由0.10α=，查附表得临界值20.05(5) 1.146χ=、2
0.95(5)11.07χ=，根据样本观测值求
得
1.43x =、20.0085s =
于是，检验统计量2
χ的值
22
(61)0.0085
1.70.05
χ-?=
=
由于222
0.050.95(5)(5)χχχ<<，所以，在显著性水平0.10α=下接受原假设0H ，即认
为维尼纶纤度的方差是正常的.
7、生产某种产品可用两种操作方法.用第一种操作方法生产的产品抗折强度
21(,7)X N μ~；用第二种操作方法生产的产品抗折强度22(,9)Y N μ~(单位：千克)，现
从第一种操作方法生产的产品中随机抽取13件，得到42x =，从第二种操作方法生产的产品中随机抽取17件，测得36y =，问这两种操作方法生产的产品的平均抗折强度是否有显著差异(0.05)α=？
解：若这两种操作方法生产的产品的平均抗折强度无显著差异，则12μμ=，因此，提出假设如下：
0H ：12μμ= vs 1H ：12μμ≠
由0.05α=，查附表得临界值0.975 1.96u =，由已知数据求得检验统计量U 的值
2.054U =
=
由于0.975||U u ≥，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为这两种操作方法生产的产品的平均抗折强度有显著差异.
8、某种物品在处理前与处理后分别抽样分析其含脂率，测得数据如下：
假设处理前后的含脂率都服从正态分布，且方差不变，问该物品处理前后含脂率的均值是否有显著差异(0.01)α=？
解：若该物品处理前后含脂率的均值无显著差异，则12μμ=，因此，提出假设如下：
0H ：12μμ= vs 1H ：12μμ≠
由0.01α=，查附表得临界值0.995(13) 3.012t =，根据样本观测值求得
0.23x =、0.18y =、2
0.0094x s =、20.0045y
s =、0.0822w s = 于是，检验统计量T 的值
2.273
T==
由于
0.995
||(13)
T t<，所以，在显著性水平0.01
α=下接受原假设
H，即认为该物品处理前后含脂率的均值无显著差异.
9、有甲、乙两台机床加工同样的产品，现从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径(单位：
)为：
问甲乙两台机床加工的精度是否有显著差异(0.05)
α=？
解：若甲乙两台机床加工的精度无显著差异，则它们的方差相同，因此，提出假设如下：0
H：22
12
σσ
=vs
1
H：22
12
σσ
≠
由0.05
α=，查附表得临界值
0.025
0.975
11
(7,6)0.1953
(6,7) 5.12
F
F
===、
0.975
(7,6) 5.70
F=，根据样本观测值求得
19
x=、19
y=、20.1029
x
s=、20.3967
y
s=
于是，检验统计量F的值
0.1029
0.2594
0.3967
F==
由于
0.0250.975
(7,6)(7,6)
F F F
<<，所以，在显著性水平0.05
α=下接受原假设
H，即认为甲乙两台机床加工的精度无显著差异.
10、某车床生产滚珠，现随机抽取了50个产品，测得它们的直径(单位：mm)为：
15.0 15.8 15.2 15.1 15.9 14.7 14.8 15.5 15.6 15.3
15.1 15.3 15.0 15.6 15.7 14.8 14.5 14.2 14.9 14.9
15.2 15.0 15.3 15.6 15.1 14.9 14.2 14.6 15.8 15.2
15.9 15.2 15.0 14.9 14.8 14.5 15.1 15.5 15.5 15.1
15.1 15.0 15.3 14.7 14.5 15.5 15.0 14.7 14.6 14.2
问滚珠直径是否服从正态分布(0.05)
α=？
解：若滚珠直径服从正态分布，则2
(,)
X Nμσ
~，因此，提出假设如下：0
H：2
(,)
X Nμσ
~
由于μ、2
σ未知，因而用它们的最大似然估计值?15.1
x
μ==、222
?0.4325
s
σ==代替得到分布2
(15.1,0.4325)
N，为了求统计量2χ的值，取
14.05
a=、16.15
k
a=，将
0[,]k a a 等分为7个小区间，列表计算得：
于是，检验统计量2χ的值
2
2
1
() 3.062k
i i i i n np np χ=-==∑
再由0.05α=，查附表得临界值20.95(4)9.488χ=，由于22
0.95(4)χχ<，所以，在显著
性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为滚珠直径服从正态分布.
B 组
1、随机地从一批直径服从正态分布的滚珠中抽取7个，测得其直径(单位：mm )为： 13.70 14.21 13.90 13.91 14.32 14.32 14.10
假设滚珠直径总体分布的方差为0.05，问这批滚珠的平均直径是否小于等于14.25(0.05)α=？
解：若这批滚珠的平均直径是小于等于14.25，则14.25μ≤，因此，提出假设如下：
0H ：14.25μ≤ vs 1H ：14.25μ>
由0.05α=，查附表得临界值0.95 1.65u =，根据样本观测值求得
14.07x =
于是，检验统计量U 的值
2.118U =
=-
由于0.95U u <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为这批滚珠的平均直径小于等于14.25.
2、设1x 、2x 、…、n x 是取自正态总体2
(,)N μσ的样本，记1
1n
i i x x n ==∑、
2
21
()n
i i Q x x ==-∑，试在此记号下求检验假设0H ：0μ=的检验统计量？
解：该问题是单正态总体方差未知时关于期望μ的假设检验问题，检验统计量应选为
x T =
由于2
22
111()11n i
i s x x Q n n ==-=--∑
，即s =，从而检验统计量为
x T =
=
3、某种导线要求其电阻的标准差不超过0.004欧姆，现从生产的一批导线中随机抽取8根，得到2
2
0.006s =，若该导线的电阻服从正态分布，问能否认为这批导线的标准差偏小(0.05)α=？
解：若这批导线的标准差偏小，则2
2
0.004σ≤，因此，提出假设如下：
0H ：220.004σ≤ vs 1H ：220.004σ>
由0.05α=，查附表得临界值2
0.95(7)14.067χ=，由已知数据求得检验统计量2χ的值
22
2
(81)0.00615.750.004
χ-?== 由于22
0.95(7)χχ≥，所以，在显著性水平0.05α=下拒绝原假设0H ，即认为这批导线
的标准差偏大.
4、下面是某两种型号的电器充电后所能使用的时间(单位：小时)的观测值 型号A 5.5 5.6 6.3 4.6 5.3 5.0 6.2 5.8 5.1 5.2 5.9 型号B 3.8 4.3 4.2 4.0 4.9 4.5 5.2 4.8 4.5 3.9 3.7 4.6
设两样本独立且抽样的两个正态总体方差相等，试问能否认为型号A 比型号B 平均使用的时间更短(0.01)α=？
解：若型号A 比型号B 平均使用的时间更短，则12μμ≤，因此，提出假设如下：
0H ：12μμ≤ vs 1H ：12μμ>
由0.01α=，查附表得临界值0.99(21) 2.5176t =，根据样本观测值求得
5.5x =、 4.3667y =、2
0.274x s =、20.2188y
s =、0.4951w s =
于是，检验统计量T的值
5.4837
T==
由于
0.99
(21)
T t≥，所以，在显著性水平0.01
α=下拒绝原假设
H，即认为型号A比型号B平均使用的时间更长.
5、某药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后到开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出检验假设
H：
12
2
μμ
=vs
1
H：
12
2
μμ
>
其中
1
μ、
2
μ分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后到开始起作用的时间间隔的总体均
值，若这两个总体均服从正态分布，且方差2
1
σ、2
2
σ已知，现分别从两个总体中抽取两个独
立样本
1
x、
2
x、…、
m
x和
1
y、
2
y、…、
n
y，试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域？
解：设X为服用原有止痛片后到开始起作用的时间间隔，Y为服用新止痛片后到开始
起作用的时间间隔，则2
11
(,)
X Nμσ
~、2
22
(,)
Y Nμσ
~，于是
22
12
12
4
2(2,)
x y N
m n
σσ
μμ
-~-+
()
~(0,1)
x y
U N
?=
当
H成立，有
~(0,1)
x y
U N
=
所以，可选取检验统计量
x y
U=
对于给定的显著性水平α，检验的拒绝域为1
{|}
W U U u
α
-
=≥.
6、有两箱来自不同厂家的功能相同的金属部件，从第一箱中抽取60个，从第二箱中抽
取40个，得到部件重量()
mg的样本方差分别为215.46
x
s=、29.66
y
s=.若两样本相互独
立且服从正态分布，试问第一箱重量的总体方差是否比第二箱重量的总体方差小
(0.05)α=？
解：若第一箱重量的总体方差比第二箱重量的总体方差小，则22
12σσ≤，因此，提出假
设如下：
0H ：2212
σσ≤ vs 1H ：22
12σσ> 由0.05α=，查附表得临界值0.95(59,39) 1.64F =，根据已知数据求得检验统计量F 的值
15.46
1.609.66
F =
= 由于0.95(59,39)F F <，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为第一箱重量的总体方差比第二箱重量的总体方差小.
7
A B 设两批电子器件的电阻分别服从211(,)N μσ、2
22(,)N μσ，试问能否认为两个总体服从相同
的正态分布(0.05)α=？
解：(1) 先检验两个总体方差相同.
若两个总体方差相同，则22
12σσ=，因此，提出假设如下： 0H ：2212
σσ= vs 1H ：22
12σσ≠ 由0.05α=，查附表得临界值0.0250.97511
(5,5)0.140(5,5)7.15
F F =
==、
0.975(5,5)7.15F =，根据样本观测值求得
0.141x =、0.139y =、2
0.0000078x s =、20.0000071y
s = 于是，检验统计量F 的值
0.0000078
1.10.0000071
F =
=
由于0.0250.975(5,5)(5,5)F F F <<，所以，在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为两个总体方差相同；
(2) 在(1)的基础上检验两个总体均值相同.
若两个总体均值相同，则12μμ=，因此，提出假设如下：
0H ：12μμ= vs 1H ：12μμ≠
由0.05α=，查附表得临界值0.975(10) 2.2281t =，根据样本观测值求得
20.0000074w s =
于是，检验统计量T 的值
1.267T =
=
由于0.975||(10)T t <，因而在显著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为两个总体均值相同；
所以，可认为两个总体服从相同的正态分布.
8、在一批灯泡中抽取300只进行寿命测试，试验结果如下：
试检验假设：0H ：灯泡寿命服从指数分布0.0050.0050()00
t
e t
f t t -?>=?
≤?
(0.05)α=？
解：根据题意提出假设
0H ：(0.005)X E ~
为了求统计量2χ的值，将(0,)+∞分为4个小区间(0,100]、(100,200]、(200,300]、
(300,)+∞，列表计算得：
于是，检验统计量2
χ的值
2
2
1() 1.8393k
i i i i
n np np χ=-==∑
再由0.05α=，查附表得临界值20.95(3)7.8147χ=，由于22
0.95(3)χχ<，所以，在显
著性水平0.05α=下接受原假设0H ，即认为该批灯泡寿命服从参数为0.005的指数分布.
概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章
第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）???>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==-Λ为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θn n n i i x x x c θ x f θL Λ 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL
概率论与数理统计习题及答案第七章
习题7-1 1.选择题 (1)设总体X 的均值口与方差 /都存在但未知，而X 1,X 2,L ,X n 为来 自X 的样本，则均值 口与方差 (T 2的矩估计量分别是 (). (A) X 和 (B) 1 n X 和—(X n i 1 i )2 . (C) 口和 2 (T ? 1 (D) X 和一 n n (X i i 1 x)2. 解 选 (D). (2) 设X : U[0, ],其中 e >0为未知参数，又X ,,X 2,L ,X n 为来自总体 X 的样本 ,则e 的矩估计量是( ). (A) X . (B) 2X . (C) max{X i }. (D) m i^ X i } . 解选(B). 2.设总体X 的分布律为 其中0v B v 为未知参数,X1, X 2,…,X.为来自总体X 的样本，试求e 的矩 估计量. 解 因为 E (X )=(- 2)x3 e +1x(1 -4 e )+5x e =1-5 e ,令 1 5 X 得到 的矩估计量为 3.设总体X 的概率密度为
f(x ；) (1)x ,0 x 1, 0, 其它? 其中 0> -1是未知参数，X,冷… ,X n 是来自 X 的容量为n 的简单随机样本 求 ： (1) 的矩估计量； ⑵ 0的极大似然估计量? 解 总体X 的数学期望为 - 1 9 2X 1 令E(X) X ,即一1 X,得参数B 的矩估计量为？ ? 2 1 X 设X 1, X 2,…,x n 是相应于样本X 1, X 2,…,X n 的一组观测值，则似然函 数为 n (1)n X i , 0 x i 1, i 1 0, 其它. In x i 1 In X i i 1 4.设总体X 服从参数为 的指数分布，即X 的概率密度为 E(X) 1 xf(x)dx o ( 1)x dx 当 0
第一章概率论习题解答附件
教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics ) Exercise 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用1A 、2A 、 3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标” ，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 1A 32A A 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A . Exercise 1.2 设事件B A ,的概率分别为 21,31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥； （２）；B A ? （３）81)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -. （1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)= 21 （2） 因为；B A ?所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -= 6 13121=-
概率论与数理统计(经管类)第七章课后习题答案word
习题7.1 1.设总体X服从指数分布 试求的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取18个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时): 16, 19, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280, 340, 410, 450, 520, 620, 190, 210, 800, 1100. 求的估计值. 解: 似然函数为 令 得 2.设总体X的概率密度为 其他 试求(1)的矩估计的极大似然估计 解: (1) 的矩估计 (2) 似然函数为
令 解得 3.设总体X服从参数为的泊松分布试求的矩估计和极大似然估计(可参考例7-8) 解:由服从参数为的泊松分布 由矩法,应有 似然函数为 解得的极大似然估计为 习题7.2 1.证明样本均值是总体均值的相合估计 证: 由定理知是的相合估计 2.证明样本的k阶矩是总体阶矩的相合估计量 证: 是的相合估计 3.设总体为其样品试证下述三个估计量 (1) (2)
(3) 都是的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证: 都是的无偏估计 故的方差最小. 4.设总体其中是未知参数又为取自该总体的样品为样品均值 (1)证明是参数的无偏估计和相合估计 (2)求的极大似然估计 (1)证: 是参数的无偏估计 又 是参数的相合估计 (2)故其分布密度为 其他 似然函数 其他 因对所有有
习题7.3 1.土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度.现从中 抽取容量为6的样本测得样本观测值并算的求的置信度的置信区间 解: 置信度为的置信区间是 2.设轮胎的寿命X服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取12只轮胎试用,测得它们的 寿命(单位:万千米)如下: 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.7 试求平均寿命的的置信区间(例7-21,未知时的置信区间) 解:查分布表知 平均寿命的的置信区间为 3.两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径X,Y分别服从 其中未知现由甲,乙两车床的产品中分别抽出25个和15个,测得 求两总体方差比的置信度0.90的置信区间. 解:此处 的置信度0.90的置信区间为: 4.某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:毫米)如下: 14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8 设滚珠直径服从正态分布,若 (1)已知滚珠直径的标准差毫米; (2)未知标准差
概率论与数理统计习题及答案__第一章
《概率论与数理统计》习题及答案 第 一 章 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况， A =‘甲盒中至少有一球’ ； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不少于3台’ 。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
第一章 概率论的基本概念习题答案
第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=?
11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?.
概率论第一章习题解答
00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”；
(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？
大学概率论与数理统计试题库及答案a
< 概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,01 0,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则 a =________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2 +ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<=
概率论与数理统计第一章测试题
第一章 随机事件和概率 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆
大学概率论与数理统计必过复习资料试题解析(绝对好用)
《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或
概率论与数理统计经典考试题型
概率论经典考试题型 一，选择题 1 设A 、B 为互不相容的事件,且()0,()0,P A P B >>下面四个结论中, 正确的是( ) (A)(|)0P B A > (B)(|)0P A B = (C)(|)()P A B P A =(D)()()()P AB P A P B = 如果A 、B 为互不相容的事件,且 ()0,()0,P A P B >>则上述不正确的是（ ） 2 总体),(~2 σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体的样本, ∑==n k k X n X 1 1，则n X /σμ- ~ ( ） (A) ),(2σμN (B) )1,0(N (C) )(n t (D) )1(-n t 3. 已知相互独立的随机变量 ~(1,16), Y ~(2,9), (2)X N N D X Y -=则
。 4. 设3.0)(=A P , 6.0)(=B P , 且事件A 与B 互不相容, ()P A B ?=则 。 5. 已知随机变量X 的概率密度为 2,0,()0,0.x ae x f x x -?>=?≤? 则a = . 6. 设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式,有{||3}P X μσ-≥≤ 。 7．设总体),(~2σμN X ，2,σμ未知， n X X X ,,,21 是来自总体 X 的样本, 则 μ的矩估计量是 ，2σ最大似然估 计量 。
8 电路由电池A 、B 及两个并联的电池C 、D 串联而成, 设电池A, B, C, D 损坏与否是 相互独立的, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.2, 0.5, 求这个电路发生间断的概率. 9 已知(,)X Y 的联合分布率如下: 求（1）边缘分布率; (2))(),(X D X E ; (3) Z X Y =+的分布率。
概率论与数理统计课后答案第7章
第7章 假设检验 7.1 设总体2 (,)N ξ μσ~，其中参数μ ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些 是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0 H μ =. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 7.2 设1225,,,ξξξ 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题 0010 :,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥ ，试决定常数c ，使检验的显著性水平为0.05 解：因为(,9) N ξ μ~，故9(, )25 N ξ μ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||) 53521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=???? 55( )0.975, 1.96 3 3c c Φ==，所以c =1.176。 7.3 设子样1225,,,ξξξ 取自正态总体 2 0(,)N μσ，2 σ已知，对假设检验 001 0:,:H H μμμμ =>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=> ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=0.05，20σ=0.004，α=0.05，n=9，求μ=0.65时不犯第二类错误的概率。
解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, ) n N σξ μ~，此时 00 0000 0()c P c P n n ξμμα ξσσ?? --=≥=≥ ??? 所以， 00 10 c n α μμσ--=，由此式解出00 10c n ασμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(,) n N σξ μ~，此时 01010 1000 010 ()( )( ) () c P c P n n c n n n n ααμ ξμβξσσσμμμμ σσμμμσ--??--=<=< ?? ? +--=Φ=Φ-=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 010 0.9511() 0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274 n αμμβμσμ---=-Φ- -=-Φ- =-Φ-=Φ= 7.4 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为() f x 的母体，对 () f x 考虑统 计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ???其他 其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2m in αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=? ?其他 （c 为检验的拒绝域）
概率论经典试题
第一章 概率论的基本概念课外习题 一．单项选择题 1． 设1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<概率论和数理统计_复旦大学_课后题答案7[1]
7习题七 1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩法估计. 【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X 所以p 的矩估计量 ?X p n = 2.设总体X 的密度函数 f （x ,θ）=22 (),0, 0, .x x θθθ?-<
(2) 似然函数1 1 ,01n n i i i L x x θ θ-==<<∏ ,i =1,2,…,n. 1 ln ln (1)ln n i i L n x θθ==+-∏ 由1 d ln ln 0d n i i L n x θθ==+=∏知 1 1?ln ln n n i i i i n n x x θ ===-=- ∑∏ 所以θ的极大似然估计量为 1 ?ln n i i n x θ ==-∑ 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n = 0.094.EX x ==- 由2 2 2 2 21 ()()[()],()n i i x E X D X E X E X A n ==+==∑知222 ??[()]E X A σ+=,即有 ?σ =于是 ?0.101890.0966σ === 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966. 5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6， 求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2 E X θ = ,令()E X X =，则 ?2X θ =且?()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为?220.6 1.2x θ ==?=且?2X θ=是一个无偏估计.
中国石油大学《概率论与数理统计》复习题及答案
《概率论与数理统计》期末复习题 一、填空题 1.（公式见教材第10页P10） 设A,B 为随机事件，已知P(A)=0.7,P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P （B-A ）= 。 2．(见教材P11-P12） 设有20个零件，其中16个是一等品，4个是二等品，今从中任取3个，则至少有一个是一等品的概率是 . 3.(见教材P44-P45) 设()4 ,3~N X ，且c 满足()()c X P c X P ≤=>，则=c 。 4. （见教材P96) 设随机变量X 服从二项分布，即 ===n p EX p n B X 则且,7/1,3),,(~ . 5.（见教材P126） 设总体X 服从正态分布)9,2(N ，921,X X X Λ是来自总体的样本， ∑==9 1 91i i X X 则=≥)2(X P 。 6. （见教材P6-7）设B A ,是随机事件，满足 ===)(,)(),()(B P p A P B A P AB P 则 . 7. (见教材P7) B A ,事件，则=?B A AB 。 8. （见教材P100-P104） 设随机变量Y X ,相互独立，且)16,1(~),5,1(~N Y N X ， 12--=Y X Z 则的相关系数为与Z Y 9.(见教材P44-P45) 随机变量 =≤≤-=Φ=Φ}62{,9772.0)2(,8413.0)1(),4,2(~X P N X 则 . 10. （见教材 P96)设随机变量 X 服从二项分布，即 ===n p EX p n B X 则且,5/1,3),,(~ . 11 (见教材P42) 连续型随机变量X 的概率密度为()???≤>=-00, ,3x x e x f x λ则 =λ ． 12.(见教材P11-P12） 盒中有12只晶体管，其中有10只正品，2只次品．现从盒中任取３ 只，设３只中所含次品数为X ，则()==1X P ．
概率论第一章习题详解
第一章 概率论的基本概念 习题一 随机试验、随机事件 一、判断题 下列各题中的A 、B 、C 均表示事件，?表示不可能事件 1、() A B B A -= （ 否 ） 解：()A B B A B -=,只有当 ()B A A B B A ??-=时 2、A BC ABC = （ 否 ） 解：ABC A B C = 3、() AB AB =? （ 是 ） 解：()()() AB AB AA BB A ==?=? 4、若,A C B C A B ==则 （ 否 ） 显然,A C C B C A B ==≠但 5、若,A B A AB ?=则 （ 是 ） 6、若,,AB C A BC =??=?则 （ 是 ） 7、袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则 （1）事件“含有红球”为必然事件； （ 是 ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ 否 ） （3）事件“含有白球”为随机事件。 （ 是 ） 8、互斥事件必为互逆事件 （ 否 ） 解： 互斥事件：A B =? 互逆事件：A B A B =?=Ω且 二、填空题 1、一次掷两颗骰子， （1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 (){},,1,2,3,4,5,6m n m n Ω== ； （2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 {}2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12Ω= .
2、化简事件()()()A B A B A B =AB . 解： ()()()()()()()()()()()()()() ()() () A B A B A B A B A B A A B B A B AA BA AB BB A B BA AB A B BA AB A B BA A B A B B ??=?? ??=????=??=??==()()() () A A B A B BA AB ?? ???? ?? =?= 3、设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 表示下列事件： （1） A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ABC ； （2） A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ABC ； （3） A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 A ； （4） A ，B ，C 都发生或都不发生可表示为 ABC ABC ； （5） A ，B ，C 中至少有一个发生可表示为 A B C ； （6） A ，B ，C 中至多有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ABC ； （7） A ，B ，C 中恰有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ； （8） A ，B ，C 中至少有两个发生可表示为 AB AC BC ； （9） A ，B ，C 中至多有两个发生可表示为 ABC ； （10） A ，B ，C 中恰有两个发生可表示为 ABC ABC ABC . 三、选择题 1、对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ B ） A 、A 与D 是互不相容的 B 、A 与 C 是相容的 C 、B 与C 是相容的 D 、B 与D 是相互对立的事件 2、下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ A ） A 、ABC A = B 、A B C A = C 、BC A ? D 、A B C ? 解：ABC A A BC =??? A 发生则B 与C 同时发生 四、写出下列随机试验的样本空间 1、记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； 2、一个口袋中有5个外形相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；
概率论典型例题第4章
第四章 大数定律与中心极限定理 例1．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式有≤≥+}6{Y X P 。 分析：切比雪夫不等式：2{}DX P X EX εε?≥≤或2{}1DX P X EX εε?<≥?， 显然需用到前一不等式，则只需算出()E X Y +与()D X Y +即可。 解：由于 0)(=+Y X E ， ()2(,)2XY D X Y DX DY Cov X Y DX DY ρ+=++=++14212(0.5)3=++×××?=， 故由切比雪夫不等式 1216 )(}6{2=+≤≥+Y X D Y X P 。 注：还是用到第三章数字特征的一些性质。 除了切比雪夫不等式本身，这也是另外的知识点。 例2．设()0(0)g x x ><<+∞，且为非降函数。 设X 为连续型随机变量且[()]E g X EX ?存在。 试证对任意0ε>，有 [()] {}()E g X EX P X EX g εε??≥≤。 分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的证明思想试试看。 证明：设随机变量X 的概率密度为()f x ，则有 {}()x EX P X EX f x dx εε?≥?≥= ∫ 由于()0g x >，且非降，故当X EX ε?≥时，有 ()()g X EX g ε?≥，() 1()g X EX g ε?≥， 所以
(){}()()()x EX x EX g X EX P X EX f x dx f x dx g εεεε?≥?≥??≥= ≤∫∫ 1()()()g X EX f x dx g ε+∞?∞ ≤?∫ [()] ()E g X EX g ε?=。 注：这是切比雪夫不等式的推广。 当2()g x x =时，即为切比雪夫不等式。 例3．设随机变量序列12,,,n X X X L 相互独立，且都服从参数为2的指数分 布，则当n →∞时，21 1n n i i Y X n ==∑依概率收敛于 。 (A ) 0 (B ) 12 (C ) 14 (D ) 1 分析：出现依概率收敛就要考虑应用大数定律，题设给出的是一列独立同分布的随机变量序列，自然会想到辛钦大数定律。 解：由题设12,,,n X X X L 独立同分布于参数为2的指数分布，因此22212,,,n X X X L 也都独立同分布，且它们共同的期望值为 2 22111()422i i i EX DX EX ??=+=+=????。 根据辛钦大数定律，当n →∞时，21 1n n i i Y X n ==∑依概率收敛于其期望值12，故应选择选项B 。 注：几个大数定律条件、结论都非常相似，下面对其条件进行一下比较： 伯努利大数定律和辛钦大数定律都要求随机变量序列有独立性、同分布和有限数学期望。 切比雪夫大数定律对条件有所放宽，不要求同分布，但要求有某种独立性。 但是只有辛钦大数定律不要求方差存在。 同时要注意大数定律中所给的假设条件都是大数定律成立的充分条件，切不
概率论与数理统计第四版-课后习题答案_盛骤__浙江大学第七八章
第七章参数估计 2.［二］设X 1, X 1, , , X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律 中的未知参数的矩估计量。 0=亠 X -c 3. ［三］求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 L(0)=n f(X i )= 0n c n 0 (X 1X 2???X n ) j 十 i =1 1.［ 一］随机地取 8只活塞环，测得它们的直径为（以 mm 计) 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值 及方差 T 2的矩估计，并求样本方差 S 2 。 解: （T 2的矩估计是 p = X = 74.002 1 Z (X i —X)2 =6X10」 n y S 2 = 6.86x10'。 (1) f(x) 0c 0 xJr,x:>c 0,其它 其中c>0为已知，0>1, 0为未知参数。 (5) f(x) P(X =x) 0,其它. 其中0>0, 0为未知参数。 =(m b x (1 - P)m 」,x =0,1,2,…，m,0 C p <1, p 为未知参数。 解：(1) E(X) = J/f(x)dx = Jc 0c 0 x 0c 0 c 01,令誥眾，得 (5) E (X) = mp 令 mp= X , 解得 m 解：（1 ）似然函数 In L(0)= n In (0) + n 0l nc+(1-0)Z In x i , i =± d In L(0) + nin c-送 ln X j = 0 n i =1
4. ［四 （2）］设X i , X i , , , X n 是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本，试求 入 的极大似然估计量及矩估计量。 ?= n Z In X i -n In （解唯一故为极大似然估计量） =e n (X 1X 2…X n )r e 」，In L(e ) =^ln(e )+(j e -1)送 In X i iz1 d In L( e ) -n 2 2 In X j =0, e = （n /2； In X j ）2 。（解唯一）故为极大似 然估计 2 量。 (5) L （p ）=n P{X = x i T m H ；严- p) - InL(p)=2； ln (m )+2 X i In p +(mn —2 xjln(1 — p), i =1 d In L(p) S X i i =1 mn —送 x i dp n z x i 解得 P = mn X ,（解唯一）故为极大似然估计 量。 解：（1）矩估计 冗（入），E （X ）=入故??=X 为矩估计量。 n D i 入y （2）极大似然估计L （入）=n P （x i ；入）= Y X I !X 2! X n ! In L （入）=送X i In 入一送In x 」一n 入 i zt dl nL (入)i# -n =0,解得P = X 为极大似然估计量。 入